資源簡介

課題 4.5.3 函數模型的應用
課型 新授課√□ 章/單元復習課□ 專題復習課□ 習題/試卷講評課□ 學科實踐活動課□ 其他□
教學內容分析
函數模型是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具.本節課是在學生學習了函數的概念及性質和冪函數、指數函數、對數函數后的綜合應用，是在函數的應用（一）的基礎上進一步展開的.借助投資回報（例5）和選擇獎勵模型（例6）兩個問題的分析，通過比較指數函數、對數函數、線性函數等函數模型的增長速度的差異，使學生進一步理解直線上升、指數爆炸、對數增長的含義，并依此選擇合適的函數類型構建數學模型、刻畫現實問題的變化規律. 本節課的學習，既是前面學習過的函數有關知識的綜合應用，也可以讓學生體會建立數學模型解決實際問題的一般過程，從現實背景中體現出函數的應用價值.在此過程中，激發學生應用數學的意識，逐步形成分析問題、解決問題的能力認識數學的價值，提升數學抽象、數學建模等素養.
學習者分析
首先，學生在本節課之前已經結合實例學習了幾類函數的概念、圖象和性質，并應用它們可以解決學科內的一些問題和一些簡單的實際問題.但是面對較復雜的實際問題，如何將其轉化為數學問題，特別是如何選擇函數模型來刻畫實際問題，大多數學生既缺乏這方面的經驗，也缺乏數學抽象的能力，以及對不同函數模型增長差異的深刻認識. 其次，在利用函數模型解決問題的過程中，大多數學生還沒有養成利用信息技術根據函數模型進行運算求解的良好習慣.
學習目標確定
（1）能明確教科書例5中的數量關系，指岀每個方案所對應的函數模型，為將實際問題抽象為數學問題并化歸為函數模型作準備； （2）能從教科書中的例題條件出發，根據“對數增長” “直線上升” “指數爆炸”的含義，數形結合地辨別三種函數的增長差異，從而選擇不同的函數模型； （3）在選擇或建立函數模型解決實際問題的過程中，圍繞“是什么數學問題” “選什么函數模型” “為什么要選某個函數模型” “怎么解答實際問題”，提升數學抽象和數學建模素養.
學習重點難點
重點：選擇合適的函數類型構建數學模型，體會建立數學模型解決實際問題的一般過程. 難點：如何選擇合適的函數類型建立實際問題的數學模型.
學習條件支持
(1) 分成若干小組并將桌椅按照小組擺放; (2)三角板、多媒體等; (3)幾何畫板、GGB等作圖軟件; (4)PPT、EXCEL.
學習活動設計
過程學習內容與教師活動（引領性問題）學生任務或學習活動設計設計意圖或評價目標環節一活動1.引入新課 上一節課，在已知函數模型的情況下，我們借助待定系數法進行了求解并驗證，但在實際問題中，有的能應用已知的函數模型解決，有的需要根據問題的條件建立函數模型加以解決. 我們這節課主要是選擇適當的函數模型解決問題. 教師活動：開門見山的指明本節課要解決的問題. 回顧上節課的解決問題的方法，明確本節課要學習的內容。 既與上節內容建立了聯系，也明確了本節課的研究內容.環節二 活動2. 例題教學 例5 假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下： 方案一：每天回報40元； 方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元； 方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番. 請問，你會選擇哪種投資方案？ 問題1. 請初步選擇一種你認為合適的投資方案. 追問1(1)你能根據例題提供的三種投資方案的描述，分析出其中的常量、變量及其相互關系，并建立三種投資方案所對應的函數模型嗎？ (2)三個方案的本質是三個不同的函數模型，如何選擇一個標準來比較它們的差異，從而選擇合適的函數模型？ (3)根據例5中的表格提供的數據，你對三種投資方案分別表現岀的回報資金的增長差異有什么認識？ (4)你能借助信息技術作出函數圖象，并根據圖象描述一下這三種方案的特點嗎？ 教師活動：先展示例5和問題1，待學生有了初步判斷后展現追問1的（1），給學生時間讓其討論、思考，教師巡視并給出是適當的引導，當學生完成之后給出追問1的（2），讓學生進行選擇、判斷并說明理由，在完成以上工作之后，讓學生根據表格和圖象感受直線上升、對數增長和指數爆炸。最后運用信息技術驗證剛才的結論. 以四人為一組，分工合作計算每一種方案。組員先獨立分析其中的數量關系，嘗試寫出三種投資方案所對應的每天回報金額關于天數的函數解析式，再在組內互相交流，統一答案； 每組派一個代表展示，表格和圖象比較分析三種函數模型的增長情況，作出需要分投資天數進行選擇的初步判斷. 例題教學除了關注例題本身承載的教學目的外，還要注意不同層次的學生在學習上的差異，本例設問意在分層次、有針對性地給出不同的臺階，做到“總體引導，分層指導”，結合學生的實際情況，利用追問逐步深入：追問（1）意在指導學生將實際問題轉化為數學問題； 追問（2）意在引導學生根據不同函數的增長差異選擇合適的函數模型； 追問（3）意在引導學生利用數表對三種模型的增長情況進行分析，借助增加量初步發現當自變量變得很大時，指數函數比一次函數增長得快，一次函數比對數函數增長得快，尤其是引導學生通過觀察增加量體會指數函數y=0.42x-1，(xN*)的增長速度； 追問（4）意在借助計算結果與圖象直觀理解“對數增長"“直線上升"“指數爆炸"的實際含義，并通過描述三種方案的特點，為下一個問題埋下伏筆. 檢測目標（1）問題2. 僅分析每天的回報數就能準確作出選擇嗎？請結合教科書152頁邊空的問題進一步思考：關于三種投資方案的選擇，你應當如何判斷？ 追問2. 教科書第152頁邊空的問題中，是根據投資天數作出不同方案的選擇，劃分天數的標準是什么？這種劃分正確嗎？ 教師活動：給學生思考的時間，讓其小組討論、組織好語言后舉手回答，教師僅僅給與適當的補充.學生分組合作思考、討論并回答問題，能夠說明理由. 根據問題2的答案總結影響方案選擇的因素還有常用的數據統計手段，通過比較大小作出正確的判斷. 分析影響方案選擇的因素，如計算每月回報的增加量（或增長率），模型的增長差異等，認識到要作出正確選擇， 除了考慮每天的收益外，還要考慮一段時間內累計的回報.最后借助計算工具，得出總收益并作出正確判斷. 檢測目標（1） 例6 某公司為了實現1 000萬元利潤的目標，準備制訂一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金火單位：萬元）隨銷售利潤％（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%. 三個獎勵模型：,,，其中哪個模型能符合公司的要求？ 問題3. 根據題目條件，你認為應該選擇哪個獎勵模型才符合公司的要求？ 追問3（1）公司提出的要求與函數的什么性質有關？這對選擇函數模型有什么幫助？ （2）函數圖象能直觀反映函數的性質特征，從而可以直觀判斷函數模型是否符合公司的要求. 為此，你能否作出函數圖象，并通過觀察作出初步的判斷嗎？ 教師活動：利用多媒體展示例6和問題3，讓學生根據實際用語言描述要求，之后展示追問3的（1），學生小組討論后派代表發言，教師給與評價，然后展示追問3的（2），讓學生自己動手完成，然后小組內互評，教師最后展示優秀的作答.先獨立完成，互相交流后，說明理由. 結合題目條件，分析例題中隱藏的數量關系，根據函數的圖象與性質確定符合公司要求的函 數模型. 在總體指導下有針對性地給出不同臺階的分層問題. 追問（1）意在引導學生關注實際問題的變化規律，并建立與函數性質的聯系，為選擇合適模型作好準備； 追問（2）意在引導學生作出函數圖象，并結合函數性質作出初步判斷，從而實 現將實際問題向函數模型轉化. 檢測目標（2） 問題4. 你能說明選擇模型的理由，并給岀本題的解答嗎？ 追問4（1）如何判定所選擇的獎勵模型是否符合要求？ （2）能否給出本題的解答過程？ 教師活動：學生在剛才幾問的基礎上能夠獨立完成題目，教師給學生以時間讓其完成，然后找出完成較好的同學的進行展示點評.學生討論交流后回答. 從畫函數圖象入手，通過觀察函數的圖象，得出初步的判斷，再通過具體計算求解得出正確 結果.進一步引導學生分析實際問題，并根據函數性質選擇合適的函數模型，給出正確解答. 追問（1）意在引導學生指出判斷依據； 追問（2）意在指導學生確認解題基本思路，從而學習運用函數觀點分析問題. 檢測目標（3）環節三活動3.課堂練習 問題5. 完成教科書第154頁練習1, 2. 教師活動：布置題目，之后巡視，最后投影優秀作答.根據剛才例題的解答過程，規范解答，然后小組核對答案，最后派代表展示并說明理由. 促進學生進一步應用函數解決實際問題，并從中評價學生達成教學目標的情況. 檢測目標(1)-(3)課堂小結活動4. 課堂小結 問題6. 通過解答以上兩道例題的實際問題，并結合教科書中的例3和例4,你能歸納出建立函數模型解決實際問題的基本過程嗎？ 教師活動：給學生思考的時間，然后找學生回答，教師要將結論板書至黑板醒目的地方. 回顧例題的解答過程，思考后回答.總結建立函數模型解決實際問題的基本過程，提升解決實際問題的能力.
板書設計
函數模型的應用 例5 小結 例6
作業與拓展學習設計
1.教科書習題4.5第11, 12題，第14題. 2. 為了能在規定時間丁內完成預期的運輸量Q0,某運輸公司提出了五種運輸方案，每種方案的運輸量Q與時間的關系如下圖所示.運輸效率（單伊切可旳即咨按單）逐步提高的圖象編號是_____. 3. 某工廠今年前三個月生產某種產品的產量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件.現有三種函數模型用于描述產量）（單位：萬件）關于月份x的關系：y=ax+b, y=ax2+bx + c, y = abx+c. 若4月份的產量為1.37萬件，請問哪個函數更符合實際？ 4. 設火箭質量是箭體質量與燃料質量的和，在不考慮空氣阻力的條件下，兩火箭的最大速 度之差與這兩火箭質量的自然對數之差成正比.已知某火箭的箭體質量為m kg,當燃料質量為 m kg時，該火箭的最大速度為21n2 km/s,當燃料質量為m(e—l) kg時，該火箭的最大速度為 2 km/s. (1)寫出該火箭最大速度夕與燃料質量丁的函數解析式； (2)當燃料質量為多少時，火箭的最大速度可達12 km/s 設計意圖：檢測目標（1）（2）（3）. 考查在具體背景下，根據不同函數模型的增長特點選擇合適的函數圖象刻畫實際問題；選擇合適的函數模型刻畫實際問題；建立函數模型，并利用所得函數模型解決實際問題.

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