資源簡介

概率
10.3.2隨機(jī)模擬
1.了解隨機(jī)數(shù)的意義.
2.會用模擬方法(包括計算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬)估計概率.
3.通過利用隨機(jī)模擬的方法估計事件的概率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
4.通過學(xué)習(xí)事件概率的計算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).
重點：利用隨機(jī)模擬試驗求概率．
難點：理解用模擬方法估計概率的實質(zhì).
（一）創(chuàng)設(shè)情境
回顧：如何求實際問題的概率？
師生活動：教師提出問題，讓學(xué)生帶著問題回顧思考.
答：對于古典概型，我們有兩種方法求概率，方法一：利用古典概型的概率計算公式求解；方法二：重復(fù)試驗以頻率估計概率；而對于非古典概型，只能用方法二進(jìn)行求解.
思考：用頻率估計概率，需要做大量的重復(fù)試驗，有沒有其他方法可以替代試驗?zāi)?
（二）探究新知
任務(wù)1：隨機(jī)模擬的概念及蒙特卡洛方法.
思考：你知道哪些可以產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法？
答：方法一：由試驗產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，例如我們要產(chǎn)生0~9之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，像彩票搖獎那樣，把10個質(zhì)地和大小相同的號碼球放入搖獎器中，充分?jǐn)嚢韬髶u出一個球，這個球上的號碼稱為隨機(jī)數(shù).
方法二：利用計算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)
思考：計算器或計算機(jī)軟件產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是真正的隨機(jī)數(shù)嗎？
答：利用計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)是按照確定的算法產(chǎn)生的數(shù)，具有周期性，因此我們把利用計算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)稱為偽隨機(jī)數(shù).
探究1：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，計算反面朝上的頻率，你認(rèn)為便捷的方法是什么？具體如何操作呢？
答：由于次數(shù)較多，計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)更便捷；雖然有周期性產(chǎn)生的是偽隨機(jī)數(shù)，但周期較長；且頻率本身也是概率的估計值，所以可以用計算機(jī)模擬試驗.
結(jié)合excel中RANDBETWEEN函數(shù)，產(chǎn)生取值于0-1之間的隨機(jī)整數(shù)，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上.這樣不斷產(chǎn)生0，1兩個隨機(jī)數(shù)，相當(dāng)于不斷地做拋擲硬幣的試驗.并用COUNTIF函數(shù)計算出表格中1的個數(shù)，除以100即可得到反面朝上的概率.
師生活動：教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨立思考并進(jìn)行2分鐘小組合作探究，每組挑選一名代表展示小組討論結(jié)果.待學(xué)生充分展示后，教師提出新問題：當(dāng)試驗的元素變多時，你還能用類似的方法計算頻率嗎？
設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的能力的同時，鍛煉學(xué)生小組合作能力與總結(jié)歸納能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
探究2：一個瓶子里裝有2個紅球和3個白球，這些球除了顏色不同外沒有其他區(qū)別，每次隨機(jī)摸出一個球，摸出紅球的概率是多少？
合作探究：
1.先進(jìn)行獨立思考，再通過小組合作，討論如何用隨機(jī)數(shù)表示多種元素.
2.嘗試用試驗或結(jié)合計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)估測摸出紅球的概率.
3.五分鐘后每組派一名代表對討論結(jié)果進(jìn)行展示.
可以讓計算器或計算機(jī)產(chǎn)生取值于集合{1，2，3，4，5}的隨機(jī)數(shù)，用1，2表示紅球，用3，4，5表示白球.這樣不斷產(chǎn)生1~5之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，相當(dāng)于不斷地做從袋中摸球的試驗.
用電子表格軟件模擬上述摸球試驗的結(jié)果，其中n為試驗次數(shù)，nA為摸到紅球的頻數(shù)，f(A)為摸到紅球的頻率.
畫出頻率折線圖，從圖中可以看出：
隨著試驗次數(shù)的增加，摸到紅球的頻率穩(wěn)定于概率0.4.
說一說：根據(jù)上述模擬摸球?qū)嶒?，你能說一說什么是隨機(jī)模擬試驗嗎
答：我們知道，利用計算器或計算機(jī)軟件可以產(chǎn)生隨機(jī)數(shù).實際上，我們也可以根據(jù)不同的隨機(jī)試驗構(gòu)建相應(yīng)的隨機(jī)數(shù)模擬試驗，這樣就可以快速地進(jìn)行大量重復(fù)試驗了，這么隨機(jī)模擬方式叫做隨機(jī)模擬.我們稱利用隨機(jī)模擬解決問題地方法為蒙特卡洛方法.
（三）應(yīng)用舉例
例1：從你所在班級任意選出6名同學(xué)，調(diào)查他們的出生月份，假設(shè)出生在一月，月……十二月是等可能的.設(shè)事件 A=“至少有兩人出生月份相同”，設(shè)計一種試驗方法，模擬 20次，估計事件A發(fā)生的概率.
解:(法1)根據(jù)假設(shè)，每個人的出生月份在12個月中是等可能的，而且相互之間沒有影響，所以觀察6個人的出生月份可以看成可重復(fù)試驗.因此，可以構(gòu)建如下有放回摸球試驗進(jìn)行模擬：在袋子中裝入編號為1，2，…，12的12個球，這些球除編號外沒有什么差別.有放回地隨機(jī)從袋中摸6次球，得到6個數(shù)代表6個人的出生月份，這就完成了一次模擬試驗.如果這6個數(shù)中至少有2個相同，表示事件 A發(fā)生了.重復(fù)以上模擬試驗20次，就可以統(tǒng)計出事件A發(fā)生的頻率.
(法2)利用電子表格軟件模擬試驗.在A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1單元格分別輸入“=RANDBETWEEN(1，12)”，得到6個數(shù)，代表6個人的出生月份，完成一次模擬試驗，選中A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1單元格，將鼠標(biāo)指向右下角的黑點，按住鼠標(biāo)左鍵拖動到第 20行，相當(dāng)于做20次重復(fù)試驗，統(tǒng)計其中有相同數(shù)的頻率，得到事件A的概率的估計值.
下表是20次模擬試驗的結(jié)果，事件A發(fā)生了14次，事件A的概率估計值為0.70，與事件A的概率(約0.78)相差不大.
總結(jié)：隨機(jī)模擬法的步驟
（1）建立概率模型
（2）進(jìn)行模擬試驗（可用計算器或計算機(jī)進(jìn)行）
（3）統(tǒng)計試驗結(jié)果
例2：在一次奧運會男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進(jìn)入了決賽.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4.利用計算機(jī)模擬試驗，估計甲獲得冠軍的概率.
解：設(shè)事件A =“甲獲得冠軍”，事件B=“單局比賽甲勝”，則P(B)=0.6.用計算器或計算機(jī)產(chǎn)生 1~5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2或3時，表示一局比賽甲獲勝，其概率為0.6.
由于要比賽3局，所以每3個隨機(jī)數(shù)為一組.例如，產(chǎn)生 20 組隨機(jī)數(shù)：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
相當(dāng)于做了 20次重復(fù)試驗.其中事件A發(fā)生了 13 次，對應(yīng)的數(shù)組分別是423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，用頻率估計事件A的概率的近似為.
總結(jié)：用隨機(jī)模擬來估計概率，一般有如下特點的事件可以用這種方法來估計：
(1)對于滿足“有限性”但不滿足“等可能性”的概率問題，我們可采取隨機(jī)模擬方法來估計概率.
(2)對于一些基本事件的總數(shù)比較大而導(dǎo)致很難把它列舉得不重復(fù)、不遺漏的概率問題或?qū)τ诨臼录牡瓤赡苄噪y于驗證的概率問題，可用隨機(jī)模擬方法來估計概率.
（四）課堂練習(xí)
1.天氣預(yù)報顯示，在今后的三天中，每一天下雨的概率為，現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率：先利用計算器產(chǎn)生--之間整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，并制定用，，，表示下雨，用，，，，，表示不下雨，再以每個隨機(jī)數(shù)作為一組，代表三天的天氣情況，產(chǎn)生了如下組隨機(jī)數(shù)
則這三天中恰有兩天下雨的概率近似為( )
A. 0.35 B. 0.25 C. 0.20 D. 0.15
解：由題意知模擬三天中恰有兩天下雨的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了組隨機(jī)數(shù)，
在組隨機(jī)數(shù)中表示三天中恰有兩天下雨的有：
、、、、，共組隨機(jī)數(shù)，
所求概率為=0.25
故選B．
2.一個不透明的盒子中裝有 10 個黑球和若干個白球，它們除顏色不同外，其余均相同，從盒子中隨機(jī)摸出一球記下其顏色，再把它放回盒子中搖勻，重復(fù)上述過程，共試驗 400 次，其中有 240 次摸到白球，由此估計盒子中的白球大約有( )
A. 10 個 B. 15 個 C.18 個 D.30 個
解：設(shè)白球有x個
解得：x=15，
經(jīng)檢驗x=15是分式方程的解
即白球有15個，
故選： B.
3.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得 254 粒 內(nèi)夾谷 28 粒，則這批米內(nèi)夾谷約為( ）
A. 134 石 B. 169 石 C.338 石 D.1 365 石
解：由題意，這批米內(nèi)夾谷約為石．故選：B．
4.分別設(shè)計一個方案：在一個質(zhì)地均勻的正方體的六個面上標(biāo)上恰當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得多次重復(fù)試驗后擲出的點數(shù)滿足下面的條件：
“”朝上的頻率穩(wěn)定在
大于和小于的點數(shù)的頻率相同．
解：在兩個面上寫上數(shù)字，其余四個面上分別寫上數(shù)字、、、；
答案不唯一
在兩個面上寫上數(shù)字，其余四個面上分別寫上數(shù)字、、、答案不唯一
5.在學(xué)習(xí)概率時，老師說：“擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，大量重復(fù)實驗后，正面朝上的概率約是”小海、小東、小英分別設(shè)計了下列三個模擬實驗：
小海找來一個啤酒瓶蓋如圖進(jìn)行大量重復(fù)拋擲，然后計算瓶蓋口朝上的次數(shù)與總次數(shù)的比值；
小東用硬紙片做了一個圓形轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤上分成個大小一樣的扇形區(qū)域，并依次標(biāo)上至個數(shù)字如圖，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤次，然后計算指針落在奇數(shù)區(qū)域的次數(shù)與總次數(shù)的比值；
小英在一個不透明的盒子里放了四枚除顏色外都相同的圍棋子如圖，其中有三枚是白子，一枚是黑子，從中隨機(jī)同時摸出兩枚棋子，并大量重復(fù)上述實驗，然后計算摸出的兩枚棋子顏色不同的次數(shù)與總次數(shù)的比值．

根據(jù)以上材料回答問題：
小海、小東、小英三人中，哪一位同學(xué)的實驗設(shè)計比較合理，并簡要說出其他兩位同學(xué)實驗的不足之處．
解：小英設(shè)計的模擬實驗比較合理．
小海選擇的啤酒瓶蓋質(zhì)地不均勻；小東操作轉(zhuǎn)盤時沒有用力轉(zhuǎn)動，而且實驗次數(shù)太少，沒有進(jìn)行大量重復(fù)實驗．
設(shè)計意圖：通過課堂練習(xí)，讓學(xué)生反復(fù)鞏固利用隨機(jī)模擬估計概率，能夠靈活運用.
（五）歸納總結(jié)
回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你都學(xué)到了什么？
設(shè)計意圖：通過小結(jié)讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識.

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