資源簡介

第十章 概率
10.1隨機事件與概率
10.1.1 有限樣本空間與隨機事件
1.結(jié)合具體實例，經(jīng)歷用集合語言描述一個隨機實驗的所有可能結(jié)果，并抽象出有限樣本空間與樣本點概念的過程，會求實驗結(jié)果有限的隨機實驗的樣本空間，體會數(shù)學(xué)抽象的思想方法.
2.會用集合語言表示一個隨機實驗，能利用樣本點解釋事件可能結(jié)果的意義以及所包含基本事件的個數(shù)，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)語言表達與交流的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、推理的核心素養(yǎng).
重點：有限樣本空間及隨機事件的概念.
難點：對各種不同背景的隨機試驗，用符號表示試驗的可能結(jié)果，列舉試驗的樣本空間.
（一）創(chuàng)設(shè)情境
你能回答下面事件結(jié)果出現(xiàn)的情況嗎？(學(xué)生回答）
(1)拋擲一枚硬幣，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；
(2)拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)點數(shù)的情況；
(3)買一注福利彩票，觀察中獎、不中獎的情況．
引出概念：我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E表示.
（二）探究新知
任務(wù)1：歸納隨機試驗的特點
思考：這些隨機試驗共同特點是什么？
合作探究：1.先獨立總結(jié)2分鐘；
2.小組內(nèi)交流討論補全完善自己的總結(jié)；
3.以小組為單位進行展示匯報.
師生活動：教師歸納總結(jié)學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生思考體會隨機試驗的概念，認識隨機現(xiàn)象和隨機試驗特點.
引出概念：隨機試驗具有以下特點：
(1)試驗可以在相同條件下重復(fù)進行； 可重復(fù)性
(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個； 可預(yù)知性
(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪個結(jié)果.
隨機性
設(shè)計意圖：通過詳細問題，讓同學(xué)感受隨機試驗的概念認識隨機現(xiàn)象和隨機試驗特點.
任務(wù)2：探究有限樣本空間的相關(guān)概念
探究：體育彩票搖獎時，將10個質(zhì)地和大小完全相同、分別標(biāo)號0,1,2，…，9的球放入搖獎器中，經(jīng)過充分攪拌后搖出一個球，觀察這個球的號碼，這個隨機實驗共有多少個可能結(jié)果？你是如何表示這些結(jié)果的？
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報
答：10個可能結(jié)果；可用集合表示為{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間. 一般地，我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點.在本書中，我們只討論Ω為有限集的情況. 如果一個隨機試驗有n 個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}為有限樣本空間. 有了樣本點和樣本空間的概念，我們就可以用數(shù)學(xué)方法描述和研究隨機現(xiàn)象了.
設(shè)計意圖：首先在認識隨機現(xiàn)象和隨機試驗特點的基礎(chǔ)上，利用集合論的知識，抽象出樣本點、樣本空間，將隨機事件看成樣本空間的子集，對隨機事件的概念構(gòu)建了由直觀描述到數(shù)學(xué)刻畫的精確化過程.培養(yǎng)同學(xué)數(shù)學(xué)抽象、規(guī)律推理的核心素養(yǎng).
任務(wù)3：探究事件的分類
思考：在上述體育彩票搖號試驗中，搖出“球的號碼為奇數(shù)”是隨機事件嗎 搖出“球的號碼為3的倍數(shù)”是否也是隨機事件 如果用集合的形式來表示它們，那么這些集合與樣本空間有什么關(guān)系
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報
答：顯然，“球的號碼為奇數(shù)”和“球的號碼為3的倍數(shù)”都是隨機事件.
我們用A表示隨機事件“球的號碼為奇數(shù)”，則A發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)搖出的號碼為1，3，5，7，9之一，即事件A發(fā)生等價于搖出的號碼屬于集合{1，3，5，7，9}.因此可以用樣本空間Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集{1，3，5，7，9}表示隨機事件A.類似地，可以用樣本空間的子集{0，3，6，9}表示隨機事件“球的號碼為3的倍數(shù).
引出概念：一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件. 隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示.在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件.而空集 不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱 為不可能事件.必然事件與不可能事件不具有隨機性.為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形.這樣，每個事件都是樣本空間Ω的一個子集.
設(shè)計意圖：在具體問題情境中，理解隨機事件的意義，初步掌握用樣本空間的子集表示事件的方法.
（三）應(yīng)用舉例
例1請嘗試寫出下面隨機試驗的樣本空間:
(1)拋擲一枚硬幣，觀察它落地時哪一面朝上.
(2)拋擲一枚骰子觀察它落地時朝上的面的點數(shù).
提示：寫樣本空間的關(guān)鍵是找樣本點，思考可能有幾種結(jié)果，該如何表示.
解：（1）因為落地時只有正面朝上和反面朝上兩個可能結(jié)果，所以試驗的樣本空間可以表示為Ω={正面朝上，反面朝上}，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，則樣本空間Ω={h，t}.
（2）用i表示朝上面的“點數(shù)為i”.因為落地時朝上面的點數(shù)有1，2，3，4，5，6 共6個可能的基本結(jié)果，所以試驗的樣本空間可以表示為Ω={1，2，3，4，5，6}.
例2拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，寫出試驗的樣本空間.
解:擲兩枚硬幣，第一枚硬幣可能的基本結(jié)果用x表示，第二枚硬幣可能的基本結(jié)果用y表示，那么試驗的樣本點可用(x，y)表示.于是，試驗的樣本空間Ω={(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}.
如果我們用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，那么樣本空間還可以簡單表示為Ω={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}.
如圖所示，畫樹狀圖可以幫助我們理解例3的解答過程.
例3如圖10.1-2，一個電路中有A，B，C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效.把這個電路是否為通路看成是一個隨機現(xiàn)象，觀察這個電路中各元件是否正常.
（1）寫出試驗的樣本空間;
（2）用集合表示下列事件:M=“恰好兩個元件正常”;N=“電路是通路”;T=“電路是斷路”
解：（1）分別用，和表示元件A，B和C的可能狀態(tài)，則這個電路的工作狀態(tài)可用表示.進一步地，用1表示元件的“正常”狀態(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)，則樣本空間.
如圖，還可以借助樹狀圖幫助我們列出試驗的所有可能結(jié)果.
（2）“恰好兩個元件正常”等價于，且，，中恰有兩個為1，所以
.
“電路是通路”等價于，，且，中至少有一個是1，所以
.
同理，“電路是斷路”等價于，，或，.所以
.
【總結(jié)】
1.樣本點和樣本空間的概念，利用集合論的知識，抽象出樣本點、樣本空間.
2.樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，Ω為必然事件， 為不可能事件.
3.寫樣本空間的關(guān)鍵是找樣本點，具體有三種方法：
（1）列舉法：適用于樣本點個數(shù)不多，可以把樣本點一一列舉出來的情況，但列舉時必須按一定的順序，要做到不重不漏．
（2）列表法：適用于試驗中包含兩個或兩個以上的元素，且試驗結(jié)果相對較多的樣本點個數(shù)的求解問題，通常把樣本歸納為“有序?qū)崝?shù)對”，也可用坐標(biāo)法．列表法的優(yōu)點是準(zhǔn)確、全面、不易遺漏．
（3）樹狀圖法：適用于較復(fù)雜問題中的樣本點的探求，一般需要分步(兩步及兩步以上)完成的結(jié)果可以用樹狀圖進行列舉．
設(shè)計意圖：通過例題，熟悉以上幾種樣本空間的表示方法，并引導(dǎo)學(xué)生盡量使用數(shù)字方式，對于只有兩個可能結(jié)果的試驗，用0和1表示試驗結(jié)果是有很多好處的.
例4有，，，四位同學(xué)站成一排照相，觀察他們的站隊順序．
寫出這個試驗的樣本空間；
用集合表示下列事件：“在兩側(cè)”；“，兩人相鄰”．
解：該試驗的樣本點用樹狀圖表示，如圖所示：
所以樣本空間可表示為
；
．
例5已知關(guān)于的一元二次函數(shù)設(shè)集合和，分別從集合和中隨機取一個數(shù)作為和．
（1）寫出以為元素的樣本空間，共包含多少個樣本點？
（2）指出事件“函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)”的所有樣本點．
解：，，，，，，，，，，，，，，，共包含個樣本點．
函數(shù)的圖象的對稱軸為直線．
要使在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)且，即
若，則；若，則或；
若，則或，
所以事件“函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)”的所有樣本點有，，，，，共個．
（四）課堂練習(xí)
1.下列事件中，是隨機事件的是( )
A. 在只裝有個紅球的袋子中摸出個球，是紅球
B. 在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在結(jié)冰
C. 打開電視機，正在轉(zhuǎn)播足球比賽
D. 地球繞著太陽轉(zhuǎn)
解：對于，在只裝有個紅球的袋子中摸出個球一定是紅球，所以是必然事件，所以不合題意；
對于，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在結(jié)冰是不可能事件，所以不合題意；
對于，打開電視機，有可能正在轉(zhuǎn)播足球比賽，所以是隨機事件，所以C正確；
對于，地球繞著太陽轉(zhuǎn)是必然事件，所以不合題意，
故選：．
2.袋子中有個大小和質(zhì)地相同的球，標(biāo)號為，，，，，，，，，從中隨機摸出一個球．
寫出試驗的樣本空間；
用集合表示事件“摸到球的號碼小于”，事件“摸到球的號碼大于”，事件“摸到球的號碼是偶數(shù)”
解：用球的標(biāo)號表示對應(yīng)的球，則該試驗的樣本空間可表示為；
根據(jù)條件可得：；；．
3.在所有考試中，小明同學(xué)的語文、數(shù)學(xué)、英語這三科的成績都是優(yōu)秀或良好，隨機抽取一次考試的成績，記錄小明同學(xué)的語文，數(shù)學(xué)，英語這三科成績的情況．
寫出該試驗的樣本空間；
用集合表示下列事件：“至少有兩科成績?yōu)閮?yōu)秀”；“三科成績不都相同”
解：分別用表示語文，數(shù)學(xué)，英語的成績，則樣本點表示為用表示優(yōu)秀，用表示良好，則．
該試驗的樣本空間可表示為，用列舉法表示為
．
；
．
4.做拋擲紅、藍兩枚骰子的試驗，用表示結(jié)果，其中表示紅色骰子出現(xiàn)的點數(shù)，表示藍色骰子出現(xiàn)的點數(shù)．寫出：
這個試驗的樣本空間；
這個試驗的結(jié)果的個數(shù)；
指出事件，，，，，的含義．
解：這個試驗的樣本空間為，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，．
這個試驗的結(jié)果的個數(shù)為．
事件的含義為拋擲紅、藍兩枚骰子，擲出的點數(shù)之和為．
5.同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤，記結(jié)果為，其中是轉(zhuǎn)盤中指針?biāo)傅臄?shù)字，是轉(zhuǎn)盤中指針?biāo)傅臄?shù)字．
寫出這個試驗的樣本空間；
用集合表示事件“”，事件“”
解：由轉(zhuǎn)盤中個數(shù)字，可與轉(zhuǎn)盤個數(shù)字進行組合，共種情況；
樣本空間為
數(shù)出符合事件的樣本點如下：
．
．
設(shè)計意圖：通過練習(xí)加深學(xué)生對于各種不同背景的隨機試驗，用符號表示試驗的可能結(jié)果，列舉試驗的樣本空間和樣本點.
（五）歸納總結(jié)
通過本節(jié)課的研究，大家都學(xué)到了哪些知識和方法，說說你的體會？
設(shè)計意圖：通過對之前知識的梳理，提高學(xué)生總結(jié)概括能力，明確這節(jié)課要突破和學(xué)習(xí)的重點知識內(nèi)容.

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