資源簡介

3.2.1函數的單調性
教材內容分析
本節課選自人教A版必修第一冊第三章3.2.1節內容。從函數角度來講. 函數的單調性是學生學習的第一個函數性質，也是第一個用數學符號語言來刻畫的概念.函數的單調性與函數的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，函數值的變化規律.因此，函數單調性的學習為進一步學習函數的其它性質提供了方法依據；從學科角度來講.函數的單調性是重要基礎，是解決數學問題的常用工具，也是發展學生邏輯推理，數學抽象，數學運算的重要素材，同時是一節具有奠基意義的數學方法課.
學情分析
學生在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數，對函數的增減性有一個初步的感性認識，知圖象的變化趨勢；本節課為函數單調性的嚴格定義，從數和形兩個方面理解單調性的概念，學生對于這些概念的認識，都經歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段，即都從觀察圖象，用自然語言描述函數圖象特征，以函數解析式為依據經歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結果的過程.
教學目標
1.學習目標：
(1)借助函數圖象，歸納總結出函數單調性的定義；
(2)會用定義法研究函數的單調性.
2.核心素養：發展學生直觀想象能力與數學運算能力.
重點: 借助函數圖象，歸納總結出函數單調性的定義.
難點: 會用定義法研究函數的最大（小）值.
教學方法
結合本節內容的特征，采用“問題引領，自主探究”式教學.
教學過程
舊知回顧，引入新課
引入1：（師）函數的作用是什么？
（生）函數是描述客觀世界中變量之間的一種對應關系。
因此，我們可以通過研究函數的性質來認識客觀規律。
引入2：（師）函數的表示圖象法有什么優點？
（生）直觀、形象生動并且能夠反應函數的變化趨勢。
因此，函數的圖象可以放映出函數的一些性質。
【設計意圖】學生對函數的作用和函數的圖象法已經非常地熟悉，但是對于圖象的作用理解并不深刻，所以教師應該引導學生溫故而知新。
創設情境，提出問題
問題1：請畫出的圖象，
并用自己的話描述它的變化趨勢。
從右圖可以看出，的圖象在y軸左側部分從左到右下降，在y軸右側部分從左到右上升。
問題2：在下降和上升的過程中，函數值隨自變量的變化發生什么變化？
當x<0,函數值隨自變量的增大而減小;當x>0,函數值隨自變量的增大而增大.
問題3： 你能用符號語言描述這兩種變化嗎
【設計意圖】學生對函數已經非常地熟悉，對于圖象的上升和下降變化趨勢也是比較容易，但對于用符號語言去描述這種趨勢感到陌生而抽象，所以教師在這里應該多給學生一些時間，耐心引導。
抽象概念，辨析內涵
一般地，設函數f(x)的定義域為I，區間;
特別地，當函數f(x)在定義域上單調遞增，我們就稱它為增函數。
(圖1) (圖2)
追問1：為什么要單獨提出新的區間D 區間D可以看作哪個變量的取值范圍
因為函數單調遞增是在某個區間上定義的，不一定在整個定義域上，區間D可以看作自變量的取值。
追問2：
這里的x取值不能特殊化，必須對所有x1,x2都要滿足條件。
追問3：你能類比單調遞增的定義，給出函數單調遞減的定義嗎？
特別地，當函數f(x)在定義域上單調遞增，我們就稱它為減函數。
思考：函數的單調性是對某個區間而言，你能舉出在整個定義域內是單調遞增的例子嗎？你能舉出在定義域內某些區間上單調遞增，但在一些區間上單調遞減的例子嗎？
舉例：y=x在定義域R上單調遞增，
在 上單調遞增。
【設計意圖】對于這個定義，很多同學能夠說得出來，但是并不理解其中的含義，所以教師應該引導學生沉沉剖析，深刻、透徹理解這個概念。并通過舉例子的方式，讓學生進一步感受單調性是一個局部性質。
及時演練：下列函數在R上單調遞增的有（ ）
【設計意圖】函數單調性的概念是一個比較抽象的內容，學生很難理解透徹，所以教師應該設計題目幫助學生進行理解。
典例剖析，鞏固理解
例1 根據定義，研究函數y=kx+b()的單調性。
分析：根據函數的單調性，需要考察當根據實數大小關系的基本事實，只要考察與0的關系即可。
例2 物理學中玻意耳定律告訴我們，對于一定量的氣體，當體積V減少，壓強p將增大。試對此用函數的單調性證明。
分析：根據題意，只要證明是減函數即可。
例3 根據定義證明在區間上單調遞增。
【設計意圖】設計這3個例子的目的既是為了鞏固單調性的定義，也是為了總結出利用定義研究函數單調性的方法和步驟，體現了數學運算的核心素養。在例1的時候學生對如何研究函數的單調性還比較陌生，教師應該適當地引導。
課堂小結，形成結構
經過本節課的學習，你有什么收獲？
課后作業
必做：課本79頁練習1, 2, 3, 4.
選做：課本86頁習題3.2 第2, 3題.
板書設計
3.2.1 函數的單調性
增函數 減函數 例1 例2 例3

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