資源簡介

第十章 概率
10.2事件的相互獨立性
1.結合有限樣本空間，了解兩個隨機事件相互獨立的含義
2.結合古典概型，利用獨立性計算積事件的概率.
重點：兩個事件相互獨立的直觀意義及定義，利用事件的獨立性解決實際問題．
難點：在實際問題情境中判斷事件的獨立性．
（一）創設情境
回顧：隨機事件的關系和運算有哪些？如何計算兩個互斥事件和對立事件的概率？
答：互斥：，對立：，，
并事件(和事件)：或
交事件(積事件)：或
互斥事件的概率性質
對立事件的概率性質
思考：積事件的概率如何計算？
師生活動：讓同學們回答上節課學習的內容.
設計意圖：通過復習相關的概念，為學習事件的相互獨立性做好鋪墊.
（二）探究新知
任務1：通過問題情境，直觀感知事件的獨立性.
探究：1.袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，求下列事件的概率：
（1）=“第一次摸到紅球”；
（2）=“第二次摸到紅球”；
2.袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中有放回地依次隨機摸出2個球，求下列事件的概率：
（1）=“第一次摸到紅球”；
（2）=“第二次摸到紅球”；
連續兩次摸球，=“第一次摸到紅球”發生與否會影響， =“第二次摸到紅球”發生的概率嗎？解釋你的思考.
合作探究：小組內交流，并匯報得出的結論.
答：
1.因為是不放回摸球，所以“第一次摸到紅球” 會影響“第二次摸到紅球” 的概率.
2.因為是有放回摸球，第一次摸球的結果與第二次摸球的結果互相不受影響，所以事件發生與否不影響事件發生的概率.
探究：下面兩個隨機試驗各定義了一對隨機事件和.
試驗1：分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，=“第一枚硬幣正面朝上”，=“第二枚硬幣反面朝上”.
試驗2：一個袋子中裝有標號分別是1、2、3、4的4個球，除標號外沒有其他差異，采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設=“第一次摸到球的標號小于3”，=“第二次摸到球的標號小于3”.
你認為兩個隨機試驗中事件和是什么關系，是互斥事件嗎？若不是，你認為這兩個事件有怎樣的關系？結合事件和的關系，類比學過的事件的關系，你認為事件和叫什么事件？
合作探究：小組內交流，并匯報得出的結論.
答：試驗1：事件和可以同時發生，不是互斥事件.
因為兩枚硬幣分別拋擲，第一枚硬幣的拋擲結果與第二枚硬幣的拋擲結果互相不受影響，所以事件發生與否不影響事件發生的概率.
試驗2：事件和可以同時發生，不是互斥事件.
因為是有放回摸球，第一次摸球的結果與第二次摸球的結果互相不受影響，所以事件發生與否也不影響事件發生的概率.
事件(或)發生與否不影響事件(或)發生的概率，則稱事件和是相互獨立事件.
師生活動：教師給出幾個簡單的事件，引導學生思考，讓學生直觀的感知事件的獨立性.
設計意圖：通過兩個試驗，使學生直觀感知事件的獨立性.
任務2：計算積事件的概率，探究事件獨立性的知識本質
探究：下面兩個隨機試驗各定義了一對隨機事件和.
試驗1：分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，=“第一枚硬幣正面朝上”，=“第二枚硬幣反面朝上”.
試驗2：一個袋子中裝有標號分別是1、2、3、4的4個球，除標號外沒有其他差異，采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設=“第一次摸到球的標號小于3”，=“第二次摸到球的標號小于3”.
我們知道兩個互斥事件和的概率等于這兩個事件的概率之和.即P(+)= P(()+P()，那么，相互獨立事件 與同時發生的概率P()與P()和P()有怎樣的關系呢
合作探究：小組內交流，并匯報得出的結論.
答：試驗1：在該試驗中，用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，則樣本空間={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4個等可能的樣本點。而={(1，1)，(1，0)}，B={(1，0)，(0，0)}，所以 由古典概率模型概率計算公式，得=，)=，于是.
試驗2：在該試驗中，樣本空間，
而，
所以，于是.
總結：直觀判斷：事件發生與否不影響 事件發生的概率.
本質屬性：.
事件的相互獨立性定義：
對任意兩個事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱為獨立。
總結：判斷兩個事件是否相互獨立的方法
（1）直觀意義（方便快捷地判斷是否相互獨立）
（2）定義判斷（檢驗我們的直觀分析是否可靠）
設計意圖：通過簡單的獨立事件，啟發學生得出事件獨立性的定義及積事件的概率求法，
知識拓展：如果事件，，，…，是相互獨立的，那么這個事件同時發生的概率等于每個事件發生的概率之積，即.
設計意圖：這是事件的相互獨立性定義的拓展思考，啟發學生的思維，
任務3：相互獨立事件的概率性質
探究：考慮兩個特殊的隨機事件與任意一個隨機事件是否相互獨立，即必然事件與任意事件是否相互獨立？不可能事件與任意事件是否相互獨立？為什么？請給出你的推理過程.
答：方法1：運用直觀意義
必然事件必然發生，不影響任何事件的概率；不可能事件肯定不可能發生，也不影響任何事件的概率.
方法2：定義推理論證
探究：互為對立的兩個事件是非常特殊的一種事件關系.如果事件與事件相互獨立，那么它們的對立事件是否也相互獨立？
（1）以試驗2“有放回的摸球”試驗為例，分別驗證與 ，與B，與是否獨立？你有什么發現？
（2）一般地，你能給出推理過程嗎？
答：（1），=“第二次摸到球的標號大于等于3”，所以
=“第一次摸到球的標號小于3，第二次摸到球的標號大于等于3”，
所以= ，因此，
（2）對于與，因為=B∪，而且與互斥，
所以，
所以 .
由事件的獨立性定義，A與相互獨立.
類似地，可以證明事件與B，與也都相互獨立.
總結：按照數學對象的研究路徑，你能得出事件獨立性的性質嗎？
直觀判斷：事件發生與否不影響 事件發生的概率.
共同屬性：.
一般定義：對任意兩個事件和，如果.成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱為獨立.
提煉性質：若事件和相互獨立，則事件與相互獨立；與相互獨立；與相互獨立.
探究：互斥事件與相互獨立事件有什么區別？
合作探究：以小組為單位進行討論交流，并匯報.
答：
相互獨立事件 互斥事件
條件 事件（或）是否發生對事件（或）發生的概率沒有影響 不可能同時發生的兩個事件
符號 相互獨立事件，同時發生，記作 互斥事件，中有一個發生，記作（或）
計算公式
設計意圖：通過對比相互獨立事件和互斥事件的概念，區分兩者的不同，加深對兩個事件概念的理解和運用.
（三）應用舉例
例1：一個袋子中有標號分別為1，2，3，4的4個球，除標號外沒有其他差異。采用不放回方式從中任意摸球兩次。記事件“第一次摸出球的標號小于3”，事件“第二次摸出球的標號小于3”，那么事件與是否相互獨立？
提示：利用兩個事件相互獨立的定義進行判斷.
解：因為樣本空間
，
，
所以，.
此時，因此，事件與事件不獨立.
總結：判斷事件相互獨立的步驟：
1.寫出樣本空間，并計算樣本點個數；
2.分別寫出事件的所有基本事件，并計算個數；
3.計算，，；
4.判斷與是否相等；若相等，則相互獨立；若不相等，則不獨立.
例2：甲、乙兩名射擊運動員進行設計比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率：
（1）兩人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）兩人都脫靶；（4）至少有一人中靶.
提示：設“甲中靶”，“乙中靶”．從要求的概率可知，需要先分別求，的對立事件，的概率，并利用，，構建相應的事件
解：設“甲中靶”，“乙中靶”，則“甲脫靶”，“乙脫靶”．由于兩個人射擊的結果互不影響，所以與相互獨立，與，與，與都相互獨立．
由已知可得，，，，．
（1）“兩人都中靶”，由事件獨立性的定義，得
．
“恰好有一人中靶”，且與互斥，根據概率的加法公式和事件獨立性定義，得
.
（3）事件“兩人都脫靶”，所以
.
（4）方法1：事件“至少有一人中靶”，且，與兩兩互斥，所以
.
方法2：由于事件“至少有一人中靶”的對立事件是“兩人都脫靶”，根據對立事件的性質，得事件“至少有一人中靶”的概率為
.
總結：常用的相互獨立事件的概率
相互獨立事件， 概率
，同時發生的概率
不發生發生的概率
發生不發生的概率
，都不發生的概率
，中恰有一個發生的概率
，中至少有一個發生的概率
，中至多有一個發生的概率
例3：甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為．在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響．求“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率．
提示：兩輪活動猜對3個成語，相當于事件“甲猜對1個，乙猜對2個”、事件“甲猜對2個，乙猜對1個”的和事件發生．
解：設，分別表示甲兩輪猜對1個，2個成語的事件，，分別表示乙兩輪猜對1個，2個成語的事件．根據獨立性假定，得
， ， ， .
設“兩輪活動‘星隊’猜對3個成語”，則，且與互斥，與，與分別相互獨立，所以
.
因此，“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率是．
例4：某項選拔共有四輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則即被淘汰已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為、、、，且各輪問題能否正確回答互不影響．
（1）求該選手進入第四輪才被淘汰的概率
（2）求該選手至多進入第三輪考核的概率．
解：（1）記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，
則，，，．
所以選手進入第四輪才被淘汰的概率：
；
（2）該選手至多進入第三輪考核的概率
．
總結：求較為復雜事件的概率的方法
(1)列出題中涉及的各事件，并且用適當的符號表示；
(2)理清事件之間的關系(兩事件是互斥還是對立，或者是相互獨立)，列出關系式；
(3)根據事件之間的關系準確選取概率公式進行計算；
(4)當直接計算符合條件的事件的概率較復雜時，可先間接地計算其對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率．
例5：甲、乙、丙三人組成一個小組參加電視臺舉辦的聽曲猜歌名活動，在每一輪活動中，依次播放三首樂曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜錯，則活動立即結束；若三人均猜對，則該小組進入下一輪，該小組最多參加三輪活動．已知每一輪甲猜對歌名的概率是，乙猜對歌名的概率是，丙猜對歌名的概率是，甲、乙、丙猜對與否互不影響．
（1）求該小組未能進入第二輪的概率；（2）求乙猜歌曲的次數為1次的概率．
解：分別將甲、乙、丙第次猜對歌名記為事件，，，則，，相互獨立．
記“該小組未能進入第二輪”為事件，則
，
或記“該小組未能進入第二輪”為事件，
則．
所以該小組未能進入第二輪的概率為．
記“乙猜歌曲的次數為次”為事件，
則
．
所以乙猜歌曲的次數為次的概率為．
設計意圖：通過例題，加深事件的相互獨立性定義理解，并學習運用.
課堂練習
1.已知事件和相互獨立，且，則( )
. . . .
解：依題意可 ．故選：．
2.拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則與的關系為( )
. 互斥 . 相互對立 . 相互獨立 . 相等
解：顯然事件和事件不相等，故D錯誤，
由于事件與事件能同時發生，所以不為互斥事件，也不為對立事件，故AB錯誤；
因為事件是否發生與事件無關，事件是否發生也與事件無關，故事件和事件相互獨立，故C正確．
故選：．
3.已知事件，相互獨立，且，，則 ．
解：由題設，則．
故答案為：．
4.甲、乙兩人獨立地破譯同一份密碼，已知各人能成功破譯的概率分別是，，則該密碼被成功破譯的概率為 ．
解：根據題意，甲乙兩人能成功破譯的概率分別是，，
則密碼沒有被破譯，即甲乙都沒有成功破譯密碼的概率，
故該密碼被成功破譯的概率．
故答案為：．
5.分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件“第枚正面朝上”，事件“第枚正面朝上”，事件“枚硬幣朝上的面相同”，，，中哪兩個相互獨立？
解：分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，共有正正，正反，反正，反反種情況，
事件“第枚正面朝上”，包括正正，正反兩種情況，則，
事件“第枚正面朝上”，包括正正，反正兩種情況，則，
事件“枚硬幣朝上的面相同”，包括正正，反反兩種情況，則，
事件包括正正一種情況，則，滿足，故A、相互獨立，
事件包括正正一種情況，則，滿足，故A、相互獨立，
事件包括正正一種情況，則，滿足，故C、相互獨立，
綜上，、、兩兩獨立．
6.已知，．
若，求，
若，互斥，求，
若，相互獨立，求，．
解：，7，
，互斥，，
，相互獨立，．
歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.

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