資源簡介

7.1.1數系的擴充和復數的概念
課標要求 通過方程的解，認識復數。理解復數的代數表示。理解兩個復數相等的含義。
內 容 與 學 情 分 析 內容分析 復數的引入是數系的又一次擴充，也是中學階段數系的最后次擴充，通過復數的學習，可以使學生對于數的概念有一個更加完整的認識。復數與平面向量、平面解析幾何，三角函數等都有密切的聯系，也是進一步學習數學的基礎。復數在力學、電學及其他學科中都有廣泛的應用。在數學中，數系的擴充必須遵循有關的“規則”，即擴充后的數系中規定的加法運算，乘法運算，與原數系中的加法運算、乘法運算協調一致，并且加法和乘法都滿足交換律和結合律，乘法對加法滿足分配律。從實數系向復數系擴充，同樣要符合這樣的規則。復數概念的引入，從實系數一元二次方程當判別式小于0時沒有實數根出發，回顧從自然數系逐步擴充到實數系、特別是有理數系擴充到實數系的過程，得到數系擴充中體現出的“規則”，進而在“規則”的引導下，考慮為使方程x2+1=0有解，引人新數i，從而可以像實數一樣進行加法、乘法運算并保持運算律的角度，將實數集擴充到復數集，這一過程，通過數系擴充“規則”的歸納，提升學生的數學抽象素養；通過實數系向復數系的擴充，讓學生體會類比的數學思想，提升學生的邏輯推理素養，并感受人類理性思維在數系擴充中的作用。復數的概念是整個復數內容的基礎。復數的有關概念都是圍繞復數的代數表示形式展開的，虛數單位、實部、虛部的命名，復數相等的含義，以及虛數、純虛數等概念的理解，都是在促進對復數實質的理解，即復數a+bi實質上是有序實數對(a，b)。通過對復數實質的揭示，為后續復數的幾何意義、復數的四則運算以及復數的三角表示的學習作準備。因此，復數的概念，對本章具有奠基性的作用。
學習重點 復數的概念、代數形式。
學習難點 復數的擴充過程及復數的概念的抽象過程。
學情分析 學生在學習本節課內容之前，在義務教育階段已經經歷了從自然數到實數的擴充過程，對數系的擴充有了一定的認識，知道數系擴充后，新的數系能夠解決在原有數系中無法解決的一些解方程問題（如引入無理數，把有理數系擴充到實數系后，可以解決方程x2-2=0的解這樣的問題等)，因此當遇到像x2+1=0這樣的方程的解問題時，通過引導啟發，學生能夠聯想到對現有的實數系進行進一步擴充，從而使方程x2+1=0有解。學生在前面的學習中，也已多次利用過類比的方法來研究數學問題，這為本節課類比有理數系擴充到實數系的過程和方法，將實數系擴充到復數系提供了可能。學生在學習時可能出現的障礙為：(1)因為現實生活中沒有任何事物支持虛數，學生可能會懷疑引入復數的必要性，在教學中，如果單純地講解或介紹復數的概念會顯得枯燥無味，學生不易接受。(2)由于知識儲備和認知能力的限制，學生對數系擴充的一般規則并不熟悉，對虛數單位的引人，以及虛數單位和實數進行形式化運算的理解會出現一定困難。(3)學生以前學習過的數都是單純的一個數，而復數的代數形式是兩項和的形式，學生比較陌生，因此理解上會存在一定困難。
學習目標 通過梳理數系的擴充過程，了解引入復數的必要性。2. 通過方程的解，認識復數。3. 理解復數的代數表示及相關概念。4. 理解兩個復數相等的含義。
核心素養 1. 經歷數系的擴充過程，培養數學抽象與邏輯推理的素養。2. 通過復數的概念及復數相等的含義，提升數學運算、數學抽象與邏輯推理的素養。
學生課前需要做 的準備工作 學生通過信息手段，查閱數的發展史，明確數從自然數集擴充到實數集都解決了什么實際問題。
學習策略 問題驅動教學法 講練結合
學習環節 學習任務設計與教師活動 學生活動設計 設計意圖落實目標
導入新課：創設情境，引出研究內容 問題1：能否求出方程x2+2x+2=0的解？教師分析方程沒有實數解的原因——負實數不能開平方。讓學生閱讀教材章引言，展示本節課學習目標。 計算方程判別式小于0，得出結論：方程沒有實數解.閱讀教材，明確本章學習內容及本節學習目標。 利用學生熟悉的一元二次方程解的問題引出課題，說明引入復數的必要性。明確目標。
環節一：歸結為方程求解，梳理數系擴充的規則 問題2：我們知道，像x2 +1=0 這些方程在實數集中是無解的，那能否類比從自然數集到實數集的擴充過程，通過引進新的數而使實數集得到擴充，從而使方程有解？ 教師從兩方面（生產生活和方程）梳理從自然數集到實數集的擴充過程，滲透數學文化，并板書。明確數系的擴充規則。 利用自己課前查閱的資料，回顧從自然數集到實數集的擴充過程，完成導學案。理解數系的擴充規則。 通過回顧數的發展過程，使學生體會到現實生產生活對數學發展的推動作用，體會方程與數的發展的聯系，激發學生對數系擴充的興趣。
環節二：依據規則，擴充實數集，引入復數 讓學生閱讀教材，填空將新數i添加到實數集后，引導學生依據規則抽象出新數集中數的形式——a+bi(a,b∈R)播放視頻，讓學生了解復數的發展史。 閱讀教材，填空明確將新數i添加到實數集依據規則抽象出復數a+bi(a,b∈R)觀看視頻，了解復數的發展史。 讓學生類比從自然數集到實數集的擴充過程，自然地引導學生從解方程的角度出發探究數系的擴充，使“新數i”的添加變得水到渠成,積累研究數學問題的經驗. 培養學生數學抽象和邏輯推理等核心素養。 滲透數學文化。
環節三：梳理復數的有關概念 教師講授：（一）復數的定義復數集 (二)復數的代數表示利用練習引出復數的分類復數的分類及時用例題和練習鞏固知識點（四）復數相等 說明：（1）復數由它的實部和虛部唯一確定。（為下節課做鋪墊）（2）復數只能說相等或不相等，而只有當兩個復數都是實數時才能比較大小，否則，不能比較大小. 講解例題 通過教師教授完成導學案通過例題和練習鞏固知識點 通過對復數進行分類，深化學生對于復數的認識. 通過問題讓學生理解復數集與以前學過的數集之間的關系，深化學生對復數集的理解，將新知與舊知聯系起來，完善已有的知識結構.
達標 檢測 達標檢測1．判斷正誤．（1）若a ， b為實數，則z=a+bi為虛數．( )（2）實數集與復數集的交集是實數集．( )2．若復數z的實部和虛部之和為3 ，則復數z可以是( )A．3 i B．3+i C． 1+4i D．1+3i3．已知a,b∈R，(a 1)+2i=(1 3a)+(1 b)i，則（ ）A．b= 2a B．b=2a C．a= 2b D．a=2b4．當實數a為何值時，復數z=(a2+2a 3)+(a+3)i為純虛數 鏈接高考
課堂小結 從知識方面和思想方法兩方面進行總結。通過對本節課涉及的知識和思想方法的總結，使學生進一步熟悉復數的概念以及相關知識，深化對新知的理解，體會其中蘊含的數學思想方法和核心素養。
板書 設計 數系的擴充 復數的概念定義代數表示分類復數相等
自然數集
實數集
有理數集
整數集

展開更多......

收起↑