資源簡介

教學設計
題目 2.4.2 圓的一般方程
一、內容和內容解析 內容 圓的一般方程安排在高中數學人教A版本（2019）選擇性必修一第二章第4節第二課時。
內容解析 圓作為常見的簡單幾何圖形，在實際生活和生產實踐中有著廣泛的應用。圓的一般方程屬于解析幾何學的基礎知識，是研究二次曲線的開始，對后續直線與圓的位置關系、圓錐曲線等內容的學習，無論在知識上還是思想方法上都有著深遠的意義，所以本課內容在整個解析幾何中起著承前啟后的作用。
二、學情分析 從知識儲備來說，圓的一般方程是學生在掌握了求曲線方程一般方法的基礎上，在學習過圓的標準方程之后進行研究的. 從研究經驗來說，由于學生學習解析幾何的時間還不長、學習程度較淺，且對坐標法的運用還不夠熟練，在學習過程中難免會出現困難. 從情感態度來說，學生在探究問題的能力，合作交流的意識等方面有待加強.
三、目標和目標解析 目標 1.通過將圓的標準方程變形得到圓的一般方程，能理解圓的一般方程與一般形式的二元二次方程之間的聯系，培養學生數學抽象的核心素養. 2.通過對圓的一般方程和標準方程的互化，能正確理解圓的一般方程中系數所滿足的條件，發展學生數學運算、邏輯推理的核心素養. 3.通過具體例題的探究，能掌握求圓的一般方程以及與圓有關的簡單的軌跡方程問題的方法，提升學生邏輯推理和直觀想象的核心素養.
目標解析 能利用圓的標準方程化簡得到圓的一般方程，歸納出圓的一般方程的結構特征，會判斷一個二元二次方程是否能表示一個圓. 能根據具體條件，選擇適當的圓的方程的形式，利用待定系數法或幾何法求出圓的標準方程或圓的一般方程，總結待定系數法的步驟，并能進行圓的標準方程和一般方程的相互轉化. 3.能夠利用圓的方程和數形結合思想，解決與圓有關的簡單的軌跡方程問題，培養直觀想象，邏輯推理和數學運算的核心素養.
教學重點 (1)圓的一般方程與標準方程之間的互化 (2) 待定系數法求圓的方程
教學難點 待定系數法求圓的方程及對坐標法思想的理解 圓有關的簡單的軌跡方程問題的求解
四、教學方法分析 為了充分調動學生學習的積極性，本節課采用“探究”教學法，用環環相扣的問題將探究活動層層深入。
五、教學過程設計 教師活動與數學問題 問題或任務與學生學習活動 設計意圖或評價目標
環 節 一 內容1：課前練習、鞏固舊知 教學情境 1. 知識點復習： 1、圓的定義： 平面內到一 的距離等 于 的點的軌是 。 其中，定點是 ，定長是圓的 。 2、圓心在點 M(a, b) ，半徑為 r 的 圓的標準方程： 3、點 P(x0 , y0 ) 和圓 (x a)2 + (y b)2 = r 2 的位置關系： (1) 點 P 在圓上： (2) 點 P 在圓內： (3) 點 P 在圓外： 解決問題1：對應單元目標4 學習任務 1. 生：快速回憶上節課所學知識點，按照教師的提問順序依次回答 PPT上知識點復習。 針對我校 學生基礎薄弱學 習 能 力稍 欠的特點，在課堂上的前2分鐘設置“課前練習”，復習舊知識，對學生知識的鞏固有很大幫助。
環 節 二 內容2：創設情景、探索新知 教學情境 2. 師：通過前面的研究，我們知道在平面直角坐標系中圓可以用方程 (x a)2 + (y b)2 = r2 表示，反 之，也可以用方程 (x a)2 + (y b)2 = r2 表示圓。 請大家完成以下問題： 問題1 判斷下列方程是否為圓的 方程，若是，指出圓心和半徑。 (1) (x 1)2 + (y + 2)2 = 9 (2) (x + 1)2 + (y 3)2 = a2 (3) (x + 1)2 + (2y 4)2 = 9 (4) x2 + y 2 2x + 4y 4 = 0 問題 2 由于方程(4)也可以表示 圓，那同學們對于圓的方程有何想法？ 問題 3 什么樣的二元二次方程能夠表示圓呢？ 師：為了方便，我們將方程改寫為 x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 解決問題2：對應學習目標（1）（2） 學習任務 2． 生：快速思考并判斷 (1)(2)(3) 生：(4)通過配方，方程可化為 (x 1)2 + (y + 2)2 = 9 ，這是圓的標準方程，故表示圓。標準方程，故表示圓。 生：圓的方程可以是關于 x, y 的二元二次方程。 生： x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0 通過對這 3 個問題的探究，一方面引導學生回 顧 了 舊 知 識，另一方面，抓 住 了 學 生 的 注意力，把學生的思維引到研究圓的方程上來，激發了學生的 學 習興 趣和學習欲望。這樣獲取的知識，不但易于保持，而且易于遷移。
環 節 三 內容3：深入探究、獲得新知 教學情境 3. 思考 1 利用已有的知識，對方程 x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 進行變形，并求出圓心坐標以及半徑。 思考 2 是否所有形如 x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 的二 元二次方程都能代表圓？如果不是，請說明理由。 思考 3 小組合作學習， 對 D2 + E2 - 4F 的符號進行分類討論，當D2 + E2 - 4F = 0 和D2 + E2 - 4F < 0 時分別代表什么圖形 思考 4 判斷下列二元二次方程是否表示圓 若是,求出圓心坐標及半徑。 (1)x2 + y2 + 4x 一 6y 一 12 = 0 (2) x2 + y 2 + 4x 一 2y + 5 = 0 (3) x2 + y 2 + x 一 y + 1 = 0 (4) x2 + 2y2 + 4x 一 6y 一 12 = 0 解決問題3：對應學習目標（1）（2） 生：生：圓心坐標, 生：只有當 時才能代表圓。 小組討論得出結論: 當 D2 + E2 - 4F = 0 時代表點 當D2 + E2 - 4F < 0時不代表任何圖形。 生:按照要求作答 思考1，使 新知識建立在 學生已有的知 識之上，是舊知識的應用與延伸。 思考2，目的是突破教學難點：形如x2 + y2+Dx+Ey +F=0 的方程在什么條件下表示圓？采用從特殊到一般，由具體到抽象的認知方式。 針對學習 中，學生容易忽視前提條件D2 + E2 - 4F > 0 我 設 計 了 思 考3 ，通過對D2 + E2 一 4F 符 號 的 分 類 討論，使問題化難為易，突破難點，也讓學生充了解分 類 思想在數學中的重要地位，強化學生的觀察、思考能力，之后得到圓的一般方程的完整表述。
環 節 四 內容4：新知應用、鞏固內化 教學情境 4. 例4： 求過三點的圓的方程，并求這個圓的圓心和半徑. 解決問題4：對應學習目標（3） 生:獨立完成“例4”，進一步熟悉圓的一般方程及其結構特征。 生:利用弦的垂直平分線性質 進行求解 本例題是為圓的一般方程的應用而設置的。主要是讓學生根據題設條件，運用待定系數 法 確 定圓的一般方程中的系數 D，E，F， 從而求出圓的一般方程。 例題中沒有給出圖形，教學時要求學生畫出圖形加強數與形的聯系。
環 節 五 內容5：軌跡方程，方法總結 教學情境 5. 例： 已知線段AB的端點B的坐標是，端點A在圓上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程. 師：給出軌跡方程的定義. 師：總結解決軌跡方程的方法，相關點法：利用所求曲線上的動點與已知曲線上的動點的關系，找到關系式，列式求出. 解決問題5：對應學習目標（3） 生:思考探究如何求與圓相關的軌跡方程問題。 通過對教材例5的探究，能夠利用圓的方程和數形結合思想，解決與圓有關的簡單的軌跡方程問題，培養直觀想象，邏輯推理和數學運算的核心素養.
課堂小結 師:請同學們談談本節課有哪 些收獲 師:點評補充 生:歸納總結 1. 圓的一般方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (D2 + E2 一 4F > 0 )。 2.圓心坐標, 。 用待定系數法求圓的一般方程 了解了軌跡方程的定義，會求解一些簡單的軌跡方程問題 通過 學 生 的主體參與，使學生深切體會到本節課的主要內 容 和 思 想方法，從而實現對圓 的 一 般方程認 識的再次深化。歸納總結用待 定 系 數 法解題的基本步驟。提煉分類討論，化歸轉化，數 形 結 合 等思想。
六、目標檢測與作業設計 作業 A 若圓的一般方程為 x2 + y2 + 6x+ 6 = 0 ,則該圓的圓心和半徑分別為 A.( 1, 1), 3B.( 1,2), 3C.(3,0),3D.(-3,0), 3
2. 已知圓的方程是 x2 + y2 2x+ 6y+ 8 = 0 ,那么經過圓心的一條直線的方程是( ) A.2x-y + 1 =0 B.2x+y + 1 =0 C.2x-y- 1 =0 D.2x+y- 1 =0 作業 B 求圓x2 + y2 + 2x 2ay 4 = 0 (a R) 的半徑的最小值 作業 C 已知線段AB的端點B的坐標是 (4,3),端點A在圓 (x + 1)2 + y 2 = 4 上運動,求線段AB的中點M的軌跡方程。 生:完成層級 A 作業,根據自身 實際情況完成 B 級 C 級作業。 通過設置分層作業，讓所 有 的 學 生 既 能吃得飽，又能吃得好，即讓每一位同 學 都 能 體驗 到 學 習 數 學的樂趣，增強學習 數 學的愿 望與信心。
七、板書設計 2.4.2 圓的一般方程 圓的一般方程; x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (D2 + E2 4F > 0 ) 圓心坐標： (2) 半徑：
八、 教學反思

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