資源簡介

圓錐曲線的方程 單元教學設計
一、單元名稱：圓錐曲線的方程
二、單元內容和內容解析：
1.單元內容
圓錐曲線的方程是教材中已經劃分好的“教學單位”，是以核心數學知識為主線的主題類單元，教學內容主要包括：圓錐曲線的定義、標準方程及其簡單幾何性質，圓錐曲線的簡單應用。教學內容的主線有兩條：一條是“從幾何直觀到代數表示”，另一條是“用代數方法研究幾何問題”。明線為每一種圓錐曲線的幾何特征、方程、性質和應用，暗線為坐標法和數形結合思想。在本章所有內容結束之后要安排兩節小結課，這兩節課是將本單元內容進行梳理，建立知識網絡，并就學習中出現的常見題型與方法進行總結，主要是兩類問題——一是求曲線方程，一是直線與圓錐曲線的位置關系，由此進一步體現解析幾何研究的主要問題——根據已知條件，求出表示曲線的方程；通過曲線的方程，研究曲線的性質。
2.內容解析
（1）內容的本質：解析幾何的本質是用代數方法研究圖形的幾何性質。
（2）內容蘊含的數學思想和方法：在解析幾何的學習中一直貫穿“數形結合的思想”；研究圓錐曲線的標準方程時體現了“方程的思想”和“分類討論的思想”；研究直線與圓錐曲線的位置關系蘊含了“坐標法”的基本思想；研究雙曲線和拋物線時蘊含了類比的數學思想；用圓錐曲線的知識解決實際問題蘊含了“化歸與轉化的思想”，體現了數學建模。
（3）知識的上下位關系：坐標法是研究直線與圓的延續，已有的知識方法可以為圓錐曲線的學習提供知識和方法的保證；橢圓為后續雙曲線和拋物線的研究做好了鋪墊，研究內容、過程和方法類似，體現了數學知識的前后一致性。
（4）內容的育人價值：利用幾何特征得出橢圓、雙曲線、拋物線的概念可以發展學生的抽象概括和邏輯推理能力；求橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程的過程可以培養學生運算求解、抽象概括能力；由橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程研究圓錐曲線的性質的過程初步形成用代數方法解決幾何問題的能力，發展學生邏輯推理、數學運算素養；利用圓錐曲線的知識解決實際問題的過程可以提升學生數學建模素養，培養應用意識；研究直線與圓錐曲線的位置關系的過程可以進一步領會解析幾何的數學本質，提升學生數學運算、幾何直觀素養。
（5）本單元教學重點：根據已知條件，求出表示曲線的方程；通過曲線的方程，研究曲線的性質；研究圓錐曲線的思路與方法。
三、單元教學目標和目標解析
（一）總目標：在直線與圓的方程研究的基礎上，借助幾何直觀經歷由具體情境中抽象出圓錐曲線的過程，認識其幾何特征，建立它們的標準方程，并運用坐標法進一步認識圓錐曲線的性質以及它們的位置關系，可以運用平面解析幾何方法解決簡單的數學問題和實際問題，體會數形結合思想和坐標法。
1.借助于行星運行軌跡、發電廠冷卻塔的外形線、拋物運動軌跡、探照燈的鏡面等實際生活中的例子，體會圓錐曲線的實際背景和圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用。
2.經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義，體會由特殊到一般、數形轉化思想，發展數學抽象和邏輯推理素養；
3.根據橢圓的定義，利用坐標法，推導出橢圓的標準方程，并能根據條件求橢圓的標準方程，體會數形結合、方程思想，提升數學運算和邏輯推理素養；
4.利用橢圓的標準方程研究其簡單幾何性質，體會用代數方法研究幾何問題的基本思想，發展邏輯推理、幾何直觀素養；
5.運用信息技術的演示，了解雙曲線的定義、幾何圖形，類比橢圓標準方程的推導方法推導出雙曲線的標準方程，體會數形結合、類比、分類討論思想，提升數學抽象和數學運算素養；
6.利用雙曲線的標準方程研究其簡單幾何性質，明確數學對象的研究內容，體會類比和數形結合思想，發展邏輯推理、幾何直觀素養；
7.了解拋物線的定義、幾何圖形，會求其標準方程，體會數形結合、類比、分類思想，提升數學抽象和數學運算素養；
8.利用拋物線的標準方程研究其簡單幾何性質，明確研究幾何對象的一般套路，進一步體會用代數方法研究幾何問題的思想，發展邏輯推理、直觀想象素養.
（二）目標解析：
達成上述目標的標志是：
1.能夠根據給定的條件建立適當的坐標系求出圓錐曲線的方程；
2.能夠對含有根式的表達式進行化簡；
3.能夠利用方程研究圓錐曲線的性質；
4.能夠類比橢圓的研究方法和路徑研究雙曲線和拋物線；
5.能夠運用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題和實際問題。
四、單元教學問題診斷分析
1.學習本單元學生已具備的學習基礎：在必修課程中 ，已經用坐標法研究過直線與圓，對用坐標法研究曲線的基本思想與方法已有了解，已經能從代數的角度解決簡單的幾何問題，具備了一定的運算求解能力。
2.從已有基礎到目標學生可能遇到的障礙：（1）從具體實例中抽象出圓錐曲線的幾何特征是比較困難的；（2）求橢圓標準方程時的化簡過程不太會處理，推理論證能力不強；（3）如何通過標準方程研究曲線的幾何性質，這是第一次遇到，在研究什么、如何研究上有困難；（4）圓錐曲線的定義不能夠靈活運用，數形轉化能力有所欠缺；（5）會用代數方法判斷直線與圓錐曲線位置關系，但運算能力不過關。
3.教學難點：由具體情境中抽象出曲線的幾何特征；圓錐曲線標準方程的化簡；圓錐曲線定義的適時轉化；坐標法的靈活應用。
五、教學支持條件分析
使用幾何畫板軟件或GeoGebra軟件演示橢圓、雙曲線的漸近線、拋物線及圓錐曲線方程中參數的變化對方程所表示的曲線的影響。
用動畫軟件演示用平面截圓錐得到圓錐曲線的過程。
六、單元分講設計
1.根據教學主線和知識的邏輯關系，給出本單元內容結構圖：
2.本單元共需12課時，各課時安排如下：
第1課時：橢圓及其標準方程（一）（落實目標1,2,3）
第2課時：橢圓及其標準方程（二）（落實目標1,2,3）
第3課時：橢圓的簡單幾何性質（一）（落實目標4）
第4課時：橢圓的簡單幾何性質（二）（落實目標1-4）
第5課時：雙曲線及其標準方程（落實目標5）
第6課時：雙曲線的簡單幾何性質（一）（落實目標6）
第7課時：雙曲線的簡單幾何性質（二）（落實目標5,6）
第8課時：拋物線及其標準方程（落實目標7）
第9課時：拋物線的簡單幾何性質（一）（落實目標8）
第10課時：拋物線的簡單幾何性質（二）（落實目標7,8）
第11課時：小結（一）—求曲線方程習題課（落實目標2,3,5,7）
第12課時：小結（二）—直線與圓錐曲線的位置關系（落實目標1-8）
七、課時教學設計
第1課時 橢圓及其標準方程(一)
（一）課時教學內容：橢圓及其標準方程
（二）課時教學目標：
1.通過用細繩畫橢圓的實驗，尋找出在畫圖過程中筆尖滿足的幾何條件，把握其數學特征，并用準確的數學語言表達橢圓的概念，會初步運用橢圓的概念判斷曲線類型，體會由特殊到一般、數形轉化思想，發展數學抽象和數學運算素養；
2.根據橢圓的定義，結合求曲線方程的步驟并類比圓推導出橢圓的標準方程，并會用定義及待定系數法求其標準方程，體會數形結合、方程、類比思想，提升數學運算和邏輯推理素養；
3.借助橢圓圖形能準確說出參數a、b、c的幾何意義，并掌握它們的關系式，可以找出給定的橢圓標準方程中的a、b、c，體會數形結合思想；
4.類比焦點在軸上的橢圓的標準方程得出焦點在軸上的橢圓的標準方程，并能夠判斷出給定的橢圓方程的焦點的位置，體會類比、分類的思想；
5.能夠利用橢圓的定義和標準方程解決簡單的數學問題，體會坐標法的基本思想，發展邏輯推理素養。
（三）教學重點與難點：
1.重點：橢圓的定義和標準方程
2.難點：標準方程的推導
（四）教學過程設計：
1.創設情境、引入新課：
引導語：前面我們用坐標法研究了直線、圓及他們的位置關系。生產、生活中還有許多非常有用、有趣、我們不大熟悉的曲線需要研究。
問題1：如圖1，用一個垂直于圓錐的平面截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側面的交線）是一個圓。如果改變截面與圓錐的軸所成的角，會得到怎樣的截口曲線呢？
師生活動：教師通過信息技術演示，引導學生認識截面與圓錐的軸所成的角不同時得到的不同的截口曲線，并指出他們分別是橢圓、雙曲線、拋物線（圖1）。教師可以介紹圓錐曲線的研究歷史，指出圓錐曲線在生產、生活中的應用，而這些幾何特征和幾何性質都是本章要研究的內容。
【設計意圖】問題1重在引發學生思考，并不要求學生解決。這個環節的教學目的是明確本章內容的意義與價值，促進學生形成積極探究的心理傾向。
問題2：歷史上，古希臘人曾用純幾何的方法研究圓錐曲線。17世紀后，人們開始用坐標法研究圓錐曲線。你能猜到這些變化的大致原因嗎？如果本章我們用坐標法來研究圓錐曲線，大家能在回顧用坐標法研究直線與圓的基礎上，猜想研究的大致思路與構架嗎？
師生活動：在學生回顧、討論的基礎上，明確采用坐標法研究圓錐曲線的最大好處是可以程序化地、精確地計算。本章研究的基本思路：現實背景——曲線的概念——曲線的方程——曲線的性質——實際應用。
【設計意圖】讓學生從整體上把握本章的學習內容與基本框架，為后續學習提供先行組織者，同時深化學生對坐標法研究問題的基本思路與基本方法的理解。
重點關注的問題：體會到在現實生活中這樣的例子還有很多，本章研究的基本思路：現實背景——曲線的概念——曲線的方程——曲線的性質——實際應用。
2.師生合作、尋找規律
教學活動1.（抽象橢圓的定義）請同學們拿出事先準備好的自制道具：木板、細繩、圖釘、鉛筆，同桌同學一起合作按要求畫圖。
要求如下：
（1）取一條細繩長。
（2）把它的兩端固定在紙板上的兩個圖釘上，且。
（3）用筆尖（M）把細繩拉緊，在紙板上慢慢移動，觀察畫出的圖形是什么？
師生活動：通過多媒體投影作圖的要求，并巡視學生的完成情況，找學生上黑板演示作圖過程，其他學生合作完成作圖的過程，并在作圖的過程中初步發現橢圓的定義。
【設計意圖】 經歷畫橢圓的過程，強化學生對橢圓的幾何特征的認識，加深對橢圓定義的理解。
重點關注的問題：繩長與定點間的距離的大小關系。
追問1.在以上畫圖的過程中若視筆尖為動點，兩個圖釘為定點，動點在運動過程中滿足什么條件？其軌跡是什么？
追問2.若繩長等于兩圖釘之間的距離，畫出的圖形又是什么？
追問3.若繩長小于兩圖釘之間的距離，能畫出圖形嗎？
師生活動：教師讓學生試著繼續畫一畫，然后引導學生回答。學生們自己動手畫圖后，可以觀察出結論。
【設計意圖】以活動為載體，讓學生在“做中學”，通過畫橢圓，經歷知識的形成過程，積累基本活動經驗。同時，力求改變單一、被動的學習方式，讓學生成為學習的主人，給他們提供一個自主探索學習的機會，讓他們通過觀察、討論、概括出橢圓的定義，這樣既獲得了知識，又培養了學生抽象思維的能力。
重點關注的問題：滿足怎樣的條件才會畫出橢圓，哪些量是變的，哪些量不變，它們的大小關系如何。
追問4.你能由剛才的畫圖過程抽象概括出橢圓的定義嗎？
師生活動：學生嘗試用精確的數學語言給出橢圓的定義。如果學生忽略了“這個常數大于兩定點間的距離”這一條件，教師通過追問，啟發、幫助學生完善.同時，讓學生搞清楚；當常數等于兩點間的距離時，點的軌跡是線段；當常數小于兩點間的距離時，點的軌跡不存在.再給出橢圓的概念的基礎上，教師在引導學生了解焦點、焦距、半焦距等概念.逐步引導學生找出剛才能做出橢圓時所滿足的幾何條件，進而用規范的語言進行描述，并板書定義。
【設計意圖】通過嘗試、觀察、探究，強化橢圓概念的抽象與建立過程，提高學生思維的嚴謹性與語言表達能力；同時讓學生獲得焦點、焦距等概念.形成橢圓的定義。
重點關注的問題：對定義中相關用語及符號表示的使用是否準確及橢圓需要滿足的幾何條件。
教學活動2.（用橢圓的定義判斷曲線類型）練習1：用定義判斷下列動點M的軌跡是否為橢圓？
（1）到F1(-2,0)，F2(2,0)的距離之和為6的點M的軌跡。
（2）到F1(-2,0)，F2(2,0)的距離之和為4的點M的軌跡。
（3）到F1(-2,0)，F2(2,0)的距離之和為3的點M的軌跡。
師生活動：教師展示題目，讓學生根據自己剛才的作圖過程和橢圓的定義自主完成，教師給出提示。
【設計意圖】在新概念學習后，設計了常數大于焦距、等于焦距、小于焦距的三個問題，及時幫助學生理解概念的內涵，對提升理解數學的水平具有現實的意義。同時運用反饋調節機制，對學生的學習情況及時評價，既起到激勵學生的學習熱情的作用，也起到教師評估教學的作用.
重點關注的問題：是否能夠緊扣橢圓的定義進行判斷。
教學活動3.（推導橢圓的方程）問題1.前面已學求曲線方程的一般步驟是什么？
問題2.圓心在原點與不在原點的圓的方程哪個形式更簡單？為什么？
師生活動：教師提出問題，幫學生回顧之前所學的知識，學生積極思考，觀察圖形得出結論。
【設計意圖】引導學生通過復習已知，明確思維的方向，為在橢圓上建立恰當的坐標系搭橋鋪路。
重點關注的問題：怎樣建系更方便。
問題3.類比圖1、圖2建立圓的方程的方法，怎樣在橢圓上建立直角坐標系，才能使橢圓方程更簡單？
師生活動：教師循循善誘，使學生自然而然回答出怎樣建系，并在黑板上畫出所建的坐標系。學生則可以由剛才回答的問題2聯想到如何去建系。
【設計意圖】怎樣選擇適當的坐標系去求曲線方程，盡量使形式簡單為原則。
重點關注的問題：如何選擇適當的坐標系。
問題4.你能在剛才建立的坐標系的條件下推導出橢圓的方程嗎？
師生活動：教師首先要引導學生將橢圓上的點所滿足的幾何條件用代數形式表示出來，然后讓其進行化簡，當遇到含有兩個根式，學生不會化簡時，要適時地給出提示：（1）化簡含有根號的式子時，我們通常怎么處理？（2）如何將含有兩個根式的等式化成含有一個根式的等式？（3）對于本題中的方程，哪一種處理方式有利于化簡？學生則積極思考，相互交流，在教師的提示下，完成化簡工作，通過不斷的嘗試，找出移項后再平方會使化簡簡化一些，從而化簡出結果
【設計意圖】這是本節課的難點之一，通過教師引導學生參與移項、平方、整理，讓學生感受數學運算的必要性和艱難性。使學生在突破難點的同時，掌握方法、提高運算求解能力。教師根據課堂情況還可以介紹其它的化解方法，供學生在課后思考。
重點關注的問題：如何對含有兩個根式的等式進行化簡。
教學活動4.（化簡得出焦點在軸的橢圓的標準方程、探究參數a、b、c的幾何意義）你能在如圖所示的橢圓上找出各自所表示的線段嗎？
師生活動：教師引導學生利用橢圓的定義及勾股定理找出相應的線段，于是可以提示令，從而可以再繼續簡化剛才的方程，得出橢圓的標準方程。學生在教師的提示下，可以利用橢圓的定義找到所表示的線段，從圖中的直角三角形中利用勾股定理就可以找到所表示的線段。由于可以令，所以就可以將剛才得到的橢圓方程進一步化簡，得到橢圓的標準方程。
【設計意圖】進一步化簡方程，認識a,b,c的幾何意義，有利于理解引進b的必要性，也有利于學生體會數形結合思想的價值所在。
重點關注的問題：a,b,c的幾何意義。
教學活動5.（探究焦點在軸的橢圓的標準方程）前面我們得到了焦點在軸上的橢圓方程，如果橢圓的焦點在y軸上，橢圓的標準方程是怎樣的呢？
師生活動：教師要給學生時間，讓其獨立思考，學生經過觀察思考后，能認識到圖形中交換坐標軸對應方程中交換x與y的位置，從而得到了焦點在y軸上的橢圓的標準方程：。
【設計意圖】讓學生明確由于焦點位置的不同，所得的標準方程也不同。
重點關注的問題：標準方程的形式。
追問1.你能談談對橢圓標準方程的認識嗎？
師生活動：教師引導學生從形式上、所對應的圖形上的異同點進行分析。學生在教師的引導下可以看出標準方程所對應的曲線其焦點一定在坐標軸上，且兩焦點的中點必為坐標原點；其形式類似，只是焦點位置決定了分母的大小，進而可以根據方程對焦點位置進行判斷。
【設計意圖】進一步認識橢圓的標準方程，讓學生充分認識兩種方程的特點，從中找出它們的區別和聯系，體會分類思想以提高學生思維的嚴密性。為后邊雙曲線、拋物線及其它知識的學習奠定基礎。
重點關注的問題：方程的形式。
3.運用知識、鞏固提高
教學活動6.（根據方程求參數，并判斷橢圓焦點的位置）求下面橢圓方程中的,并說出焦點的位置。
師生活動：教師展示題目，學生對照橢圓的標準方程，口答出結果。
【設計意圖】明確方程中誰是，如何判斷焦點的位置，評價學生對橢圓兩種形式的標準方程的理解和初步應用程度.
重點關注的問題：對橢圓兩種形式的標準方程的認識及焦點位置的判斷方法。
教學活動7.（橢圓定義及標準方程的簡單應用）寫出適合下列條件的橢圓的標準方程.
（1）已知兩個焦點的坐標分別是（-4,0），（4,0）,橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10.
（2）將上題焦點改為（0，-4），（0,4），結果如何？
（3）將上題改為兩個焦點的距離為8，橢圓上一點P到兩焦點的距離的和等于10.結果如何？
師生活動：教師給出題目，讓學生自主完成，同時找三位同學上黑板板演，其余學生在練習本上自主完成，在解答的過程中適當的給出提示：聯系橢圓的定義和標準方程解題。當學生完成后對學生的解答進行點評。
【設計意圖】數學概念需要在運用中提升理解并得到鞏固，通過該練習使學生進一步理解橢圓的定義，掌握標準方程，使知識內化為素養，并在解題過程中感受"數形結合思想"的作用.
重點關注的問題：橢圓的定義的理解。
教學活動8.（進行課堂小結）本節課所學的重點知識是什么？其中蘊含的數學思想方法有哪些？
師生活動：讓學生自己歸納總結，教師在學生發言的基礎上給予補充和完善。
【設計意圖】通過課堂小結，使學生明確學習的重點，并對所學知識進行提煉和提升。
重點關注的問題：學生對重點知識的理解和掌握，從所學知識中提煉數學思想和方法。
（五）課時評價檢測題：
（1）（檢測目標2）如果橢圓上一點到焦點的距離等于6，那么點到另一個焦點的距離是_______
（2）（檢測目標2）已知經過橢圓的右焦點作垂直于軸的直線，交橢圓于兩點，是橢圓的左焦點。
①求的周長；
②如果不垂直于軸，的周長有變化嗎？為什么？
（3）（檢測目標2、3）如果點在運動過程中，總滿足關系式，點的軌跡是什么曲線？為什么？寫出它的方程。
（4）（檢測目標3）寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：
①，焦點在軸上；②，焦點在軸上。
（5）（檢測目標3）已知橢圓的兩個焦點分別為F1(-4，0)和F2(4，0)，再添加什么條件，可得這個橢圓的方程為？
（6）（檢測目標2）已知B，C是兩個定點，|BC|=8，且△ABC的周長等于18，求這個三角形的頂點A的軌跡方程。
（六）學后反思
本節課主要學習了橢圓的定義及其標準方程的推導，難點是標準方程的推導過程中根式的化簡。在教學過程中，要引導學生注意思考含有根式的等式我們平時如何處理，如何將含有兩個根式的等式化簡為含有一個根式的等式？通過讓學生動手嘗試，發現解決問題的辦法。在教學過程中體會數形結合思想、分類討論思想，發展數學運算、幾何直觀素養。
第2課時 橢圓及其標準方程(二)
（一）課時教學內容：橢圓及其標準方程應用
（二）課時教學目標：
1. 通過具體的例子，會利用橢圓的定義和待定系數法求其標準方程，體會數形結合思想，發展邏輯推理和數學運算素養；
2.借助坐標法求曲線的方程，發現橢圓的另外的生成方法，體會橢圓與圓之間的關系，進一步熟練直接法、相關點法求軌跡方程，提升邏輯推理、幾何直觀的素養。
（三）教學重點與難點：
1.重點：求橢圓的標準方程。
2.難點：求軌跡方程的常用方法的歸納。
（四）教學過程設計：
1.復習舊知、引入新課：教學活動1.（復習橢圓的定義和求其標準方程的步驟）我們在之前學習了橢圓的定義及其標準方程的推導過程，請大家回憶一下相關的知識。
師生活動：教師利用多媒體展示復習的內容，學生積極思考，舉手回答老師的提問，教師板書橢圓定義的符號表示和標準方程。
【設計意圖】回顧之前所學的知識，為本節課的開展做好鋪墊。
重點關注的問題：以上知識是否已經完全掌握。
2.運用知識、鞏固提高
教學活動2.（定義法和待定系數法求橢圓的標準方程）例1.已知橢圓的兩個焦點坐標分別是，并且經過點，求它的標準方程。
師生活動：教師展示題目，并找學生將解題過程板書至黑板，學生根據題目信息及自己的理解，獨立完成題目，然后組內交流，與黑板上同學的解答進行對比分析，這些解答中有定義法求得的結果，也有待定系數法求得的方程，教師要分別進行點評總結，給出定義法和待定系數法求橢圓方程的一般步驟。
【設計意圖】進一步掌握橢圓的定義及其標準方程，學會利用其解決數學問題，掌握定義法和待定系數法求橢圓方程的一般步驟，提升邏輯推理和數學運算素養。
重點關注的問題：定義法和待定系數法求橢圓標準方程。
教學活動3.（利用相關點法求曲線方程和橢圓的生成過程）例2.如圖所示，在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足。當點在圓上運動時，線段的中點的軌跡是什么？為什么？
師生活動：教師給出題目，引導學生明確求軌跡方程就是求軌跡上任意的點M的坐標(x,y)所滿足的條件，因此必須先搞清楚點M所滿足的條件，利用動點與點的關系，借助于點的軌跡方程來求點的曲線方程。之后可以總結這種借助于中間變量求點的軌跡方程的方法——相關點法。在本題最后要強調答案為橢圓。另外做完題之后可以借助于幾何畫板將剛才的過程進行演示，進一步加深印象——明確圓與橢圓的聯系，橢圓可以看成是把圓“壓扁”或“拉長”后，圓心一分為二所成的曲線。
【設計意圖】（1）再次教給學生利用中間變量求點的軌跡方程的方法；向學生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同，那么這個軌跡是橢圓；（2）讓學生知道，圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓,體會橢圓與圓之間的關系（包括圖形、方程）；（3）提高思維的探究性與挑戰性。
重點關注的問題：發現動點M與點P的關系，借助于點P的軌跡方程來求點M的軌跡方程。
練習1. 設為坐標原點，動點在橢圓上，過作軸的垂線，垂足為，點滿足.求點的軌跡方程.
師生活動：教師展示題目，讓學生仿照例題書寫本題，并找學生板演，學生在老師的要求下，仿照例題來完成問題，之后教師點評——這也可以得到橢圓，學生要根據老師的點評來更正自己的不足。
【設計意圖】體會相關點法求軌跡的步驟及橢圓的生成。
重點關注的問題：相關點之間的關系。
教學活動5.（橢圓的生成另一種生成過程）例3.如圖所示，設點的坐標分別為.直線相交于點，且它們的斜率之積是，求點的軌跡方程。
師生活動：（1）在學生分析、討論解題思路的基礎上，由學生獨立完成；（2） 教師視情況講解、點評；（3）注意檢驗方程與曲線之間是否等價。
【設計意圖】給出生成橢圓的另一種方法，深化學生對求曲線的方程的方法的認知，為后面的類比學習做鋪墊。
重點關注的問題：求出曲線的方程之后去掉不滿足條件的點。
練習2. 已知點A( 2，0)，B(2，0)，動點M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為 .記M的軌跡為曲線C.求C的方程，并說明C是什么曲線；
師生活動：教師引導學生觀察本題與例題的區別，然后學生快速作答并說出答案。
【設計意圖】引起學生對課本例題的重視，進一步鞏固橢圓的概念與標準方程。
重點關注的問題：2019年高考21題來源于此例題。
教學活動7.（進行課堂小結）本節課所學的重點知識是什么？其中蘊含的數學思想方法有哪些？
師生活動：學生根據本節課學習的知識自己歸納總結，教師在學生發言的基礎上給予補充和完善。
【設計意圖】通過課堂小結，使學生明確學習的重點，并對所學知識進行提煉和升華。
重點關注的問題：學生對重點知識的理解和掌握，從所學知識中提煉數學思想和方法。
（五）課時評價檢測題：
（1）（檢測目標2、3）設點的坐標分別為。直線相交于點，且直線的斜率與直線的斜率的商是2，點的軌跡是什么？為什么？
（2）（檢測目標3）寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：
①焦點在軸上，焦距等于4，并且經過點；
②焦點坐標分別為；
③.
（3）（檢測目標2、3）如圖，軸，點在的延長線上，且，當點在圓上運動時，求點的軌跡方程，并說明軌跡的形狀，與例2相比，你有什么發現？
（4）（檢測目標2）已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，點P在橢圓上.如果△PF1F2是直角三角形，求點P的坐標.
（5）（檢測目標2）如圖，圓的半徑為定長，是圓內一個定點，是圓上任意一點。線段的垂直平分線和半徑相交于點，當點在圓上運動時，點的軌跡是什么？為什么？
（六）學后反思
本節課主要學習了求橢圓的方程，難點是求軌跡方程的常用方法的提煉，尤其是用相關點法求軌跡。在教學過程中，要引導學生從中發現點的相關關系，進而用已知的曲線方程來求未知的曲線，從中體會數形結合思想、化歸與轉化的思想，提升幾何直觀和邏輯推理素養。
第3課時 橢圓的簡單幾何性質(一)
（一）課時教學內容：橢圓的簡單幾何性質
（二）課時教學目標：
1.能在直觀認識橢圓的圖形特點的基礎上，由橢圓的標準方程和非負實數的含義討論得出橢圓的范圍，從中學會如何利用曲線的方程探究曲線的范圍，體會數形結合、轉化、分類討論的思想，發展邏輯推理和幾何直觀素養；
2.能在直觀認識橢圓的圖形特點的基礎上，經歷用代換，代換，方程不變的過程，發現橢圓的對稱性，并從中學會利用曲線的方程來判斷曲線對稱性的方法，體會數形結合、轉化的思想，提升邏輯推理和幾何直觀素養；
3.能在直觀認識橢圓的圖形特點的基礎上，利用橢圓的方程求出橢圓與軸、軸的交點坐標，得出圓錐曲線頂點的概念，明確長軸和短軸的含義，會根據方程求橢圓的頂點、長軸長，短軸長，體會方程的思想、數形結合思想和分類討論思想，發展數學運算和幾何直觀素養；
4.通過觀察橢圓的扁平程度，探究其與離心率的關系，明確離心率與a,b,c的關系，會根據橢圓方程或有關條件求離心率；
5.經歷利用解析法研究橢圓的簡單幾何性質的過程，體會用代數方法研究幾何問題的基本思想，發展數學抽象素養。
（三）教學重點與難點：
1.重點：橢圓的簡單幾何性質的探究與證明。
2.難點：橢圓的離心率。
（四）教學過程設計：
1.創設情境、引入新課：解析幾何研究的主要問題是：（1）根據已知條件，求出表示曲線的方程；（2）通過曲線的方程，研究曲線的性質。我們在前面的學習中，已經知道了橢圓的概念、求出了橢圓的標準方程，按照解析幾何研究幾何圖形的內在邏輯，接下去我們應該研究什么？
追問：你覺得應研究橢圓的哪些幾何性質？如何研究？
師生活動：通過討論，明確應研究橢圓的幾何性質。然后，在觀察橢圓的基礎上，明確應研究橢圓的范圍、對稱性、頂點、扁平程度等。研究的基本思路與方法是先“形”后“數”，即在觀察圖形的形狀與特征的基礎上先提出猜想，再通過橢圓的標準方程進行計算和推理。
【設計意圖】讓學生在明確的研究問題、研究方法指引下學習與探究，提高思維的主動性、深刻性，避免思維的被動性和盲目性。
重點關注的問題：本節的主題——用解析法研究曲線的簡單幾何性質的研究思路與方法。
2.師生合作、尋找規律
教學活動1.（探究橢圓的范圍）觀察直角坐標系中的橢圓，它有怎樣的范圍？你能利用橢圓的標準方程給出證明嗎？
師生活動：教師提出問題，畫出橢圓，明確曲線的范圍即方程中兩個變量x,y的取值范圍，并將橢圓的方程板書至黑板上方，先引導學生觀察圖形，得出猜想，再對標準方程適當變形，利用非負數的含義進行探究，從而得出范圍，此時可以適時的提醒學生即使沒有橢圓的圖形，用這一方法我們也可以求出其范圍，這就是根據方程研究曲線性質的方法，即把幾何問題轉化為了代數問題，然后再用代數的結果解釋幾何問題，最后讓學生畫出橢圓的圖形進行驗證。對所用的方法進行總結，讓學生初步有一個利用方程研究范圍的印象，為后續的總結做好鋪墊。絕大數同學可以通過觀察圖形進行猜測，但當教師提出用方程研究范圍時可能會不知所措。在教師的提示下，當對方程變形之后有一部分學生就會利用非負數的概念得出結論，對解決問題的過程提升一下就會得出利用方程研究曲線的范圍的方法。
【設計意圖】讓學生體會利用方程研究圖形的性質是解析幾何問題的重要思想，培養學生的分析、概括與表述能力。
追問1. 如何利用橢圓的標準方程來研究橢圓的范圍？
師生活動：教師讓學生仿照剛才的研究過程自己動手完成，對有困難的學生給予適時的引導。大部分學生可以仿照剛才的研究過程對標準方程進行變形討論，從而得出范圍。
【設計意圖】熟悉用方程研究圖形的范圍的方法。
重點關注的問題：利用方程研究圖形的性質是解析幾何問題的重要思想。
教學活動2.（探究橢圓的對稱性）觀察橢圓的形狀，它有怎樣的對稱性？在直角坐標系中，要證明一個圖形關于坐標軸或原點對稱，就是要證明什么？你能利用橢圓的方程證明它的對稱性嗎？
師生活動：教師先引導學生回顧點關于軸、軸和原點的對稱點的坐標分別是什么？再引導學生思考“如何說明曲線關于軸、軸和原點的對稱”？然后讓學生自己動手用代換，代換，觀察方程是否發生變化，從而得出結論，并用橢圓的圖形來驗證。最后總結出用方程判斷曲線的對稱性的步驟。在這一過程中始終要強調的是所做的步驟都是代數運算。學生要通過觀察圖形直觀感知再猜想驗證。
【設計意圖】體會用解析法研究圖形的對稱性的方法，培養學生的分析、概括與表述的能力。
重點關注的問題：如何利用方程研究曲線的對稱性的方法。
教學活動3.（探究橢圓的頂點）觀察橢圓，你覺得有哪些比較特殊的點？你能由橢圓的標準方程得出橢圓與軸、軸的交點坐標嗎？
師生活動：討論何為特殊的點，即橢圓與坐標軸的交點。在問題解決之后，教師可以引導學生類比直線在坐標軸上的截距，回顧當點落在軸、軸上時其坐標有何特點，進而分別令求出交點坐標，之后給出橢圓的頂點和長軸、短軸的概念。
【設計意圖】明確曲線的頂點的含義及學會利用方程求曲線的頂點的思路與方法。
追問2.當橢圓的標準方程時，其頂點、長軸和短軸分別如何求呢？
師生活動：利用剛才的結論完成。
【設計意圖】熟悉概念及方法。
重點關注的問題：利用方程研究曲線的特殊點的方法。
教學活動4.（探究橢圓的離心率）觀察圖中的不同橢圓，你有何發現？
師生活動：教師利用多媒體設備展示進行圖片展示。學生通過觀察得出——這些橢圓的扁平程度不一樣。
【設計意圖】培養學生觀察、發現、歸納與總結的能力。
追問3.用什么量來刻畫橢圓的扁平程度呢？
師生活動：教師借助于信息技術工具的演示來幫助學生思考，可以進行如下數學實驗：（1）保持長半軸長不變，改變橢圓的半焦距，觀察橢圓的變化情況；（2）保持橢圓的半焦距不變，改變長半軸長，觀察橢圓的變化情況；（3）同時改變長半軸長和橢圓的半焦距，但保證半焦距和長半軸長的比值不變，觀察橢圓的變化情況。演示之后可以引入離心率的概念。學生在教師演示數學實驗的過程中發現一些不變的規律，進而可以考慮用半焦距和長半軸長的比值來表示橢圓的扁平程度。
【設計意圖】借助現代信息技術探究橢圓離心率與橢圓扁平程度的關系，變抽象為形象，以形象的動畫演示來代替教師的直接講解。
追問4. 由及橢圓標準方程中的關系，你能得出離心率的取值范圍嗎？
師生活動：絕大多數學生能夠得到，但易忽視，其比值是大于0的，教師可以給予提醒。
【設計意圖】探討離心率的取值范圍。
追問5.和的大小能刻畫橢圓的扁平程度嗎？為什么？
師生活動：其實在上一個問題之后就有學生有了這樣的疑問，現在提出來一起探討，可以再做數學實驗來驗證——也可以用這兩個量來表示。為了后續研究性質的方便，我們習慣上用即離心率來表示橢圓的扁平程度。
【設計意圖】還可以用其它量來表示橢圓的扁平程度。
追問6.你能運用三角函數的知識解釋，為什么越大，橢圓越扁？越小，橢圓越圓嗎？
師生活動：教師可以畫出如圖所示得圖形，在直角三角形BF2O中借助銳角三角函數的有關知識進行解釋。
【設計意圖】從多角度解釋離心率。
重點關注的問題：離心率的作用，刻畫了橢圓的扁平程度。
3.運用知識、鞏固提高
教學教學活動5.（橢圓的簡單性質）例4.求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標.
師生活動：教師要讓學生獨立完成，在解決的過程中可以提醒學生：（1）由于給出的方程不是標準方程，故先要引導學生將方程變為標準方程，求出，然后利用橢圓的長軸、短軸、離心率、焦點和頂點的定義求相關量，最后核對答案即可；（2）養成畫圖的習慣。
【設計意圖】鞏固橢圓的簡單幾何性質，促進知識的遷移。
重點關注的問題：我們討論問題的前提應該是標準方程下，故而當不是標準方程時要先變為標準方程再進行求解。
教學活動6.由以上的探究過程，你能說說利用解析法如何研究曲線的簡單幾何性質嗎？
師生活動：幫學生回顧剛才的探究過程，進一步得出以下結論：從曲線的方程入手研究曲線的性質時，變量的范圍等價于曲線的范圍；點的對稱性等價于曲線的對稱性；或時方程的解等價于曲線與對稱軸的交點（頂點）。
【設計意圖】對由方程研究曲線的幾何性質的方法進行總結提升，便于日后使用。
重點關注的問題：如何將代數與幾何建立聯系。
教學活動7.（進行課堂小結）本節課我們研究了曲線的哪些性質 這些性質通過怎樣的方法得到？通過方程研究曲線的性質有怎樣的特點？
師生活動：在學生獨立回顧、思考的基礎上進行班級交流，然后教師點評、總結。
【設計意圖】通過課堂小結，使學生明確學習的重點，并對所學知識進行提煉和提升。
重點關注的問題：學生對重點知識的理解和掌握，從所學知識中提煉數學思想和方法。
（五）課時評價檢測題：
（1）（檢測目標4）求下列橢圓的范圍、長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標.
①；②.
（2）（檢測目標4）比較下列每組中橢圓的形狀，哪一個更圓，哪一個更扁？為什么？
①與；②與
（3）（檢測目標4）求適合下列條件的橢圓的標準方程：
①焦點在軸上，；
②焦點在軸上，；
③經過點；
④長軸長等于20，離心率等于；
⑤長軸長是短軸長的3倍，且經過點；
⑥焦距是8，離心率等于0.8
（4）（檢測目標4）過橢圓的中心O的直線l與橢圓相交于A，B兩點，F1，F2是橢圓的焦點.
(1)求證：四邊形AF1BF2是平行四邊形；
(2)平行四邊形AF1BF2的面積是否可能等于ab？并說明理由.
(3)點P是橢圓上任意一點，是否是定值？
（六）學后反思
本節課主要學習了用橢圓的標準方程研究其簡單的幾何性質，難點是從方程入手，利用函數的觀點研究幾何問題，在教學過程中，要慢慢滲透，可以分解動作來完成，每完成一個就進行一下總結，這樣就可以形成規律性的東西便于學生掌握。
第4課時 橢圓的簡單幾何性質(二)
（一）課時教學內容：橢圓的標準方程及其簡單幾何性質運用
（二）課時教學目標：
1.經歷解決實際例題的過程，會將實際問題轉化為代數問題，體會數形結合思想、化歸與轉化的思想，提升數學建模素養。
2.通過求曲線方程的過程，體會橢圓的另一種定義方式，體會坐標法的應用，發展幾何直觀和數學運算素養。
3.通過具體的例子學會研究直線與橢圓的位置關系的方法，形成由代數方法研究幾何問題的一般思路，體會數形結合、化歸與轉化思想，提升直觀想象和數學運算素養。
（三）教學重點與難點：
1.重點：用代數的方法研究幾何問題。
2.難點：將幾何問題轉化為代數問題、研究直線與橢圓的位置關系。
（四）教學過程設計：
1.復習舊知、引入新課： 教學活動1.（復習所學知識）請大家根據所學的知識，完成下面的表格：
方程
圖形
焦點坐標
范圍
對稱性
頂點坐標、長軸長，短軸長
離心率
師生活動：在教師展示出表格后，學生自主完成。
【設計意圖】將所學知識進行回顧歸納、即便于記憶又為本節課打好知識基礎。
重點關注的問題：學生對知識的理解記憶。
2.運用知識、鞏固提高
教學活動2（橢圓的實際應用）例5.如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面）的一部分，過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點F1上，卡片位于另一個焦點F2上。由橢圓一個焦點F1發出的光線，經過旋轉橢圓面反射后集中到另一個焦點F2。已知BC⊥F1F2，|F1B|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm.試建立適當的坐標系，求截口BAC所在橢圓的方程（精確到0.1cm）。
師生活動：由于本題是實際問題，所以教師要先引導學生根據題目給出的信息建立直角坐標系，再利用橢圓的性質分別求出進而求出方程。學生們則要仔細讀題，獨立思考。 如果學生提出通過把點B的坐標代人方程求解，應在肯定其思維合理性的基礎上，提醒學生思考有沒有更簡便的方法。應注意培養學生認真閱讀題目的習慣和嚴謹、認真、不怕運算的習慣。
【設計意圖】橢圓的實際應用，讓學生體會到所學的知識的應用價值，體會橢圓在生產生活中的應用，發展學生數學抽象、數學建模素養。
重點關注的問題：由題目中的信息建立直角坐標系。
教學活動3.（橢圓的另一種定義方式）例6.點M(x,y)與定點F(4,0)的距離和它到直線l：的距離的比是常數，求點M的軌跡.
師生活動：先引導學生回顧求曲線方程的一般步驟，再讓學生自己動手完成，當學生完成后教師要提問學生最后的結果，對于有的學生給出的是方程形式，要給予糾正。之后帶領學生觀察求出的方程，分別寫出，那么這里的定點實際上就是一個焦點，常數就是離心率，的方程實際就是，同時強調，通過“到定點的距離與定直線的距離的比為常數”這樣一種方式我們也可以得到橢圓，這其實也是橢圓的一種定義方式，但不提出橢圓的“第二定義”的概念。
【設計意圖】通過一個具體的例子使學生感受橢圓的另一種定義方式，感受橢圓蘊含著豐富的、奇妙的性質。
重點關注的問題：到定點的距離與定直線的距離的比為常數（這里定點指焦點，定直線指，常數為離心率）的軌跡也是橢圓。
教學活動4.（探究直線與橢圓的位置關系）例7.已知直線：和橢圓（如圖所示）問當m為何值時，直線l和橢圓C:（1）有兩個公共點；（2）有且只有一個公共點；（3）沒有公共點.
師生活動：類比直線與圓的位置關系，理解直線與橢圓的三種位置關系。先通過學生獨立思考、生生討論、師生交流，明確解題的思路與方法，然后師生一起解決問題，最后比較研究直線與橢圓的位置關系和研究直線與圓的位置關系方法的異同。
【設計意圖】使學生更好地掌握通過方程研究曲線問題的基本思路與方法。
重點關注的問題：將幾何問題轉化為代數問題，再用代數結果去解釋幾何問題。
教學活動5.（進行課堂小結）請梳理用坐標法研究與橢圓有關的問題的一般思路與方法。
師生活動：對本節課的研究路徑進行回顧，歸納整理。
【設計意圖】師生共同梳理用坐標法研究橢圓的一般思路與方法，包括橢圓方程的建立過程，橢圓簡單幾何性質的研究過程，用橢圓及其幾何性質解決實際問題的過程，進一步感受坐標法這一解析幾何的基本思想和方法。
重點關注的問題：學生對重點知識的理解和掌握，從所學知識中提煉數學思想和方法。
（五）課時評價檢測題：
（1）（檢測目標4）彗星“紫金山一號”是南京紫金山天文臺發現的，它的運行軌道是以太陽為一個焦點的橢圓。測得軌道的近日點（距離太陽最近的點）距太陽中心1.486天文單位，遠日點（距離太陽最遠的點）距太陽中心5.563天文單位（1天文單位是太陽到地球的平均距離，約1.5×108km），且近日點、遠日點及太陽中心在同一條直線上，求軌道的方程。
（2）（檢測目標4）已知地球運行的軌道是長半軸長km，離心率e=0.0192的橢圓，且太陽在這個橢圓的一個焦點上，求地球到太陽的最大和最小距離。
（3）（檢測目標4）點與定點的距離和它到定直線的距離的比是1:2，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形。
（4）（檢測目標4）求下列直線和橢圓的交點坐標：
①；②.
（5）（檢測目標4）經過橢圓的左焦點作傾斜角為60°的直線，直線與橢圓相交于兩點，求的長。
（6）（檢測目標4）已知橢圓和直線l:y=kx+3.k取何值時，這個橢圓和這條直線：（1）有兩個公共點？（2）有且只有一個公共點？（3）沒有公共點？
（7）（檢測目標4）橢圓的焦點分別為，P為這個橢圓上的動點，當∠為鈍角角時，求點P橫坐標的取值范圍。
（六）學后反思
本節課主要學習了應用橢圓的有關知識解決簡單問題，難點是如何將要研究的幾何問題轉化為代數問題，利用程序化的運算解決之后再用代數結果去解釋幾何問題。在教學過程中要先直觀分析建立聯系然后再轉化為代數問題進行求解，在這一過程中體會化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想，提高分析問題、解決問題的能力，發展提升直觀想象、運算求解素養。
第5課時 雙曲線及其標準方程
（一）課時教學內容：雙曲線的定義及其標準方程
（二）課時教學目標：
1.借助信息技術工具的演示，類比橢圓的定義能給出雙曲線的定義（自然、符號、圖形語言），體會數形結合、類比思想，提升數學抽象和數學運算素養；
2.類比求橢圓的標準方程的方法，能選擇恰當的直角坐標系推導出雙曲線的標準方程，體會類比的思想，提升數學運算素養；
3.類比焦點在軸上的雙曲線的標準方程得出焦點在軸上的雙曲線的標準方程，體會類比、分類思想；
4.能夠利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的數學問題，發展邏輯推理和數學建模素養。
（三）教學重點與難點：
1.重點：雙曲線的定義。
2.難點：雙曲線標準方程推導過程中的化簡。
（四）教學過程設計：
1.創設情境、引入新課：我們已經知道，與兩個定點距離的和為非零常數（大于兩定點間的距離）的點的軌跡是橢圓。那么，與兩定點距離的差為非零常數的點的軌跡是什么？
師生活動：學生回憶橢圓的定義，教師板書其符號語言，學生回答橢圓的標準方程，教師板書，然后提出上述問題。
【設計意圖】提出問題，打破知識結構的平衡，引發學生的學習興趣。
重點關注的問題：對橢圓定義的描述是否準確。
2.師生合作、尋找規律
教學活動1.（抽象雙曲線的定義）如圖所示，在直線上取兩個定點A，B，P是直線l上的動點.在平面內，取定點F1,F2，以點F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓.
我們知道，當點P在線段AB上運動時，如果|F1F2|<|AB|，那么兩圓相交，其交點M的軌跡是橢圓；如果|F1F2|>|AB|，兩圓不相交不存在交點軌跡。
如圖所示，在|F1F2|>|AB|的條件下，讓點P在線段AB外運動，這時動點M滿足什么幾何條件？兩圓的交點M的軌跡是什么形狀？
我們發現，在|F1F2|>|AB|的條件下，點P在線段AB外運動時，當點M靠近定點F1時，|MF2|-|MF1|=|AB|；當點M靠近定點F2時，|MF1|-|MF2|=|AB|.
總之，點M與兩個定點F1,F2距離的差的絕對值|AB|是一個常數（|AB|<|F1F2|）.這時，點M的軌跡是不同于橢圓的曲線，它分左右兩支。
師生活動：教師借助信息技術工具進行演示，并引導學生觀察在演示的過程中點的軌跡的變化情況，通過學生的不斷討論、補充，最終得出雙曲線需要滿足的條件。
【設計意圖】明確雙曲線的定義需要滿足的條件，缺一不可。
重點關注的問題：常數必須小于兩定點之間的距離，曲線是一支還是兩支。
追問1.你能由剛才的分析概括出雙曲線的定義嗎？
師生活動：結合剛才的觀察、歸納，學生用準確、規范的數學語言進行概括，并板書定義和定義的數學表達式。
【設計意圖】抽象出雙曲線的定義，給出準確的描述。
重點關注的問題：定義描述的準確性。
思考：在雙曲線的定義中，要求到兩定點距離之差的絕對值小于兩定點之間的距離，如果沒有這一限制，會得到什么情形？
師生活動：教師引導學生自己動手驗證，學生們小組合作，動手試驗，得出結果后舉手回答問題，教師給與評價。
【設計意圖】明確雙曲線的條件。
重點關注的問題：到兩定點的距離之差的絕對值與兩定點間的距離的大小對圖形的影響。
教學活動2.（探究雙曲線的標準方程）我們是怎樣建立坐標系求橢圓的標準方程的？
師生活動：師生共同回顧圓、橢圓的建系過程。
【設計意圖】回憶建系的過程為雙曲線的建系奠定基礎。
重點關注的問題：如何選擇合適的坐標系。
追問2. 類比橢圓標準方程的建立過程，你能說說應怎樣選擇坐標系，建立雙曲線的標準方程嗎？
師生活動：學生口答出建系的過程，并在圖中標出，然后自己動手寫出雙曲線上的點所滿足的幾何條件即剛才板書的符號語言再代入坐標即可。教師要適時地給與引導和點評。
【設計意圖】建立合適的坐標系，能夠根據圖形寫出雙曲線上的點所滿足的幾何條件。
重點關注的問題：如何建系之后寫出代數表達式。
追問3.如何化簡你剛才寫出的表達式？
師生互動：學生板演化簡過程，教師巡視，學生有橢圓的標準方程的化簡經驗，在雙曲線的標準方程的化簡過程中基本不會有問題，教師僅需對學有困難的學生給予指點，化簡完之后小組互相檢查，看能否得到正確結果，并交流化簡過程中遇到的問題。等學生交流的差不多時評價板演的情況，并對大家剛才討論的問題給予回答。最后板書出雙曲線的標準方程.
【設計意圖】類比橢圓化簡過程中的處理方式來簡化雙曲線方程。
重點關注的問題：類比橢圓對含有兩個根式的等式化簡。
追問4.你能在軸上找一點，使得嗎？
師生活動：學生觀察圖形，先找到，又有，點在軸上，故而可以聯想勾股定理，進而找到所求的點。
【設計意圖】類比橢圓中對的幾何意義的認識，在雙曲線中認識的幾何意義。
追問5.橢圓有兩個標準方程，雙曲線是否也有兩個標準方程？另一個的方程是怎樣的？
師生活動：類比焦點在軸上的橢圓的標準方程的推導過程，得出焦點在軸上的雙曲線的標準方程，并板書。
【設計意圖】反復類比橢圓學習雙曲線。
重點關注的問題：方程的形式。
3.運用知識、鞏固提高
教學活動3.（雙曲線的定義和標準方程的應用）例1.已知雙曲線兩個焦點分別為，,雙曲線線上一點到距離之差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程.
師生活動：找幾位學生板演解題過程，其他同學獨立完成后互相交流，之后教師對板演的過程進行點評，規范解題的步驟。
【設計意圖】明確雙曲線的定義和標準方程。
重點關注的問題：對定義的理解。
教學活動4.（雙曲線的定義和標準方程的實際應用）例2.已知兩地相距800，在地聽到炮彈爆炸聲比在地晚2，且聲速為340,求炮彈爆炸點的軌跡方程.
師生活動：先分析題意，判斷出軌跡的形狀，然后再將問題轉化為求雙曲線的方程問題，當學生求出雙曲線的方程后，教師要提醒學生是雙曲線的兩支還是其中一支？即要考慮實際情形，最后還可以設問：如果A,B兩地同時聽到爆炸聲，那么爆炸點在什么曲線上？為什么？
【設計意圖】用所學的知識解決實際問題，體會如何將實際問題通過建立數學模型轉化為代數問題進行求解，體現了知識的有用性。
重點關注的問題：對曲線形狀的判斷和實際問題要注意范圍.
教學活動5.（雙曲線的生成過程）探究：如圖所示，設點的坐標分別為。直線相交于點，且它們的斜率之積是，試求點的軌跡方程，并由點的軌跡方程判斷軌跡的形狀，與3.1例3比較，你有什么發現？
師生活動：學生利用求曲線方程的一般步驟求出曲線的方程，這一過程可以找學生板演，然后對學生的解答進行點評，特別要強調去掉不滿足條件的點。教師在講解完本題之后可以用幾何畫板演示這一過程，加深印象。這個“探究”與3.1例3相呼應，那時斜率之積是一個負的常數，此時斜率之積是正的常數。
【設計意圖】給出生成雙曲線的另一種方法并與之前所學作比較。
重點關注的問題：求出曲線的方程之后去掉不滿足條件的點，雙曲線和橢圓的另一種生成方式。
教學活動6.（進行課堂小結）本節課所學的重點知識是什么？其中蘊含的數學思想方法有哪些？
師生活動：學生自己歸納總結，教師在學生發言的基礎上給予補充和完善。
【設計意圖】通過課堂小結，使學生明確學習的重點，并對所學知識進行提煉和提升。
重點關注的問題：學生對重點知識的理解和掌握，從所學知識中提煉數學思想和方法。
（五）課時評價檢測題：
（1）（檢測目標5）雙曲線上一點到它的一個焦點的距離等于1，那么點到它的另一個焦點的距離等于_________
（2）（檢測目標5）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
①焦點在軸上，；
②焦點在軸上，經過點
③焦點為，且經過點；
④焦點在軸上，，經過點；
⑤經過兩點。
（3）（檢測目標5）求證：雙曲線與橢圓的焦點相同。
（4）（檢測目標5）已知方程表示雙曲線，求的取值范圍。
（5）（檢測目標5）雙曲線的一個焦點坐標是(-2，0)，則m=_____;
若已知該雙曲線的焦距為4，則m=________.
（6）（檢測目標5）如圖，圓的半徑為定長，是圓外一個定點，是圓上任意一點。線段的垂直平分線和直線相交于點，當點在圓上運動時，點的軌跡是什么？為什么？
（六）學后反思
本節課主要學習了雙曲線的定義及其標準方程，其難點是雙曲線標準方程推導過程中的化簡，在教學過程中可以類比推導橢圓的標準方程時的化簡，先移項再平方，然后再移項平方，同時依照那時的經驗需要令使化簡結果形式更簡單。這一過程要反復強調類比橢圓會使難度降低很多。在這一過程中要讓學生體會類比的思想、數形結合思想、化歸與轉化思想，發展和提升數學運算素養。
第6課時 雙曲線的簡單幾何性質(一)
（一）課時教學內容：雙曲線的簡單幾何性質
（二）課時教學目標：
1.通過類比橢圓的簡單幾何性質的研究方法來研究雙曲線的范圍、對稱性和頂點，體會類比的思想，發展邏輯推理素養；
2.借助信息技術工具的演示感知漸近線，理解漸近線的含義，給定雙曲線的方程會求其漸近線方程，體會數形結合思想，發展直觀想象素養；
3.類比橢圓的離心率研究雙曲線的離心率，會根據雙曲線方程或有關條件求離心率，探究離心率與曲線形狀的關系，體會類比的思想、數形結合思想；
4.利用雙曲線的標準方程研究其簡單幾何性質，明確數學對象的研究內容，體會類比和數形結合思想，發展邏輯推理、幾何直觀素養；
（三）教學重點與難點：
1.重點：類比橢圓的簡單幾何性質的研究方法研究雙曲線的簡單幾何性質
2.難點：漸進線的理解。
（四）教學過程設計：
1.創設情境、引入新課：還記得橢圓的簡單幾何性質所包含的內容和研究方法嗎？你能類比橢圓的方法來研究雙曲線的簡單幾何性質嗎？
師生活動:師生共同回顧橢圓簡單幾何性質所包含的內容及研究方法：從曲線的方程入手研究曲線的性質時，變量的范圍等價于曲線的范圍；點的對稱性等價于曲線的對稱性；或時方程的解等價于曲線與對稱軸的交點（頂點），然后簡單板書，便于后續使用。
【設計意圖】引入本節課所要用到的研究方法及研究的內容，起一個提綱挈領的作用。
重點關注的問題：橢圓的簡單幾何性質所研究的問題及方法。
2.師生合作、尋找規律
教學活動1（探究雙曲線的范圍）你能類比橢圓范圍的研究方法來研究雙曲線的范圍嗎？
師生活動：觀察圖形，結合橢圓當時的研究路徑，學生可以自己動手完成，個別需要給予提示，等學生完成之后將結果板書。
【設計意圖】還是先“形”后“數”，先直觀感知再從方程本身入手進行探究，類比了橢圓的研究方式，再一次強調了由方程研究幾何性質時用的方法。
重點關注的問題：方程本身變形之后用到的代數性質。
教學活動2.（探究雙曲線的對稱性）還記得橢圓的對稱性嗎？你能判斷出雙曲線的對稱性嗎？
師生活動：學生回答橢圓的對稱性及其判斷方法，然后自己進行判斷，最后回答結果，并將其結論板書。
【設計意圖】類比橢圓的對稱性研究雙曲線的對稱性。
重點關注的問題：對稱性的判斷。
教學活動3.（探究雙曲線的頂點、實軸和虛軸）橢圓有幾個頂點？它們的坐標如何求？你能由此得出雙曲線的頂點坐標嗎？
師生活動：教師先找學生回答橢圓的頂點個數及坐標，回憶如何由方程入手求頂點坐標，然后讓學生動手求雙曲線的頂點坐標，當令時發現此時方程無解，所以與軸無公共點，這時雙曲線就只有兩個頂點，說明它不是封閉的曲線。但要強調：我們一般也把畫在軸上。之后引入實軸和虛軸的概念。
【設計意圖】類比橢圓求出雙曲線的頂點坐標，再次體會由方程研究曲線性質的方法。
重點關注的問題：對虛軸的理解。
教學活動4.（感知、探究雙曲線的漸近線）認真觀察演示，你有什么發現？
師生活動：教師用信息技術工具畫雙曲線和兩條直線，在位于第一象限的曲線上畫一點，測量點的橫坐標以及它到直線的距離為。沿雙曲線向右上方拖動點，讓學生觀察與的大小關系，發現：點的橫坐標越來越大時，它到直線的距離為越來越小，但永遠不等于0。當學生發現規律之后，還可以提問：初中見過這樣的情況嗎？再次借助信息技術工具繼續演示，直觀感知漸近線，從而引入漸近線的描述性概念。
【設計意圖】直觀形象的引入漸近線的描述性定義。
重點關注的問題：無限接近但不相交。
追問1：雙曲線的漸近線方程如何求？
師生活動：教師引導學生觀察剛才演示中直線的方程與雙曲線方程的系數關系先進行猜測，然后利用信息技術工具進行如下演示：經過作軸的平行線，經過作軸的平行線，四條直線圍成一個矩形，如圖所示。請學生寫出對角線所在的直線方程為，繼續演示上述拖動點的過程，進而發現規律——對角線就是漸近線，于是漸近線的方程就是，板書至黑板。
【設計意圖】直觀感知漸近線，并知道漸近線方程的求法。
重點關注的問題：對角線就是漸近線。
教學活動5.（介紹等軸雙曲線）當時實軸長和虛軸長相等，此時得到的雙曲線就是等軸雙曲線，它的漸近線方程是如何呢？
師生活動：介紹等軸雙曲線的概念，根據剛才得到的漸近線方程的求法得出等軸雙曲線的漸近線方程，并板書。
【設計意圖】掌握漸近線方程的求法，特別是對于任意的等軸雙曲線其漸近線方程都是一樣的。
重點關注的問題：任意的等軸雙曲線其漸近線方程都是一樣的。
教學活動6.（探究雙曲線的離心率）橢圓的離心率是怎樣求的？你能類比它求雙曲線的離心率嗎？
師生活動：先回憶橢圓離心率的公式，然后回答雙曲線的離心率。
【設計意圖】類比橢圓的離心率定義雙曲線的離心率，會求離心率。
重點關注的問題：類比橢圓的離心率來定義雙曲線的離心率。
追問2.你能說出雙曲線的離心率的取值范圍嗎？
師生活動：回憶雙曲線的方程中的關系，進而得出，并板書。
【設計意圖】明確雙曲線離心率的取值范圍。
重點關注的問題：由的關系求離心率的范圍。
追問3.橢圓離心率可以刻畫橢圓的扁平程度，那么雙曲線的離心率刻畫雙曲線的什么幾何特征呢？
師生活動：學生進行猜測，然后用信息技術工具進行演示，隨著離心率的變化，雙曲線會有怎樣的變化？雙曲線的“張口”會發生改變，即離心率越大，雙曲線的“張口”就越大。然后將這一發現歸納整理板書。
【設計意圖】借助信息技術工具演示增強學生對“雙曲線的離心率是如何影響雙曲線‘張口’大小的”認識。
重點關注的問題：離心率與“張口”大小的關系。
3.運用知識、鞏固提高
教學活動7.（雙曲線簡單幾何性質的應用）例3．求雙曲線9y2-16x2=144的半實軸長和半虛軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程。
師生活動：找三個學生板演，其余學生自主完成，在學生完成之后對學生的解答進行點評，規范解題，并回答學生遇到的問題。
【設計意圖】鞏固雙曲線的幾何性質。
重點關注的問題：幾何性質的掌握。
教學活動8.（進行課堂小結）本節課所學的重點知識是什么？其中蘊含的數學思想方法有哪些？
師生活動：讓學生自己歸納總結，教師在學生發言的基礎上給予補充和完善。
【設計意圖】通過課堂小結，使學生明確學習的重點，并對所學知識進行提煉和提升。
重點關注的問題：學生對重點知識的理解和掌握，從所學知識中提煉數學思想和方法。
（五）課時評價題：
（1）（檢測目標6）1求下列雙曲線的實軸和虛軸的長、頂點和焦點的坐標、離心率：
①； ②；
③； ④.
（2）（檢測目標6）已知下列雙曲線的方程，求它的焦點坐標、離心率和漸近線方程。
①；②.
（3）（檢測目標6）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
①頂點在x軸上，兩頂點間的距離是8，；
②焦點在y軸上，焦距是16，.
③以橢圓的焦點為頂點，以橢圓的頂點為焦點；
④焦點在軸上，實軸長是10，虛軸長是8；
⑤焦點在軸上，焦距是10，虛軸長是8；
⑥離心率，經過點
（4）（檢測目標6）對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線的一個焦點是F1(-6,0)，求它的標準方程和漸近線方程。
（5）（檢測目標6）求經過點，并且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線的方程。
（六）學后反思
本節課主要學習了雙曲線簡單幾何性質，難點是對漸進線的理解，在教學的過程中可以借助于幾何畫板演示直觀感知，加深理解，方便記憶。
第7課時 雙曲線的簡單幾何性質(二)
（一）課時教學內容：雙曲線簡單幾何性質的應用
（二）課時教學目標：
1.經歷解決具體的例子的過程，會將實際問題轉化為代數問題，體會數形結合思想、化歸與轉化的思想，提升數學建模、幾何直觀素養。
2.通過求曲線方程的過程，發現雙曲線的另一種定義方式，并與橢圓中例6進行對比，體會類比思想，對比雙曲線與橢圓的異同；
3.通過具體的例子學會研究直線與雙曲線的位置關系的方法，形成由代數方法研究幾何問題的一般思路，體會數形結合思想、化歸與轉化思想、方程思想，提升數學建模、數學運算素養。
（三）教學重點與難點：
1.重點：雙曲線幾何性質的應用
2.難點：用代數方法研究直線與圓錐曲線的位置關系。
（四）教學過程設計：
1.復習舊知、引入新課： （復習所學知識）前面課程的學習我們已經學習了雙曲線的標準方程及其簡單幾何性質，請大家根據所學的知識，完成下面的表格：
方程
圖形
焦點坐標
范圍
對稱性
頂點坐標、長軸長，短軸長
漸近線方程
離心率
師生活動：根據表格的提示，一一回顧所學的內容，為后續內容的開展做好鋪墊。
【設計意圖】將所學知識進行回顧歸納、即便于記憶又為本節課打好知識基礎。
重點關注的問題：學生對知識的記憶。
2.運用知識、鞏固提高
教學活動1.（雙曲線方程的實際應用）例4．雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m.試選擇適當的坐標系，求出此雙曲線的方程（精確到1m）.
師生活動：由于本題是實際問題，所以教師要引導學生根據題目給出的信息建立直角坐標系，然后學生獨立利用雙曲線的性質分別求出進而求出方程。
【設計意圖】雙曲線的實際應用，讓學生體會到所學的知識的應用價值。
重點關注的問題：如何將實際問題轉化為數學問題，如何由題目中的信息建立直角坐標系。
教學活動2.（雙曲線的另一種定義方式）例5．動點M(x，y)到定點F(4，0)的距離和它到定直線l:的距離的比是常數，求動點M的軌跡。
師生活動：先回顧求曲線方程的一般步驟，再自己動手完成，當學生完成后教師要提問學生最后的結果，對于有的學生給出的是方程形式，要給予糾正。之后教師帶領學生觀察求出的方程，分別寫出，那么這里的定點實際上就是一個焦點，常數就是離心率，的方程實際就是，同時強調，通過“到定點的距離與定直線的距離的比為常數”這樣一種方式我們也可以得到雙曲線，與橢圓當時的處理例6的處理方式一樣，不提出雙曲線的“第二定義”的概念。
【設計意圖】通過一個具體的例子使學生感受雙曲線的另一種定義方式，與橢圓那一節的例6進行對比，發現“到定點的距離與到定直線的距離之比為常數”的點的軌跡可以是橢圓，也可以是雙曲線，主要是取決于常數。
重點關注的問題：到定點的距離與定直線的距離的比為常數（這里定點指焦點，定直線指，常數為離心率）的軌跡是雙曲線。
教學活動3.（直線與雙曲線的位置關系）例6.過雙曲線的右焦點F2，傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點，求|AB|.
師生活動：學生在練習本上畫出草圖，發現只要求出A，B兩點的坐標就可以利用兩點間的距離公式求長度，這時教師要提問“如何求交點坐標？”等學生回答之后讓其獨立完成后續的工作。
【設計意圖】將幾何問題轉化為代數問題解決，讓學生體會聯立方程組求解問題是解決直線與圓錐曲線問題的普適方法，提升數學運算素養。
重點關注的問題：將幾何問題恰當的轉化為代數問題求解，運算能力的提升。
追問1：還可以采用怎樣的方法來求|AB|？
師生活動：學生剛開始沒有一點思路，此時教師可以提醒學生思考的方向——不求解方程組能不能求出|AB|？根與系數的關系是怎樣的？兩點間的距離公式是怎樣的？并將其都寫至黑板上，學生觀察黑板上寫出的式子的關系，同小組的同學一起交流合作，自然而然的想到可以用根與系數的關系求解，但總結歸納還有些欠缺，于是教師再將剛才的結論一般化，就可以推出弦長公式，并要求學生記憶。
【設計意圖】體現“設而不求，聯而不解”的方法，讓學生體會坐標法的應用，推導出弦長公式。
重點關注的問題：如何將根與系數的關系與兩點間距離公式聯系起來和弦長公式的推導。
追問2.你能求出的周長嗎？
師生活動:結合圖形學生自己運算后可以求出答案，然后小組核對，派代表發言，教師及時點評即可。
【設計意圖】熟練運算。
重點關注的問題：運算的準確性和快速性。
教學活動4.（進行課堂小結）本節課所學的重點知識是什么？其中蘊含的數學思想方法有哪些？
師生活動：學生自己歸納總結，教師在學生發言的基礎上給予補充和完善。
【設計意圖】通過課堂小結，使學生明確學習的重點，并對所學知識進行提煉和提升。
重點關注的問題：學生對重點知識的理解和掌握，從所學知識中提煉數學思想和方法。
（五）課時評價題：
（1）（檢測目標6）求下列直線和雙曲線的交點坐標：
①；②.
（2）（檢測目標6）求到定點和它到定直線距離之比是的點的軌跡方程。
（3）（檢測目標6）已知直線l1：5x+3y=0和l2：5x-3y=0：
①寫出兩個以直線l1和l2為漸近線的雙曲線的標準方程；
②如果以直線l1和l2為漸近線的雙曲線經過點M(1，3)，求此雙曲線的標準方程.
（4）（檢測目標6）已知雙曲線的兩個焦點為F1，F2，虛軸的一個端點為B，且∠F1BF2=，求此雙曲線的離心率。
（六）學后反思
本節課主要學習了雙曲線簡單幾何性質的應用，難點是直線與圓錐曲線的位置關系，在教學時要注意發現幾何特征并將其轉化為代數問題進行求解，另外這類問題普遍運算量較大，要耐心細致的完成計算過程，注意運算的速度和準確度，提升邏輯推理、幾何直觀和數學運算素養。
第8課時 拋物線及其標準方程
（一）課時教學內容：拋物線的定義及其標準方程
（二）課時教學目標：
1.借助信息技術工具的演示，直觀感知拋物線的生成過程，認識拋物線的幾何特征，并由此歸納出拋物線的定義（自然、符號、圖形語言），體會數形結合、轉化思想，提升直觀想象和數學抽象素養；
2.能類比橢圓、雙曲線的標準方程的建立過程，建立恰當的坐標系，運用坐標法推導出拋物線的標準方程，明確標準方程中的幾何意義，從中體會數形結合、類比思想，發展數學運算和直觀想象素養；
3.能根據拋物線在坐標系內的不同位置求出它的其他形式的標準方程，體會類比、分類思想，發展直觀想象和邏輯推理素養；
4.能利用拋物線的定義和標準方程解決簡單的問題，發展邏輯推理、直觀想象和數學運算素養。
（三）教學重點與難點：
1.重點：拋物線的定義和標準方程。
2.難點：選擇恰當的坐標系建立拋物線的標準方程
（四）教學過程設計：
1.創設情境、引入新課：通過前面的學習可以發現，如果動點M到定點F的距離與動點M到定直線l（不過點F）的距離之比為k，當01時，點M的軌跡為雙曲線，一個自然的問題是：當k=1時，點M的軌跡是什么形狀？
師生活動：一起回顧之前所學，提出問題。
【設計意圖】引發學生的好奇心，激發學習的興趣。
重點關注的問題：激發學生學習的積極性。
2.師生合作、尋找規律
教學活動1.（探究拋物線的定義）問題1.利用信息技術作圖，如圖所示，F是定點，l是不經過點F的定直線。H是直線l上任意一點，過點H作MH⊥l，線段FH的垂直平分線m交MH于點M.拖動點H，觀察點M的軌跡，在你熟悉的圖形中有與此類似的嗎？你能發現點M滿足的幾何條件嗎？
師生活動：教師展示問題，引導學生分析問題中的幾何元素及其相互關系，并利用信息技術工具進行操作，拖動點H ，觀察點M的軌跡及相關數據的變化規律。
追問：（1）動點M是如何獲得的？
（2）線段FM和線段MH的幾何意義分別是什么？
（3）變化的量有哪些？變化順序如何？變化中是否存在不變的關系？
（4）當直線l經過點F時，線段FH的垂直平分線m與過點H的定直線l的垂線是什么位置關系？
師生活動：四個追問是讓學生在利用信息技術工具操作的過程中從思維層面對問題1進行分析。對于追問（1），學生分析與點M相關的點與直線，發現點M是定直線l的垂線MH與線段FH的垂直平分線m的交點，其中點H在直線l上運動，隨之產生了動點M.對于追問（2），學生分析出線段FM是點M與定點F間的距離，線段MH是點M到定直線l的距離。教室一定要讓學生說出定點F和定直線l，而不僅僅是點F和直線l，只有這樣，學生的思維活動才能聚焦到確定拋物線的幾何特征上來。對于追問（3），學生應在分析前兩個追問的基礎上梳理變化的量及其變化順序，可以發現FM和MH的大小隨點M的變化而變化，但是始終有|FM|=|MH|。對于追問（4），學生發現線段FH的垂直平分線m與過點H的定直線l的垂線平行，即不能獲得點M，也就明白了為什么要求定直線l不經過定點F。在上述基礎上，給出拋物線的概念。
【設計意圖】通過對問題1的探究及其四個追問，引導學生發現確定拋物線的幾何要素，認識拋物線的幾何特征，抽象得出拋物線的概念，發展學生的數學抽象素養。
重點關注的問題：拋物線上的點所滿足的條件。
教學活動2.（探究拋物線的標準方程）問題2.觀察問題1圖中的拋物線，如何選擇坐標系可能使所求拋物線的方程形式簡單？
師生活動：學生觀察拋物線形狀，教師引導學生直觀發現拋物線的對稱性，建立平面直角坐標系，自主推導拋物線的方程。一般來說，會有以下三種情況：
展示學生所求的三種不同形式的拋物線方程。
追問：（1）類比橢圓、雙曲線標準方程的建立過程，每個方程的推導過程是否滿足拋物線上點的坐標與方程的解之間的一一對應關系？
（2）三種不同形式的拋物線方程哪個更簡單？為什么？
（3）三種不同形式的拋物線方程是否有聯系？
師生活動：當學生思考問題2時，一般會出現將坐標系的原點選在定點F、線段FK的中點、定直線l上三種情況。無論是哪一種情況，追問（1）是必不可少的步驟，也容易被學生忽略。當學生分別得到自己推出的方程后，教師提出追問（2），要求學生對它們進行比較，以確定哪個方程更適合作為拋物線的標準方程。之后，教師再提出追問（3），從聯系的角度讓學生思考三種不同形式的拋物線方程怎樣互相轉換（平移變換）。在學生充分思考與推導的基礎上，對比分析三種不同形式的拋物線方程及其聯系，由學生確定將作為拋物線的標準方程，同時寫出其焦點坐標和準線方程。
【設計意圖】通過問題2及其三個追問，注重學生思維的發生點，讓學生類比橢圓與雙曲線標準方程的推導方法，自主推導拋物線的標準方程，體驗類比方法，提升數學運算素養。
重點關注的問題：坐標系的選擇方式。
問題3.在建立橢圓、雙曲線的標準方程時，選擇不同的坐標系我們得到了不同形式的標準方程。那么，拋物線的標準方程有哪些不同的形式？請探究之后填寫下表：
圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程
師生活動：在已獲得拋物線的方程的基礎上，讓學生類比橢圓、雙曲線方程的不同形式，再分別獲得開口向左、上、下的拋物線的標準方程，確定相應的焦點坐標和準線方程，并將結果填入表格。
追問：（1）只研究表中四種形式的拋物線標準方程基于怎樣的思考？
（2）你能說明二次函數的圖象為什么是拋物線嗎？指出它的焦點坐標、準線方程。
師生活動：對于追問（1），學生類比橢圓、雙曲線的標準方程，并根據拋物線只有一個焦點，按焦點所在坐標軸的位置能判斷出表中其他三種情況；對于追問（2），教師引導學生從拋物線的標準方程分析，選擇將變形為求焦點坐標、準線方程。
【設計意圖】通過問題3及其兩個追問，類比橢圓與雙曲線不同形式的標準方程，利用表格的形式呈現拋物線不同形式（焦點位置的不同）的標準方程。
重點關注的問題：要用我們的一些結論就先要有標準方程，因此先要判斷給出的方程是否為標準方程。
3.運用知識、鞏固提高
教學活動3.（拋物線方程的應用）例1.（1）已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程；（2）已知拋物線的焦點是F(0,-2)，求它的標準方程.
師生活動：教師展示題目，找幾個學生上黑板板演，其余學生根據拋物線的標準方程求其焦點坐標和準線方程，根據拋物線焦點坐標求其標準方程，然后小組互查，教師巡視學生的作答情況，等同學們都答完后進行講評。
【設計意圖】無論是由拋物線的標準方程求其焦點坐標和準線方程，還是由拋物線的焦點坐標或準線方程求其標準方程，正確認識拋物線的標準方程以及方程中p的意義都非常關鍵，p是拋物線的唯一特征量，決定拋物線的焦點坐標和準線方程，通過例1強化學生對拋物線標準方程、p、焦點坐標以及準線方程的認識
重點關注的問題： p的值為多少。
教學活動4.（拋物線方程的實際應用）例2.一種衛星接收天線如圖3.3-3左圖所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線。在軸截面內的衛星波束呈近似平行狀態射入形為拋物線的接收天線，經反射聚焦到焦點處，如圖3.3-3（1）。已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為1m。試建立適當的坐標系，求拋物線的標準方程和焦點坐標。
師生活動：教師展示題目，引領學生讀懂題意，啟發學生從所給出的實物圖中抽象出數學圖形，根據題目所給的信息建立適當的坐標系，并在圖中標出，再將問題轉化為拋物線模型，運用待定系數法確定方程，然后求出焦點坐標。標出坐標系后得求解過程由學生獨立完成，教師巡視，最后講評。
【設計意圖】讓學生運用拋物線及其標準方程解決實際問題，經歷將實際問題轉化為數學問題，解決數學問題，進而解決實際問題的的過程，說明拋物線的應用價值，體現知識的有用性。
重點關注的問題：將實際問題轉化為數學問題。
教學活動5.（進行課堂小結）本節課所學的重點知識是什么？其中蘊含的數學思想方法有哪些？
師生活動：讓學生自己歸納總結，教師在學生發言的基礎上給予補充和完善。
【設計意圖】通過課堂小結，使學生明確學習的重點，并對所學知識進行提煉和提升。
重點關注的問題：學生對重點知識的理解和掌握，從所學知識中提煉數學思想和方法。
（五）課時評價題：
（1）（檢測目標7）根據下列條件寫出拋物線的標準方程：
①焦點是F(3，0)；
②準線方程是；
③焦點到準線的距離是2.
（2）（檢測目標7）求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：
①； ②； ③； ④.
（3）（檢測目標7）填空.
①準線方程為的拋物線的標準方程是_____________；
②拋物線上一點M到焦點距離是，則點M到準線的距離是_____，點M的橫坐標是_________；
③拋物線上與焦點的距離等于9的點的坐標是________.
（4）（檢測目標7）一個動點到點F(0,-4)的距離比到直線y-3=0的距離多1，求這個動點的軌跡方程.
（六）學后反思
本節課主要學習了拋物線的定義和標準方程，難點是選擇恰當的坐標系建立拋物線的方程，由于拋物線在坐標系內的位置不同，其標準方程的形式也不同，因此它會有四種形式的標準方程，在這一過程中，學生會有各種想法，可以讓其一試，從運算中體會哪一種建系方式是合適的。
第9課時 拋物線的簡單幾何性質(一)
（一）課時教學內容：拋物線的簡單幾何性質
（二）課時教學目標：
1.類比橢圓、雙曲線的幾何性質研究拋物線的簡單幾何性質，體會類比的思想，發展邏輯推理素養；
2.利用拋物線的標準方程研究其簡單幾何性質，明確研究幾何對象的一般套路，進一步體會用代數方法研究幾何問題的思想，體會坐標法的應用，提升直觀想象素養.
（三）教學重點與難點：
1.重點：拋物線的幾何性質
2.難點：拋物線的幾何性質
（四）教學過程設計：
1.創設情境、引入新課：類比橢圓、雙曲線的幾何性質，你認為可以討論拋物線的哪些幾何性質？
師生活動：教師拋出問題，找學生回答，并將學生的答案板書。
【設計意圖】引入本節課的主題及研究的主要方向。
重點關注的問題：對橢圓和雙曲線幾何性質的記憶情況。
2.師生合作、尋找規律
教學活動1.（探究拋物線的范圍）你能仿照研究橢圓和雙曲線范圍的方法研究形如的范圍嗎？
師生活動：給學生兩分鐘時間，讓其思考后會發現：恒成立，，所以，而可以取一切實數且隨著的增大，也增大。
【設計意圖】類比研究橢圓和雙曲線進行研究，再次體會解析法研究問題的思路。
重點關注的問題：隨的增大的變化情況。
教學活動2.（探究拋物線的對稱性）你能仿照研究橢圓和雙曲線對稱性的方法研究形如的對稱性嗎？
師生活動：學生自己動手用代，發現方程改變；用代，發現方程不變，所以得到拋物線關于軸對稱，無對稱中心的結論，教師板書至黑板。
【設計意圖】體會用坐標法研究曲線對稱性的思路。
重點關注的問題：用代，用代方程是否發生變化。
教學活動3.（探究拋物線的頂點）你能仿照研究橢圓和雙曲線頂點的方法研究形如的頂點嗎？
師生活動：給學生時間，讓其自己驗證，然后回答出答案，并提示此時的頂點為坐標原點。
【設計意圖】找出拋物線的頂點，體會用坐標法研究曲線幾何性質的方法。
重點關注的問題：頂點的求法。
教學活動4.（介紹拋物線的離心率）拋物線上的點到焦點的距離和它到準線的距離的比叫拋物線的離心率。那么，根據拋物線的定義可知，拋物線的離心率為1.
師生活動：直接給出拋物線的離心率的定義，隨后可以讓學生回答出：拋物線的離心率為1。
【設計意圖】研究拋物線的離心率，結合定義進行轉化。
重點關注的問題：由拋物線的定義得出離心率為1.
3.運用知識、鞏固提高
教學活動5.（拋物線幾何性質的簡單應用）例3.已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點M(2，-2)，求它的標準方程.
師生活動：找學生上黑板書寫解題過程，教師巡視其他同學的完成情況，在學生們完成之后進行點評。
【設計意圖】鞏固拋物線的簡單幾何性質。
重點關注的問題：確定拋物線的開口方向。
思考：頂點在原點，對稱軸是坐標軸，并且經過點M(2，-2)的拋物線有幾條？求出這些拋物線的標準方程。
師生活動：對比剛才的例題，發現不同之處，繪制出圖形，結合拋物線的標準方程求解。
【設計意圖】拋物線的標準方程的靈活應用。
重點關注的問題：結合圖形求標準方程。
教學活動6.（進行課堂小結）本節課所學的重點知識是什么？其中蘊含的數學思想方法有哪些？
師生活動：學生自己歸納總結，教師在學生發言的基礎上給予補充和完善。
【設計意圖】通過課堂小結，使學生明確學習的重點，并對所學知識進行提煉和提升。
重點關注的問題：學生對重點知識的理解和掌握，從所學知識中提煉數學思想和方法。
（五）課時評價題：
（1）（檢測目標8）求適合下列條件的拋物線的標準方程：
①頂點在原點，關于x軸對稱，并且經過點M(5,-4)；
②頂點在原點，焦點是F(0,5)；
③頂點在原點，準線是x=4；
④焦點是F(0,-8)，準線是y=8;
⑤頂點在原點，對稱軸是軸，并且頂點與焦點的距離等于6；
⑥頂點在原點，對稱軸是軸，并且經過點
（2）（檢測目標8）在同一坐標系中畫出下列拋物線，觀察它們開口的大小，并說明拋物線開口大小與方程中x的系數有怎樣的關系：
①； ②； ③； ④.
（3）（檢測目標7）已知拋物線，P是拋物線上一點.
①設F為焦點，一個定點為A(6，3)，求|PA|+|PF|的最小值，并指出此時點P的坐標；
②設點M的坐標為（m，0），mR，求|PM|的最小值（用m表示），并指出此時點P的坐標。
（六）學后反思
本節課主要學習了拋物線的簡單幾何性質，其難點是用坐標法根據方程研究圖形的幾何性質，在教學中可以類比橢圓和雙曲線的研究方法突破這一難點。
第10課時 拋物線的簡單幾何性質(二)
（一）課時教學內容：拋物線的簡單幾何性質應用
（二）課時教學目標：
1.通過具體的例子，借助拋物線的定義，表示出焦點弦的長度，并總結歸納出焦點弦長公式，體會數形結合思想、化歸與轉化思想，提升幾何直觀、數學抽象素養；
2．借助信息技術工具，直觀感知拋物線焦點弦的性質，能用坐標法給出證明，體會數形結合思想、化歸與轉化思想、分類討論思想，發展幾何直觀、邏輯推理素養；
3.通過對方程組解的討論，會用判別式法、分類討論法研究直線與拋物線公共點的問題，體會數形結合思想、分類討論思想，化歸與轉化思想，提升幾何直觀和數學運算素養。
（三）教學重點與難點：
1.重點：利用坐標法解決直線和拋物線的位置關系
2.難點：將幾何問題轉化為代數問題并選擇合適的運算方法。
（四）教學過程設計：
1.復習舊知、引入新課：之前我們學習了拋物線的有關知識，拋物線是如何定義的？
師生活動：找學生回答，將定義的符號語言板書出來。
【設計意圖】復習基礎知識，為后面做題做鋪墊。
重點關注的問題：拋物線的定義。
追問：之前我們是通過什么方法研究直線和圓錐曲線的位置關系的？
師生活動：引導學生回憶坐標法坐標法研究直線和橢圓、雙曲線的位置關系的一般思路。
【設計意圖】回憶坐標法研究直線和橢圓、雙曲線的位置關系的一般思路，為后續解題作準備。
重點關注的問題：坐標法研究直線和圓錐曲線的位置關系的一般思路。
2.運用知識、鞏固提高
教學活動1.（拋物線的焦點弦長）例4.斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長.
師生活動：教師引導學生分析題目，有很多同學會想到之前用到的求弦長的方法：將直線方程與拋物線方程聯立，求出A，B兩點的坐標，再利用兩點間距離公式求解，這時要對學生的解答思路進行點評：這種思路雖然簡單，但是需要復雜的代數運算。此時可以引導學生利用拋物線的定義，把求斜線段的長轉化為求與坐標軸平行的線段的長。
【設計意圖】焦點弦的計算過程體現了用坐標法研究直線與圓錐曲線位置關系的特點，進一步鞏固用聯立方程，根與系數的關系解決弦長問題，這一方法突出了拋物線的定義。
重點關注的問題：問題的分析。
教學活動2.（拋物線焦點弦的性質）例5.過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.
師生活動：教師先利用題目中所給出的信息借助于信息技術工具做出圖形，然后提問學生：如何說明“直線DB平行于拋物線的對稱軸”，當學生回答出“只需證明D,B的縱坐標相等即可”后要提問“如何求D,B的縱坐標？”學生回答出“聯立方程組求解后”要問學生直線的方程如何求？使其明確對直線斜率存在和不存在時的討論，然后師生一起完成本題的書寫。
【設計意圖】此問題的一個目的就是坐標法的運用。之前已經初步了解直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法，這個問題是對該方法的進一步的應用。
重點關注的問題：坐標法研究直線與圓錐曲線位置關系的特點。
教學活動3.（探究直線與圓錐曲線的位置關系）例6.如圖3.3-6，已知定點B(a,-h),BC⊥x軸于點C，M是線段OB上任意一點，MD⊥x軸于點D，ME⊥BC于點E，OE與MD相交于點P，求點P的軌跡方程。
師生活動：觀察圖形，發現P與M兩點的橫坐標相同，然后在這兩點各自滿足的方程之間實施轉換與聯立，獲得問題的解決。
【設計意圖】關注拋物線的具體應用。
重點關注的問題：通過圖形發現幾何特征。
教學活動4.（進行課堂小結）本節課所學的重點知識是什么？其中蘊含的數學思想方法有哪些？
師生活動：讓學生自己歸納總結，教師在學生發言的基礎上給予補充和完善。
【設計意圖】通過課堂小結，使學生明確學習的重點，并對所學知識進行提煉和提升。
重點關注的問題：學生對重點知識的理解和掌握，從所學知識中提煉數學思想和方法。
（五）課時評價題：
（1）（檢測目標8）過點M(2,0)作斜率為1的直線l，交拋物線于A,B兩點，求|AB|.
（2）（檢測目標8）垂直于x軸的直線交拋物線于A,B兩點，且|AB|=4，求直線AB的方程.
（3（檢測目標8）如圖，是拋物線上一點，是拋物線的焦點，以為始邊，為終邊的角°，求。
（4）（檢測目標8）如圖，直線與拋物線相交于兩點，求證：.
（六）學后反思
本節課主要學習了拋物線的簡單幾何性質的應用，其難點是用坐標法根據直線與圓錐曲線的位置關系及其在這一過程中的運算問題，在教學過程中要師生共同討論、歸納，給時間讓學生思考、讓其動手運算，讓其體會其中蘊含的規律，不斷發展邏輯推理和數學運算的素養，體會化歸與轉化的思想。
第11課時小結——求曲線方程習題課
（一）課時教學內容：小結——求曲線方程的常見方法
（二）課時教學目標：
1.通過對本章知識的梳理，建立知識網絡，總結出研究圓錐曲線的一般路徑和研究方法，歸納出本章重點解決的兩類問題：求曲線方程和利用方程研究曲線的性質；
2.通過對具體例題的計算，能夠用定義法判斷出曲線類型，再用待定系數法求軌跡方程，并總結步驟，體會轉化思想，發展邏輯推理和數學運算素養；
3.通過對具體例題的計算，能夠用直接法求到兩定點的距離之比為常數時的點的軌跡方程，并總結結論，體會轉化思想，發展邏輯推理和數學運算素養；
4. 通過對具體例題的計算，總結出到兩定點的距離之和、之差、之比為常數時的點的軌跡，體會由特殊到一般、類比、分類討論、數形結合等數學思想方法，發展數學抽象、邏輯推理和數學運算素養。
（三）教學重點與難點：
1.重點：求軌跡方程的常用方法
2.難點：從具體到一般地探索、概括出到兩定點的距離之和、差、比為常數時的點的軌跡
（四）教學過程設計：
1.創設情境、引入新課：本章我們主要學習了圓錐曲線的有關知識，學習了研究圓錐曲線的一般路徑和研究方法，你能對本章進行一下總結歸納嗎？
師生活動：學生會說出所學的知識、用到的方法，但缺乏整體、邏輯性，沒有經過提升，教師可以在學生回答的基礎之上引導學生進行歸納、總結，找出共性，然后形成如圖所示的知識網絡結構，便于學生理解與掌握。
上面的框架具體化就是如下形式：
由上面的框架我們看到，解析幾何所要研究的問題之一就是根據條件求曲線的方程，求曲線方程的常用方法有哪些呢？
師生活動：回顧在本章學習中用到的求曲線方程的方法。
【設計意圖】說明本節課研究的主要問題。
2.運用知識、鞏固提高
教學活動1.（定義法求軌跡方程）例1.已知圓，定點，為圓上任意一點，線段的垂直平分線和直線相交于點，當點在圓上運動時，求點的軌跡方程。
師生活動：教師引導學生先根據題目信息在練習本上畫出草圖，然后觀察圖中的幾何特征，將其用代數形式表示，進而得出結論。找學生板書解題過程，之后進行點評，規范書寫。
【設計意圖】從幾何特征入手找到定義所滿足的條件，用定義求方程。
變式1.若將例1中圓的方程變為，其它條件不變，則點的軌跡方程為__

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