資源簡介

教學設計
課題 1.1.2 空間向量的數量積運算
課型 新授課 章/單元復習課□ 專題復習課□ 習題/試卷講評課□ 學科實踐活動課□ 其他□
教學內容分析
本節內容是空間向量數量積的定義、運算律，向量投影的學習.
學習者分析
學生在學習了空間向量的有關概念及線性運算之后，已初步感受到空間向量與平面向量之間的內在，，能體會并運用類比的方法學習空間向量及其運算，明白了任意兩個空間向量都是共面的.在平面向量的學習中，學生已經認識到平面向量的數量積在位置關系（垂直）的判定，叫與距離的計算中的應用價值，這為研究空間位置關系及相關度量提供了類比前提，即在平面向量夾角的基礎上，類比引入空間向量的夾角和表示方法，類比平面向量的數量積運算得到空間向量的數量積運算.
學習目標
掌握空間向量的加法、減法和數乘等線性法則、以及結合律和交換律等運算律，并通過空間幾何體加深對運算的理解.培養數形結合思想，發展數學抽象等核心素養.
學習重點難點
重點：通過類比平面向量的概念來歸納并理解空間向量的含義，發現空間向量也與平面向量滿足線性運算(加法、減法和數乘），懂得運算律. 難點：空間向量的線性在簡單空間幾何體中的計算和應用.
學習條件支持
多媒體
學習活動設計
過程學習內容與教師活動（引領性問題）學生任務或學習活動設計設計意圖或評價目標環 節 一 環節一 創設情境引入課題 (回顧舊知，類比得到空間向量數量積的概念) 根據功的計算，我們定義了平面向量的數量積運算，一旦定義出來，我們發現這種運算非常有用，它能解決有關長度和角度問題，在空間向量中亦是如此. 引導語：前面我們學習了空間向量的線性運算，任意兩個空間向量都可以通過平移轉化為同一平面內的向量，因此，空間向量的線性運算與平面向量完全一致.在必修第二冊中我們還學面向量的數量積運算，現在我們類比平面向量數量積的運算，學習空間向量的數量積運算. 問題1:類比平面向量的數量積，你能得出空間向量的數量積相關知識？ （1）已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，，則叫做向量，的夾角，記作．如果，那么向量，互相垂直，記作． （2）已知兩個非零向量，，則叫做，的數量積(innerproduct)，記作．即 ． 特別地，零向量與任意向量的數量積為0． （3）由向量的數量積定義，可以得到： ；． 也記作．首先讓學生回憶平面向量數量積運算的內容和學習過程，師生共同畫出上述表格，確定表格的表頭、并完成表格的左側部分.然后通過小組合作，完成表格右側部分.通過完成表格這種形式，使得類比學習更為生動直接，進一步讓學生體會平面向量到空間向量的推廣是“平行”推廣.師生共同畫出表格的過程也體現了從平面向量到空間向量的研究. 環 節 二 環節二：觀察分析感知概念 借助幾何直觀，揭示空間向量投影概念的本質 問題2：根據平面向量數量積的學習經驗，為了研究數量積的運算律，需要先定義向量的投影.想一想空間向量的投影有哪些情況. 提示：向量向向量投影；空間向量向直線投影；向量向平面投影 問題3：下面我們分情況展開空間向量投影的研究.如圖1(1),如何定義并畫出空間向量向向量投影？ 如圖1.1-11(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，，向量稱為向量在向量上的投影向量．類似地，可以將向量向直線投影(圖1.1-11(2))． 追問 : 你能用向量,向量表示出投影向量嗎 追問：類似于向量向向量投影，你能定義并畫出空間向量向直線投影嗎？ 追問：請嘗試定義并畫出向量向平面投影，并說說與前面兩種向量投影的畫法有什么不同之處. 如圖1.1-11(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點和終點作平面的垂線，垂足分別為，，得到向量，向量稱為向量在平面上的投影向量．這時，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角． 空間向量的數量積滿足如下的運算律： ，；(交換律)；(分配律)．學生獨立思考后，通過合作交流，得出結論.明確問題，培養空間想象力. 環 節 三 環節三：抽象概括形成概念 推廣運算律，理解向量運算律與數的運算律的差異 問題4：定義了運算就要研究它的運算律.類比平面向量數量積的運算律，你能說出空間向量的數量積運算具有哪些運算律嗎？ 空間向量的數量積滿足如下的運算律： ，； (交換律)； (分配律)． 追問：你能證明這些運算律嗎？ 問題5：我們知道，數及其運算是一切運算的基礎，空間向量的數量積運算在形式上是兩個向量相乘，由此，自然會想到將它與數的乘法作類比.向量的數量積是否具有一些與數的乘法類似的性質呢？它們之間有什么共性和差異嗎？ 追問：對三個不為0的數,有,也就是說，數的運算滿足結合律.對于向量的數量積運算，有“結合律嗎？ 追問：對于三個均不為0的數，若，則．對于向量，，，由，你能得到嗎？如果不能，請舉出反例． 追問：對于三個均不為0的數，若，則(或)．對于向量，，若，能不能寫成（或）的形式？師生活動：教師提出問題，結合平面向量數量積的運算律，學生得出空間向量的數量積滿足的運算律. 將平面向量數量積運算的運算律推廣到空間，進一步完備空間向量的運算體系. 環 節 四 例 題 練 習 鞏 固 理 解例2．如圖1.1-12，在平行六面體中，，，，，．求：(1)；(2)的長(精確到0.1)． 解：（1） ； （2） ，所以． 通過例題讓學生體會如何計算兩個空間向量的數量積，以及利用數量積計算向量的模，進而得到線段的長度，加深對向量數量積概念的理解，并熟悉其運算律. 例3如圖1.1-13，，是平面內的兩條相交直線，如果，，求證：． 師生活動：教師首先引導學生分析問題的條件和所證明結論的本質，得出證明的基本思路： 證明：在平面內作任意一條直線，分別在直線，，，上取非零向量，，，． 因為直線與相交，所以向量，不平行．由向量共面的充要條件可知，存在唯一的有序實數對，使． 將上式兩邊分別與向量作數量積運算，得． 因為，（為什么 ），所以．所以． 這就證明了直線垂直于平面內的任意一條直線，所以． 通過層層遞進的問題引導學生用向量方法證明直線與平面垂直的判定定理，學生初步體會向量方法的威力. 課堂小結(1)空間向量數量積的定義、運算律是什么？與平面向量的數量積運算有什么聯系與區別？ (2)空間向量投影的意義是什么？與平面向量的投影有什么聯系與區別？如何畫出空間向量向另一個向量、一條直線和一個平面的投影？ (3)在用空間向量的數量積運算解決一些簡單的立體幾何問題的過程中，向量及其運算起了什么作用？ 學生自己總結通過問題引導學生復習本節課所學知識，包括空間向量數量積運算的概念、運算律、空間向量的投影等，進一步體會類比平面向量學習空間向量的方法.結合對平面向量解決簡單幾何問題的回顧，讓學生體會用空間向量解決立體幾何問題的基本思考方法，為后續歸納用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲''做準備.
板書設計
1.1.2 空間向量的數量積運算 空間向量的夾角 空間向量的數量積的定義與幾何意義 空間向量數量積的性質 4.空間向量數量積的運算律
作業與拓展學習設計
1．如圖，在正三棱柱中，若，則與所成角的大小為（） A．60°B．90°C．105°D．75°
1．答案：B 解析：設，則．，， ． ．與所成的角為90°． 2．如圖，正方體的棱長為1，設，，，求： （1）；（2）；（3）． 2．解：（1）； （2）； （3）． 3．如圖，在平行六面體中，，，，， ．求： （1）；（2）的長；（3）的長． 3．解：(1)； （2）， ， 即的長為； （3）， ． ，即的長為． 4．如圖，線段，在平面內，，，且，，．求，兩點間的距離． 4．解：， ，即，兩點間的距離為．
教學反思與改進
學生有平面向量學習的基礎，有類比平面向量的線性運算學習空間向量的線性運算的經驗,把平面向量數量積的概念推廣到空間并不難，也能較容易由平面向量數量積的運算律推廣得到空間向量數量積的運算律.盡管在平面向量的學習中已經積累了一些用向量法解決幾何問題的經驗，但學生還缺乏利用空間圖形解決立體幾何問題的經驗，想到向量方法以及把空間圖形的位置關系轉化為向量表示對學生來講都是難點.突破難點的關鍵是引導學生利用平面向量解決平面幾何問題的經驗，結合具體問題，從幾何量的向量表示入手，深入理解問題中相關條件的幾何意義，在此基礎上進行向量表示. 教學時，應類比平面向量投影的畫法，借助輔助平面把空間向量投影轉化為平面向量的投影.對于向量投影在解決立體幾何問題中的作用，則需要學生在后續學習中逐步體會.

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