資源簡介

教學(xué)設(shè)計
題目 4.2.1等差數(shù)列的概念
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 內(nèi)容 等差數(shù)列的概念
內(nèi)容解析 本課時選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等差數(shù)列的概念. 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用.一方面，數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備.而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的知識進一步深入和拓廣.
二、學(xué)情分析 1.認知基礎(chǔ)： 類比研究函數(shù)的思路，學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念后，就要對一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列進行研究，這是學(xué)生對數(shù)列知識的認識路徑.在學(xué)習(xí)等差數(shù)列之前，學(xué)生已經(jīng)了解了數(shù)列的概念、表示方法以及通項公式和數(shù)列的前n項和公式的概念，知道“數(shù)列是一種特殊的函數(shù)”，這些知識經(jīng)驗?zāi)軌驇椭鷮W(xué)生分析等差數(shù)列的變化規(guī)律. 2.存在的問題： （1）在代數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們常常通過運算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，運算規(guī)律的發(fā)現(xiàn)是等差數(shù)列概念生成、等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)的關(guān)鍵，但學(xué)生對于通過運算發(fā)現(xiàn)代數(shù)規(guī)律的意識不強，難以用數(shù)學(xué)符號刻畫“等差”規(guī)律. （2）在歸納概括出等差數(shù)列的概念后，如何應(yīng)用等差數(shù)列的概念去推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式是第二個難點. （3）通過等差數(shù)列通項公式與一次函數(shù)的解析式的結(jié)構(gòu)特征的類比，發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列與一次函數(shù)的共性與差異是第三個難點. 教材中給出了“思考”，目的是讓學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度進一步認識到等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)之間的關(guān)系，逐步深化學(xué)生對等差數(shù)列概念的理解，有利于后續(xù)進行判斷，也可以更好地把握等差數(shù)列地性質(zhì).
三、目標(biāo)和目標(biāo)解析 目標(biāo) 1.通過生活中的實例，理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義. 2.體會等差數(shù)列和一元一次函數(shù)的關(guān)系.
目標(biāo)解析 1.通過情境實例，經(jīng)歷等差數(shù)列概念的抽象過程，能用自己的語言解釋等差數(shù)列的含義,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，在教師的引導(dǎo)下，能用文字語言、符號語言和圖形語言描述等差數(shù)列的概念，并能根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷或證明已知數(shù)列是等差數(shù)列. 2.能運用定義歸納出等差數(shù)列的通項公式，能說出等差數(shù)列的通項公式的特征，在求等差數(shù)列的“基本量”時，能“正用”、“逆用”、“變用”通項公式，會用通項公式解決一些簡單的問題； 3.能說出等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)之間的共性與差異，會用函數(shù)的觀點解決一些和等差數(shù)列有關(guān)的簡單問題.
教學(xué)重點 等差數(shù)列的概念； 等差數(shù)列的通項公式； （3）等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.
教學(xué)難點 （1）用數(shù)學(xué)符號刻畫“等差”規(guī)律； （2）應(yīng)用等差數(shù)列的概念去推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式； （3）發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列與一次函數(shù)的共性與差異.
四、教學(xué)方法分析 啟發(fā)式教學(xué)，合作探究式教學(xué)法.
五、教學(xué)過程設(shè)計 教師活動與數(shù)學(xué)問題 問題或任務(wù)與學(xué)生學(xué)習(xí)活動 設(shè)計意圖或評價目標(biāo)
環(huán)節(jié)一 內(nèi)容1. （創(chuàng)設(shè)情境） 教師展示情境 情境1. 北京天壇圜丘壇，的地面有十板布置，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到 外各圈的示板數(shù)依次為 9,18,27,36,45,54,63,72,81 ① 情境2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型號的女裝上對應(yīng)的尺碼分別是 38,40,42,44,46,48 ② 情境3. 測量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大氣溫度，得到從距離地面20米起每升高100米處的大氣溫度（單位）依次為 25,24,23,22,21 ③ 情境4. 某人向銀行貸款萬元，貸款時間為年，如果個人貸款月利率為，那么按照等額本金方式還款，他從某月開始，每月應(yīng)還本金元，每月支付給銀行的利息(單位:元)依次為 , ④ 問題1.對于情境1中的數(shù)列，你能通過運算發(fā)現(xiàn)其中的取值規(guī)律嗎？ 如果用來表示數(shù)列①，則有，， …，，這表明數(shù)列①具有這樣的取值規(guī)律： 從第2項起，每一項與它前一項的差都等于同一個常數(shù). 上面的抽象過程需要注意體會. 我們先從運算的角度觀察一列數(shù)，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律是“從第2個數(shù)開始，后一個數(shù)是前一個數(shù)加9”；再把它改寫為“后一個數(shù)與前一個數(shù)之差為9”，這樣改寫，使運算結(jié)果是一個常數(shù)，從而使規(guī)律更加突出；接著引入符號作出一般化的表示；最后用文字語言概括規(guī)律，得到“從第2項起，每一項與它前一項的差都等于同一個常數(shù)”，這個表述中，“從第2項起”這個限定是大家容易忽視的. 追問：你能仿照數(shù)列的運算規(guī)律，寫出情境2和情境3中數(shù)列的一般規(guī)律嗎？ 教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧數(shù)列單調(diào)性的定義，做好回顧與鞏固. 問題2. 若數(shù)列滿足 ，… 你能寫出該數(shù)列第n項與第n-1項的關(guān)系嗎？ 追問：你能結(jié)合數(shù)列①②③運算規(guī)律的共性，用自己的語言描述等差數(shù)列的定義嗎？ 嚴(yán)謹(jǐn)描述： 一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d來表示. 例如：數(shù)列①中，數(shù)列②中，數(shù)列③中. 問題3.你能結(jié)合等差數(shù)列的定義寫出其符號表達式嗎？ 追問1. 情境4中的數(shù)列是等差數(shù)列嗎？若是，請指出它的公差. 追問2.你能列舉生活中的等差數(shù)列現(xiàn)象嗎？試著說出它的公差. 問題4.根據(jù)以往經(jīng)驗，在定義了一個對象后，要研究一下有哪些特殊情況.對于等差數(shù)列，你覺得有哪些特殊情況？ 追問1. 若三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，你能得到a，A，b的關(guān)系嗎？請將這個結(jié)論推廣到等差數(shù)列中，寫出一般規(guī)律. 教師指出：結(jié)合A所在的位置，稱A為a和b的等差中項，等差中項是一個常用概念. 一個等差數(shù)列任意連續(xù)三項其實都具備這種關(guān)系. ，都有 （或，都有）是數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件. 學(xué)生任務(wù)1. 學(xué)生獨立思考后展開討論， 在教師的引導(dǎo)下調(diào)整運算結(jié)構(gòu)、發(fā)現(xiàn)運算規(guī)律. 對于數(shù)列①發(fā)現(xiàn)： 18=9+9,27=18+9,…,81=72+9 換一種寫法 18-9=9,27-18=9,…,81-72=9 學(xué)生獨立思考，展示. 數(shù)列②滿足，，…， ， 數(shù)列③滿足，，…， ， 思考：“常數(shù)”的取值具有不變性且可正可負可為零，“常數(shù)”的符號影響數(shù)列的單調(diào)性. 獨立思考，主動展示 學(xué)生主動交流，逐步規(guī)范表述. 從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，具備這種恒定的等差性的數(shù)列就是等差數(shù)列. 學(xué)生根據(jù)探究和概念給出或， 思考：為什么要強調(diào)？ 在教師的引導(dǎo)下根據(jù)利息計算方法列具每月利息，再嘗試使用等差數(shù)列的定義判定，找出公差. 學(xué)生自由交流，探討分享. 學(xué)生獨立思考，作答. 從公差d來看，特殊的是d=0，數(shù)列是常數(shù)列. 從項數(shù)看，最特殊的是由3個數(shù)組成的等差數(shù)列. 學(xué)生列出等式. 設(shè)計意圖：借助北京天壇圜丘壇的建造“秘密”設(shè)疑激趣，引出本節(jié)課的研究對象，啟發(fā)學(xué)生通過運算規(guī)律抓住等差數(shù)列的等差特征. 通過運算方式的改變，學(xué)生獨立尋找運算共性，經(jīng)歷等差的發(fā)現(xiàn)過程，嘗試使用文字語言和符號語言描述等差數(shù)列. 另外，從生活實例中抽象出等差數(shù)列，直接突出重點，嘗試突破難點，因為直觀上排列好的一列數(shù)與等差數(shù)列的數(shù)學(xué)定義之間存在一定的距離，需要學(xué)生具備較高的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)表達能力，這種體驗對后續(xù)研究數(shù)列在生活中的應(yīng)用有重要的價值. 評價目標(biāo)：學(xué)生能否跟隨教師的啟發(fā)得出相應(yīng)的結(jié)論. 設(shè)計意圖：借助數(shù)列①的研究方式類比研究數(shù)列②③，從文字語言和符號語言兩個維度理解運算規(guī)律，學(xué)生在思維中逐漸形成一般的遞推關(guān)系.另外，寫出一般規(guī)律的過程有助于學(xué)生深刻理解“常數(shù)”，感悟“常數(shù)”的作用. 設(shè)計意圖：在發(fā)現(xiàn)“等差”特征后，通過遞推公式讓學(xué)生試著表達等差數(shù)列的定義.學(xué)生在思維碰撞中，逐步完備定義的表述，促使學(xué)生有意識地去琢磨定義中的關(guān)鍵詞，加深對定義內(nèi)涵的理解. 評價目標(biāo)：學(xué)生能否正確使用數(shù)學(xué)符號表達等差規(guī)律. 設(shè)計意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷抽象概念的過程，在探討質(zhì)疑中逐步完備等差數(shù)列的概念，教師再做規(guī)范強調(diào)，引領(lǐng)學(xué)生緊扣概念內(nèi)涵，并用示例加深理解.通過系列化的教學(xué)活動設(shè)疑激趣，探究追問，逐步形成“事實—概念”的基本研究路徑，讓學(xué)生在自主探究、合作學(xué)習(xí)、質(zhì)疑補充等多種學(xué)習(xí)方式中建構(gòu)概念、感悟思想方法、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗. 設(shè)計意圖：不斷引用生活實例，讓學(xué)生感受到等差數(shù)列在生活中有著廣泛的應(yīng)用.情境4從等差數(shù)列定義入手，加強概念、取值規(guī)律和應(yīng)用的研究，深化學(xué)生對公差的理解，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 設(shè)計意圖：先從一般觀念上引領(lǐng)學(xué)生思考等差數(shù)列的特例，引導(dǎo)學(xué)生從基本概念出發(fā)，發(fā)現(xiàn)值得研究的問題，經(jīng)歷從一般到特殊的思維過程，繼續(xù)從代數(shù)運算規(guī)律上發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的性質(zhì)，學(xué)會等差數(shù)列的第二種判定方法，滲透特殊與一般的數(shù)學(xué)思想.
環(huán)節(jié)二 教師活動2.（多媒體展示） 問題5.設(shè)是公差為的等差數(shù)列.我們知道，如果數(shù)列的第項與它的序號之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做數(shù)列的通項公式.你能從等差數(shù)列的定義出發(fā)，推出等差數(shù)列的通項公式嗎？ 為了得到這個一般表達式，不妨從情境1中的數(shù)列入手進行探究. 時，上述兩種途徑均有，這就是說，當(dāng)時也成立. 結(jié)論：首項為，公差為的等差數(shù)列的通項公式為 . 追問：等差數(shù)列的通項公式中涉及哪幾個量？你能由此分析一下確定一個等差數(shù)列的基本條件嗎？ 四個量中，首項、公差是基本量，由基本量就可以唯一確定一個等差數(shù)列.因此，在解決等差數(shù)列問題時，我們要重視用基本量表示數(shù)列中其他元素. 例1.（1）已知等差數(shù)列的通項公式為，求的公差和首項； （2）求8，5，2，…等差數(shù)列的第20項. 例2.-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項？如果是，是第幾項？ 已知等差數(shù)列的通項公式，只要根據(jù)等差數(shù)列的定義，由即可求出公差；已知等差數(shù)列的兩項，可從基本量入手先求出通項公式，再利用通項公式求出數(shù)列的指定項. 學(xué)生任務(wù)2. 逐步迭代： ， ， ….歸納可得 . 學(xué)生觀察通項公式的結(jié)構(gòu)回答：首項、公差、項數(shù)、第項. 學(xué)生獨立思考后作答 設(shè)計意圖：讓學(xué)生以通項公式的定義為指導(dǎo)，先明確求通項公式就是要從等差數(shù)列定義出發(fā)推出與的關(guān)系式，在由遞推式出發(fā)，探索通過怎樣的運算得出通項公式，體驗迭代的過程，初步感受等差數(shù)列的基本量. 評價目標(biāo)：學(xué)生能否在教師的啟發(fā)下，采用迭代的方法得到等差數(shù)列的通項公式. 設(shè)計意圖：幫助學(xué)生記憶公式，初步了解公式中的量，建立基本量思想，為后續(xù)研究等差數(shù)列的幾何意義做鋪墊. 設(shè)計意圖：在具體問題中求解、認識基本量，掌握等差數(shù)列通項公式的基本功能，鞏固對等差數(shù)列通項公式的記憶，感受方程思想. 評價目標(biāo)：學(xué)生能否利用通項公式得到首項和公差，能否通過前幾項得出基本量，從而寫出該數(shù)列的通項公式，能否在解方程求解n時，注意到n的取值是正整數(shù).
環(huán)節(jié)三 教師活動3.（多媒體展示） 問題6.觀察等差數(shù)列的通項公式，你認為它與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)？ 當(dāng)時，等差數(shù)列為常數(shù)列，的圖象為均勻分布在平行與x軸的一條直線上的散點；當(dāng) 時，等差數(shù)列的第項是一次函數(shù) 當(dāng)時的函數(shù)值，即. 如上圖，公差的等差數(shù)列的圖象是點組成的集合，這些點均勻地分布在直線上.反之，任給一次函數(shù)，（k，b為常數(shù)）則，， …，，…構(gòu)成一個等差數(shù)列，其首項為，公差為. 學(xué)生任務(wù)3. 學(xué)生作圖得出結(jié)論 函數(shù) 的圖象是一條斜率為，縱截距為的直線，在這條直線上描出點，，…，，…，就得到了等差數(shù)列的圖象. 設(shè)計意圖：通過等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)的解析式的結(jié)構(gòu)特征，引導(dǎo)學(xué)生研究等差數(shù)列的幾何意義，借助散點圖和函數(shù)圖象闡釋等差數(shù)列通項公式的特征，加深學(xué)生對通項公式的理解，強化學(xué)生對數(shù)列是一類特殊函數(shù)的認識. 評價目標(biāo)：學(xué)生能否正確作出等差數(shù)列的圖象，學(xué)生能否結(jié)合通項公式和圖象，說出等差數(shù)列和一次函數(shù)的共性和差異.
課堂小結(jié)反思升華 問題7. 回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，回答下列問題： （1）我們是如何發(fā)現(xiàn)和提出本單元研究的對象的？為什么要研究該對象？ （2）等差數(shù)列定義的文字語言和符號語言分別是什么？本節(jié)課你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？ （3）判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列有幾種方法？應(yīng)用等差數(shù)列定義的關(guān)鍵是什么？ （4）等差數(shù)列的通項公式的符號表達式是什么？ （5）等差數(shù)列與一次函數(shù)的共性和差異分別是什么？ 學(xué)生獨立回顧、思考總結(jié)，班級交流. 設(shè)計意圖：通過知識小結(jié)，讓學(xué)生明晰等差數(shù)列的研究路徑，即事實概念性質(zhì)應(yīng)用，有助于學(xué)生領(lǐng)悟研究一個數(shù)學(xué)對象的基本路徑，體會數(shù)學(xué)的整體性. 評價目標(biāo)：學(xué)生能否抓住“等差”的特性和運用定義判斷等差數(shù)列的基本方法，進一步領(lǐng)會數(shù)學(xué)抽象、運算、建模的過程，體會特殊與一般、函數(shù)與方程、劃歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，提升學(xué)生歸納概括、規(guī)范表達的能力和應(yīng)用意識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
六、目標(biāo)檢測與作業(yè)設(shè)計 （一）必做題 教科書第15頁練習(xí)第4、5題. 選做題 教科書第25頁習(xí)題4.2第4題.
七、板書設(shè)計
八、反思

展開更多......

收起↑