資源簡介

教學設計
課題 5.4.3正切函數的性質與圖象
課型 新授課 章/單元復習課□ 專題復習課□ 習題/試卷講評課□ 學科實踐活動課□ 其他□
教學內容分析
本課選自《普通高中數學必修第一冊》人教A版（2019）第五章《三角函數》的第四節《三角函數的圖象與性質》. 本節的主要內容是正切函數的圖象和性質，上一節學習了正弦、余弦函數的圖象和性質，為本節研究正切函數的圖象和性質奠定了基礎，也為學習本節課內容作了方法上的鋪墊，另外數形結合和類比的思想方法也貫穿了本節內容的始終，學生在此基礎上來學習正切函數的圖象和性質，是對前面知識的延伸和深化.同時，本節內容也為研究函數y=Asin(ωx+φ)的圖象打下了基礎，起到了承前啟后的作用，因此，本節內容有著極其重要的地位. 教材首先通過誘導公式，先從代數的角度獲得正切函數的周期性與奇偶性，將正切函數在整個定義域內的性質歸結為區間上的圖象與性質，利用正切函數的定義，可以得到正切函數值的變化趨勢，從而確定函數的單調性，體現了數形結合的思想.
學習者分析
通過對函數和三角函數的定義，正弦函數、余弦函數的圖象和性質等知識的系統學習，學生對作函數的圖象已經構建了一定的認知結構，也掌握了研究函數性質的方法. 通過高中前階段的學習，學生對由觀察到抽象的數學活動過程已有一定的體會，已初步了解了數形結合的數學思想. 學生這些已有的基礎為本課的開展提供了知識保障和能力支持，本節內容對數形結合、數學抽象、邏輯推理等能力有較高要求，但學生運用數學知識解決實際問題的能力和數學抽象、邏輯推理的核心素養還有待提高，學生探究問題以及合作交流的能力發展不夠均衡，所以學生學習起來還是有一定難度的.
學習目標
（1）經歷從正切函數的性質、定義出發研究它的圖象，提升直觀想象、邏輯推理的核心素養； （2）利用圖象研究正切函數的性質，培養數學抽象的核心素養； （3）能夠應用正切函數的圖象和性質解決相關問題，提升數學運算的核心素養。
學習重點難點
重點：正切函數的周期性、奇偶性、定義域、單調性和值域； 難點：能夠應用正切函數的圖象和性質解決相關問題.
學習條件支持
為了加強學生對正切函數的圖象的直觀感受，需要利用信息技術工具作圖
學習活動設計
過程學習內容與教師活動 （引領性問題）學生任務或學習活動設計設計意圖或評價目標環節一內容1.（創設情境） 教師活動： 思考： （１）根據研究正弦函數、余弦函數的經驗，你認為應如何研究正切函數的圖象與性質？ （２）你能用不同的方法研究正切函數嗎？ 有了前面的知識準備，我們可以換個角度，即從正切函數的定義出發研究它的性質，再利用性質研究正切函數的圖象.學生任務1. 學生學習活動： 回答： （1）先根據正切函數的定義，借助單位圓直接畫出函數的圖象，再利用圖象直觀研究函數的性質. （2）以定義為出發點，先研究函數的部分性質，再結合定義和這些性質研究函數的圖象，然后借助圖象的觀察進一步獲得函數的其他性質.設計意圖： 用兩個問題引導學生對函數性質的研究經驗進行概括總結，并嘗試用不同的方法進行創造性的實踐. 評價目標： 通過任務1總結研究函數的一般方法，發展學生邏輯推理的核心素養.內容2. 教師活動： 探究： 指導學生探究正切函數的周期和奇偶性，然后總結學生的探究結果并進行展示. 思考： 你認為正切函數的周期性和奇偶性對研究它的圖象及其他性質會有什么幫助？ 學生任務2. 學生學習活動： 展示： 1、周期性 由誘導公，∈R，且≠+， ∈Z,可知，正切函數是周期函數，周期是π. 2、奇偶性 由誘導公式=， ∈R，且≠+， ∈Z， 可知，正切函數是奇函數.設計意圖： 由于一個角的正切值是這個角的終邊與單位圓交點的坐標比值，難以直接利用正切值的幾何意義對正切函數進行幾何作圖，對正切函數圖象與正切定義之間的內在聯系在理解上有一定的難度。為突破這一難點，教科書采用第二種思路. 評價目標： 通過任務2明確研究正切函數的思路，發展學生直觀想象的核心素養.小結： 總結正切函數的周期和奇偶性對研究正切函數圖象及其他性質的好處環節二內容3. 教師活動： 介紹正切值和線段AT長度等價轉換的原理. 探究： （1）如何畫出函數, ∈[0, 的圖象？ 教師展示正切函數 ∈[0,圖象，讓學生對照自己所做圖象并糾正. （2）你能借助以上結論，并根據正切函數的性質，畫出正切函數的圖象嗎？ 我們把它叫做正切曲線。 從圖5.4.11可以看出，正切曲線是被與軸平行的一系列直線+， ∈Z所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的.學生任務3. 學生學習活動： 合作探究： 根據教師的介紹并觀察圖5.4.10，當∈[0, 時，隨著的增大，線段AT的長度也在增大，而且當趨向于時，AT的長度趨向于無窮大。相應地，函數 ∈[0,的圖象從左向右呈不斷上升趨勢，且向右上方無限逼近直線＝ 嘗試畫出正切函數在∈[0,時的圖象. 根據正切函數是奇函數，只要畫, ∈[0, 的圖象關于原點的對稱圖形，就可得到, ∈(-,0]的圖象；根據正切函數的周期性，只要把函數, ∈(-, 的圖象向左、右平移，每次平移π個單位，就可得到正切函數∈R，且≠+， ∈Z的圖象.設計意圖： 通過由誘導公式得出正切函數的周期性、奇偶性，由定義畫出正切函數在[0,圖象，再由周期性、奇偶性畫出正切曲線，讓學生感受整個函數圖象獲得的過程，使學生具有研究函數的基本素養：作圖，識圖，用圖的能力. 評價目標： 通過任務2、3達成目標1，發展學生直觀想象的核心素養. 環 節 三 環 節 四內容4. 教師活動： 探究： 組織學生分組討論總結正切函數的其它性質. 學生任務4： 學生活動： 合作探究： 3、單調性 觀察正切曲線可知，正切函數在區間(-, 上單調遞增. 由正切函數的周期性可得，正切函數在每一個區間 (-+k, +k),k∈Z,上都單調遞增. ４、值域 當∈(-, 時，在（－∞，＋∞）內可取到任意實數值，但沒有最大值、最小值．因此，正切函數的值域是實數集R.設計意圖： 在已有正切函數圖象的基礎上，進而研究正切函數的單調性、值域. 評價目標： 通過任務4，達成目標2，發展學生直觀想象、數學抽象的核心素養.內容5. 教師活動： 探究： 例６. 求函數的定義域、周期及單調區間. 分析：利用正切函數的性質，通過代數變形可以得出相應的結論. 歸納總結： （1）求與正切函數有關的函數的定義域時，除了求函數定義域的一般要求外，還要保證正切函數y＝tan x有意義即x≠＋kπ，k∈Z； （2）判定與正切函數有關的函數奇偶性的方法： 先求函數的定義域，看其定義域是否關于原點對稱，若其不關于原點對稱，則該函數為非奇非偶函數；若其關于原點對稱，再看f(－x)與f(x)的關系； （3）求y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的單調區間時，由kπ－<ωx＋φ板書設計
定義： 周期： 奇偶性： 圖象： 5.4.3正切函數的性質與圖象 性質總結： 例題解題過程示范：
教學反思與改進
大膽讓學生自己動手探究，體現學生的主體地位，主動思考，合作探究，讓學生在探究中加深對新知識的理解、掌握.

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