資源簡介

教學設計
課題 1.1.1空間向量及其線性運算
課型 新授課 章/單元復習課□ 專題復習課□ 習題/試卷講評課□ 學科實踐活動課□ 其他□
教學內容分析
本節包括空間向量及相關概念、空間向量的加減運算、空間向量的數乘運算、空間向量的數量積運算等內容.
學習者分析
在本節學習中，由于學生已有“立體幾何初步”的基礎，已有空間直線、平面平行、垂直等概念，將向量的概念、運算從平面推廣到空間對學生來說并不困難，但這一過程仍要一步步地進行.由于現在研究的范圍已由平面擴展到空間，而我們研究的是自由向量，一個向量可以確定空間的一個平移，兩個不平行向量確定的平面已經不只是一個平面，而是互相平行的“平面集”，這些都需要學生對向量有新的理解.另外，盡管在形式上空間向量的運算、運算律和平面向量一致，但在空間它們的幾何表示是不同的，因此需要學生在空間上進一步體會其運算法則、驗證其運算律，提高空間想象力，發展直觀想象的數學學科核心素養.
學習目標
類比平面向量引入了空間向量及相關概念、空間向量的表示、共線向量與相等向量，并類比平面向量的加減、數乘運算和運算律，引入空間向量的加減、數乘運算和運算律，類比平面向量研究空間向量的共線、共面問題.通過本小節的學習，應使學生理解空間向量及相關概念，掌握空間向量的表示，掌握空間向量的加減、數乘運算及其運算律等內容，并能借助圖形理解空間向量線性運算及其運算律的意義.
學習重點難點
重點：空間向量及其相關概念，空間向量的線性運算，空間向量的數量積.難點：用向量方法解決立體幾何問題.
學習條件支持
多媒體
學習活動設計
過程學習內容與教師活動（引領性問題）學生任務或學習活動設計設計意圖或評價目標環節一環節一 創設情境引入課題引導語 章前圖展示的是一個做滑翔傘運動的場景．可以想象，在滑翔過程中，飛行員會受到來自不同方向、大小各異的力，例如繩索的拉力、風力、重力等．顯然，這些力不在同一個平面內，聯想用平面向量解決物理問題的方法，你能否把平面向量推廣到空間向量，從而利用空間向量研究滑翔運動呢？問題情境1問題1 能否類比平面向量，給空間向量下個定義？與平面向量一樣，在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量(spacevector)，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模(modulus)．空間向量用字母 ，，，…表示．空間中點的位移、物體運動的速度、物體受到的力等都可以用空間向量表示． 印刷體用合體，書寫用，與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，有向線段的長度表示空間向量的模．問題2 空間向量是平面向量的推廣，能否給出一些空間向量相關概念？如圖1.1-1，向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或．圖1.1-2所示的正方體中，過同一個頂點的三條棱上的三條有向線段表示的三個向量為，，，它們是不共面的向量，即它們是不同在任何一個平面內的三個向量．空間向量是平面向量的推廣，其表示方法以及一些相關概念與平面向量一致．學生獨立思考、作答，教師展示研究路徑，板書空間向量及其運算，揭曉課題：下面我們類比平面向量研究空間向量，先從空間向量的概念和表示開始．主要方法是類比，即類比平面向量的相關概念學習空間向量的相關概念，類比平面向量的運算學習空間向量的運算，類比用平面向量解決平面幾何問題的方法利用空間向量解決簡單的立體幾何問題.教，使學生親歷研究的過程，積累基本活動經驗.環節二環節二 觀察分析 感知概念與平面向量一樣，我們規定，長度為0的向量叫做零向量(zerovector)，記為．當有向線段的起點與終點重合時，．模為1的向量叫做單位向量(unitvector)．與向量長度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，記為．如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量(collinervectors)或平行向量(parallelvectors)．我們規定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量，都有．方向相同且模相等的向量叫做相等向量(equalvec tors)．因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．空間向量是自由的，所以對于空間中的任意兩個非零向量，我們都可以通過平移使它們的起點重合．因為兩條相交直線確定一個平面，所以起點重合的兩個不共線向量可以確定一個平面，也就是說，任意兩個空間向量都可以平移到同一個平面內，成為同一平面內的兩個向量．學生類比平面向量得出空間向量的相關概念.以問題串的形式設計，使得知識間的邏輯關系更清晰.環節三環節三 抽象概括 形成概念問題3 類比平面向量的線性運算，空間向量的加法、減法如何定義？如圖1.1-3，已知空間向量，，以任意點為起點，作向量，，我們就可以把它們平移到同一個平面內．數學中，引進一種量后，一個很自然的問題就是要研究它們的運算．由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉化為同一平面內的向量，這樣任意兩個空間向量的運算就可以轉化為平面向量的運算．由此，我們把平面向量的線性運算推廣到空間，定義空間向量的加法、減法(圖1.1-4)以及數乘運算(圖1.1-5)：（1）；（2）；（3）當時，；當時，；當時，．教師提出問題，師生共同討論交流利用類比把平面向量的線性運算推廣到空間，定義空間向量的加法、減法以及數乘運算環節四環節四 辨析理解 深化概念問題4想一想，向量線性運算的結果，與向量起點的選擇有關系嗎？與平面向量一樣，空間向量的線性運算滿足以下運算律(其中)：交換律：；結合律：，；分配律：，．問題5你能證明這些運算律嗎？證明結合律時，與證明平面向量的結合律有什么不同？如圖1.1-6，在平行六面體中，分別標出，表示的向量．從中你能體會向量加法運算的交換律和結合律嗎？一般地，三個不共面的向量的和與這三個向量有什么關系 可以發現，，一般地，對于三個不共面的向量，，，以任意點為起點，，，為鄰邊作平行六面體，則，，的和等于以為起點的平行六面體對角線所表示的向量．另外，利用向量加法的交換律和結合律，還可以得到：有限個向量求和，交換相加向量的順序，其和不變．探究1對任意兩個空間向量與，如果，與有什么位置關系？反過來，與有什么位置關系時， 類似于平面向量共線的充要條件，對任意兩個空間向量，，的充要條件是存在實數，使．如圖1.1-7，是直線上一點，在直線上取非零向量，則對于直線上任意一點，由數乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實數，使得．我們把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量(di rectionvector)．這樣，直線上任意一點都可以由直線上的一點和它的方向向量表示，也就是說，直線可以由其上一點和它的方向向量確定．如圖1.1-8，如果表示向量的有向線段所在的直線與直線平行或重合，那么稱向量平行于直線．如果直線平行于平面或在平面內，那么稱向量平行于平面．平行于同一個平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)．我們知道，任意兩個空間向量總是共面的，但三個空間向量既可能是共面的，也可能是不共面的．教師提出問題，師生共同討論交流得到方向向量和共面向量的概念課堂小結本節課的學習我們知道向量是具有大小和方向的量，這一概念既適用于平面，也適用于空間.由于空間向量是平面 向量的推廣，因此空間向量及其相關概念、空間向量的表示法等與平面向量都是一致的.類比平面向量引入了空間向量及相關概念、空間 向量的表示、共線向量與相等向量，并類比平面向量的加減、數乘運算和運算律，引入空間向量 的加減、數乘運算和運算律，類比平面向量研究空間向量的共線、共面問題理解空間向量及相關概念，掌握空間向量的表示，掌握空間向量的加減、數乘運算及其運算律等內容，并能借助圖形理解空間向量線性運算及其運算律的意義.問題7請同學們回顧本節課的學習內容,并回答下列問題：1.本節課學習的概念有哪些？2.本節課體現的主要數學思想方法有哪些？由教師引導學生自己總結本節課所研究的問題.回顧整理本節研究的內容（基本知識和基本技能）、研究方法（基本思想方法）、和研究途徑（基本活動經驗），讓學生明確本節課學習的內容和要求（四基）.
板書設計
1.1.1空間向量及其線性運算（1）空間向量的概念、表示法，以及長度（模）、零向量、單位向量、相反向量、共線向量（平行向量）、相等向量等相關概念（2）空間向量的線性運算（3）空間向量線性運算的運算律（4）空間向量共線的充要條件（5）空間向量共面的充要條件
作業與拓展學習設計
作業布置：教科書P5練習—1.2.3練習（第5頁）1．舉出一些表示三個不同在一個平面內的向量的實例．1．解：三棱錐中，，，不同在一個平面內；長方體中，，，不同在一個平面內．生活中的例子，如墻角的三條棱所在的直線可用于表示三個不同在一個平面內的向量．2．如圖，，分別是長方體的棱，的中點．化簡下列表達式，并在圖中標出化簡結果的向量：（1）；（2）；（3）；（4）．2．解：（1）；(2)；(3)；(4)．化簡結果的向量如圖所示．3．在圖1.1-6中，用，，表示，及．3．解：；；．4．如圖，已知四面體，，分別是，的中點．化簡下列表達式，并在圖中標出化簡結果的向量：(1)；(2)；(3)．4．解：（1）；（2）；（3）．如圖所示．5．如圖，已知正方體，，分別是上底面和側面的中心．求下列各式中，的值：（1）；（2）；（3）．5．解：（1），．（2），，；（3）方法1：∵，，．方法2：為的中點，，，．方法3：為的中點，，，．
教學反思與改進
學生在初中已經學過頻數分布表和頻數分布圖，因為在本節的實際問題中，我們更關心的是月均用水量在不同范圍內的居民用戶占全市居民用戶的比例，所以選擇頻率分布表和頻率分布直方圖，在對一些“細節”問題：如何計數、如何分組、如何尋找分點，分組區間如何表示等，只做原則說明，因為有些統計方法緣于經驗，有些是根據現實情況進行分析，選出最為適合的方法，可以說沒有“一定之規”.還有頻率分布直方圖的縱坐標的選取，如果在一開始向學生解釋，勢必要用到后面即將研究的知識，那樣就會影響學生對整節課的學習，沖淡本節課的核心思想.因此在處理上并沒有一步到位，而是強調繪制頻率分布直方圖是一個操作方法，重點在于對頻率分布直方圖的認識、分析，突出統計的基本思想及其在實際問題中的應用價值.有利于提高學生數學抽象、數據分析、直觀想象、數學運算數學建模等核心素養.

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