資源簡介

集合的概念與表示
1.教學內(nèi)容
集合的概念與表示。
2.教學目標
(1)通過具體的實例，能根據(jù)集合中元素的確定性、互異性和無序性判斷某些元素的全 體是否能組成集合，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)。
(2)知道元素與集合之間的關系，會用符號“∈”“”表示元素與集合的關系；能
用常用數(shù)集的符號表示有關集合。
(3)會根據(jù)具體問題的條件，用列舉法表示給定的集合；能概括給定數(shù)學對象的
一般特征，并用描述法表示集合，提高語言轉換和抽象概括能力，增強用集合表示數(shù)學對象的意識，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)。
3.教學重點與難點
(1)教學重點：集合的概念與表示方法。
(2)教學難點：描述法。
4.教學過程設計
環(huán)節(jié)一創(chuàng)設情境，提出問題
問題1 思考并回答下面的問題：
(1)你能求出方程x2=2的解嗎？
(2)到定點的距離等于定長的點的集合是什么？
師生活動 學生經(jīng)過思考，依據(jù)不同的研究范圍，給出不同的答案。教師指明，明確研究對象，確定研究范圍是研究數(shù)學問題的基礎。為了簡潔、準確地表述數(shù)學對象及研究范圍，我們需要使用集合的語言和工具；為了準確地進行數(shù)學表達和交流，我們
需要學習一些常用邏輯用語。這就是本章我們要學習的兩個內(nèi)容。
[設計意圖] 了解本章所學內(nèi)容及為什么要學習集合。
追問 我們在初中已經(jīng)接觸過一些集合，你能舉出一些例子嗎？
師生活動 學生結合已有知識例舉自然數(shù)集、整數(shù)集、實數(shù)集和不等式解集等。教師指明，為了更有效地使用集合語言，需要進一步了解集合的有關知識，我們先從集
合的概念開始。
[設計意圖] 回顧初中所學知識，為學習集合的概念做準備；點明本節(jié)課所學
內(nèi)容。
環(huán)節(jié)二抽象概念，內(nèi)涵辨析
問題2 下述例子都能組成集合嗎？它們的元素分別是什么？
(1)1～10之間的所有偶數(shù)：
(2)立德中學今年入學的全體高一學生；
(3)所有的正方形；
(4)到直線l的距離等于定長d的所有點；
(5)方程x2-3x+2=0的所有實數(shù)根；
(6)地球上的四大洋。
師生活動 教師引導學生分析(1)、(2)，給出相應的描述；學生模仿給出(3)～
(6)的描述。在分析的基礎上，給出集合的描述性定義：
一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素(element)，把一些元素組成的總體叫做集合(set)(簡稱為集)。
[設計意圖] 讓學生能夠仿照著描述出集合的定義，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力。
問題3 請大家閱讀《普通高中教科書：數(shù)學A版必修第一冊》（以下簡稱《必修
一》)①第2頁有關內(nèi)容，思考并回答下列幾個問題：
(1)“我們班高個子的同學”能構成集合嗎？“我們班最高個子的同學”能構成集合嗎？
(2)由實數(shù)0，1，2，3，1組成的集合有幾個元素？
(3)有實數(shù)1，3，5組成的集合記為M，有實數(shù)3，1，5組成的集合記為N，這兩個集合中的元素相同嗎？
師生活動 教師引導學生閱讀教科書中的相關內(nèi)容，并進行個別輔導與答疑。同
時，引導學生概括出集合中的元素的特點：確定性、互異性、無序性。
追問 讓學生再舉出些實例（能構成或者不能構成集合的例子）：并要求說明理由。
[設計意圖] 引導學生閱讀相關教材，體會集合的本質。通過對問題3及追問的
回答，明確集合元素的確定性、互異性和無序性，培養(yǎng)抽象概括能力。
請大家繼續(xù)閱讀教材的有關內(nèi)容，并思考：
問題4 如果用A表示我們學校高一(1)班全體同學組成的集合，用α表示高一（1）班的一位同學，b表示高一(2)班的一位同學，那么a、b與集合A分別是什么關系？
師生活動 學生閱讀教材中的相關內(nèi)容，思考問題4，以具體問題作鋪墊，讓學生明確元素與集合的關系
追問 你知道如何表示元素與集合之間的關系嗎？
課堂練習1：
(1)下列各組對象不能組成集合的是( )
(A) 1～20之間的所有質數(shù) (B) 被5除余3的所有整數(shù)
(C)太陽系的八大行星 (D)我國生產(chǎn)的較大的輪船(0
(2)用符號“∈”或“”填空：
①設A表示所有亞洲國家組成的集合，則中國 A;英國 A;美國 A;印度 A
②若方程x2=x的實數(shù)根組成集合A，則1 A
③若方程x2+x-6=0的實數(shù)根組成集合B，則3 B;
[設計意圖] 明確元素與集合的關系，學習用符號“∈”“”表示元素與集合之間的關系。
問題5 你知道常用數(shù)集如何表示嗎？
師生活動學生閱讀（必修一》第3頁的有關內(nèi)容，引導學生回憶常用數(shù)集的含義，并請學生說出常用數(shù)集的符號表示：
全體非負整數(shù)組成的集合稱為非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N;
全體正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作N或N+;
全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z;
全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q;
全體實數(shù)組成的集合稱為實數(shù)集，記作R。
課堂練習2：
(1)用符號“∈”或“”填空：
0 N;-3 N;0.5 Z; Z; Z; R
(2)由大于1且小于10的自然數(shù)組成集合C，則8 C，9.1 C。
[設計意圖] 認識并掌握常用數(shù)集的符號表示。
環(huán)節(jié)三 閱讀理解集合的表示法
問題6 從上面常用數(shù)集的例子看到，可以用自然語言描述一個集合。除此之外，還
可以用什么方式表示集合呢？請同學們閱讀《必修一》第3頁的有關內(nèi)容，然后回答問題：你能用列舉法表示下列集合嗎？
(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合；
(2)方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合。
師生活動 學生閱讀教材，教師可以舉例引導。例如，所有小于10的自然數(shù)組成的集合，就是將滿足條件的所有數(shù)寫在大括號“｛｝”內(nèi)，即為｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，這種表示集合的方法是列舉法；用列舉法表示集合時，雖然不必考慮元素的前后次序，但為了不重不漏地列出，還是要注意按一定的邏輯順序進行列舉；相同的元素不能出現(xiàn)兩次；要注意區(qū)分a與｛a｝。
[設計意圖] 幫助學生學習用列舉法表示有關的集合。
問題7 從《必修一》第3頁的兩道思考題中，你能感悟到什么？
(1)你能用自然語言描述集合｛0，3，6，9｝嗎？
(2)你能用列舉法表示不等式x-7＜3的解集嗎？
師生活動 通過(1)，引導學生領悟自然語言與符號語言之間的轉化；通過(2)，引導學生思考、討論用列舉法表示相應集合的困難，同時，讓學生思考不能用列舉法表示有關集合的理由：不等式x-7＜3的解集，即不等式x＜10的解集，這個集合中的元素有無數(shù)個，不適合用列舉法表示。
追問1 我們該如何表示“不等式x-7＜3的解集”呢？
師生活動 引導學生閱讀教材，在思考、討論后得出：首先，明確這個集合中元素
的共同特征，x是實數(shù)，且使：一7＜3（即：x＜10）成立：然后，再給出這種共同特征的表示方法：x∈R，且x＜10:最后，寫出集合，或者
追問2 整數(shù)集可以分為奇數(shù)集和偶數(shù)集。你能用符號語言表示“奇數(shù)集”嗎？
師生活動 教師通過問題引導學生思考：奇數(shù)能否表示成x=2k+1，x∈Z的形式？反之，形如x=2k+1，x∈Z的整數(shù)，是否為奇數(shù)？然后得出結論：
奇數(shù)集中元素的共同特征是被2除余1，用符號表示即為：x=2k十1，k∈Z。
同理，可再讓學生用類似的方法表示偶數(shù)集。
在上述活動的基礎上，給出集合表示的描述法：
一般地，設A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為｛x∈A｜P(x)｝，這種表示集合的方法就是描述法。
課堂練習3：
(1)在實數(shù)集R中，有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都具有 的形式，這些數(shù)組成有理數(shù)集。那么，有理數(shù)的共同特征是什么？你能用描述法表示有理數(shù)集嗎？
(2)已知集合A=｛x∈N｜2x-1＜0)，1.5∈A嗎？2∈A嗎？3∈A嗎？
(3)如果y∈｛x∈A｜P(x)｝，那么你能得到哪些結論？請你舉例說明。
(4)試分別用描述法和列舉法表示下列集合：
①方程x2-2=0的所有實數(shù)根組成的集合A;
②由大于10且小于20的所有整數(shù)組成的集合B。
(5)用適當?shù)男问奖硎鞠铝屑希?br/>①絕對值不大于4的整數(shù)組成的集合；
②所有被5整除的數(shù)組成的集合；
③方程(x-1)2(x+3)(2x-1)=0的實數(shù)解組成的集合；
④二次函數(shù)y=x2+1圖象上的點組成的集合；
⑤數(shù)軸上離原點的距離大于3的點組成的集合。
在學生完成練習的基礎上，給出約定：如果從上下文的關系看，x∈R，x∈Z是明確的，那么x∈R，x∈Z可以省略，只寫其元素x。
例如，集合D=也可表示為D=｛x｜x＜10｝;
集合E=也可表示為E=。
[設計意圖] 使學生體會用描述法表示集合的必要性，學會用描述法表示集合；會針對具體問題的特點，選擇恰當?shù)谋硎痉椒ū硎炯稀Ｒ话闱闆r下，對有限集，在元素不太多的情況下，宜采用列舉法，它具有直觀明了的特點；對無限集，一般采用描述法
表示。
環(huán)節(jié)四 目標檢測，檢驗效果
用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br/>(1)由方程2x2+x-3=0，x∈N的所有根組成的集合。
[設計意圖] 以方程內(nèi)容為載體，檢測集合的表示，此處列舉法更簡便。
(2)不等式3x≥4-2x的解集。
[設計意圖] 以不等式內(nèi)容為載體，檢測集合的表示，此處只能應用描述法。
(3)一次函數(shù)y=x+3與二次函數(shù)y=-2x2+6圖象的交點組成的集合。
[設計意圖] 以函數(shù)內(nèi)容為載體，檢測集合的表示，此處列舉法和描述法皆可。
環(huán)節(jié)五 小結提升，布置作業(yè)
問題8請你帶著下列問題回顧一下本課學習的內(nèi)容：
(1)你認為用集合表示數(shù)學的研究對象有什么好處？
(2)你是如何理解符號A∈｛A｝的？
(3)你能舉例說明用自然語言、列舉法和描述法表示集合時各自的特點嗎？
(4)你認為用描述法表示集合的關鍵是什么？
師生活動 由學生獨立思考后回答，教師帶領學生歸納總結，得出：
(1)用集合表示研究對象具有簡潔、明確的特點，通過后續(xù)學習還可以看到，利用集合的關系和運算，可以得出數(shù)學對象的性質、關系等。事實上，集合是現(xiàn)代數(shù)學的基本語言和工具，在計算機、人工智能、語言學等大量領域中都有重要應用。
(2)由A∈｛A｝可知，A是一個元素，｛A｝是一個集合，且A是｛A｝中的元素，A
與｛A｝是不同的。
(3)在學生舉例說明的基礎上指出，不同的表示方法各有特點，在表達研究對象時各有長處，要注意三種語言的轉換。
(4)描述法表示集合的關鍵是要準確概括數(shù)學對象的一般特征，這就需要對相應
對象有較為深刻的理解，并能用恰當方式表示出來。因此，描述法可以促進我們對數(shù)
學內(nèi)容的理解，可以提升我們的數(shù)學抽象水平。
[設計意圖] 在問題引導下，促使學生進一步認識學習集合的必要性，理解屬于關
系是集合的基本關系，明確元素A與由元素A組成的集合(A)之間的差異，注意不同
表示法的特點，重視不同表示法之間的轉換，強調(diào)描述法與對數(shù)學內(nèi)容的本質理解與
符號化表達之間的關系。
課后作業(yè)
作業(yè)1：《必修一》第5頁，習題1.1，第2，3，4題。
[設計意圖] 第2、3題練習用指定的方法表示所給集合，第4題是選用恰當?shù)姆?br/>法表示所給集合。
作業(yè)2：元素與集合的關系有多少種？如何表示？類似地，集合與集合之間的關系又有多少種？如何表示？請同學們通過預習課本來解答。
[設計意圖]鞏固本節(jié)課所學知識，運用類比的思想方法預習下節(jié)課內(nèi)容。

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