資源簡(jiǎn)介

教學(xué)設(shè)計(jì)
課題 5.1.1任意角
課型 新授課 章/單元復(fù)習(xí)課□ 專題復(fù)習(xí)課□ 習(xí)題/試卷講評(píng)課□ 學(xué)科實(shí)踐活動(dòng)課□ 其他□
教學(xué)內(nèi)容分析
通過實(shí)際問題(體操中的轉(zhuǎn)體、齒輪旋轉(zhuǎn)等)引出角的概念的推廣問題，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，將角的范圍推廣到任意角，在直角坐標(biāo)系中表示角-象限角，并研究象限角的性質(zhì)--終邊相同的角的代數(shù)特征.這樣可以使學(xué)生更好地理解引入任意角概念的必要性，建立“背景一定義一度量-運(yùn)算一性質(zhì)”的研究路徑.
學(xué)習(xí)者分析
學(xué)生過去接觸的角都在到，關(guān)于角的認(rèn)識(shí)已經(jīng)形成一定的思維定勢(shì).初中研究過平面圖形的旋轉(zhuǎn)，學(xué)生已經(jīng)知道旋轉(zhuǎn)的“三要素”，這是對(duì)旋轉(zhuǎn)的定性刻畫，可以作為刻畫任意角的一個(gè)基礎(chǔ).
學(xué)習(xí)目標(biāo)確定
1.通過實(shí)際問題（體操中的轉(zhuǎn)體、齒輪旋轉(zhuǎn)等），感受角的概念推廣的必要性. 2.體會(huì)用符號(hào)代表方向的意義，類比實(shí)數(shù)的加、減法得到角的加減法規(guī)則及相反角的概念. 3.結(jié)合角和平面直角坐標(biāo)系的關(guān)系，建立象限角的概念.借助圖象，通過運(yùn)算，會(huì)用集合表示終邊相同的角.感受數(shù)學(xué)地探索事物性質(zhì)的普遍方法. 4.通過分析旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，抽象出任意角概念的構(gòu)成要素，既體現(xiàn)了具體的推廣方法，又蘊(yùn)含著模型的思想。在體會(huì)任意角的加法和減法運(yùn)算的幾何意義、定義象限角的過程中，蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思想。在探究終邊相同的角的量化表示過程中，蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合與化歸的數(shù)學(xué)思想。 5.在對(duì)角的定義進(jìn)行推廣的過程中，采用“背景—定義—度量—運(yùn)算—性質(zhì)”的研究路徑，可以發(fā)展學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。通過類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算體會(huì)任意角的加法和減法運(yùn)算的幾何意義，可以發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)。在探究終邊相同的角的量化表示過程中，經(jīng)歷從特殊到一般，由圖形語言到自然語言再到符號(hào)語言表達(dá)的過程，可以發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。
學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：將到范圍的角擴(kuò)充到任意角. 難點(diǎn)：任意角概念的構(gòu)建，用集合表示終邊相同的角.
學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)
過程學(xué)習(xí)內(nèi)容與教師活動(dòng)（引領(lǐng)性問題）學(xué)生任務(wù)或?qū)W習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖或評(píng)價(jià)目標(biāo)通過閱讀章引言，我們了解到，三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中周期性變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型. 引導(dǎo)學(xué)生回憶指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、研究過程與方法等有一個(gè)初步的整體的認(rèn)識(shí).學(xué)生獨(dú)立閱讀章引言及觀察章頭圖. 回憶學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的過程，歸納研究函數(shù)的學(xué)習(xí)路徑.作為章節(jié)起始課，幫助學(xué)生回憶研究函數(shù)的一般路徑，為整章內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好鋪墊.要求學(xué)生獨(dú)立閱讀章引言，了解全章的學(xué)習(xí)目標(biāo)，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)的注意力和學(xué)習(xí)興趣.環(huán)節(jié)一 任意角概念的形成過程內(nèi)容1.（創(chuàng)設(shè)情境，提出問題） 圓周運(yùn)動(dòng)是一種常見的也是比較典型的周期性變化現(xiàn)象，接下來這一章所有的內(nèi)容幾乎都可以圍繞這一背景逐漸展開，我們先看下面這個(gè)問題. 問題1：⊙O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針方向的旋轉(zhuǎn)．如何刻畫點(diǎn)的位置變化呢？ 學(xué)生獨(dú)立思考，教師通過PPT讓學(xué)生清楚：圓周上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以通過角的變化進(jìn)行刻畫.從章引言自然過渡到本節(jié)課即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)圓周運(yùn)動(dòng)這一背景對(duì)學(xué)習(xí)本章知識(shí)的重要性，指出本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，引出本節(jié)課課題. 內(nèi)容2.（分析實(shí)例，歸納特征） 問題2：你還記得初中是怎么定義角的嗎？如何表示角？ 用什么來度量？角的范圍是什么？ 追問1:生活中有超出 角的例子嗎？請(qǐng)你舉例說明. 追問2：角可以用來刻畫現(xiàn)實(shí)世界中什么樣的現(xiàn)象？角是怎么形成的？如何使這樣的現(xiàn)象量化，需要知道哪些要素？ 教師傾聽學(xué)生的想法，必要時(shí)進(jìn)行深入交流，要給予恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià). 一起回顧初中角的概念. 學(xué)生獨(dú)立思考，并回答問題. 通過簡(jiǎn)單的討論，發(fā)現(xiàn)角的不同體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是大??；二是方向. 回答出角的大小及旋轉(zhuǎn)方向. 這里要讓學(xué)生先回顧初中學(xué)習(xí)角的定義，是靜態(tài)的圖形，就因?yàn)殪o所以限制了角的范圍，所以高中的定義中特別突出了動(dòng)態(tài)-旋轉(zhuǎn). 一方面加強(qiáng)數(shù)學(xué)與我們現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，說明學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有用的；另一方面，學(xué)生在用語言描述這些超出 角的時(shí)候，會(huì)發(fā)現(xiàn)用靜態(tài)角的定義不再適合，讓他們體會(huì)到，要想說清楚這些角,有必要將角的范圍進(jìn)行拓展,而且需要從動(dòng)態(tài)的角度重新定義角. 讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)：要想說清楚一個(gè)角，包括兩個(gè)方面：一是旋轉(zhuǎn)方向；二是旋轉(zhuǎn)量. 內(nèi)容3.（通過閱讀，獲得概念） 問題3：請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本第168頁最后一段至第169頁第二段，回答下列問題： ①你能用自己的語言表述任意角的概念嗎？ ②你能結(jié)合概念說說什么樣的兩個(gè)角是相等的角嗎？ ③作出300、6600和-5700的角. 教師通過巡視檢查學(xué)生作圖是否正確、規(guī)范. 學(xué)生獨(dú)立閱讀課本，回答問題3.在問題引導(dǎo)下，通過閱讀教科書進(jìn)行自主學(xué)習(xí)、動(dòng)手畫圖，加強(qiáng)對(duì)任意角概念的記憶和理解.關(guān)鍵是對(duì)旋轉(zhuǎn)方向的量化，可以通過類比實(shí)數(shù)，用符號(hào)表示方向.內(nèi)容4.（任意角運(yùn)算） 問題4：對(duì)于兩個(gè)已知的任意角α和β ，它們之間能夠進(jìn)行加法運(yùn)算嗎？請(qǐng)同學(xué)們通過作圖進(jìn)行比較。 （1）300與-30° （2）300+1200與1500 （3）300-120°與-90° 追問：你能從幾何的角度解釋?duì)?+ β 的含義嗎？ 教師利用信息技術(shù)動(dòng)態(tài)展示. 學(xué)生能夠結(jié)合已有的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)說出正確結(jié)果. 學(xué)生利用幾何畫板能夠理解兩角和的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算完全一致;同時(shí)，像實(shí)數(shù)減法的“減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”一樣，我們有α-β=α+(一β)，即“減去一個(gè)角等于加上這個(gè)角的相反角”這樣，角的減法可以轉(zhuǎn)化為加法.從幾何角度看，就是一條射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角.α后再旋轉(zhuǎn)任意角β，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是α+β. 定義了一個(gè)具有數(shù)量特征的數(shù)學(xué)概念之后，緊接著需要研究的就是兩個(gè)這種數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系以及運(yùn)算問題.類比實(shí)數(shù)運(yùn)算加法法則解釋角α + β 的幾何含義，得到相反角的定義及兩個(gè)任意角之間的減法運(yùn)算.同時(shí)為今后學(xué)習(xí)向量運(yùn)算和其他運(yùn)算內(nèi)容做好鋪墊. 環(huán)節(jié)二 象限角概念的形成過程內(nèi)容5.(象限角的概念) 引導(dǎo)語：為了方便研究角，我們通常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角.將角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的負(fù)半軸重合.并且規(guī)定角的終邊在第幾象限就說這個(gè)角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就說這個(gè)角不屬于任何象限. 問題5:分別說出300、-1200 是第幾象限角. 追問：你能說說在直角坐標(biāo)系下討論角的好處嗎？ 學(xué)生口答. 學(xué)生獨(dú)立思考，并回答.根據(jù)象限角定義判斷具體的角所在的象限，幫助學(xué)生明確象限角的定義.檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)角度大小的直觀認(rèn)識(shí).這樣討論角的好處就是：在同一“參照系”下，可以使角的討論得到簡(jiǎn)化，由此還能使角的終邊位置“周而復(fù)始”現(xiàn)象得到有效表示. 環(huán)節(jié)三 終邊相同的角形成過程內(nèi)容6.(終邊相同角的集合) 引導(dǎo)語：我們將角放在直角坐標(biāo)系討論后，可以看到，研究一個(gè)任意角，只需要研究這個(gè)角終邊的位置就好了.任意給定一個(gè)角，就有一條終邊與之對(duì)應(yīng). 問題6：反之，對(duì)于直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一條射線OB, 以它為終邊的角是否唯一呢？如果不唯一，那么終邊相同的角有什么關(guān)系呢？ 追問1：對(duì)于一個(gè)任意角α, 所有與α終邊相同的角構(gòu)成的集合如何表示？ 教師通過引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)，用符號(hào)語言精確表示與α終邊相同的角的集合. 學(xué)生通過觀察圖5.1-6，完成填空.能用文字語言進(jìn)行描述. 學(xué)生通過借助幾何畫板的操作，先從幾何的角度體會(huì)對(duì)于一個(gè)具體的角α,與其終邊相同的角β和角α的圖形特征. 利用信息技術(shù)，在直角坐標(biāo)系畫出任意角，并測(cè)出角的大小，再觀察角的終邊旋轉(zhuǎn)整數(shù)周后，其大小與原角之間的關(guān)系，從而將數(shù)、形聯(lián)系起來，給出幾何意義的代數(shù)解釋. 例1:在0°到360°范圍，找出與-950012′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角 例2:寫出終邊在軸上的角的集合； 例3:寫出終邊在直線上的角的集合，并把中適合不等式 的元素寫出來. 例1：學(xué)生先估計(jì)-950012′ 大致是3600的幾倍，然后在具體求解. 學(xué)生體會(huì)用集合表示終邊相同的角時(shí)，表示方法不唯一. 學(xué)生嘗試用日常語言描述集合的特征，分析與例2的共性，能推廣到其它直線. 能判斷一個(gè)角所在的象限，為以后證明恒等式、化簡(jiǎn)及利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)的值等奠定基礎(chǔ). 會(huì)用集合表示終邊相同的角.提高學(xué)生解決與分析問題的能力. 課堂練習(xí)：171頁練習(xí)1-5學(xué)生獨(dú)立完成鞏固知識(shí)，評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成.課堂小結(jié)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們認(rèn)識(shí)到角的推廣的必要性，你能說出我們是如何定義任意角的嗎？又是如何對(duì)任意角進(jìn)行研究的？ 教師幫助學(xué)生進(jìn)行歸納梳理.學(xué)生可能從背景、定義、度量、運(yùn)算、性質(zhì)幾個(gè)方面進(jìn)行回答.通過小結(jié)，讓學(xué)生建立研究對(duì)任意角的研究路徑是“背景-定義- 度量- 運(yùn)算- 性質(zhì)”，提高學(xué)生概括能力.
板書設(shè)計(jì)
作業(yè)與拓展學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)
作業(yè)：習(xí)題5.1復(fù)習(xí)鞏固1-3題. 綜合運(yùn)用:第7題。 拓展學(xué)習(xí)： 有了終邊落在坐標(biāo)軸上角的表示方法，你能表示出第二象限角嗎？寫出第二象限角的集合表示方法.

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