資源簡介

兩角差的余弦公式
一、教學(xué)目標(biāo)
1.通過獨(dú)立探索和討論交流，利用三角函數(shù)線和數(shù)量積導(dǎo)出兩角差的余弦公式
2.熟記兩角差的余弦公式并能靈活運(yùn)用
3.體會(huì)一般與特殊的關(guān)系，培養(yǎng)邏輯思維能力，數(shù)形結(jié)合思想，樹立創(chuàng)新意識(shí)
4.借助已學(xué)知識(shí)探索出數(shù)學(xué)公式，使學(xué)生充分體會(huì)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過程，并滲透由特殊到
一般，由具體到抽象的數(shù)學(xué)思想方法。
二、學(xué)情分析
“兩角差的余弦公式”這節(jié)內(nèi)容是三角恒等變換這一章的出發(fā)點(diǎn)，是眾多三角變換公式的鼻祖，地位與意義非同尋常。
教材沒有直接給出公式，而是大體分了“探求、證明”兩步進(jìn)行編寫，用意十分明顯，就是要注重探求過程的教學(xué)。而探求過程的處理是否恰到好處，直接關(guān)系到能不能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性與主動(dòng)性，關(guān)系到能不能促進(jìn)教學(xué)中預(yù)設(shè)與生成的自然融合。而公式的證明過程，由于向量知識(shí)的欠缺，使得證明過程成了一個(gè)棘手的問題，既只能用已學(xué)的知識(shí)，又要證明合理、完整，確實(shí)需要推敲。
本課實(shí)施過程中，學(xué)生可以從不同的角度提出不同的問題，教師教學(xué)中必須注意引導(dǎo)學(xué)生觀察、聯(lián)想、對(duì)比、化歸等方法分析問題，站在學(xué)生的角度，與學(xué)生一起尋找解決問題的突破口和主體思路。
三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：兩角差的余弦公式的推導(dǎo)
難點(diǎn)：兩角差的余弦公式的推導(dǎo)
四、教學(xué)方法與手段
學(xué)習(xí)方法：觀察發(fā)現(xiàn)、歸納總結(jié)。 教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué),借助三角板探究。
五、教學(xué)過程
教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 設(shè)計(jì)意圖 師生互動(dòng)
情境導(dǎo)入 問題：(1)大潤發(fā)超市的電梯長度約為 8 米,坡度（與地面夾角）約為15°，請(qǐng)問當(dāng)我們上完電梯后，在水平方向上前進(jìn)了多少米？ 如何求cos15°=__ ___ 由給出的情境素材，使學(xué)生感受到實(shí)際問題中對(duì)研究兩角和（差）公式的需要。 教師引導(dǎo)學(xué)生并提出問題：要解決這個(gè)實(shí)際問題，這節(jié)課我們先來探究如何用，的正弦，余弦值來表示的問題，即兩角差的余弦公式。
探究新知 探究1 ：三角板是同學(xué)們熟悉的作圖工具，它里面包含了許多三角形的邊角關(guān)系，比一比兩個(gè)三角板的三邊，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 通過直覺猜想，特殊驗(yàn)證，使學(xué)生感受到從特殊到一般的思維過程。 讓學(xué)生自己動(dòng)腦，動(dòng)手驗(yàn)證。cos15°=cos（45°-30°)=cos45°- cos30°？
探究新知 怎樣聯(lián)系單位圓上的三角函數(shù)線來探索公式？ 加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系性；(2)從特殊到一半，易于理解，突破難點(diǎn)，使學(xué)生從直觀角度加強(qiáng)對(duì)差角公式結(jié)構(gòu)形式的認(rèn)識(shí)。 探究過程：（1）作出，的終邊；（2）做出角的余弦線，以及角的正弦線，余弦線；（3）用幾何直觀求OM表達(dá)式。注意：以上結(jié)果是在，都是銳角，且的情況下得到的，所得結(jié)果是否對(duì)任意角都成立，結(jié)論是肯定的，可以讓同學(xué)們課下完成。
探究2：上面通過回歸定義，我們推導(dǎo)出了兩角差的余項(xiàng)公式，還有其他方法嗎？前面所學(xué)的什么知識(shí)中有角的余弦 能否利用向量方法探究？（1）在直角坐標(biāo)系中作單位圓O，以為始邊作角，它們的終邊分別交單位圓于點(diǎn)，并標(biāo)出角。（2），，（3），由向量的夾角公式得出 讓學(xué)生經(jīng)歷用向量知識(shí)解出一個(gè)數(shù)學(xué)問題的過程，體會(huì)向量方法的作用。同學(xué)們通過比較發(fā)現(xiàn)向量法更簡單，認(rèn)識(shí)到向量是重要的數(shù)學(xué)工具。 （1）先結(jié)合圖形，讓學(xué)生明確應(yīng)選擇哪幾個(gè)向量，自己動(dòng)手表示；（2）學(xué)生回顧向量的夾角公式，并求得探究結(jié)果；（3）教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)探索過程進(jìn)一步嚴(yán)格化的思考和處理。由向量數(shù)量積的概念，角；由于都是任意角，也是任意角，但是由誘導(dǎo)公式，總有一個(gè)角，使 若，為的夾角， ＝ 若，則為的夾角，=（以上推導(dǎo)是否有不嚴(yán)謹(jǐn)之處？應(yīng)如何補(bǔ)充？）
發(fā)現(xiàn)結(jié)論 （兩角差的余弦公式）：對(duì)于任意角，都有 使學(xué)生進(jìn)一步熟悉公式，了解公式的結(jié)構(gòu)特征。 師生共同分析公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：烤烤曬曬符號(hào)反，簡記為
知識(shí)應(yīng)用 例1：用差角余弦公式求的值。解法1：解法2： 思考：你會(huì)求的值嗎？ (1)三角變換關(guān)注角的拆分；(2)角的拆分的多樣性，決定變換的多樣性。考察公式正用；思考問題為后面變換函數(shù)種類的思考做出鋪墊。 （1）求解過程由學(xué)生獨(dú)立完成；(2)通過本例和變式練習(xí)，學(xué)生應(yīng)得到對(duì)三角變換的一般認(rèn)識(shí)，教師作適當(dāng)點(diǎn)評(píng)。
知識(shí)應(yīng)用 變式1：（1）求cos27°sin78°+sin27°sin12°的值（2）求cos x cos(x+15) +sin x sin(x+15°)的值.（3）求 通過變式練習(xí)使學(xué)生增進(jìn)對(duì)公式的理解，會(huì)對(duì)公式進(jìn)行逆用。 學(xué)生獨(dú)立完成，教師點(diǎn)評(píng)；注意公式的正用和逆用。
知識(shí)應(yīng)用 與例1相比，（1）它需要思考使用公式前應(yīng)求哪些量；(2)要運(yùn)用同角三角函數(shù)的知識(shí)。（3）變角題型 學(xué)生審題，自己作答，教師對(duì)學(xué)生表述的步驟，是否規(guī)范作出必要的點(diǎn)評(píng)和要求。做適當(dāng)引導(dǎo)，注意角的范圍，避免漏解，讓學(xué)生學(xué)習(xí)分類討論的思想，提高表達(dá)能力。
鞏固練習(xí) 　(1)cos165°的值是_______．
(2)sin11°cos19°＋cos11°cos71°＝________．
(3)＝________．
（6）無字證明 1~5題，注意公式的應(yīng)用應(yīng)該從公式的“正用，逆用，變用”著手。6題為探究題，得出結(jié)論，為下節(jié)課的公式探討，做鋪墊 學(xué)生動(dòng)手完成，教師在教室巡查，幫助有困難的學(xué)生。
課堂小結(jié) 1.兩角差的余弦公式的探索及證明思路；2.兩角差的余弦公式：（1）公式正用求值時(shí)要注意角的范圍，范圍不確定時(shí)可能用到分類討論的思想，避免漏解；（2）當(dāng)所求的三角函數(shù)值為正弦和余弦函數(shù)值之積的和（差）的形式時(shí)，一般是通過變換角之間的關(guān)系逆用公式；(3)角的變換中角的拆分方法不惟一，關(guān)鍵在于把未知角和已知角建立關(guān)系，把未知角向已知角轉(zhuǎn)化。3.本節(jié)課所涉及的數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合，特殊到一般，化歸轉(zhuǎn)化思想。 通過總結(jié)，使學(xué)生對(duì)本節(jié)課有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望。 學(xué)生思考，教師引導(dǎo)學(xué)生從公式的探索過程和差角余弦公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)兩方面進(jìn)行小結(jié)。
作業(yè)設(shè)計(jì) 探究作業(yè)：思考： 作業(yè)布置突出本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，達(dá)到鞏固目的。 教師通過布置作業(yè)，進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，更新教法。
評(píng)價(jià)分析 本節(jié)課首先通過引入，讓學(xué)生感受到研究和差公式的必要，明確了探究目標(biāo)。在公式的探究中，分了三個(gè)層次：一是動(dòng)手猜想，特殊驗(yàn)證；二是通過對(duì)為銳角，且的特殊情況進(jìn)行探究；三是對(duì)一般情形進(jìn)行探究，這樣設(shè)計(jì)符合認(rèn)知規(guī)律，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)過程是不斷猜想，不斷修正，從特殊到一般的思維過程。通過例題和變式的處理，加深了對(duì)公式的理解和掌握，為今后建立其他和差角公式打好基礎(chǔ)。
板書設(shè)計(jì) 兩角差的余弦公式 公式：例1：例2： 易錯(cuò)：學(xué)生板演
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