資源簡介

6. 4．3平面向量的應用----余弦定理
課題 6.4.3平面向量的應用—余弦定理 學科 數學 年級 高一
教材分析 本節內容是平面向量的應用，是在平面向量概念及其運算的基礎上展開的。前兩節學面向量在幾何證明和物理中的應用，繼續研究解三角形問題。本節課主要研究余弦定理及其應用。
教學目標 1.了解余弦定理的推導過程； 2.掌握余弦定理的幾種變形公式及應用； 3.能利用余弦定理求解三角形的邊、角等問題。
重點 用向量法推導余弦定理并應用余弦定理解三角形
難點 應用余弦定理解三角形
教學過程
教學環節 教師活動 學生活動 設計意圖
導入新課 舊知導入： 平面向量在解決數學和實際問題中有舉足輕重的作用，那么，接下來我們將借助向量的運算探索三角形邊長與角度的關系，把解直角三角形問題拓展到解任意三角形問題。 學生思考問題，引出本節新課內容。 設置問題情境，回顧舊知，激發學生學習興趣，并引出本節新課。
講授新課 知識探究（一） 余弦定理
思考1：我們知道，兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等。這說明，給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的。也就是說，三角形的其他邊、角都可以用這兩邊及其夾角來表示。那么，表示的公式是什么？
余弦定理：
三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即
利用余弦定理，我們可以從三角形已知的兩邊及其夾角直接求出第三邊。
思考3：余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系。應用余弦定理，我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題，怎么確定呢？
由余弦定理可得如下推論：
利用推論，可以由三角形的三邊直接計算出三角形的三個角。
思考4：勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關系，余弦定理則指出了三角形的三邊與其中的一個角之間的關系。你能說說這兩個定理之間的關系嗎？
【小試牛刀】 思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”) (1) 余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關系，因此，它適應于任何三角形．(　　) (2)余弦定理只適用于已知三邊和已知兩邊及其夾角的情況．(　×　) (3) 在△ABC中，已知兩邊和其夾角時，△ABC不唯一．(　　) (4)已知△ABC中的三邊，可結合余弦定理判斷三角形的形狀．(　√　) (5)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，則∠A為銳角．(　　) (6) 在△ABC中，若a2>b2＋c2，則△ABC一定為鈍角三角形．(　　) 例1 在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a. 【跟蹤訓練】1 在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解這個三角形. 方法總結： (1)已知兩邊和兩邊夾角，直接應用余弦定理求出第三邊，然后根據邊角關系應用 (2)已知三角形的三邊求角時，可先利用余弦定理的推論求解出各角的大小． 【當堂達標】 1.在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，則角A為(　 　) A. B. C. D.或 2.在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，則c的值為(　 　) A．4 B．8 C．4或8 D．無解 3.在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若a＝2，B＝，c＝2，則b＝ . 【課堂小結】 1．適用范圍：余弦定理對任意的三角形都成立． 2. 主要功能：余弦定理的主要功能是實現三角形中邊角關系的互化，適用于解三角形． 【課后作業】 教材44頁，練習1，2 探究向量法推導余弦定理 會用自己的語言描述余弦定理的內容 公式變形， 得到推論 概念辨析 余弦定理的應用 鞏固基礎知識，發散學生思維，培養學生思維的嚴謹性和對數學的探索精神。 理解余弦定理 根據三變會求三個角，推導出余弦定理的推論 明確勾股定理和余弦動定理的關系 加深對余弦定理的理解

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