資源簡介

教學設計
題目 數系的擴充與復數的概念
一、內容和內容解析 內容 引入復數的必要性及合理性、復數的概念及代數表示、復數相等的等價條件。
內容解析 在這課之前，學生已經學習了自然數、整數、有理數、實數等數的概念及運算，這些內容的學習為本節的學習起著鋪墊作用。復數的引入實現了中學階段數系的最后一次擴充，通過復數的學習使學生對于數的概念有一個初步的、完整的認識，為他們運用數學知識解決問題增添了新的工具。 新課程中復數內容突出復數的代數表示，同時也強調了復數的幾何意義。它的內容是分層設計的：先引入復數的概念，再將復數看成是有序實數對，把復數看成是直角坐標系下平面上的點或向量，最后介紹復數代數形式的加、減運算的幾何意義。同時，復數作為一種新的數學語言，也為我們今后用代數的方法解決幾何問題提供了新的工具和方法。 本節課的學習，一方面讓學生回憶數系擴充的過程，體會復數引入的必要性和合理性。另一方面，讓學生理解復數的有關概念，掌握復數相等的充要條件，為今后的學習奠定基礎。如：復數在數學、力學、電學等其他學科中都有廣泛的應用，復數與向量、平面解析幾何、三角函數等都有密切的聯系，也是進一步學習數學的基礎。因此，本節課具有承前啟后的作用，是本章的重點內容，初步認識數學的應用價值、科學價值和人文價值，崇尚數學具有的理性精神和科學態度。
二、學情分析 本節課的授課對象是高二的學生，在學習本節之前，學生對數的概念已經擴充到實數，也已清楚各種數集之間的包含關系等內容，已經有一定基礎，但是擴充的過程可能會有所遺忘，對數的生成發展的歷史和規律缺乏整體認識與理性思考，知識體系還未形成。同時高二的學生已經掌握了一些分析思考的能力，所以教學中通過問題的提出到解決問題的過程，需有意識的進一步應用，提高學生的分析、解決問題的能力。 心理上，多數學生感覺到數學過于枯燥繁瑣，而且剛剛學得一章內容"導數與函數"又是數學中的難點，所以學生對新的一塊內容可能也帶有異樣情緒，因此通過數系擴充的發展史進行引入，繼而提出問題，讓數學源于生活，增強學生們的興趣。 學生學習本節內容可能存在的知識障礙： (1）知識理解障礙。如對復數的理解，復數的引入是否具有實際意義，復數的引入是否具有實際應用，復數相等條件的理解等。(2）思維習慣性障礙。學生對方程解的問題會默認為在實數集中進行，缺乏嚴謹的思維習慣。因而，接受和理解虛數與復數，對學生來說又是一大挑戰和跨越，這是我們這節課的挑戰因素，也是可利用的有利因素。
三、目標和目標解析 目標 本單元的學習，可以幫助學生通過方程求解，理解引入復數的必要性，了解數系的擴充，掌握復數的表示、運算及其幾何意義。 ①通過方程的解，認識復數。 ②理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義。 ③掌握復數代數表示式的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義。
目標解析 通過數系的擴充歷史以及方程求解問題，讓學生理解引入復數的必要性，感受數學的文化和精神。落實“立德樹人”育人目標。 通過問題引入、具體實例歸納出復數的代數表示，能正確識別一個復數的實部與虛部，理解兩個復數相等的含義。發展學生數學抽象核心素養。 通過復數概念，復數相等的應用，掌握復數與相等復數判斷的方法,領悟分類討論、轉化思想，發展學生數學運算、邏輯推理核心素養。 通過檢測，體會分類討論、轉化等數學思想，培養學生分析問題、解決問題的能力。發展學生邏輯推理核心素養。
教學重點 1.引入復數的必要性 2.復數的概念
教學難點 虛數單位的引入以及復數概念的形成
四、教學方法分析 問題探究式教學法 教師為主導：問題引導 明確方向 學生為主體：自主探究 展示交流 知識為主線：復數的引入及概念 思維為主旨：分類討論、轉化
五、教學過程設計 教師活動與數學問題 問題或任務與學生學習活動 設計意圖或評價目標
環節一 內容1：創設情景，導入新課（10mins） 教學情境1:數與系的認識 教學情境2: 觀看數系擴充視頻，引出問題 提出問題1：回顧從自然數系的擴充過程。每次擴充的主要原因是什么？每次擴充遵循哪些規律？ 解決問題1：數系擴充史，引入復數的必要性 學習任務1．認真聽課觀看PPT 學習任務2．思考問題 通過數與系的認識，感受數學來源于生活，激發學生學習的興趣，初步認識數學的應用價值、科學價值和人文價值。 觀看數系擴充視頻，為理解引入復數的必要性作鋪墊。 落實教學目標1與跨育融合
環節二 內容2：提出問題，生成概念 (15mins) 教學情境2.提出問題 問題1：方程在實數系中無解。類比自然數系到實數系的擴充過程，你能設想一種方法，對實數系進一步擴充，使這個方程在新的數系中有解嗎？ 解決問題2：引入一個新數： 問題2：試寫出2,3,這三個數中的若干個進行四則運算，你能設計出這種數的形式嗎？ 追問：像2，3和這樣的數也能寫成這種形式嗎？需要滿足什么條件？ 問題3：閱讀課本第84頁三、四自然段，復數的基本概念有哪些？ 復數的代數形式 (R） 實部 虛部 問題4：數系擴充后，復數如何分類？ 復數可以分類如下： 復數 【練1】下列復數哪些是虛數，純虛數？分別指出其實部與虛部。 【練2】 1.若，求實數的值。 2.若，求實數的值。 3.若，求實數的值。 問題5：在復數集中任取兩個數,（R）,如何定義兩個復數相等？或兩個復數相等的充要條件是什么？ 復數相等：兩個復數,（R），的充要條件是： 解決問題2：生成復數有關概念 學習任務1：根據問題1獲得的數系擴充規律進行探索，得出結論，聽取復數概念形成的發展階段，了解數學家。 學習任務2：盡情發揮他們的想象力，寫出不同的形式。 學習任務3：學生閱讀課本，概括出復數的代數形式。 學習任務4：討論交流 中，是否為討論 學習任務5：展示交流：練1與練2 學生按自己的理解給出實數的值 學習任務:6：通過【練2】抽象概括兩個復數相等的 通過方程解的探究，理解虛數的引入的必要性，以及復數的發展史，體會其中的理性思維，滲透數學文化，提升育人價值。 引發學生認知沖突，激發學生把實數系進一步擴充的欲望。通過類比，明確實數系擴充的方向，理解復數的代數形式，提升數學抽象的素養。 通過學生自主學習，認識復數形式的名稱，了解復數形式的合理性。 在探究的基礎上將感性經驗理性化，并通過這種形式幫助學生認識復數的代數形式，體會分類討論思想。 鞏固復數的分類，深化學生對復數概念的理解。 通過具體實例，抽象概括復數相等的定義，提升學生觀察分析能力。 類比研究，明確兩個復數相等的問題是轉化為關于實數方程組解來解決的，滲透轉化的數學思想。 落實教學目標2與學科素養
環節三 內容3：鞏固理解，概念應用 (10mins) 教學情境3. 例1 ： 實數取什么值時，復數是： 實數； （2）虛數； （3）純虛數。 例2：已知，求實數的值。 解決問題3：復數概念的應用，復數與相等復數判斷的方法。 學習任務1．自主完成例1，例2,進行例1板演，例2師生共同完成。 例1鞏固復數的概念。讓學生在變化中認識復數代數形式的結構，將求復數值的問題轉化為用實數方程或不等式求解的問題。 例2理解兩個復數相等的定義，并會用列方程求解，提升分析解決問題能力。 回扣引出的問題，明確數系的擴充歷史與發展需求，進一步讓學生認識復數的重要性。 落實教學目標3與學科素養
環節四 內容4：目標檢測，檢驗效果 （10mins） 教學情境4. 解決問題4：當堂檢測，反饋教學目標 學習任務1．展示交流 評價反饋 通過檢測及時反饋教學目標，讓學生熟練掌握復數的概念，提升學生的邏輯推理的素養。 落實教學目標3
課堂小結 通過本節課的學習你有哪些收獲？試從知識、方法、數學思想、經驗等方面談談。（5mins） 知識方面：實數系到復數系的擴充過程，復數的基本概念，兩復數相等的充要條件； 思想方法：分類討論、轉化等數學思想； 經驗：學習過程中注重知識間的聯系，實數系到復數系的擴充過程是通過類比自然數系到實數系的擴充過程完成的，而復數實質是一有序數對，與直角坐標系中的點、平面向量都有密切聯系。 理清知識結構，對本節課的學習有一個全面、系統的認識，讓學生的認知更上一層樓。 落實教學目標1,2
六、作業設計 【預習性作業】：實數對應數軸上的點，虛數對應什么點？怎樣將復數代數形式在平面內進行表示？ 時間預設：8mins 【鞏固性作業】：教材85頁習題A組1、2、3題。 時間預設：6mins 【理解性作業】：教材86頁習題B組2、3題。 時間預設：8mins 【拓展性作業】：查閱資料，請同學們搜集復數及虛數“ ”發現、產生、發展的歷史寫一篇數學日記。 （選做作業） 落實雙減目標 1.教材課后習題，鞏固復數概念重視基礎知識和基本技能。 2.用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界。 3.復數概念閱讀，既不影響主體知識建構，又能使學有余力的學生得到進一步發展。
七、板書設計 數系的擴充與復數的概念 數系的擴充 概念：(R） 實數 復數 分類 虛數 純虛數 復數相等：（R）
八、反思 優點：依據課標與、教材、學情制定教學目標，通過教學設計環節循序漸進，實現教學目標，提升核心素養，發現問題、提出問題、分析問題、解決問題。 1.復數的概念（重點、難點）（基礎知識）會用數學的眼光觀察世界。 2.復數的引入（重點）（基本技能）會用數學的語言表達世界。 3.復數有關概念的形成（難點）（基本思想、基本活動經驗）會用數學的思維思考世界。 不足：1.課堂結束時應再次提出問題：復數系還能擴充嗎？（有待學生思考） 2.課本閱讀預留時間短。

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