資源簡介

教學設計
課題 6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示
課型 新授課 章/單元復習課□ 專題復習課□ 習題/試卷講評課□ 學科實踐活動課□ 其他□
教學內容分析
人教版必修二第六章《平面向量及其應用》是高考重點考查章節。“平面向量的正交分解及坐標表示”位于《平面向量及其應用》的第三節第二課時，是繼平面向量基本定理之后的，平面向量的一種新的表示方法：向量的坐標表示，是本章的重點內容之一，也是培養學生自學能力的良好題材。平面向量基本定理是向量正交分解的一個邏輯基礎，向量的坐標表示是向量的坐標運算的一個邏輯基礎，因此本節課在知識點上起著承上啟下的作用。引入向量的坐標表示可使向量運算完全代數化，將數與形緊密結合起來，這就可以將很多幾何問題的解答轉化為學生熟知的數量運算，真正實現幾何問題代數化。
學習者分析
學生已經掌握的平面向量的基本定理為本節課的學習提供了知識準備；學生在物理學科的學習中已經清楚了力的合成與分解，坐標中點的表示方式已經熟練掌握，同時作圖習慣已經養成這些都為本節課的學習提供認知準備；同時學生具備了一定的歸納推理能力以及分析問題、解決問題的能力，但要學生從向量坐標的方法解決幾何問題依然具有一定的難度。因此宜采用小組合作學習模式，養成小組合作習慣，便于學生在課堂中小組合作探究出相關結論的順利進行。
學習目標確定
課程目標: 1：掌握向量的正交分解及其坐標表示； 2：理解向量與坐標的一一對應關系； 3：掌握向量的坐標與表示該有向線段的起點、終點坐標的關系。 學科素養目標： 1：數學抽象：平面向量的坐標表示； 2：數學運算：求向量的坐標； 3：邏輯推理：根據正交分解和平面向量共線定理推導出平面向量的坐標表示； 4：數學建模：數形結合，將幾何問題轉化為代數問題解決。
學習重點難點
學習重點：平面向量的正交分解及坐標表示 學習難點：平面向量的坐標表示的理解及運算的準確性
學習評價設計
1：向量既是代數的對象，又是幾何的對象，他是溝通代數與幾何的橋梁。通過教學，使學生認識數學內容間的內在聯系，體驗數學發現和創造的過程； 2：通過本節課的內容將向量的運算引申到代數運算，為學生學習下節課的向量的加、減法運算打下堅實的基礎； 3：本節課以學生的自主學習為主，教師負責總結結論和提煉數學思想方法，通過教學發展了學生的數學運算、抽象概括、邏輯推理能力。
學習活動設計
過程學習內容與教師活動（引領性問題）學生任務或學習活動設計設計意圖或評價目標環 節 一 內容1. (復習平面向量基本定理)（復習基本知識） 教師活動： （1）教師要指出平面向量基本定理； （2）展示 （3）舉實例：給定平面內兩個不共線的向量,,由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量，均可分解為兩個向量，即：學生任務1. 思考平面向量有關內容 學生學習活動： (1)背誦并默寫基本定理；（獲得基本知識） （2）寫出實例的結果： （培養解決問題的能力） 設計意圖：通過復習上節所學平面向量基本定理，檢驗學生的知識儲備，引入本節新課，建立知識間的聯系，提高學生概括、類比推理的能力。 評價：學生經過上節課的學習基本都能達成目標 內容2.新課引入 教師活動： （1）傾斜角為30°的斜面上，質量為100kg的物體勻速下滑，欲求物體的滑動摩擦力和支持力，該如何對重力進行分解？ （2）展示 學生任務2. 學生學習活動： （培養學生分析問題、邏輯推理的能力） 利用物理的相關知識進行受力分析，小組討論 得出“該木塊受到重力G的作用，產生兩個效果，一是木塊受平行于斜面的力的作用,沿斜面下滑；一是木塊產生垂直于斜面的壓力,從而得出： 設計意圖：引出新內容 目標評價：通過學生完成任務2，建立學科間知識的聯系，為研究新課題作鋪墊，培養學生的邏輯推理能力和對待科學嚴謹的態度。 環 節 二內容3. 探究新課 探究1、平面向量的正交分解 教師活動： 展示：不共線的兩個向量相互垂直是一種重要的情形，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量做正交分解。正交分解是向量分解中最常見而實用的一種情形 探究2、 教師提出問題： 我們知道，在平面直角坐標系中，每一個點都可用一對有序實數(即它的坐標)表示。對直角坐標平面內的每一個向量，如何表示呢 學生任務3. 學生學習活動： （培養學生分析問題和歸納概括的能力） 1、認真閱讀課本27,28頁，理解向量的正交分解 設計意圖及目標：學生通過完成任務3，建立點的坐標和向量坐標之間的對應關系，提高學生分析問題的能力和概括的能力探究3、平面向量的坐標表示： （培養學生獲取基本知識、分析問題、解決問題的能力） 教師活動： （1）展示 如圖，在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，對于平面內的一個向量,由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x y,使得，這樣，平面內任一向量都可由x,y唯一確定，把有序數對（x，y）叫做向量a的坐標，記作=(x,y),其中x叫做在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標 （2）希沃白板展示 如圖 在平面直角坐標系中，以原點o為起點作，則點A的位置由向量唯一確定。設，則向量的坐標（x,y）就是終點A的坐標；反過來，終點A的坐標（x,y）也就是向量的坐標。因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都可以用一個有序實數對唯一表示 2、(培養學生獲取小組合作的活動經驗，分析問題、解決問題的能力) 認真閱讀課本第28頁，學生通過小組討論，對向量進行正交分解，理解向量的坐標表示，回答的坐標分別為： 學生活動 （培養學生獲取基本知識、基本思想及歸納概括的能力） 仔細閱讀課本第28頁，理解向量與坐標的一一對應關系設計意圖及目標： 在實現平面向量坐標表示的過程中，學生獨立探索、參與討論交流，從中加深對知識的理解，體驗學習數學的樂趣，培養學生的邏輯推理和歸納的能力。 環 節 三內容4.例題講解 （培養學生對基本知識、基本思想的運用，以及邏輯推理的能力） 教師活動： （1）希沃白板展示例題 如圖， 分別用基底表示向量，并求出它們的坐標； （2）對小組展示的結果進行點評學生任務4：合作探究 （培養學生數學運算、數據分析和邏輯推理的核心素養） 學生學習活動： 小組內同學相互討論，完成設置的題目，派代表上黑板展示 設計意圖及目標： 通過完成任務4，使學生對向量的坐標表示有更深刻的理解，練習向量的坐標表示，提高學生的解題能力，為下一節向量的坐標運算做鋪墊內容5.配套練習 （培養學生分析問題、解決問題的能力，培養學生數據分析、數學運算的核心素養） 教師活動： 1、展示： （1）已知表示向量的有向線段始點A 的坐標，求他的終點B的坐標： ① ② ③ （2）判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”) ①兩個向量的終點不同，則這兩個向量的坐標一定不同。( ） ②當向量的始點在坐標原點時，向量的坐標就是向量終點的坐標.( ） ③兩向量差的坐標與兩向量的順序無關.( ） (4)點的坐標與向量的坐標相同。( ） 2、對小組展示的結果進行點評、點撥學生任務5：討論展示 （培養學生分析問題、解決問題的能力，培養學生數據分析、數學運算和邏輯推理的核心素養） 學生學習活動： 小組內討論，完成練習，派代表上黑板板書展示練習（1），小組口頭展示練習（2）設計意圖及目標： 通過完成練習（1），使學生掌握向量的坐標與表示該有向線段的起點、終點坐標的關系，培養學生學會將幾何問題代數化解決，進一步加強數形結合思想的應用 通過完成練習（2） 鞏固本節點的坐標所學知識，培養學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數學思想，增強學生的應用意識。 課堂小結小結：（由學生自行總結）（培養學生歸納概括的基本技能） 平面向量的正交分解 平面向量的坐標表示 向量與坐標的關系 （2）點的坐標與向量坐標的區別設計意圖及目標： 通過小組小結，進一步鞏固本節所學內容，提高學生的概括能力，增強小組的合作能力
板書設計
作業與拓展學習設計
1：完成習題6.3的 2,3題； 2：預習6.3.3 平面向量加、減法運算的坐標表示
教學反思與改進
課后發現問題及時撰寫反思及需要改進的地方

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