資源簡介

教學設計
題目 直線的傾斜角與斜率
一、內容和內容解析 內容 直線的傾斜角和斜率的概念、過兩點的直線斜率公式。
內容解析 作為解析幾何的起始課，章引言部分較好的介紹了解析幾何的發展歷史和思想，以及本章的研究方法和路徑。而直線作為基本幾何對象之一，是解析幾何的起始研究對象，為了用代數方法研究直線的有關問題，首先要確定直線位置的幾何要素，然后用代數表示這些幾何要素。對確定直線位置的幾何要素的刻畫，是按照方向--傾斜角---傾斜角的正切值---斜率---直線上任意兩點縱橫坐標的差商過程展開的，傾斜角從幾何角度刻畫了直線的方向，斜率從代數角度刻畫了直線的方向。這個過程是對直線這個幾何研究對象逐步代數化的過程，把形逐步轉化為數，用數表示形，這個過程是解析幾何研究幾何圖形的基本過程，它是不斷深化的過程。 本節課承接了初中對直線的認識，用解析幾何的思想對直線的幾何要素進行探究。在已有的知識經驗基礎之上，分別從幾何角度和代數角度對直線的方向進行刻畫，并建立它們之間的聯系，在這個過程中讓學生初步體會坐標法的內涵和數形結合的思想，提高直觀想象、數學抽象、邏輯推理等核心素養。通過本節課的學習，一方面為后續直線位置關系的判定和直線方程的建立提供知識基礎，另一方面為本章乃至下一章圓錐曲線的學習，提供從曲線的幾何特征出發，通過代數運算對其進行研究，再將代數運算得到的結果翻譯成幾何語言的整體研究思路，加深學生對幾何直觀和代數運算關系的理解。
二、學情分析 已有經驗 1.在平面幾何中，通過直觀感知、操作確認等方式，學生已經了解了直線與圓。掌握了兩點確定一條直線、兩點之間線段最短、點到直線的距離的意義及其度量等基本事實。研究了相交線與平行線，知道了用兩條直線交成的角的關系可以刻畫相交線的性質，掌握了平行線的判定定理和性質定理以及平行關系的可傳遞性等。除了這些知識基礎之外，學生還具備了一定看圖識圖的能力，有了一定幾何直觀的能力。 2.學生知道了平面直角坐標系可以將點和有序實數對建立對應，并且掌握了一次函數，知道一次函數的圖象是一條直線。借助平面直角坐標系和單位圓研究三角函數，掌握了正切函數的圖像和性質，具備了一定的數形結合的思想，初步具備了直觀想象、數學抽象等素養。 3.在平面向量和空間向量的學習中，掌握了溝通幾何和代數的工具--向量，獲得平面直角坐標系是溝通代數和幾何的橋梁的經驗，掌握了向量的線性運算、投影、數量積、方向向量等知識，會用向量法解決幾何問題。有了數形結合的思想，初步具備了數學運算、邏輯推理等素養。 存在問題： 1.雖然在前面不同的學段中，學生已經研究過許多空間和平面幾何圖形，但是并沒有對研究內容和研究方法做系統的梳理，知識整體處于分散的狀態，不具有系統性。解決方式是設計了大單元指引單，伴隨著學生直線的方程單元的學習，也伴隨著圓的方程單元的學習，幫助學生構建知識網絡。 2.直線是學生初中熟悉的圖形，但是直線的幾何特征學生是不明確的，只知兩點確定一條直線、一點和一方向定直線。所以在這兩部分內容的學習中直線幾何特征的確定會對學生產生一些困難。 3.盡管學生對直角坐標系已經非常熟悉，但將它作為一個研究幾何圖形的工具以及如何利用直角坐標系刻畫直線的“方向”這個要素，是與平面幾何有質的不同的地方，也是學生所不習慣的。 4.盡管學生已經學習過直線的相關性質，但更多的是幾何直觀，是利用綜合幾何法研究的推理幾何，方程的學習也只是單純地停留在代數角度進行運算等，而將方程與直線利用坐標法建立聯系，是學生的初次體驗，也是學生的思維障礙。 5.盡管在高中階段已經學習過向量這個工具，但是利用向量的知識去推理、論證、求解相關問題，對學生來說具有挑戰性，需要充分調動以往的知識經驗等。
三、目標和目標解析 目標 （1）了解坐標法的思想，把握整章的研究內容和方法 （2）理解傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的斜率公式 （3）掌握直線斜率與方向向量的內在聯系，掌握斜率與y=kx+b中的k的聯系（通過探究作業完成）
目標解析 （1）通過課前預習和大單元指引單的準備動作，學生能了解解析幾何的發展史以及坐標法的思想，整體把握單元的研究路徑和研究方法，感受數學文化。 （2）.通過在平面直角坐標系中對畫出不同直線的直觀感知，能找出刻畫直線傾斜程度的幾何量---傾斜角，并抽象出傾斜角的概念，感受利用傾斜角刻畫直線方向的合理性，提升直觀想象、數學抽象的核心素養。 （3）.能利用向量以及三角函數的相關知識探索出直線上兩點坐標與傾斜角的關系，掌握斜率的定義和過兩點的斜率公式，能辨析斜率與傾斜角的對應關系，體會從特殊到一般、數形結合、轉化化歸的思想方法，提升數學抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養。 （4）能獨立推導出斜率與方向向量的關系，在此基礎上整體把握直線兩點坐標、傾斜角、斜率以及方向向量之間的聯系，經歷對直線方向代數刻畫的完整過程，初步感受坐標法研究幾何問題的思想。
教學重點 直線的傾斜角與斜率的概念、過兩點的斜率公式
教學難點 解析幾何坐標法研究問題路徑的理解
四、教學方法分析 本節采用探究式的教學方法，先以介紹初高中研究幾何問題的不同路徑為引入，激發學生的學習興趣，感受數學文化；再以課前整理的大單元指引案為載體開啟本節課的探究，為學生搭建學習平面解析幾何的橋梁。利用學生實際操作畫直線的方法調動學生的直觀感知能力，從而抽象出傾斜角的概念；采用從特殊到一般的方式探究斜率，設置有挑戰性的層層遞進的問題，鼓勵學生勇于發言提出質疑，在不斷的思維碰撞中總結和完善結論，提高課堂效率。
五、教學過程設計 教師活動與數學問題 問題或任務與學生學習活動 設計意圖或評價目標
環節一 內容1：設置大單元引領案，準備課時 學習任務1.學生閱讀課本了解平面解析幾何的歷史，完成引領案上的第一列問題。 【設計意圖】為學生構建初高中幾何學習的橋梁，課前形成疑問，明確本單元研究問題的基本方法，為如何研究平面解析幾何問題做好課前準備。 【評價目標】學生引領案第一列的完成情況為評價的目標。
環節二 內容1：課堂引入，整體把握 教學情境解決問題： 教師根據大單元引領案介紹綜合法和坐標法。引出坐標法研究的第一個對象。 教師板書：課題直線的傾斜角和斜率。 學習任務1：感受解析幾何解決幾何問題的基本內涵和方法；整體把握本章的研究對象，研究內容以及研究方法。 學習任務2：明確本節課的研究對象 問題：前面的學習中，還有什么方法可以確定一條直線？ 追問：如何刻畫直線的方向呢 【設計意圖】通過對幾何研究方法的梳理，讓學生對研究幾何圖形的方法有個系統的認知，同時也引出本章的主題；以微課形式將數學史融入課堂，讓學生了解解析幾何發展的歷史背景，感受解析幾何解決幾何問題的基本內涵和方法；整體把握本章的研究對象，研究內容以及研究方法。通過問題引出我們本課題探究的對象。通過追問引出我們研究的目標。
環節三 內容1：探究直線的傾斜角 教學情境1. 在平面直角坐標系中，過定點P任意做出多多直線。 解決問題1：探究出從形上是如何刻畫直線的方向的。 教師板書: 繪制過P點的不同直線； 形成傾斜角的概念。 學習任務1．在平面直角坐標系中，過定點P任意作出3條直線，觀察對比作出的直線有何不同？下圖為參考： 追問1：直線與x軸成4個角哪個角能很好的刻畫出直線的方向？ 學習任務2．學生走到講臺畫出傾斜角為鈍角的直線的方向。 追問2：如何能把這幾條直線方向的刻畫形成統一的標準呢？ 【設計意圖】問題1讓學生直觀感受過定點P任意作出直線的不同。追問1的設置使學生能容易找到x軸的正方向。學生在追問1下刻畫的方向會有多個，所以設置追問2 ，使得傾斜角是銳角的直線和傾斜角鈍角的直線在方向刻畫上形成統一的標準。在此基礎之上借助學自主歸納總結補充教師完善，學生能更加清晰地感受隨著傾斜程度的不同直線向上的方向與x軸正方向的夾角也隨之不同，從而抽象出傾斜角的概念。
環節四 內容2：探究傾斜角的范圍。 教學情境2.：學生直觀感受黑板上直線的傾斜角圖形和概念 解決問題2：獲取直線的傾斜角的范圍 教師活動：抽象出傾斜角定義后，教師追問學生定義是否適用所有直線，從而引出特殊直線傾斜角的規定。 教師板書： 畫出特殊直線 明確寫出傾斜角的范圍。 學習任務1．傾斜角的定義適用于所有直線嗎？ 追問1：當直線與軸平行或重合時，它的傾斜角如何定義比較合適？ 追問2：傾斜角的范圍是多少？ 結論： 【設計意圖】 研究數學對象時，往往要通過探索特例或進行推廣，從而對問題有更深入的知識。給出傾斜角定義后，給出特殊直線傾斜角的規定，為問追問2中傾斜角的范圍研究做鋪墊，提升思維的嚴謹性。 【評價目標】 通過傾斜角定義能給出特殊直線傾斜角的規定、能得出傾斜角的范圍、最后師生能共同歸納傾斜角從形的角度對直線的方向進行了刻畫。
小結：
環節五 內容3：探究直線的斜率 教學情境3. 坐標法的思想做指引 解決問題3：傾斜角代數化 教師活動：教師參與到學生的探究中去，引導學生復習正切函數的定義，向量的自由性。鼓勵學生積極展示和大膽質疑。 教師板書：斜率的概念。 學習任務1：一條直線可以由兩點唯一確定，也可以由一個點和一個傾斜角α確定,直線的傾斜角一定與兩點的坐標存在內在聯系，到底是怎樣的聯系呢？ 探究：在平面直角坐標系中，設直線的傾斜角為 （1）已知直線經過,與，的坐標有什么關系？ （2）如果直線經過，，與,的坐標又有什么關系？ （3）一般地，如果經過兩點，，那么與,的坐標有怎樣的關系？ 學生活動：小組合作探究，小組講解討論的結果。 【設計意圖】探究中的三個問題，從特殊到一般，展示了數學中研究一般問題常用的思想方法，問題1給出的是過原點的特殊直線，對學生難度較小，為后續問題提供了利用正切函數定義探究該類問題的經驗。有了問題1的基礎，學生便有了將問題2轉化為問題1的思想，在這個過程中體會轉化化歸的數學思想。在前兩個問題研究基礎上，學生可類比給出一般的推導從而完成問題3，通過問題3，學生合作交流質疑補充，在思維碰撞的過程中逐步完善傾斜角正切值與兩點坐標的關系，在這一過程中感受和總結出公式的適應范圍以及與兩點的順序無關等結論。從特殊到一般的研究方法符合學生初步體會坐標法的學情，將幾何問題代數化，培養學生直觀想象、邏輯推理等核心素養。
內容4：傾斜角與斜率的關系。 追問1：傾斜角與斜率是否為一一對應？ 追問2：當直線的傾斜角由0°增大到180°時，斜率如何變化？ 【設計意圖】通過思考中的問題加深學生對直線斜率的理解，體會傾斜角與斜率的對應關系，理解斜率可以用來刻畫傾斜角的合理性，增強思維的嚴謹性。
環節六 內容5：初步應用鞏固新知。 教師活動：巡視學生完成情況 學習任務： 例1 如圖，已知，，，求直線,,的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角。 學生任務：自主完成，主動展演。 【設計意圖】本題一方面考察了斜率公式的掌握，另一方面考察了斜率與傾斜角的聯系，也是一個從形到數再到形的過程，讓學生知道不僅要會用代數語言表示幾何特征，還要會把代數運算得出的結果翻譯成幾何結論，體現了坐標法中把幾何問題代數化，再通過代數運算研究幾何性質的思想。
課堂小結 數學問題：形成結構 學習任務：本節課我們是按照什么路徑對直線的方向進行刻畫的。 【設計意圖】本節課的研究框架進行梳理，在這個梳理的過程中，一方面讓學生重現研究過程，初步體會坐標法的研究思路，另一方面結合具體研究內容滲透相關的數學思想方法，如數形結合、從特殊到一般、轉化化歸等等。 【評價】師生活動：學生自主發言，教師適時引導，啟發學生在內容梳理的過程中思考涉及到的數學思想方法等
六、目標檢測與作業設計 鞏固作業 第一部分，是對本節所學內容的進一步應用 第二部分對課前梳理表格的完善是整個單元過程都滲透的持續性作業，通過本節坐標法對確定直線的方法探究，學生通過表格的對比，可以初步體會坐標法的思想以及與綜合法的不同。 探究作業 對本節重難點內容進行再加深。學生體會利用代數運算研究幾何對象性質的思想；另一方面也為下節課的內容研究做鋪墊。 拓展作業：了解數學文化，了解數學史，對平面解析幾何的學習提供養分。
七、板書設計 直線的傾斜角與斜率 1.傾斜角α： 當直線與x軸相交，x軸的正方向，直線l向上的方向 2.斜率 當傾斜角α=時，斜率不存在3.斜率的符號與傾斜角的關系 當時，k,k的值單調遞增 當時，k,k的值單調遞增
八、反思 本節的主要內容是直線的傾斜角和斜率的概念以及它們之間的關系，過兩點的斜率公式。 直線的傾斜角和斜率分別從形和數刻畫了直線的方向，相對于x軸的傾斜程度。一點和傾斜角或一點和斜率確定了平面直角坐標系中直線的位置．過兩點的直線斜率公式把直線的傾斜角（方向或傾斜程度）與其上兩點的坐標聯系起來，實現了對直線幾何特征的代數刻畫.它是解析幾何中的基本公式，是建立直線方程的基礎. 教學時要讓學生認識到，對確定直線位置的幾何要素的刻畫，是按照方向--傾斜角---傾斜角的正切值---斜率---直線上任意兩點縱橫坐標的差商過程展開的，這個過程是對直線這個幾何研究對象逐步代數化的過程，把形逐步轉化為數，用數表示形，這個過程是解析幾何研究幾何圖形的基本過程，它是不斷深化，不斷精致的過程。在這個過程中提升學生直觀想象、數學抽象等核心素養。 注意：關于學生在探究斜率的過程中正切函數的復習不足，應該形成表格預習案加在課前預習部分。

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