資源簡介

教學設計
課題 基本不等式
課型 新授課 章/單元復習課□ 專題復習課□ 習題/試卷講評課□ 學科實踐活動課□ 其他□
教學內容分析
相等關系、不等關系是數學中最基本的數量關系，是構建方程、不等式的基礎.基本不等式是一種重要且基本的不等式類型，在中學數學知識體系中也是一個非常重要的、基礎的內容.基本不等式與很多重要的數學概念和性質相關。從數與運算的角度，是兩個正數a，b的“算術平均數”，是兩個正數a，b的“幾何平均數”因此，不等式中涉及的是代數中的“基本量”和最基本的運算.從幾何圖形的角度，“周長相等的矩形中，正方形的面積最大”“等圓中，弦長不大于直徑”等，都是基本不等式的直觀理解.基本不等式的證明或推導方法很多，上面的分析也是基本不等式證明方法的來源。利用分析法，從數量關系的角度，利用不等式的性質來推導基本不等式;從幾何圖形的角度，借助幾何直觀，通過數形結合來探究不等式的幾何解釋;從函數的角度，通過構造函數，利用函數性質來證明基本不等式;等等.這些方法也是代數證明和推導的典型方法.基本不等式是幾何平均數不大于算術平均數的最基本和最簡單的情形，可以推廣至n個正數的幾何平均值不大于算術平均值。基本不等式的代數結構也是數學模型思想的一個范例，借助這個模型可以求最大值和最小值。同時，在理解和應用基本不等式的過程中涉及變與不變、變量與常量，以及數形結合、數學模型等思想方法.因此，基本不等式內容可以培養學生的邏輯推理、數學運算和數學建模素養.基于以上分析，確定本節課的教學重點:基本不等式的定義、幾何解釋和證明方法，用基本不等式解決簡單的最值問題。
學習者分析
本課是在了解了等式的性質和不等式性質之后的一節課，在梳理等式性質的基礎上，通過類比，研究不等式的性質，并利用這些性質研究一類重要不等式——基本不等式，這對初入高中階段的學生要求較高，教師需詳細講解
學習目標確定
(1)理解基本不等式：(a>0,b>0）發展邏輯推理素養。(2)結合具體實例，用基本不等式解決簡單的求最大值或最小值的問題，發展數學運算和數 學建模素養.
學習重點難點
學習重點是能夠證明基本不等式，并能說出成立的前提條件及取等的條件。學習難點是運用基本不等式比較代數式的大小和證明不等式。
學習評價設計
通過完成問題 2、問題3 和問題 4 來評價目標 1 的達成情況通過完成例 1、例2 來評價目標 2 的達成情況
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：情景引入，復習回顧情景：十一黃金周，他去黃金店購買黃金，金店老板拿出一臺天平（左右兩臂長略有不等），將黃金放在天平上稱了一下，得到質量為ag，交換一下位置重新稱量，得到質量為bg，老板說將稱量結果相加后除以2就是黃金的真實重量。 問題1：如果以此重量購買他賺了還是陪了？ 生1：用初中物理知識—杠桿原理得 生2：現在問題轉化為比較這兩個式子的大小。生3：從形狀上來看，與上節課學的重要不等式很相似，試著利用重要不等式比大小。 活動意圖說明：問1意圖在于利用實際問題中存在的數量關系，計算出兩個式子。 在此基礎上，引導學生認識基本不等式。環節二：基本不等式的定義問提2：在上一節，我們利用完全平方公式得出了一類重要不等式：對于任意實數a、b，有，當且僅當a=b時，等號成立.特別地，如果a>0,b>0時，我們用分別代替上式中的a、b，可以得到什么樣的式子？教師總結：我們把稱為基本不等式，其中叫做正數的算術平均數，叫做正數的幾何平均數。歸納：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。教師抽學生上黑板板書：并講解得出：注意：等號成立條件是當且僅當。活動意圖說明：通過上一節課得到的不等式的特殊形式，得到基本不等式，同時在兩個不等式之間建立聯系.通過分析基本不等式的代數結構特征，得到基本不等式的代數解釋，加深對基本不等式的認識.環節三： 基本不等式的證明問提3：前面考察的特殊情形獲得了 基本不等式，能否直接利用不等式的性質推導基本不等式呢？師：證明方法叫做分析法,實際上是尋找結論的充分條件,執果索因的一種思維方法.適用于當我們看不出證明思路時。師生共同完成：要證只要證 只要證只要證只要證等號成立條件是當且僅當活動意圖說明：根據不等式的性質，用分析法證明基本不等式，同時引導學生認識分析法的證明過程和證明格式，為學生高中階段的推理和證明提供了更豐富的策略.環節四：基本不等式的幾何解釋問題4：如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a,BC=b,過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD,BD,你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？師；借助幾何畫板演示圖1學生思考后回答，教師引導學生總結:從條件和基本不等式出發，發現圓的半徑長等于，CD=，所以基本不等式可以利用“圓中直徑不小于任意一條弦”得到解釋。當且僅當弦過圓心時，二者相等.活動意圖說明：讓學生自己尋找基本不等式的幾何解釋是非常困難住的，因此這里給出了幾何圖形，引導學生將和與圖中的幾何元素建立起聯系，再觀察 這些幾何元素在變化中表現的大小關系的規律，從而獲得基本不等式的幾何解釋.環節五：基本不等式的簡單應用例1：已知的最小值。例2：已知都是正數，求證：如果積等于定值，那么當時，和有最小值；(2)如果和等于定值S，那么當時，積有最大值。學生獨立完成，教師分步講解活動意圖說明：例一的設計，引導學生根據所求代數式的形式，判斷是否能利用基本不等式解決問題，同時強調代數式的最值必須是代數式能取到的值，為學生求解代數式的最值問題提供示范. 例2的設計，在例1的基礎上，再利用一道例題示范如何直接利用基本不等式解決問題，同時借此題的題干指出用基本不等式能夠解決的兩類問題，為用基本不等式解決實際問題創造了條件.課堂小結教師引導學生回顧本單元的內容，并回答下面的問題:(1)什么是基本不等式 如何推導得到基本不等式 (2)基本不等式的代數特征是什么 如何從幾何圖形上解釋 (3)基本不等式的使用條件是什么 如何利用基本不等式解決最值問題 需要注意什么 (4)本節課有哪些數學思想方法 學生概括總結學生獨立完成，教師分步講解活動意圖說明：引導學生回顧總結本單元的學習內容和學習方法，在小結中，要注意引導學生體會研究一個特殊代數對象的一般過程.
板書設計
2.2基本不等式1.基本不等式 例1：2.證明 例2：3.幾何解釋
作業與拓展學習設計
必做題：1.教科書習題2.2第 1，2，3 ，6題。2.拓展作業： 已知0教學反思與改進
本節課，我覺得基本上完成了教學目標，在重點的把握上，難點的突破上也基本把握得不錯。在教學過程中，學生參與的積極性較高，課堂氣氛活躍。不過也存在不少問題，板書可能有些簡單，多媒體運用還需加強。我會在以后的教學中，努力提高教學技巧，逐步完善自己的課堂教學水平，揚長避短，不斷轉變觀念，改進教學。

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