資源簡介

第十章 概率
10.1隨機事件與概率
10.1.3古典概型
1.了解概率的基本算法及其意義.
2.了解古典概型的兩大特征并能識別古典概型問題.
3.掌握古典概型的概率計算方法.
4.熟悉求解古典概型概率問題的一般思路并能適當拓展應用.
重點：古典概型的兩大基本特征：有限性、等可能性.
難點：求不放回類古典概型問題的概率．
（一）創設情境
十七世紀時，意大利醫生兼數學家卡當曾參加過這樣一種賭法：把兩顆骰子擲出去，以每個骰子朝上的點數之和作為賭的內容，已知骰子的六個面上分別為1～6點，那么賭注下在多少點上最有利？卡當經過研究后預言押7最好，你知道這是為什么嗎？
先談談你的想法，等學完后面的知識我們再來探討。
師生活動：由學生簡單討論故事中為什么押7最好；感受概率的特點.
設計意圖：通過直觀感受，調動課堂氣氛和學生積極性，同時也可以讓學生通過參與其中更明確的感受概率的特點，以及理解概率問題在生活中的應用.
（二）探究新知
任務1：探究古典概型的定義及其特征
探究：標號分別為0~9的彩票搖號試驗、拋擲一枚均勻硬幣的試驗及投擲一枚質地均勻骰子的試驗，它們的基本事件包含哪些？樣本空間分別是什么樣的？樣本點有什么特點？它們的共同特征有哪些？
答：搖號試驗中，基本事件指每一個搖中的號碼，其樣本空間內的樣本點為10個有限，且可能性相同；
拋擲硬幣試驗中，基本事件包括正面向上、反面向上兩種結果，樣本空間內的樣本點有2個，是有限的，且樣本點發生的可能性相同；
投擲骰子試驗中，基本事件包括6種不同的點數，其樣本點個數為6，每個樣本點發生的可能性相同.
共同特征：1.樣本空間內的樣本點是有限個；也叫做有限性；
2.每個樣本點發生的可能性是相同的；也叫做等可能性.
設計意圖：通過對平時接觸比較多的事件，對比分析，歸納出共同特征；由于試驗都比較常見，對比分析時可以更清晰的感受到共同特點，由此可以鍛煉孩子們獨立思考、對比歸納的能力.
總結：從前面的案例中我們可以總結出：
我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型， 簡稱古典概型.
古典概型的兩大基本特征為：
(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
(2)等可能性：每個樣本點發生的可能性相等．
對隨機事件發生可能性大小的度量(數值)稱為事件的概率，事件A的概率通常用P(A)進行表示.
思考：下面的概率是否為古典概型？
(1)某同學隨機向靶心射擊，命中10環的的概率
(2)從區間[0，1]內任取一個數，取到2的概率
(3)拋一枚不均勻硬幣，觀察其正面或反面出現的情況
答：(1)不符合等可能性；所以不是古典概型.
(2)中不符合有限性，所以不是古典概型.
(3)不符合等可能性；所以不是古典概型.
任務2：探究古典概型的概率算法
探究：考慮下面兩個隨機試驗，如何度量事件A和事件B發生的可能性大小？
(1)一個班級中有18名男生、22名女生．采用抽簽的方式，從中隨機選擇一名學生，事件A＝“抽到男生”；
(2)拋擲一枚質地均勻的硬幣3次，事件B ＝ “恰好一次正面朝上”．
提示：需要考慮兩個問題，它們是古典概型嗎？事件A、B發生的概率是多大？
要求：合作探究：
1.先獨立探究，再小組合作充分討論；
2.每小組挑選一名代表展示小組討論結果；
3.討論時間5分鐘.
答：(1)班級中共有40名學生，從中選擇一名學生，因為是隨機選取的，所以選到每個學生的可能性都相等，這是一個古典概型.
這個隨機試驗的樣本空間中有40個樣本點，而事件A＝ “抽到男生”包含18個樣本點．因此，事件A發生的可能性大小為.
(2)用1表示硬幣 “正面朝上”，用0表示硬幣 “反面朝上”，則試驗的樣本空間,Ω＝{(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)， (0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)}， 共有8個樣本點，且每個樣本點是等可能發生的，所以這是一個古典概型．
因為B＝{(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}，所以事件B發生的可能性大小為．
說一說：通過對上述兩個問題的分析討論，總結出古典概型的概率計算方法.
答：古典概型的概率計算公式:
一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數.
總結：求解古典概型問題的一般思路
(1)明確試驗的條件及要觀察的結果，用適當的符號 (字母、數字、數組等)表示試驗的可能結果 (借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有的可能結果).
(2)根據實際問題情境判斷樣本點的等可能性；
(3)計算樣本點總個數及事件A包含的樣本點個數，求出事件A的概率．
設計意圖：通過比較完整的自主探究過程，引導學生歸納古典概型中概率的求取方法；而概率運算的規則方法是非常重要的，在合作討論、計算的過程中發現古典概型概率的一般算法.
(三)應用舉例
例1：單項選擇題是標準化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個選項中選擇一個正確答案.如果考生掌握了考查的內容，他可以選擇唯一正確的答案.假設考生有一題不會做，他隨機地選擇一個答案，答對的概率是多少？
解：試驗有選A、選B、選C、選D共4種可能結果，試驗的樣本空間可以表示為 ={A,B,C,D}.考生隨機選擇一個答案，表明每個樣本點發生的可能性相等，所以這是一個古典概型.設M=“選中正確答案”，因為正確答案是唯一的，所以=1.所以，考生隨機選擇一個答案，答對的概率P(M)=.
思考：你認為單選題與多選題哪種更難做對？為什么？
答：對4個選項的多選題而言，選法共有15種，而正確答案只有一種，占了，比單選題正確率低的多，因此多選題更難做對.
例2：拋擲兩枚質地均勻的骰子(標記為Ⅰ號和Ⅱ號)，觀察兩枚骰子分別可能出現的基本結果. (1)寫出這個試驗的樣本空間，并判斷這個試驗是否為古典概型；
(2)求下列事件的概率：
“兩個點數之和是5”；“兩個點數相等”；“Ⅰ號骰子的點數大于Ⅱ號骰子的點數”
提示：判斷古典概型需要滿足的條件：有限性、等可能性.
解：(1)拋擲一枚骰子有6種等可能的結果，Ⅰ號骰子的每一個結果都可與Ⅱ號骰子的任意一個結果配對，組成擲兩枚骰子試驗的一個結果.用數字m表示Ⅰ號骰子出現的點數是m，數字n表示Ⅱ號骰子出現的點數是n，則數組(m,n)表示這個試驗的一個樣本點.因此該試驗的樣本空間， ={(m,n)|m,n∈{1，2，3，4，5，6}}其中共有36個樣本點.
由于骰子的質地均勻，所以各個樣本點出現的可能性相等，因此這個試驗是古典概型。
(2)由(1)可知，樣本空間為36，而點數為5的可能結果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)四種，因此P(A)==;
設點數相等為事件B；則B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},所以P(B)=.
設“Ⅰ號骰子的點數大于Ⅱ號骰子的點數”為事件C，則
C={(2,1),(3,2),(3,1),(4,3),(4,2),(4,1),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1),(6,5),(6,5),(6,3),(6,2),(6,1)}
所以P(C)==.
思考：上例中，為什么要把兩枚骰子標上記號？不標記號會出現什么情況？
答：若不對兩枚骰子分別標號，則結果變為
因此所有樣本點21個,事件A的結果僅有(2,3)，(1,4)兩個，所以此時：P(A).
思考：同一個事件的概率，為什么會出現兩個不同的結果？
答：合并為21個結果時，(1,1)，(1,2)發生的可能性的大小不等，不符合古典概型特征，就不能用古典概型公式計算概率，因此P(A)是錯誤的.
【總結】
若試驗不是古典概型，則不能用古典概型的概率公式計算某事件發生的概率.
計算古典概型概率的關鍵是求樣本總個數和所求事件包含的樣本點個數.
例3：袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，求下列事件的概率：
A＝“第一次摸到紅球”；B＝“第二次摸到紅球”；AB＝“兩次都摸到紅球”．
提示：將兩個紅球編號為1，2，三個黃球編號為3，4，5，組成20種等可能的結果
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1 × (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) × (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) × (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) × (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) ×
解：(1)第一次摸到紅球的可能結果有8種(表中第1，2行)，即A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)}，所以P(A)=.
(2)第二次摸到紅球的可能結果也有8種(表中第1、2列)，
即B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)}，所以P(B)=.
(3)事件AB包含2個可能結果，即AB＝{(1，2)，(2，1)}，所以P(AB)=.
例4：從兩名男生(記為和)、兩名女生(記為和)中任意抽取兩人．
(1)分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間.
(2)在三種抽樣方式下，分別計算抽到的兩人都是男生的概率．
提示：放回抽取時總體單位數不變,個體被選取概率相同;不放回抽取時總體單位數減少,個體被選取概率不同.
解：設第一次抽取的人記為，第二次抽取的人記為，則可用數組(，)表示樣本點．
(1)根據相應的抽樣方法可知：有放回簡單隨機抽樣的樣本空間
Ω1＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)}．
不放回簡單隨機抽樣的樣本空間
Ω2＝{(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}．
按性別等比例分層抽樣，先從男生中抽一人，再從女生中抽一人，其樣本空間
Ω3＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)}．
(2)設事件A＝“抽到兩名男生”，則
對于有放回簡單隨機抽樣，A＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B2，B1)，(B2，B2)}．
因為抽中樣本空間Ω1中每一個樣本點的可能性都相等，所以這是一個古典概型．因此
P(A)＝＝0.25．
對于不放回簡單隨機抽樣，A＝{(B1，B2)，(B2，B1)}．
因為抽中樣本空間Ω2中每一個樣本點的可能性都相等，所以這是一個古典概型．
因此
P(A)＝＝．
因為按性別等比例分層抽樣，不可能抽到兩名男生，所以A＝，因此P(A)＝0．
例5：一個口袋內裝有大小相等的1個白球和已編有不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球，求：
(1)樣本空間的樣本點的總數n；
(2)事件“摸出2個黑球”包含的樣本點的個數；
(3)摸出2個黑球的概率.
提示：將黑球編不同的號是為了區分雖然都是黑球但是并不相同.
解：由于4個球的大小相等，摸出的每個球的可能性是均等的，所以是古典概型.
(1)將黑球編號為黑1，黑2，黑3，從裝有4個球的口袋內摸出2個球，
樣本空間Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6個樣本點.
(2)事件“摸出2個黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3個樣本點.
(3)樣本點總數n＝6，事件“摸出兩個黑球”包含的樣本點個數m＝3，故P＝＝，即摸出2個黑球的概率為.
【總結】
1.列舉法：主要適用于樣本點較少，容易一一列舉的問題；
2.樹狀圖法：為了直接看到結果，且為了避免列舉時容易出現的重復或遺漏錯誤所使用的一種方法；
3.表格法：利用表格清晰展示兩組對象之間的組合結果時使用.
例6：從含有兩件正品，和一件次品的3件產品中每次任取一件，每次取出后不放回，連續取兩次.
(1)求取出的兩件產品中恰有一件次品的概率；
(2)如果將“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回”，則取出的兩件產品中恰有一件次品的概率是多少？
提示：恰有一件，表示有且只有一件，即兩次只有一次符合.
解：(1)每次取一件，取后不放回地連續取兩次，其一切可能的結果組成的樣本空間Ω＝{(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)}，其中小括號內左邊的字母表示第一次取出的產品，右邊的字母表示第二次取出的產品.Ω由6個樣本點組成，這些樣本點的出現是等可能的.用A表示“取出的兩件中，恰好有一件次品”這一事件，
則A＝{(，)，(，)，(，)，(，)}，事件A由4個樣本點組成，所以P(A)＝＝.
(2)有放回地連續取出兩件，其一切可能的結果組成的樣本空間Ω＝{(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)}，共9個樣本點.
用B表示“恰有一件次品”這一事件，則B＝{(，)，(，)，(，)，(，)}.
事件B由4個樣本點組成，所以P(B)＝.
【總結】
(1)關于不放回抽樣，計算樣本點個數時，既可以看做是有順序的，也可以看做是無順序的，其最后結果是一致的，但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會產生錯誤.
(2)關于有放回抽樣，應注意在連續取出兩次的過程中，因為先后順序不同，所以(x，)，(，x)不是同一個樣本點.解題的關鍵是要清楚無論是“不放回抽取”還是“有放回抽取”，每一件產品被取出的機會都是均等的.
(四)課堂練習
1.一個口袋內裝有個白球和編號分別為的個黑球，它們的大小、質地相同，從中任意摸出個球．
寫出這個試驗的樣本空間，并判斷這個試驗是否為古典概型；
“摸出的個球都是黑球”記為事件，用集合表示事件．
解：這個試驗的樣本空間白，黑，白，黑，白，黑，黑，黑，黑，黑，黑，黑，且每個樣本點是等可能出現的，這個試驗是古典概型；
由條件可得黑，黑，黑，黑，黑，黑．
2.下列有關古典概型的四種說法：
試驗中所有可能出現的樣本點只有有限個
每個事件出現的可能性相等
每個樣本點出現的可能性相等
已知樣本點總數為，若隨機事件包含個樣本點，則事件發生的概率．
其中所有正確說法的序號是( )
A. B. C. D.
解：中所說的事件不一定是基本事件，所以不正確根據古典概型的特點及計算公式可知正確故選D．
3.將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，則點數和為5的概率是__________.
解：根據題意可得基本事件總數為個．
點數和為的基本事件有，，，共個．
出現向上的點數和為的概率為．
故答案為：
4.有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍色、黑色各兩瓶，某同學從中隨機任取兩瓶，若取的兩瓶中有一瓶是藍色，則另一瓶是紅色或黑色的概率為 __________.
解：有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍色、黑色各兩瓶，某同學從中隨機任取兩瓶，
若取的兩瓶中有一瓶是藍色，則基本事件有個，分別為：
(藍色，藍色)，(藍色，紅色)，(藍色，黑色)，(藍色，黑色，(藍色，紅色)，(藍色，黑色)，(藍色，黑色，
其中，另一瓶是紅色或黑色包含的基本事件個數為，
另一瓶是紅色或黑色的概率為．
故答案為：．
5.袋中有大小相同的黃、紅、白球各一個，每次任取一個，有放回地取次，則下列事件的概率為的是( )
A. 顏色相同 B. 顏色不全同 C. 顏色全不同 D. 無紅球
解：有放回地取球次，共種可能結果，
其中顏色相同的結果有種，其概率為；
顏色不全同的結果有種，其概率為；
顏色全不同的結果有種，其概率為；
無紅球的情況有種，其概率為．
故選B．
6.將一顆質地均勻的骰子一種各個面上分別標有，，，，，個點的正方體玩具先后拋擲次，則出現向上的點數之和小于的概率是________．
解：.
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固所學知識，能夠靈活運用.
(五)歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.

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