資源簡介

教學(xué)設(shè)計
題目 2.2.1直線的點(diǎn)斜式方程
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 內(nèi)容 直線的點(diǎn)斜式方程、斜截式方程.
內(nèi)容解析 本節(jié)課是在學(xué)習(xí)直線的傾斜角和斜率的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知一個點(diǎn)和斜率求直線方程。在求直線的方程中，直線方程的點(diǎn)斜式是最基本的，直線方程的斜截式、兩點(diǎn)式都是由點(diǎn)斜式推出的。點(diǎn)斜式方程是其他所有形式方程的基礎(chǔ)，也為后面學(xué)習(xí)直線方程的其他形式打下了堅實的基礎(chǔ)。
二、學(xué)情分析 在知識儲備上，通過前面內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了直線的傾斜角及斜率的概念，明確通過斜率分析直線時應(yīng)首先考慮直線斜率是否存在，在a≠90°的情況下具備計算斜率的公式，初步形成用代數(shù)方法研究幾何問題的思想，為本節(jié)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。在心理特征上，高中階段的學(xué)生邏輯思維較初中學(xué)生有了大部分的提升，我班學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般，在解題能力特別是抽象思維的能力比較欠缺。教師采用生動形象、形式多樣的教學(xué)方法使學(xué)生積極主動的參與到教學(xué)中。
三、目標(biāo)和目標(biāo)解析 目標(biāo) 1.通過利用斜率公式探索得到直線的點(diǎn)斜式方程，明確方程的形式特點(diǎn)和適用范圍. 2.通過運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程解決一些實際問題，體會直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng). 3.通過利用坐標(biāo)法將平面上的直線代數(shù)化，并得到直線方程的基本過程.能夠直接從直線方程的代數(shù)特征中解讀出直線的幾何特征.
目標(biāo)解析 1.理解直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式的形式特點(diǎn)和適用范圍. 2.能正確利用直線的點(diǎn)斜式、斜截式公式求直線方程. 3.體會直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系.
教學(xué)重點(diǎn) 直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程的應(yīng)用.
教學(xué)難點(diǎn) （1）在建立直線的方程時，如何將對直線上“所有的點(diǎn)”的坐標(biāo)的關(guān)系式的探究，轉(zhuǎn)化為對直線上“任意一點(diǎn)”的坐標(biāo)的關(guān)系式的探究. （2）如何從方程的角度認(rèn)識一次函數(shù).
四、教學(xué)方法分析 本節(jié)課主要采用“啟發(fā)誘導(dǎo)”“小組合作探究”“講練結(jié)合”“歸納總結(jié)”相結(jié)合進(jìn)行教學(xué)，同時還利用多媒體進(jìn)行輔助，增強(qiáng)動感和直觀性。在整個教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生觀察，分析，概括，歸納，使學(xué)生思維緊緊圍繞“問題”層層展開。培養(yǎng)學(xué)生的興趣，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，也充分體現(xiàn)以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的教學(xué)理念。
五、教學(xué)過程設(shè)計 教師活動與數(shù)學(xué)問題 問題或任務(wù)與學(xué)生學(xué)習(xí)活動 設(shè)計意圖或評價目標(biāo)
環(huán)節(jié)一 內(nèi)容1：在平面直角坐標(biāo)系中，給定直線上一個定點(diǎn)和斜率，則直線上不同于該定點(diǎn)的任意一點(diǎn)所滿足的關(guān)系式是什么？ 內(nèi)容2： 在前面我們知道了過定點(diǎn)且斜率為的直線上任意一點(diǎn)（含定點(diǎn)）的坐標(biāo)都滿足關(guān)系式（方程），接下來，請學(xué)生們證明以下敘述： 內(nèi)容3：我們現(xiàn)在知道了是過點(diǎn)，斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程. 【例1】直線經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角，求直線的點(diǎn)斜式方程，并畫出直線. 學(xué)習(xí)任務(wù)1 （1）學(xué)生將直線的幾何特征——過定點(diǎn)且斜率，轉(zhuǎn)化為直線上“任意一點(diǎn)”的幾何特征——與定點(diǎn)連線的斜率為，繼而利用斜率的計算公式得. （2）教師追問：能否可以變形？變形前后有沒有什么變化？ ①變形前，分母，即分式無法表示點(diǎn)，也就是說表示是不是完整的直線； ②變形后的能表示直線上的所有點(diǎn)（、等形式也可以），即可表示完整的直線. 師生活動 （1）教師提示：“點(diǎn)都在直線上”該如何判斷？根據(jù)這些坐標(biāo)將點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中描出來，然后看他們在不在直線上么？ 綜上，坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在過定點(diǎn)且斜率為的直線上. （4）教師給出結(jié)論：我們將稱為過點(diǎn)，斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程，簡稱點(diǎn)斜式. 師生活動： （1）師生共同分析：點(diǎn)已經(jīng)給出，斜率暫未發(fā)現(xiàn).但是，給出了傾斜角，相當(dāng)給出斜率.接下來怎么辦？ （2）教師給出建議：在前面的學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，我們可以直接將已知點(diǎn)的坐標(biāo)及求出的斜率代入點(diǎn)斜式方程即可.這種求（寫）出直線方程的方法，我們可以稱之為定義法（又稱公式法）. （3）學(xué)生獨(dú)立完成. 【解】直線經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角，則斜率， 代入點(diǎn)斜式方程得：，即. （4）教師的追問：能不能和要不要將上述結(jié)果變形為或. （5）學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，得出結(jié)論：沒有必要，而且，有些變形，雖然是“同解變形”，但是結(jié)果不再是點(diǎn)斜式 【跟蹤訓(xùn)練1】 1、經(jīng)過點(diǎn)A(2,5)，且與直線y=2x+7平行，寫出直線的點(diǎn)斜式方程. 2.求經(jīng)過點(diǎn)(2, 3)，傾斜角是直線y=1/√3x傾斜角的2倍的直線的點(diǎn)斜式方程. 在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們知道，已知直線上的一點(diǎn)和直線的方向，或者已知直線上的兩個點(diǎn)，都可以確定一條直線.這個課時探究的是第一種情形. 將直線上“所有的點(diǎn)”的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系表達(dá)出來，需要解決兩件事，一是“所有的點(diǎn)”如何表達(dá)？我們選擇的是將“所有的點(diǎn)”理解為“任意一點(diǎn)”，為了降低難度，在提出問題的時候，直接采用了“任意一點(diǎn)”的提法.但是，教師要引發(fā)學(xué)生們對“所有的點(diǎn)”的思考. 二是“關(guān)系”是什么，如何刻畫？這里我們認(rèn)為“關(guān)系”是：任意一點(diǎn)與定點(diǎn)連線所成斜率與已知斜率相等.然后再用前面學(xué)習(xí)的斜率計算公式表達(dá)出來. 最后得到的關(guān)系式，是斜率公式的一個“變式”，直線斜率計算公式中的兩個定點(diǎn)，有一個被一般為直線上一個動點(diǎn)（任意一點(diǎn)）. 得出直線上的任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系式（方程）的過程，一般只是保證了直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都服從這個關(guān)系式（方程），又稱“直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程”. 1、結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程的定，直接將定點(diǎn)坐標(biāo)及斜率代入得到直線方程，是比用“直譯法”要更便捷的方法.也是使用“直譯法”得到相關(guān)結(jié)論的目的所在. 2、而在得到直線的點(diǎn)斜式方程之后，引發(fā)學(xué)生們對、及等變形的關(guān)注，試圖讓學(xué)生們理解兩件事：一是直線的點(diǎn)斜式方程只是直線方程的一種特殊形式，為后面學(xué)習(xí)直線方程的其他形式埋下伏筆；二是選擇直線上不同的點(diǎn)作為定點(diǎn)，同一條直線的點(diǎn)斜式方程可以有不同的表示形式.包括后面的作圖，明顯是在為后面學(xué)習(xí)兩點(diǎn)留下伏筆.
環(huán)節(jié)二 內(nèi)容一： 如何表示過點(diǎn)，斜率為k的直線方程？ 師生活動： （1）學(xué)生自主完成.已知直線的斜率和直線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，可直接將已知代入點(diǎn)斜式方程，得到，化簡后得. （2）教師給出總結(jié) 我們將稱為直線的斜截式方程，簡稱斜截式. “斜”表示斜率； “截”表示直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，稱為直線在軸上的截距；截距不是距離，截距可正可負(fù)可為零. 直線的斜截式方程是特殊的點(diǎn)斜式方程，兩者都只能表示斜率存在的直線.我們在解題經(jīng)常要完成它們之間的轉(zhuǎn)化.例如以下例題： 例：已知直線l過A（3，-5）和B（-2，5）求直線l的方程. 師生共同歸納：一條具體的直線，當(dāng)它的斜率有意義時，它的斜截式方程是唯一的，但是，它的點(diǎn)斜式方程可以有不同的形式. 斜截式方程是點(diǎn)斜式方程的一個特例.斜截式方程仍是點(diǎn)斜式方程，只不過斜截式方程中的“點(diǎn)”為直線與軸的交點(diǎn).學(xué)生們完成直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程間的轉(zhuǎn)換，了解不同形式的直線方程對直線不同的幾何特征的表現(xiàn). 同時，這個題的要注意到這個題有多種答案，對學(xué)生們的邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)提出了較高的要求，同時，也是讓學(xué)生們經(jīng)歷一次對數(shù)學(xué)“開放題”的接觸.
內(nèi)容二：如何從直線方程的角度認(rèn)識一次數(shù)？一次函數(shù)，，對應(yīng)的圖像都是直線，這三條直線的斜率和直線在軸上的截距是什么？ 師生活動： （1）師生共同討論分析：這里涉及三個對象，斜截式方程，一次函數(shù)解析式及一條過軸上一個定點(diǎn)，斜率為的直線. 這條直線即是方程（對應(yīng)）的直線，又是函數(shù)的圖像. 一方面是直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) 所滿足的代數(shù)關(guān)系，同時，它又是變量的對應(yīng)關(guān)系. 初中學(xué)習(xí)一次函數(shù)時，只知道是常數(shù)（一個很重要的解題方法叫待定系數(shù)法，就是這個時候接觸到的）.現(xiàn)在從直線方程的角度我們知道了的幾何意義. （2）學(xué)生自主完成以下解答： 對應(yīng)的直線斜率為2，與軸交點(diǎn)為，直線在軸上的截距為； 對應(yīng)的直線斜率為，與軸交點(diǎn)為，直線在軸上的截距為3； 對應(yīng)的直線斜率為3，與軸交點(diǎn)為，直線在軸上的截距為0. （3）教師的追問：結(jié)合直線的斜截式方程，完成以下例題: 【例2】已知直線，，試討論： （1）的條件是什么？ （2）的條件是什么？ （3）師生共同完成以下過程. 【跟蹤訓(xùn)練2】 傾斜角為60°，與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3的直線的斜截式方程是_____. 2.(1)當(dāng)a為何值時，直線l_1：y= x+2a與直線l_2：y=(a^2 2)x+2平行？ (2)當(dāng)a為何值時，直線l_1：y=(2a 1)x+3與直線l_2：y=4x 3垂直？ 直線的斜截式方程與一次函數(shù)解析式的“相同”，一方面讓學(xué)生們能夠?qū)⒃诤瘮?shù)、平面向量的學(xué)習(xí)過程中“坐標(biāo)法”用于對解析幾何的“坐標(biāo)法”的理解；另一方面也為以后用解析幾何“反哺”函數(shù)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).為學(xué)生們整體接受“坐標(biāo)法”梳理出一個通道，讓學(xué)生們更好的親近“坐標(biāo)法”設(shè)定一個情境，為后續(xù)的學(xué)習(xí)中深入學(xué)習(xí)和應(yīng)用“坐標(biāo)法”埋下伏筆。這是數(shù)學(xué)的“聯(lián)系性”的一項具體體現(xiàn).
五、課堂小結(jié) 直線的點(diǎn)斜式是直線的斜率公式的“變式”，直線的斜截式是點(diǎn)斜式的特殊形式.它們都不適用斜率不存在的直線. 2、直線的點(diǎn)斜式直線方程源自對直線幾何特征的“翻譯”，但到了直線的斜截式方程，則是直接套用直線的點(diǎn)斜式方程的定義即可. 3、在不同的問題背景下，我們選擇不同的形式和方法求直線的方程，并且要能夠完成它們之間的相互轉(zhuǎn)化.
六、目標(biāo)檢測與作業(yè)設(shè)計 1、已知直線l過A（3，-5）和B（-2，5），求直線l的方程. 2、(1)求經(jīng)過點(diǎn)(0,2)，且與直線l_1:y= 3x 5平行的直線l_2的方程. (2)求經(jīng)過點(diǎn)( 2, 2)，且與直線l_1:y=3x 5垂直的直線l_2的方程. 3、求滿足下列條件的m的值. (1)直線l1：y＝－x＋1與直線l2：y＝(m2－2)x＋2m平行； (2)直線l1：y＝－2x＋3與直線l2：y＝(2m－1)x－5垂直. 課后作業(yè)布置：教材第61頁習(xí)題1--4題 課本67頁第2題. 第1題是對本課時學(xué)習(xí)目標(biāo)的綜合檢測.學(xué)生們要通過兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的斜率，然后代入點(diǎn)斜式方程 第二題是用過已知信息得知直線的斜率后在帶入到直線的點(diǎn)斜式或者斜截式中求解. 第3題是結(jié)合相互平行與垂直的直線斜率間關(guān)系，得出所求直線的斜率，最后代入點(diǎn)斜式或斜截式解題.
七、板書設(shè)計 §2.2.1 直線的點(diǎn)斜式方程 1.直線的點(diǎn)斜式方程 直線的斜截式方程 直線平行與垂直的條件
八、反思 本節(jié)課是我進(jìn)行課堂實錄的一節(jié)課，整體感覺講的還算順利，在對學(xué)生們進(jìn)行檢測時發(fā)現(xiàn)接受的也不錯，在引入過程中，要讓學(xué)生弄清直線與方程的一一對應(yīng)關(guān)系，理解研究直線可以從研究方程及方程的特征入手。這兒我做的不夠好，沒有給學(xué)生充分的時間去理解直線與方程的一一對應(yīng)關(guān)系，急于得到知識的生成，從而忽略了知識生成的過程，本節(jié)課我主要以合作交流的方式,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，組織學(xué)生充分討論、探究、交流，使學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律。讓學(xué)生能輕易接受,并提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

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