資源簡介

第十章 概率
10.3 頻率與概率
10.3.1 頻率的穩定性
1.能理解在具體情況下隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，獲得隨機事件概率的方法之一，形成一種重要的概率思想.
2.會用頻率估計概率,歸納出頻率與概率的聯系與區別，發展學生數學抽象，直觀想象和邏輯推理的核心素養.
3.通過實際問題分析，培養使用數學的良好意識，提升推理論證能力，激發學習興趣，體驗數學的應用價值和數據分析的核心素養.
重點：頻率與概率的聯系與區別．
難點：對頻率穩定性規律的理解．
（一）創設情境
事件的概率越大，意味著事件發生的可能性越大，在重復試驗中，相應的頻率一般也越大；事件的概率越小，則事件發生的可能性越小，在重復試驗中，相應的頻率一般也越小，在初中，我們利用頻率與概率的這種關系，我們通過大量的重復試驗，用頻率去估計概率，你能舉出生活中那些事情發生的概率是用頻率來估計的？(學生舉例)
想一想：在重復實驗中，頻率的大小是否就決定了概率的大小呢？頻率與概率之間到底是一種怎樣的關系呢？
師生活動：教師展示生活中用頻率估計概率的實例，例如；保險領域的各個中“事故”，讓學生也例舉生活中的實例.
設計意圖：通過直觀觀察，結合身邊的事物引出數學知識，學生會感到親切、生動、真實、易于接受. 同時，由知識回顧，提出問題，引出頻率與概率的關系問題，發展學生數學抽象，直觀想象和邏輯推理的核心素養.
（二）探究新知
任務1：在真實試驗探究頻率和概率之間的關系.
探究：重復做同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣的試驗，設事件“一個正面朝上，一個反面朝上”，統計出現的次數并計算頻率，再與其概率進行比較.
師生活動：1.獨立計算，事件概率；2.小組試驗，記錄頻數；
第一步：每人重復做次試驗，記錄事件發生的次數，計算頻率；
第二步：每名同學為一組，相互比較試驗結果；
第三步：各組統計事件發生的次數，計算事件發生的頻率，將結果填入表中10.3-1中.
3.交流討論，提出猜想;
4.組內交流，匯報展示.
總結：
方法一：用概率計算.
把硬幣正面朝上記為，反面朝上記為，則這個試驗的樣本空間所以概率
方法二：用頻數計算.
思考：比較在自己試驗25次、小組試驗100次和全班試驗總次數的情況下，事件A發生的頻率：
（1）各小組的試驗結果一樣嗎？為什么會出現這種情況？
（2）隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率有什么變化規律？
分析：（1）試驗結果不同---說明隨機事件的頻率是一個變量，隨試驗的改變而改變；
（2）事件A發生的頻率----在0.5范圍左右波動，隨著次數的增加波動范圍變小，得到的值更加接近A的概率0.5.
設計意圖：通過在真實試驗探究頻率和概率之間的關系，讓學生經歷重復試驗，收集，整理數據，發展學生數學抽象和邏輯推理的核心素養，培養學生合作交流的能力.
任務2：在模擬試驗中探究頻率和概率之間的關系.
探究：利用計算機模擬擲兩枚硬幣的試驗，在重復試驗次數為時各做組試驗，得到事件“一個正面朝上，一個反面朝上”發生的頻數和頻率
師生活動：1.從計算機模擬數據中發現了什么？2.分別繪制n=20,n=100,n=500的頻率波動折現圖;3.從圖中能得出什么結論 要求：先獨立思考完成，再小組內交流討論，最后展示匯報.
總結：（1）試驗次數相同，頻率可能不同，這說明隨機事件發生的頻率具有隨機性. (2)從整體看頻率在0.5范圍內波動，當試驗次數時，波動幅度較大；當試驗次數時，波動幅度較小. (3)試驗的次數多的波動幅度并不全比次數少的小，只是波動幅度小的可能性更大.
設計意圖：通過在計算計模擬試驗中探究頻率和概率之間的關系，進一步探究頻率與概率之間的關系，利用圖表，表示試驗數據，通過觀察，比較發現頻率的特征，提升想象和數據分析素養．
任務3：歸納總結頻率和概率之間的關系.
師生活動:1.先獨立梳理結構圖2分鐘；2.小組內交流討論補全完善自己的結構圖；3.以小組為單位進行展示匯報.
總結：
教師可以先總結引出頻率穩定性的概念：一般地，隨著試驗次數的增大，頻率偏離概率概率的幅度會縮小，即事件發生的頻率會逐漸穩定于事件發生的概率.因此，我們可以用頻率估計概率.
設計意圖：讓學生體會用試驗驗證概率模型的合理性，通過試驗發現規律從而建立概率理論模型的思想，進一步提高學生歸納總結和概括問題的能力，解決問題的能力.
（三）應用舉例
例1：新生嬰兒性別比是每名女嬰對應的男嬰數. 通過抽樣調查得知，我國2014年、2015年出生的嬰兒性別比分別為115.88和
（1）估計我國2014年和2015年男嬰的出生率（新生兒中男嬰的比率，精確到）；
（2）根據估計結果，你認為“生男孩和生女孩是等可能的”這個判斷可靠嗎？
提示：（1）如何去計算出生率？（2）這種計算方法能估計出生率？
解：（1）2014年男嬰出生的頻率為：；
2015年男嬰出生的頻率為：；
由此估計，我國2014年男嬰出生率約為，2015年男嬰出生率約為
（2）由于調查新生兒人數的樣本非常大，根據頻率的穩定性，上述對男嬰出生率的估計具有較高的可信度. 因此，我們有理由懷疑“生男孩和生女孩是等可能的”的結論.
例2：一個游戲包含兩個隨機事件A和B，規定事件A發生則甲獲勝，事件B發生則乙獲勝. 判斷游戲是否公平的標準是事件A和B發生的概率是否相等.
在游戲過程中甲發現：玩了10次時，雙方各勝5次；但玩到1000次時，自己才勝300次，而乙卻勝了700次. 據此，甲認為游戲不公平，但乙認為游戲是公平的. 你更支持誰的結論？為什么？
提示：（1）游戲玩10次和玩1000次，甲和乙的獲勝的頻率分別是多少？（2）它們的頻率是相同 ？若不同有什么區別？能用這些頻率估計概率？（3）概率的大小和游戲的公平性直接有什么關系？.
解：（1）當游戲玩了10次時，甲、乙獲勝的頻率都為0.5；當游戲玩了1000次時，甲獲勝的頻率為0.3，乙獲勝的頻率為0.7.
（2）根據頻率的穩定性，隨著試驗次數的增加，頻率偏離概率很大的可能性會越來越小。相對10次游戲，1000次游戲時的頻率接近概率的可能性更大，因此我們更愿意相信1000次時的頻率離概率更近.
（3）而游戲玩到1000次時，甲、乙獲勝的頻率分別是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由認為游戲是不公平的. 因此，應該支持甲對游戲公平性的判斷.
例3:氣象工作者有時用概率預報天氣，如某氣象臺預報“明天的降水概率是90%.如果您明天要出門，最好攜帶雨具”. 如果第二天沒有下雨，我們或許會抱怨氣象臺預報得不準確. 那么如何理解“降水概率是90%”？又該如何評價預報的結果是否準確呢？
提示：（1）氣象預報長期記錄有什么作用？（2）90%相當于是以往事件發生的頻率，可以用它估計事情發生的概率？（3）當隨機事件的概率高時，事件是不是一定會發生？
解：只有根據氣象預報的長期記錄(相當于大量試驗)，才能評價預報的準確性;
（1）如果在類似氣象條件下預報要下雨的那些天（天數較多）里，大約有90%確實下雨了，那么應該認為預報是準確的；
（2）如果真實下雨的天數所占的比例與90%差別較大，那么就可以認為預報不太準確.
設計意圖：通過實例分析，讓學生掌握運用頻率來計算事件概率，提升推理論證能力，提高學生的數學抽象，數學建模及邏輯推理的核心素養．
（四）課堂練習
1.在一次拋硬幣的試驗中，同學甲用一枚質地均勻的硬幣做了次試驗，發現正面朝上出現了次，那么出現正面朝上的頻率和概率分別為( )
A. B. C. D.
解：出現正面的頻率是，出現正面的概率是，
故選：．
2.用隨機事件發生的頻率去估算這個事件發生的概率．下列結論正確的是( )
A. 事件發生的概率是
B. 事件發生的概率，則事件是必然事件
C. 用某種藥物對患有胃潰瘍的名病人治療，結果有人有明顯的療效，現有胃潰瘍的病人服用此藥，則估計有明顯療效的可能性為
D. 某獎券中獎率為，則某人購買此券張，一定有張中獎
解：對于，可以是或，故A錯誤；
對于，事件發生的概率，則事件是隨機事件，故B錯誤；
對于，根據概率的定義，估計有明顯療效的可能性為，可判斷C正確；
對于，某獎券中獎率為，某人購買此券張，不一定有張中獎，D錯誤；
故選：．
3.下列關于隨機事件的頻率與概率的關系的說法中，正確的是 填序號．
頻率就是概率
頻率是客觀存在的，與試驗次數無關
概率是隨機的，在試驗前不能確定
隨著試驗次數的增多，頻率越來越接近概率．
解：頻率不是概率，所以不正確
頻率是通過試驗得到的，不是客觀存在的，與試驗次數有關，所以不正確
概率不是隨機的，所以不正確
很明顯，隨著試驗次數的增多，頻率越來越接近概率，故正確．
4.某射手在同一條件下進行射擊，結果如表所示：
射擊次數
擊中靶心次數
擊中靶心的頻率
填寫表中擊中靶心的頻率；
這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？
解：根據表中數據，計算依次填入的數據為：
，，，，，；
計算，
由于頻率穩定在常數附近，
所以這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是．
5.電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：
電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類
電影部數
好評率
好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值．
Ⅰ從電影公司收集的電影中隨機選取部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；
Ⅱ隨機選取部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；
Ⅲ電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發生變化假設表格中只有兩類電影的好評率數據發生變化，那么哪類電影的好評率增加，哪類電影的好評率減少，使得獲得好評的電影總部數與樣本中的電影總部數的比值達到最大？只需寫出結論
解：Ⅰ總的電影部數為部，
獲得好評的第四類電影，
故從電影公司收集的電影中隨機選取部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；
Ⅱ獲得好評的電影部數為，
估計這部電影沒有獲得好評的概率為，
Ⅲ故只要第五類電影的好評率增加，第二類電影的好評率減少，則使得獲得好評的電影總部數與樣本中的電影總部數的比值達到最大．
設計意圖：通過課堂練習，進步讓學生理解用頻率的穩定性解決問題，鞏固頻率和概率區別，提高學生認知的能力，解決問題能力.
（五）歸納總結
通過本節課的研究，大家學到了哪些？想想這樣知識還可以應用在那些方面？
設計意圖：師生共同回顧總結，引領學生感悟數學認知，體會數學核心素養；通過對之前知識的梳理，提高學生總結概括能力，明確這節課要突破和學習的重點知識內容.

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