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3.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（教學(xué)設(shè)計）
章節(jié) 選修一3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
一、學(xué)習(xí)者特征分析
1.學(xué)生已學(xué)過用坐標(biāo)法解決幾何問題，并掌握圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，會解決一些基本圓的幾何問題。 2.從圓過渡到橢圓，跨度較大，學(xué)生難以改變對圓的固有思維，如何將橢圓的幾何特征融會貫通，難度較大。 3.初中代數(shù)未涉及對幾何圖形構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)方程問題，而橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是研究橢圓性質(zhì)的基礎(chǔ)，學(xué)生在求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時，可能遇到根式難以化簡問題。 4.經(jīng)過一年多的學(xué)習(xí)，學(xué)生在一定程度上具備抽象概括能力和語言轉(zhuǎn)換能力；從學(xué)習(xí)者心理上看，學(xué)生頭腦中由橢圓的實物形象，如何用數(shù)學(xué)語言定性定量描述橢圓是學(xué)生較為關(guān)注的問題，也是本節(jié)課的重點。學(xué)生對作圖、對比分析較為感興趣，這是學(xué)生學(xué)好本節(jié)課的心理基礎(chǔ)。
二、學(xué)習(xí)內(nèi)容分析
橢圓是生活中的常見圖形，對橢圓的學(xué)習(xí)有助于解決一些實際問題；橢圓是生產(chǎn)生活中的常見曲線，教材在用細(xì)繩畫橢圓的過程中，體會橢圓的定義，感知橢圓的形狀，為選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、研究橢圓的幾何性質(zhì)做好鋪墊。 通過之前對圓的學(xué)習(xí)，幾何問題與代數(shù)問題的相互轉(zhuǎn)化已有初步了解，橢圓是在圓的基礎(chǔ)上進(jìn)行的延伸，同樣需要了解橢圓定義的形成，標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，而標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)涉及較多代數(shù)計算問題，是本節(jié)課的重難點。
三、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.根據(jù)創(chuàng)設(shè)的情景，理解橢圓的定義. 2.掌握橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程；明確焦點焦距的概念；能由已知條件推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。 3.列舉身邊的橢圓圖形，讓學(xué)生參與畫橢圓，定義橢圓的過程，體驗坐標(biāo)法處理幾何問題的優(yōu)越性，掌握數(shù)形結(jié)合思想，提高代數(shù)運算及坐標(biāo)法解決問題的能力。 4.通過主動探究，合作學(xué)習(xí)，總結(jié)思考，提問質(zhì)疑，提高解決抽象問題的能力，養(yǎng)成實事求是，一絲不茍的科學(xué)精神與學(xué)習(xí)態(tài)度。通過課下查閱橢圓在航天、核潛艇等高科技領(lǐng)域的應(yīng)用，擴(kuò)展學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生產(chǎn)生民族自豪感和使命感。 5.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
四、教學(xué)重難點及解決措施
重點：橢圓定義的形成，標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 解決措施：運用幾何畫板，讓學(xué)生直觀感受橢圓的形成過程，借助圖釘和細(xì)繩模擬畫出橢圓，結(jié)合定義，老師帶領(lǐng)推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程，再運用坐標(biāo)法定量描述橢圓，將抽象表達(dá)式化為具體圖形，進(jìn)而驗證標(biāo)準(zhǔn)方程的正確性。 難點：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程 解決措施：回顧圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，比較圓與橢圓的異同點，掌握推導(dǎo)思想，多種例子重復(fù)練習(xí)推導(dǎo)。
教學(xué)過程設(shè)計
環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
橢圓是圓錐曲線的一種，具有豐富的幾何性質(zhì)，在科研、生產(chǎn)和人類生活中具有廣泛的應(yīng)用，那么，
問題1：橢圓到底有怎樣的幾何特征？我們該如何利用這些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質(zhì)奠定基礎(chǔ)？
環(huán)節(jié)二 觀察分析，感知概念
問題2:取一條定長的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖（動點）畫出的軌跡是一個圓．如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點，（圖3.1-1），套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？
問題3：在這一過程中，移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什么？
提示　橢圓，筆尖到兩個定點的距離的和等于常數(shù)．
把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，筆尖移動的過程中，細(xì)繩的長度保持不變，即筆尖到兩個定點的距離的和等于常數(shù)．
問題4：應(yīng)該如何完善剛才對橢圓的定義？
我們把平面內(nèi)與兩個定點，的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓（ellipse）．這兩個定點叫做橢圓的焦點（focus），兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距（focusdistance），焦距的一半稱為半焦距．由橢圓的定義可知，上述移動的筆尖（動點）畫出的軌跡是橢圓．
環(huán)節(jié)三 抽象概括，形成概念
下面我們根據(jù)橢圓的幾何特征，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立橢圓的方程．
問題5：觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式簡單？
觀察我們畫出的圖形，可以發(fā)現(xiàn)橢圓具有對稱性，而且過兩個焦點的直線是它的對稱軸，所以我們以經(jīng)過橢圓兩焦點，的直線為軸，線段，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖3.1-2所示．
設(shè)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為，那么焦點，的坐標(biāo)分別為，．根據(jù)橢圓的定義，設(shè)點與焦點，的距離的和等于．
由橢圓的定義可知，橢圓可看作點集
．
設(shè)為能為問題研究帶來方便．
因為，．
所以． ①
為了化簡方程①，我們將其左邊的一個根式移到右邊，得
②
對方程②兩邊平方，得
整理，得
③
對方程③兩邊平方，得
整理，得
④
將方程④兩邊同除以，得
⑤
由橢圓的定義可知，，即，所以．
問題6：觀察圖3.1-3，你能從中找出表示，，的線段嗎？
由圖3.1-3可知，，，．令，那么方程⑤就是
⑥
由于方程②③的兩邊都是非負(fù)實數(shù)，因此方程①到方程⑥的變形都是同解變形．這樣，橢圓上任意一點的坐標(biāo)都滿足方程⑥；反之，以方程⑥的解為坐標(biāo)的點與橢圓的兩個焦點，的距離之和為，即以方程⑥的解為坐標(biāo)的點都在橢圓上．我們稱方程⑥是橢圓的方程，這個方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．它表示焦點在軸上，兩個焦點分別是的橢圓，這里．
環(huán)節(jié)四 辨析理解 深化概念
問題7：如圖3.1-4，如果焦點，在軸上，且，的坐標(biāo)分別為，，，的意義同上，那么橢圓的方程是什么？
容易知道，此時橢圓的方程是．
這個方程也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
例1已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過點，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解法一：由于橢圓的焦點在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
由橢圓的定義知，
所以．．所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
你還能用其他方法求它的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？試比較不同方法的特點．
解法二：由于橢圓的焦點在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
由橢圓的定義知，所以，所以，將代入，得
，整理得，，解得，，
所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
例2如圖3.1-5，在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足．當(dāng)點在圓上運動時，線段的中點的軌跡是什么 為什么
分析：點在圓上運動，點的運動引起點運動．我們可以由為線段的中點得到點與點坐標(biāo)之間的關(guān)系式，并由點的坐標(biāo)滿足圓的方程得到點的坐標(biāo)所滿足的方程．
解：設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，由點是線段的中點，得，．
因為點在圓上，所以
①
把，代入方程①，得
，
即
．
所以點的軌跡是橢圓．
尋求點的坐標(biāo)中與之間的關(guān)系，然后消去，得到點的軌跡方程．這是解析幾何中求點的軌跡方程常用的方法．利用信息技術(shù)，可以更方便地探究點的軌跡的形狀．
思考
由例2我們發(fā)現(xiàn)，可以由圓通過“壓縮”得到橢圓．你能由圓通過“拉伸”得到橢圓嗎？如何“拉伸”？由此你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎？
環(huán)節(jié)五 概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化
例3 如圖3.1-6，設(shè)，兩點的坐標(biāo)分別為，．直線，相交于點，且它們的斜率之積是，求點的軌跡方程．
分析：設(shè)點的坐標(biāo)為，那么直線的斜率就可用含的關(guān)系式分別表示．由直線的斜率圖3.1-6之積是，可得出之間的關(guān)系式，進(jìn)而得到點的軌跡方程．
解：設(shè)點的坐標(biāo)為，因為點的坐標(biāo)是，所以直線的斜率
．
同理，直線的斜率
．
由已知，有
．
化簡，得點的軌跡方程為
．
點的軌跡是除去，兩點的橢圓．
運用信息技術(shù)，可以探究點的軌跡形狀．
結(jié)論：已知橢圓方程為，，，為橢圓上任一點，則
．
推廣：已知橢圓方程為，點，是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，為橢圓上任一點，則．
環(huán)節(jié)六 歸納總結(jié),反思提升
問題8：請同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問題：
（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要知識是什么
（2）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程常用方法是什么？
（3）本節(jié)課涉及到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？
知識總結(jié)：
活動過程:（師）提問 ----- （生）小結(jié) ----- （師生）補充完善.
一動二定求和常：兩個方程大對焦；
三個字母勾股弦；四個想法留心間：
求美，求簡，定義，待定系數(shù)法
【設(shè)計意圖】歸納小結(jié)由學(xué)生來完成，讓學(xué)生回顧本節(jié)所學(xué)知識與方法,以逐步提高學(xué)生自我獲取知識的能力，他們及時發(fā)現(xiàn)并糾正自己學(xué)習(xí)中存在的問題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.）
環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置
完成教材：第109頁 練習(xí) 第1，2，3,4題
第115 頁 習(xí)題3.1 第1,2,5,6,9，10題
練習(xí)（第109頁）
1．如果橢圓上一點與焦點的距離等于6，那么點與另一個焦點的距離是 ．
1．答案：14
解析：由題意知，，由橢圓的定義知，，
所以．
2．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)，，焦點在軸上；
(2)，，焦點在軸上；
(3)，．
2．解析：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2） 焦點在軸上，∴設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
，， ，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（3），，，．由，得．
∴當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
3．經(jīng)過橢圓的右焦點作垂直于軸的直線，交橢圓于，兩點，是橢圓的左焦點．
（1）求的周長；
（2）如果不垂直于軸，的周長有變化嗎 為什么
3．解析：（1）的周長為，所以的周長為20．
（2）當(dāng)不垂直于軸時，的周長不會變化．因為上式仍然成立，所以的周長為定值20．
4．已知，兩點的坐標(biāo)分別是，，直線相交于點，且直線的斜率與直線的斜率的商是2，點的軌跡是什么 為什么
4．解析：設(shè)點的坐標(biāo)為，由已知得，直線的斜率，
直線的斜率．由題意，得，所以，
化簡，得．因此，點的軌跡是直線，并去掉點．

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