資源簡介

1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關系
（一）教學內容
用向量來表示空間中點、直線、平面
（二）教學目標
①通過幾何中點、直線及平面的確定方式，結合向量概念的特征，能用向量語言描述直線和平面；
②通過已有幾何知識中直線的本質及線面垂直的判定定理，理解直線的方向向量與平面的法向量.
（三）教學重點與難點
重點：空間中的點、直線、平面的向量語言描述
難點：建立立體圖形與空間向量之間的聯系，把立體幾何問題轉化為空間向量問題.
（四）教學過程
教學活動一：問題提出
問題1.如何用向量表示空間中的一個點？
師生活動:教師通過黑板作圖，引導學生說出向量的要素，進而提出“基點”的概念.
追問1.如何理解基點的作用？引入“基點”這一想法由什么引起？
追問2.在選取了確定的基點后，平面上的任何一個點怎樣用向量表示？
（設計意圖：引導學生從概念入手，實現問題的不斷簡化，從而使問題得到解決）
問題2：給出空間一個定點和一個方向，那么就能確定唯一一條直線，這種情況下如何用向量表示這條直線呢？
追問1.什么是直線的方向向量？
師生活動：教師進一步將問題引向向量的方向與直線確定的關系，學生探究直線是否被確定.
追問2.直線是由什么構成的？表示直線實際上就是表示什么？
師生活動：教師提醒學生平面解析幾何中直線是直線上無數點的集合、是動點的軌跡，學生的思維指向：表示直線就是表示直線上動點的表達式.
（設計意圖：化未知為已知，使學生感覺較為陌生的向量表示直線的問題轉化為解析幾何中動點軌跡的表示問題.）
探究一：取定空間中的任意一點，可以得到點在以向量為方向向量的直線上的充要條件？
師生活動：教師引導學生將以上直線的向量表達式中的向量用有向線段來表示，然后利用向量向量的減法對向量進行拆分，從而得到這個“充要條件”.
（設計意圖：使學生進一步認識到空間中直線可以由一個定點和一個向量來確定.）
問題3.空間中的平面該如何用向量表示？
追問1. 給出空間一個定點和幾個方向能夠確定一個平面呢？這與平面向量基本定理有何相似之處？
追問2. 平面是由什么構成的？表示平面實際上就是表示什么？
追問3. 給出空間一個定點和兩個方向，該平面內的任意一點該如何表示？
師生活動：教師帶領學生回顧平面向量基本定理，學生探究空間中平面的確定方式，學生回答，教師進行歸納、糾正.
（設計意圖：明確研究的問題，逐步進行分析，最終指向解決問題的途徑和方法.）
探究二：取定空間任意一點，空間一點位于平面內的充要條件？
（師生活動：教師提醒學生類比探究一的推到方法，使問題最終得到解決.）
（設計意圖：使學生進一步認識到空間中平面的確定方式，并檢測探究一的研究方法是否已經掌握）
追問4.我們知道，在空間立體幾何中，給定空間一點和一條直線，則過點且垂直于直線的平面是唯一確定的，那么，給出空間一個定點和一個方向能夠確定一個平面嗎？
（產生“法向量”概念）
師生活動：教師引導學生思考：空間中，經過定點作已知直線的垂面是否存在？有幾個？學生通過回憶、討論得出結論并回答，教師加以評價和總結.
追問5.給定一點和一個向量，，那么過點且以為法向量的平面怎樣表示？
師生活動：提醒學生利用問題1、問題2的研究思路尋找解決這個問題的途徑，小組合作探究，得出結論并展示，教師進行引導和評價.
（設計意圖：明確空間中平面的確定方法，強調法向量概念，檢測問題1、問題2的研究方法是否已經掌握，為后面“坐標法”解決線面角、二面角做好鋪墊）
教學活動二：運用檢測
例1 如圖，在長方體中，，M是AB的中點.以D為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
（1）求平面的法向量；
（2）求平面的法向量.
（1） 教師板演，作出示范；（2）學生小組討論，教師抽查投影，對結果進行點評
（設計意圖：鞏固新知識，檢測掌握程度）
教學活動三：課堂小結
①直線的方向向量、平面的法向量及其求法
②空間中點、直線、平面的向量表示方法
教學活動四：布置作業
教科書29頁小練習第1,2,3題
（五）目標檢測試題
1.若點在直線上，則直線一個方向向量為( )
A. B. C. D.
2.如圖，在空間直角坐標系中，為正方體，給出下列結論：
①直線的一個方向向量為；②直線的一個方向向量為，③平面的一個法向量為；④平面的一個法向量為.其中正確的有( )
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
3.在中，，設是平面內任意一點.
（1）求平面的一個法向量；
（2）求滿足的關系式.

展開更多......

收起↑