資源簡介

第十章 概率
10.1隨機事件與概率
10.1.2事件的關系和運算
1.結合具體實例，了解隨機事件的并、交與互斥的含義；會利用簡單事件，借助并、交與互斥等事件關系準確的表示出較復雜的隨機事件.
2.能結合具體實例進行隨機事件的并、交運算.
3.在了解隨機事件關系與運算的過程中，感受類比思想、由特殊到一般思想在解決問題中的運用.
重點：事件的包含、互斥、互相對立、并事件、交事件的含義．
難點：能進行隨機事件的并、交運算，用簡單事件表示復雜事件，能夠區分互斥事件、對立事件．
（一）創設情境
從前面的學習中可以看到，我們在一個隨機試驗中可以定義很多隨機事件．這些事件有的簡單，有的復雜．我們希望從簡單事件的概率推算出復雜事件的概率，所以需要研究事件之間的關系和運算．
設計意圖：通過介紹教材設計的意圖，簡單明了的讓學生理解本節課的授課目的，并引導學生把復雜的事件轉化為簡單的事件，從而引出用集合的運算表示較復雜事件，讓學生了解事件關系和運算與集合運算的聯系.發展學生數學抽象、直觀想象和邏輯推理的核心素養.
（二）探究新知
任務1：探究事件的關系.
在擲骰子的試驗中，觀察骰子朝上面的點數，可以定義許多事件，
如：＝ “點數為”，＝1，2，3，4，5，6；
＝ “點數為奇數”；
思考：1.你能寫出事件的樣本空間嗎？
2.你能用集合表示下列事件嗎？
＝“點數為1”；＝“點數為奇數”.
3.你能發現這兩個集合之間有什么關系，這兩個事件之間又有何關系呢？
小組活動：先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表展示小組討論結果，討論時間5分鐘.
答：1.樣本空間
2.它們分別是和.
3.集合關系：，即.事件關系：如果事件發生，那么事件一定發生.
總結：一般地，若事件發生，則事件一定發生，我們就稱事件包含事件 （或事件包含于事件），記作（或）．
特別地，如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，則稱事件與事件相等，記作．
提示：
說一說：
鼓勵學生舉出生活中具有包含關系與相等關系的實例
師生活動：先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表展示小組討論結果，討論時間5分鐘.
答： .(1)已知某產品是否合格包括長度、直徑兩個指標，如果 表示“長度不合格”，表示“產品不合格”，則;
(2)擲一個骰子，如果 表示“出現偶數點”， 表示“出現的點數能被 2 整除”則.
設計意圖：從學生熟悉的生活場景入手，通過熟悉的集合知識，引導學生探究事件的包含與相等關系，帶領學生從多個角度理解事件的包含關系，多用實例幫助學生理解并培養學生發現生活中的數學知識的能力，進一步提升他們的數學學科素養.
任務2：探究事件的運算
探究：
在擲骰子的試驗中，觀察骰子朝上面的點數，可以定義許多事件，
如：=“點數為2” ；=“點數不大于3” ；＝“點數為1或2”；
＝ “點數為2或3”；
1.你能用集合表示上面的事件嗎？
2.①集合 ,,之間有什么關系？對應事件之間又有何關系呢？
②集合,,之間有什么關系？對應事件之間又有何關系呢？
師生活動：合作探究，先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表展示小組討論結果，討論時間5分鐘.
答：1.，，
2.①集合關系： ，即. 事件關系事件關系：若事件和事件至少有一個發生，則事件發生.
②集合關系：，即.
事件關系：事件和事件同時發生，相當于事件發生.
總結：一般地，事件與事件至少有一個發生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件中，或者在事件中，我們稱這個事件為事件與事件的并事件 （或和事件），記作（或）．
下圖中的綠色區域和黃色區域表示這個并事件
總結：一般地，事件與事件同時發生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件中，也在事件中，我們稱這樣的一個事件為事件與事件的交事件 （或積事件），記作（或）．
下圖中的藍色區域表示這個交事件
設計意圖：類比集合的并、交運算，探究事件的和與積運算，通過語言描述讓學生更進一步的理解和與積事件的含義，培養學生知識的運用能力.
任務3：探究互斥事件與對立事件
探究：在擲骰子的試驗中，觀察骰子朝上面的點數，可以定義許多事件，
如：=“點數為3”， =“點數為3”，
＝“點數為偶數”；＝ “點數為奇數”；
1.你能用集合表示上面的事件嗎？
2.①集合 ，之間有什么關系？對應事件之間又有何關系呢？
②集合之間有什么關系？對應事件之間又有何關系呢？
師生活動：合作探究，先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表展示小組討論結果，討論時間5分鐘.
答：1.
2.①集合關系： ，即.事件關系：在任何一次試驗中，事件與事件不可能同時發生.
總結：一般地，如果事件與事件不能同時發生，也就是說是一個不可能事件，即，則稱事件與事件互斥 （或互不相容）．
下圖中可以表示這兩個事件互斥
提示：（1）兩事件互斥，兩事件的交事件是不可能事件.
（2）兩事件互斥，兩事件的和事件不一定是必然事件.
②集合關系： ，即.事件關系：在任何一次試驗中，事件與事件兩者只能發生其中之一，而且也必然發生其中之一．
總結：一般地，如果事件和事件在任何一次試驗中有且僅有一個發生，即，且，那么稱事件與事件互為對立．事件的對立事件記為.
下圖中可以表示這兩個事件對立
提示：（1）兩事件對立，兩事件的交事件是不可能事件.
（2）兩事件對立，兩事件的和事件一定是必然事件.
注意：對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件.
設計意圖：在集合知識的基礎上，進一步讓學生理解互斥事件與對立事件的含義，并通過對比區別與聯系，讓學生理解與掌握到互斥事件與對立事件的概念，并會靈活運用.
總結：
事件的關系或運算 含義 符號表示
包含 發生導致發生
并事件(和事件) 與至少一個發生 或
交事件(積事件) 與同時發生 或B
互斥(互不相容) 與不能同時發生
互為對立 與有且僅有一個發生
（三）應用舉例
例1 如圖，由甲、乙兩個元件組成一個并聯電路，每個元件可能正常或失效.設事件 “甲元件正常”， “乙元件正常”.
（1）寫出表示兩個元件工作狀態的樣本空間；
（2）用集合的形式表示事件以及它們的對立事件；
（3）用集合的形式表示事件和事件，并說明它們的含義及關系.
解：（1）用，分別表示甲、乙兩個元件的狀態，則可以用表示這個并聯電路的狀態.以1表示元件正常，0表示元件失效，則樣本空間為.
（2）根據題意，可得
，，
，.
（3），；表示電路工作正常，表示電路工作不正常；和互為對立事件.
例2 一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個綠色球（標號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設事件 “第一次摸到紅球”， “第二次摸到紅球”， “兩次都摸到紅球”， “兩次都摸到綠球”， “兩個球顏色相同”， “兩個球顏色不同”.
（1）用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件；
（2）事件與，與，與之間各有什么關系？
（3）事件與事件的并事件與事件有什么關系？事件與事件的交事件與事件有什么關系？
解：（1）所有的試驗結果如圖10.1-10所示.用數組表示可能的結果，是第一次摸到的球的標號，是第二次摸到的球的標號，則試驗的樣本空間
，
事件 “第一次摸到紅球”，即或2，
于是；
事件 “第二次摸到紅球”，即或2，
于是.
同理，有，，，
.
（2）因為，所以事件包含事件；
因為，所以事件與事件G互斥；
因為，，所以事件與事件互為對立事件.
（3）因為，所以事件是事件與事件的并事件；
因為，所以事件是事件與事件的交事件.
例3把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是（ ）
.對立事件 不可能事件 .互斥但不對立事件 .以上答案都不對
分析：先判斷是否可能同時發生，判斷是否互斥，再看是否有一個發生，最后確定是否對立.
解：事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不可能同時發生，但事件“甲分得紅牌”不發生時，事件“乙分得紅牌”有可能發生，有可能不發生，∴事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是互斥但不對立事件．故選.
例4 從裝有3個黃球和4個藍球的口袋內任取3個球，那么互斥不對立的事件是（ ）
．恰有一個黃球與恰有一個藍球 ．至少有一個黃球與都是黃球
．至少有一個黃球與都是藍球 ．至少有一個黃球與至少有一個藍球
解：從裝有3個黃球和4個藍球的口袋內任取3個球，不同的取球情況共有以下4種：
①3個球全是黃球；②2個黃球和1個藍球；③1個黃球2個藍球；④3個球全是藍球．
對于，恰有一個黃球是情況③，恰有一個藍球是情況②，
∴恰有一個黃球與恰有一個藍球是互斥不對立的事件，故正確；
對于，至少有一個黃球是情況①②③，都是黃球是情況①，
∴至少有一個黃球與都是黃球能同時發生，不是互斥事件，故錯誤；
對于，至少有一個黃球是情況①②③，都是藍球是情況④，
∴至少有一個黃球與都是藍球是對立事件，故錯誤；
對于，至少有一個黃球是情況①②③，至少有一個藍球是情況②③④，
∴至少有一個黃球與至少有一個藍球能同時發生，不是互斥事件，故錯誤．
故選．
（四）課堂練習
1.如圖，甲、乙兩個元件串聯構成一段電路，設“甲元件故障”，“乙元件故障”，則表示該段電路沒有故障的事件為( )
. . . .
解：因甲、乙兩個元件串聯，線路沒有故障，即甲、乙都沒有故障.即事件和同時發生，即事件發生.故選：C.
2．甲、乙兩個元件構成一并聯電路，設E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，則表示電路故障的事件為（ ）
． ． ． D．
解：因為甲、乙兩個元件構成一并聯電路，
所以只有當甲、乙兩個元件都故障時，才造成電路故障，
所以表示電路故障的事件為.故選：B
3．擲一個骰子，下列事件：，，，，．求：
(1)， ；
(2)，；
(3)記是事件的對立事件，求，，，．
解：（1），，，
，.
（2），，，
，．
（3），，，，.
，，
，，，．
4.一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個綠色球（標號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，每次摸出一個球，設事件“第一次摸到紅球”，“兩次都摸到紅球”，“兩次都摸到綠球”，“兩球顏色相同”，“兩球顏色不同”，則（ ）
A． B． C． D．
解：對于A，因“第一次摸到紅球”，“兩次都摸到紅球”，則，A不正確；
對于B，“兩次都摸到紅球”，“兩次都摸到綠球”，兩個事件沒有公共的基本事件，，B不正確；
對于C，“兩次都摸到紅球”，“兩次都摸到綠球”，“兩球顏色相同”，
R或G表示摸的兩個球的顏色相同，即，C正確；
對于D，“兩球顏色相同”，“兩球顏色不同”，由對立事件的定義知，D正確.
故選：CD
5.在所有考試中，小明同學的語文、數學、英語這三科的成績都是優秀或良好，隨機抽取一次考試的成績，記錄小明同學的語文，數學，英語這三科成績的情況．
寫出該試驗的樣本空間；
用集合表示下列事件：“至少有兩科成績為優秀”；“三科成績不都相同”
解：分別用表示語文，數學，英語的成績，則樣本點表示為用表示優秀，用表示良好，則．
該試驗的樣本空間可表示為，用列舉法表示為
．
；
．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固事件的關系與運算，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
【課堂小結】通過本節課的研究，大家學到了哪些知識和方法，說說你的體會？
設計意圖：通過對之前知識的梳理，提高學生總結概括能力，明確這節課要突破和學習的重點知識內容.

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