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第六章
圓周運動
第六章 章未復習與提高
圓周運動
圓周運動
圓周運動
圓周運動
圓周運動
圓周運動各物理量間的關系
N
ω
O
N
G
f
T
G
o’

o
F
F
G
N
f
G
F
向心力的來源
豎直面
繩
環(huán)
桿
管
水平面
M
r
o
m
θ
ω
圓周運動的臨界問題
最高點：
最低點：
V最小時，T=0
豎直面里的繩球模型
最高點：
0
最低點：
V較小
V最小
V較大
轉折
T=0
豎直面里的桿球模型
O1
a
b
c
O2
Ra
Rc
Rb
兩個常用結論
1.皮帶上及輪子邊緣上各點的線速度相同；
2.同一輪上各點的角速度相同。
當 F＝mω2r 時，物體做勻速圓周運動；
當 F＝0 時，物體沿切線方向飛出；
當 F＜mω2r 時，物體逐漸遠離圓心；
當 F＞mω2r 時，物體逐漸靠近圓心。
規(guī)律總結
斜面上的圓周運動
在斜面上做圓周運動的物體，因所受的控制因素不同，如靜摩擦力控制、輕繩控制、輕桿控制，物體的受力情況和臨界條件也不相同。(1)靜摩擦力控制下的圓周運動
(2)輕繩控制下的圓周運動
(3)輕桿控制下的圓周運動
極限思想
思想方法
O
B
A
vA
vB
vA
Δv
Δθ
Δθ
Δt趨于0時，Δv 逐漸趨向于平行 OA，即Δv指向圓心，此時加速度a也指向圓心。
vA
O
A
B
vB
Δv
Δv
FN = G
G
FN
G
G
FN
FN
比較三種橋面的受力情況
圓錐擺的臨界問題，主要就是與彈力有關的臨界問題。
(1)繩上拉力的臨界條件是：
①繩恰好拉直且沒有彈力；②繩上的拉力恰好達最大值。
(2)接觸或脫離的臨界條件是物體與物體間的彈力恰好為零。
(3)對于火車轉彎、半圓形碗內(nèi)的水平圓周運動有兩類臨界情況： ①摩擦力的方向發(fā)生改變；②發(fā)生相對滑動。
解圓錐擺臨界問題的技巧
復習與提高
A組
1.請根據(jù)加速度的特點，對以下七種運動進行分類，并畫出分類的樹狀結構圖:勻速直線運動;勻變速直線運動;自由落體運動;拋體運動;平拋運動;勻速圓周運動;變速圓周運動。
2.圖6-1是一皮帶傳動裝置的示意圖，右輪半徑為r，A是它邊緣上的一點。左側是一輪軸，大輪半徑為4r，小輪半徑為2r。B點在小輪上，到小輪中心的距離為r。C點和D點分別位于小輪和大輪的邊緣上。如果傳動過程中皮帶不打滑，那么A、B、C、D點的線速度、角速度、向心加速度之比分別是多少
比較A、C：v相同
比較B、C、D：ω相同
2:1:2:4,
2:1:1:1;
4:1:2:4。
3.在空間站中，宇航員長期處于失重狀態(tài)。為緩解這種狀態(tài)帶來的不適，科學家設想建造一種環(huán)形空間站，如圖6-2所示。圓環(huán)繞中心勻速旋轉，宇航員站在旋轉艙內(nèi)的側壁上，可以受到與他站在地球表面時相同大小的支持力。已知地球表面的重力加速度為g，圓環(huán)的半徑為r，宇航員可視為質點，為達到目的，旋轉艙繞其軸線勻速轉動的角速度應為多大
圖6-2
宇航員站在地球表面時有FN=mg
要使宇航員站在旋轉艙內(nèi)側壁上受到與他站在地球表面時相同大小的支持力，則有：
由此解得：
FN=mrω2
4.如圖6-3所示，長L的輕桿兩端分別固定著可以視為質點的小球A、B，放置在光滑水平桌面上，桿中心O有一豎直方向的固定轉動軸，A、B的質量分別為3m、m。當輕桿以角速度ω繞軸在水平桌面上轉動時，求轉軸受桿拉力的大小。
對A球有：
對B球有：
又有：
A球對桿的拉力：
B球對桿的拉力：
轉軸受到桿的拉力：
5.如圖6-4所示，滾筒洗衣機脫水時，滾筒繞水平轉動軸轉動。滾筒上有很多漏水孔，滾筒轉動時，附著在潮濕衣服上的水從漏水孔中被甩出，達到脫水的目的。如果認為濕衣服在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運動，那么，濕衣服上的水是在最低點還是最高點時更容易甩出 請說明道理。
滾筒洗衣機的脫水筒勻速旋轉時，附著在筒壁上的衣服做圓周運動的向心力由重力和彈力的合力提供。
脫水筒勻速旋轉時，附著在潮濕衣服上的水的重力mg和衣服與水之間的附著力（分子力）F的合力提供水的向心力。
在最高點有：
在最低點有：
對比最高點和最低點水的受力情況可知：
由此可見，在同一轉速的情況下，水在最低點所受到的分子力更大，所以更容易在最低點從漏水孔甩出，做離心運動。
6.波輪洗衣機中的脫水筒(圖6-5)在脫水時，衣服緊貼在筒壁上做勻速圓周運動。某洗衣機的有關規(guī)格如下表所示。在運行脫水程序時，有一質量m=6g的硬幣被甩到桶壁上，隨桶壁一起做勻速圓周運動。求桶壁對它的靜摩擦力和彈力的大小。在解答本題時可以選擇表格中有用的數(shù)據(jù)。g取10m/s2。
mg
Ff
FN
分析硬幣的受力情況如圖所示。
由表格中的數(shù)據(jù)可知，脫水桶的轉速n=600r/min=10r/s，脫水桶的直徑D=0.3m，則半徑r=0.15m。在水平方向由彈力提供向心力，即FN =4π2mn2r，得FN=3.6N。
在豎直方向上，摩擦力與重力平衡，故Ff=mg=0.06N。
7.如圖6-6所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸轉動的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO'重合。轉臺以一定角速度勻速轉動，一質量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時間后小物塊隨陶罐一起轉動且相對罐壁靜止，此時小物塊受到的摩擦力恰好為0，且它和O點的連線與OO'之間的夾角θ為60°，重力加速度為g。求轉臺轉動的角速度。
mg
FN
F合
得：
復習與提高
B組
1.如圖6-7所示，半徑R=0.40m的光滑半圓環(huán)軌道處于豎直平面內(nèi)，半圓環(huán)與水平地面相切于圓環(huán)的端點A。一小球從A點沖上豎直半圓環(huán)，沿軌道運動到B點飛出，最后落在水平地面上的C點(圖上未畫)，g取10m/s2。
(1)能實現(xiàn)上述運動時，小球在B點的最小速度是多少
(2)能實現(xiàn)上述運動時，A、C間的最小距離是多少
(1)設小球通過B點的最小速度為v0，有：
解得：
(2)小球從B點水平飛出后做平拋運動，小球以最小速度平拋時距離最小，設小球做平拋運動的時間為t，AC間最小距離為x，則水平方向有：
由此解得t=0.4s，x=0.8m。
x=v0t
豎直方向有：
(1)質點做圓周運動的半徑 ，角速度 ,向心加速度的大小
2.如圖6-8所示，做勻速圓周運動的質點在時間t內(nèi)由A點運
動到B點，AB所對的圓心角為θ，AB長為l。
(1)求質點向心加速度的大小。
(2)若某段時間內(nèi)θ=60°，根據(jù)矢量的運算法則，求這段
時間內(nèi) 與圓周運動的向心加速度的大小之比是多少
(2)如圖所示，速度矢量三角形為等邊三角形，因此有：
vA
vB
vA
△v
θ
θ
l
又有：
向心加速度：
與圓周運動的向心加速度的大小之比為：
3.如圖6-9所示，帶有一白點的灰色圓盤，繞過其中心且垂直于盤面的軸沿順時針方向勻速轉動，轉速n=20r/s。在暗室中用每秒閃光21次的頻閃光源照射圓盤，求觀察到白點轉動的方向和轉動的周期。
θ
1
2
白光轉動周期T1=1/20s，頻閃周期T2=1/21s，設兩次閃光間隔白點的位置如圖所示，位置2相對位置1沿逆時針轉過的角度：
所以觀察到白點會逆時針轉動。
白點轉動角速度：
白點轉動周期：
4.如圖6-10所示，一長為l的輕桿的一端固定在水平轉軸上，另一端固定一質量為m的小球，輕桿隨轉軸在豎直平面內(nèi)做角速度為ω的勻速圓周運動，重力加速度為g。
(1)小球運動到最高點時，求桿對球的作用力。
(2)小球運動到水平位置A時，求桿對球的作用力。
(1)因轉動的角速度大小未知，故小球在最高點時，桿對球的作用力F的方向不能確定。假設F1的方向豎直向下。根據(jù)F1+mg=mω2l ，解得F1=m(ω2l-g)。
①若 ，桿對小球的作用力為拉力，大小為F1=m(ω2l-g)，方向豎直向下。
②若 ，F(xiàn)1=0，桿對小球恰好無作用力。
③若 ，桿對小球的作用力為支持力，大小為F1=m(g-ω2l)，方向豎直向上。
(2)小球運動到水平位置A處時，桿對球的豎直方向分力Fy=mg，水平分力Fx=mω2l，故桿對球的作用力大小：
設該作用力與水平方向夾角為θ，則有：
故在位置A處桿對球的作用力方向斜向右上，與水平方向夾角為
5.如圖6-11所示，質量為m的小球用細線懸于P點，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，重力加速度為g。
(1)若懸掛小球的繩長為l，小球做勻速圓周運動的角速度為ω，繩對小球的拉力F有多大
(2)若保持軌跡圓的圓心O到懸點P的距離h不變，改變繩長l，求小球做勻速圓周運動的角速度ω與繩長l的關系。
(3)若保持軌跡圓的圓心O到懸點P的距離h不變，改變繩長l，求繩對小球的拉力F與繩長l的關系。
mg
F
Fn
θ
θ
(1)如圖所示，小球受到重力和沿細繩方向的拉力，設細繩與豎直方向的夾角為θ。沿水平方向有：Fn=Fsinθ=mω2lsinθ
解得細繩對小球的拉力：F=mω2l。
(2)小球受到重力和細繩拉力的合力指向圓心，有mg tan θ = mω2h tan θ,
解得： ，可見，軌跡圓的圓心O到懸點B的距離h不變，改變繩長l時，角速度ω保持不變，與繩長l無關。
(3)由第(1)(2)兩問的結論F=mω2l和 ， 解得 。可見，細繩的拉力F與繩長l成正比。
6.某人站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為m的小球，使球在豎直平面內(nèi)以手為圓心做圓周運動。當球某次運動到最低點時，繩恰好受到所能承受的最大拉力被拉斷，球以繩斷時的速度水平飛出，通過水平距離d后落地。已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為 ，重力加速度為g，忽略空氣阻力。
(1)繩能承受的最大拉力是多少
(2)保持手的高度不變，改變繩長，使球重復上述運動，若繩仍在球運動到最低點時達到最大拉力被拉斷，要使球拋出的水平距離最大，繩長應是多少 最大水平距離是多少
7.某場地自行車比賽圓形賽道的路面與水平面的
夾角為15°，sin15°=0.259，cos15°=0.966，不考慮
空氣阻力，g取10 m/s2。
(1)運動員騎自行車在該賽道上做勻速圓周運動
(圖6-12)，圓周的半徑為60m，要使自行車不受
摩擦力作用，其速度應等于多少
(2)若該運動員騎自行車以18m/s的速度仍沿該賽
道做勻速圓周運動，自行車和運動員的質量一共
是100kg，此時自行車所受摩擦力的大小又是多少 方向如何
鞏固提升
【練習1】市面上有一種自動計數(shù)的智能呼拉圈深受女士們喜愛。如圖甲，腰帶外側帶有軌道，軌道內(nèi)有一滑輪，滑輪與細繩連接，細繩的另一端連接配重，其模型簡化如圖乙所示．已知配重質量0.5kg，繩長為0.4m，懸掛點到腰帶中心的距離為0.2m，水平固定好腰帶，通過人體微小扭動，使配重在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，計數(shù)器顯示在1min內(nèi)圈數(shù)為120，此時繩子與豎直方向夾角為θ，配重運動過程中腰帶可看做不動，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，下列說法正確的是（　　）
A．勻速轉動時，配重受到的合力恒定不變
B．配重的角速度是240πrad/s
C．θ為37°
D．若增大轉速，細繩拉力變大
【參考答案】D
課堂練習
【練習2】自行車的大齒輪、小齒輪、后輪三個輪子的邊緣上有A、B、C三點，向心加速度隨半徑變化圖像如圖所示，則（　　）
A．A、B兩點加速度關系滿足甲圖線
B．A、B兩點加速度關系滿足乙圖線
C．A、C兩點加速度關系滿足甲圖線
D．A、C兩點加速度關系滿足乙圖線
【參考答案】A
課堂練習
【練習3】2022年北京冬奧會后，滑雪已然成為了冬天最受大家歡迎的體育項目。如圖甲所示，整體質量為m的單板滑雪愛好者在安全速降過程中獲得了最大速度為v，為了順利通過一個半徑為R的水平彎道，滑雪者嘗試以雪板緊貼彎道側壁的方式過彎。如圖乙所示，此側壁與水平面的夾角為θ，此時滑雪板所受支持力大小為F，兩側面不受力，該彎道回轉半徑R遠大于滑雪者的身高，重力加速度大小為g，不計空氣與摩擦阻力影響，下列說法正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【參考答案】A
課堂練習
【練習4】如圖為某型號圓錐面型娛樂設施“魔盤”的側視圖，“魔盤”可繞中心軸OO 轉動。兒童坐在錐面上，“魔盤”從靜止開始轉動，轉速逐漸增大。最大靜摩擦跟正壓力成正比，兒童可視為質點，下列說法正確的是（　　）
A．玩樂的過程中，兒童受到的合外力方向時刻水平指向轉軸
B．其他條件相同時，兒童的質量越大越容易滑動
C．當“魔盤”的轉速增大到一定值時，兒童一定會向上滑動
D．“魔盤”加速轉動的過程，兒童未發(fā)生滑動時，受到的摩擦力可能減小
【參考答案】D
課堂練習
【練習5】（多選）如圖所示為向心力演示儀，質量相同的鋼球①、②分別固定在A、B盤的邊緣，A、B兩盤的半徑之比為3:1，a、b分別是與A盤、B盤一起同軸轉動的輪，a、b輪半徑之比為1:3，a、b兩輪在同一皮帶帶動下勻速轉動，且皮帶與輪間不打滑，下列說法正確的是（　　）
A．鋼球①、②角速度大小之比ω1:ω2=3:1
B．鋼球①、②線速度大小之比v1:v2=3:1
C．鋼球①、②加速度大小之比a1:a2=27:1
D．鋼球①、②受到的向心力大小之比F1:F2=1:1
【參考答案】AC
【練習6】如圖所示，兩個質量分別為m、2m的小木塊a和b（可視為質點）放在水平圓盤上，a與轉軸OO′的距離為l，b與轉軸OO′的距離為2l，兩木塊與圓盤間的最大靜摩擦力均為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用ω表示圓盤轉動的角速度，下列說法正確的是（　　）
A．a(chǎn)、b相對圓盤剛開始滑動時的臨界角速度大小之比為ω1 ：ω2 = :1
B．a(chǎn)、b相對圓盤有沿半徑向外運動的趨勢
C． 是a開始滑動的臨界角速度
D．當 時，b所受摩擦力的大小為kmg
【參考答案】A
【練習7】（多選）如圖所示，質量為M = 4kg、半徑R = 0.6m的光滑細圓管用輕桿固定在豎直平面內(nèi)，小球A和B的直徑略小于細圓管的內(nèi)徑，它們的質量分別為mA= 1kg，mB= 2kg。某時刻，小球A、B分別位于圓管最低點和最高點，且A的速度大小為vA= 3m/s，此時豎直輕桿受到細圓管的作用力大小為F = 55N。則B球的速度vB大小為（取g = 10m/s2）（ ）
A．3m/s B． C．6m/s D．
【參考答案】AD
【練習8】如圖所示，一個質量為60kg的滑板運動員，以 的初速度從某一高臺的A點水平飛出，恰好從圓軌道的B點的切線方向進入圓弧（不計空氣阻力，進入圓弧時無機械能損失），最終滑板運動員剛好到達圓軌道的最高點D。已知圓弧的半徑R=3m， ，取g = 10m/s2，求：
（1）A距C點的高度和滑板運動員在D點的速度大小。
（2）若滑板運動員運動到圓弧軌道點C時的速度大小
為15m/s則滑板運動員對軌道的壓力。
課堂練習
課堂練習

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