資源簡介

教學設計
課題 空間中的距離
課型 新授課 章/單元復習課□ 專題復習課□ 習題/試卷講評課□ 學科實踐活動課□ 其他□
教學內容分析
本節課選自《2019人教B版高中數學選擇性必修第一冊》第一章《空間向量與立體幾何》，本節主要學習空間中的距離。學生在學面中距離概念的基礎上，提出空間距離的問題，在解決空間距離的問題中，類比平面中距離問題、將立體幾何問題化為空間向量運算問題的基本思路展開。培養學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學建模和數學運算的核心素養。
學習者分析
1.學生已經學面幾何中度量問題，也對“立體幾何”中夾角和距離有了一定認識，但缺乏整體性、系統性。本章的學習學生對空間向量法證平行、垂直基本掌握，但對向量法的基本程序和步驟還需要熟練應用。 2.本節課中把基本圖形中的元素與向量聯系起來并加以表示，需要構造思想，學生不太熟悉。
學習目標確定
能用投影向量及數量積運算得到點到直線、點到平面的距離公式。 歸納向量法解決立體幾何問題的程序和步驟，提升直觀想象、數學運算等素養。如直觀想象：空間距離模型 ，數學運算：運用空間向量計算空間距離
學習重點難點
重點：利用投影向量推導點到直線和點到平面的距離公式 難點：利用投影向量推導點到直線的距離公式，并歸納空間中距離問題的一般求法。
學習活動設計
過程學習內容與教師活動（引領性問題）學生任務或學習活動設計設計意圖環節一 探究用向量表示點到直線的距離一、情境導學 問題1： 前面我們已經用向量法研究了線線、線面的位置關系，今天繼續研究距離問題， （1）立體幾何中有哪些距離問題？ （2）你認為應該按怎樣的路徑研究這些距離？ 問題2：給定一條直線l和線外一點P,如何用向量法求距離d？ （1）點A、P是已知的，如何將，聯系起來？在上的投影向量怎么表示？ . （2）類比點到直線距離，如何求兩平行直線間的距離？ 任務1 （1）歸納空間距離類型 （2）討論距離間的轉化 任務2 學生會作圖畫出距離d， 連接A、P,構造出直角三角形 求出投影向量的長度| 得出結論 設n0是直線l的單位方向向量,A∈l,則點P到直線l的距離 d= 讓學生明確研究距離的思路，將距離問題歸類并引導學生探究最基本的距離問題。 引導學生用向量語言表示相關量，構造直角三角形，利用勾股定理求解。 完成目標1 引導學生轉化成點線距再求。環節二 類比探究，推導點到平面的距離公式 問題3：類比上述推導過程思考 （1）確定平面的條件是什么？ （2）如圖示,若A是平面α外一點,B是平面α內一點,是平面α的一個單位法向量,距離AA’可以看作向量在哪個向量上的投影向量的模？用已知向量怎么表示？ （3）若法向量為 ， 則點A到平面α的距離有何不同？任務3. （1）平面上一點和一個法向量 （2）學生推導出點A到平面α的距離 d=|B| （3）點A到平面α的距離d=. 明確平面的法向量，引導學生類比推理，完成從特殊的單位法向量到一般的法向量的推導環節三 通過例題歸納向量法解決立體幾何問題的基本步驟 環節四 梳理 過程， 得出 結論 例題，如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段A1B1的中點，F為線段AB的中點。 求點B到直線AC1的距離； 求直線FC到平面AEC1的距離. 問題4：結合例題，總結向量法解決幾何問題的基本步驟？ 任務4 老師引導學生建立恰當的坐標系，表示相關點的坐標，直線的方向向量，平面的法向量，完成第一問，規范步驟： 學生自己做第二問 討論，交流向量法求一般步驟，也可用其他方法，進行比較，總結心得。 共同歸納步驟： 分析圖形中的幾何特征及問題， 合理選擇基底，用向量表示相關量 通過空間向量運算與轉化，研究基本元素的距離 將結果轉化成所求幾何問題 通過例題求解過程體會向量法在解距離中的作用和優勢。 梳理向量法求解的基本步驟，體會向量法解決距離的程序性 完成目標2 問題5： 回顧本課學習，在推導點線、點面距離公式中，最關鍵的步驟是什么？ 概括向量法解決幾何問題的步驟？ 思考、作答 引導學生將基本圖形中的元素借助向量表示，轉化成代數運算求解環節五 目標 檢測鞏固練習： 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點A到平面B1C的距離 ，直線DC到平面AB1的距離 ；平面DA1到平面CB1的距離 2.到如圖示 在棱長為1的正方體中，E為線段DD1的中點，F為線段BB1的中點。 求點A1到直線B1E的距離; 求直線FC1到直線AE的距離； 求點A1到平面AB1E的距離; 求直線FC1到平面AB1E的距離。 口答 寫求解過程 考查學生向量法解決空間問題的能力

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