資源簡介

第一單元 空間向量及其運算（單元教學設計）
內容和內容解析
內容
空間直角坐標系、空間向量及其運算。
內容解析
內容本質：在平面直角坐標系的基礎上，了解空間直角坐標系，感受建立空間直角坐標系的必要性，會用空間直角坐標系刻畫點的位置。經理由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念，經歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程。
蘊含的思想方法：建立空間直角坐標系和空間向量的運算過程中體現了類比、數形結合的數學思想。
知識的上下位關系：本單元的內容是平面直角坐標系和平面向量的推廣和拓展，也為后續空間向量的基本定理及空間向量運算的坐標表示，利用空間向量解決立體幾何問題作了基本的知識儲備。
育人價值：在建立空間直角坐標系和形成空間向量的概念過程中，采用類比方法，引導學生經歷由平面推廣到空間的過程，發展學生的數學思維和空間想象能力，提升學生的數學抽象和直觀想象的學科核心素養。
采用了類比方法，
目標及其解析
單元目標
1.經歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念
2.經歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程
3.了解共面向量的概念，并會判斷方法
目標解析
1.能用類比平面向量的概念，給出空間向量的概念，明確空間向量的兩個要素。
2.類比平面向量的運算律理解空間向量的運算律。
3.能類比向量的共線通過復習平面向量基本定理得到共面向量的概念。
三、教學重難點
（一）教學重點
通過類比平面向量的概念來歸納并理解空間向量的含義，發現空間向量也與平面向量滿足線性運算(加法、減法和數乘），懂得運算律.
（二）教學難點
從平面向量推廣到空間向量的合理性和嚴謹性驗證；
空間向量加法結合律的證明.
四、教學過程
（一）情境引入
通過“平面向量及其應用”的學習，我們知道，平面內的點、直線可以通過平面向量及其運算來表示，它們之間的平行、垂直、夾角、距離等關系可以通過平面向量運算而得到，從而有關平面圖形的問題可以利用平面向量的方法來解決.在“立體幾何初步”中，我們用綜合幾何方法研究了空間幾何體的結構特征以及空間點、直線、平面的位置關系.
（二）抽象概念，內涵辨析
任務一：能否把平面向量推廣到空間向量，從而利用空間向量表示空間中點、直線、平面等基本元素，通過空間向量運算解決立體幾何問題
追問 1：你能舉幾個空間向量的例子嗎
追問 2：你能類比平面向量及其運算的研究過程，說說本章我們將學習哪些內容、用到哪些研究方法.
教師總結：在本章的學習中，我們要注意利用類比的方法進行研究，研究內容主要有：空間向量的概念、運算、基本定理及其坐標表示；體會推廣的合理性和嚴謹性；利用空間向量表示空間中的幾何元素并解決位置、度量等立體幾何問題.
請同學們回顧平面向量的概念及表示，類比給出空間向量的概念及表示.
平 面 空間
概念
表示
看大小
看方向
既看大小 又看方向
追問 ：從空間向量的相等概念出發，你對共線向量、平行向量有什么認識 任給兩個向量，它們一定共面嗎，為什么
（教師引導學生共同歸納出以下幾點體會：第一，空間向量是自由的，可以將它們在空間中進行平移；第二，因為向量可以平移，所以共線向量和平行向量本質相同；第三，空間任意兩個向量，都可以平移到同一個平面內；第四，涉及空間兩個向量的問題，平面向量中的有關結論仍適用.）
任務3：數學中，引進一種量后，一個很自然的問題就是要研究它的運算.你認為空間向量的線性運算與平面向量的線性運算有什么關系，為什么 你能類比平面向量的線性運算給出空間向量的加法、減法以及數乘運算的定義嗎
平 面 空 間
加法
減法
數乘
追問：向量線性運算的結果，與向量起點的選擇有關系嗎
（學生經過思考后，得出結論“向量的線性運算的結果，與向量起點的選擇無關”）
任務4：類比平面向量的研究過程，我們知道，定義了一種運算就要研究它的運算律.你能類比平面向量線性運算的運算律猜想空間向量線性運算的運算律嗎
（結合平面向量線性運算的運算律，學生不難得到空間向量線性運算的運算律：(1)交換律: a+b=b+a;
結合律:(a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)=(λμ)a;
分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.）
追問1 你能證明這些運算律嗎
追問2 經歷了上面的研究過程，你能總結出空間向量加法的性質嗎
（學生獨立思考后，通過合作交流，得出以下結論：
(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量終點的向量，求空間若干向量之和時，可通過平移將它們轉化為首尾相接的向量.
(2)若首尾相接的若干向量構成一個封閉圖形，則它們的和為0.
(3)類比平面中求兩個向量和的問題可以與平行四邊形的對角線建立聯系，求三個不共面向量和的問題，可以與這三個向量為邊的平行六面體的對角線建立聯系.）
任務5：有了空間向量的線性運算及其運算律，我們就可以通過向量運算研究空間向量的位置關系.對于空間向量的位置關系，你能提出哪些問題 得出哪些結論
（學生獨立思考、小組討論后進行全班交流，教師幫助梳理后得出：
(1)因為空間任意兩個向量都共面，所以對于空間中兩個向量的位置關系，平面向量中的有關結論在空間向量中仍然成立.具體的，平面向量共線的充要條件也是空間向量共線的充要條件，當然要注意維數的不同.
(2)對于空間的三個向量，可以有共線、共面和不共面三種位置關系，因此可以研究的問題是：三個向量共線、共面和不共面的充要條件分別是什么 ）
追問1 你能類比平面向量共線的充要條件，給出空間向量共線的充要條件并進行證明嗎
（學生獨立思考后給出命題：對于任意兩個空間向量a，b，①“如果a=λb(λ∈R)，則a∥b”,②“如果a∥b,且b≠0,則存在唯一的實數λ,使得a=λb”,并進行證明.）
追問2 設a是一個非零向量.空間中與a平行的直線有多少條 要使平行于向量a的直線唯一確定，還需要增加什么條件
（學生獨立思考、作答，教師幫助學生歸納得出結論.
在此基礎上，讓學生閱讀教科書第4頁，明確只要與a共線的非零向量都能確定直線l的方向，由此得到直線方向向量的概念。通過閱讀教科書，明確向量a平行于直線、平行于平面以及共面向里的概念.）
任務6 類比平面內兩個向量共線的充要條件，你能研究一下三個空間向量共線或共面的充要條件嗎
追問1 如果三個空間向量共線，那么它們的方向是什么關系
追問2 如果三個不共線向量共面，那么它們有什么關系
追問3 你有興趣研究一下三個向量不共面的充要條件嗎 這是一個具有挑戰性的問題，哪些同學敢于迎接挑戰 請你們課下研究一下.
（教師引導學生回顧平面向量基本定理，并將平面向量基本定理置于空間，通過討論得出：
(1)如果三個空間向量共線，那么它們的方向相互平行，由平行的傳遞性可得，它們兩兩共線，所以可以轉化為兩個向量共線的問題.
(2)設a，b，p是平面α內的三個不共線向量，不妨設a與b不共線.如果p是α內的一個向量，那么存在唯一的有序實數對(x,y),使p=xa+yb;反之,如果p=xa+yb,那么向量p與向量a,b共面.因此，三個空間向量共面的充要條件是：
如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y),使p=xa+yb.）
（三）例題練習，鞏固理解
例1.如圖所示，已知四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，判斷與是否共線．
（讓學生歸納用空間向量解決立體幾何問題的一般方法，即選擇恰當的向量表示問題中的幾何元素，通過向量運算得出幾何元素的關系.
）
（四）課堂小結
今天你學習了那些知識？
學習中用到了哪些數學方法和數學思想？
還有哪些困惑？
（五）板書設計
（六）目標檢測
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)空間向量，若，則． (　　)
(2)相等向量一定是共線向量． (　　)
(3)三個空間向量一定是共面向量． (　　)
(4)零向量沒有方向． (　　)
[提示]　(1)×　若時，與 不一定平行．
(2)√　相等向量一定共線，但共線不一定相等．
(3)×　空間兩個向量一定是共面向量，但三個空間向量可能是共面的，也可以是不共面的．
(4)×　零向量有方向，它的方向是任意的．
2．在三棱錐中，若是正三角形，E為其中心，則＋－－化簡的結果為 ．
（七）作業設計
作業：教科書第5~6頁練習第1、2、3、4、5題.
五、教學反思

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