資源簡介

課題名稱 基本不等式 教材版本 人教A版
一、教學內容分析
從內容上來看，“基本不等式”是高中人教版必修第一冊第二章的重點內容，它是在系統學習了不等關系和不等式性質，掌握了不等式性質的基礎上對不等式的進一步研究，同時也是為了以后學習選修教材中關于不等式及其證明方法等內容作鋪墊，起著承上啟下的作用。 從應用價值上來看，基本不等式是從大量數學問題和現實問題中抽象出來的一個模型，在公式推導中所蘊涵的數學思想方法如數形結合、歸納猜想、演繹推理、分析法等在各種不等式研究問題中有著廣泛的應用；另外它在求最值等實際問題的計算中也經常涉及到。 從人文價值上來看，基本不等式的探究與推導需要學生進行觀察、分析、歸納、猜想，這有助于培養學生的創新思維和探索精神，是培養學生應用意識和數學能力的良好載體。
二、學情分析
從學生的知識儲備情況來說，學生己經有了不等式的基本知識作為鋪墊，通過對不等式的學習，已掌握了不等式的基本性質并能夠根據不等式的性質進行數、式的大小比較。 從學生的活動經驗基礎方面來說，學生已經具備了一定的邏輯推理、抽象思維，有利于于理解基本不等式的證明及幾何解釋。 從學生的認知困難來說，學生缺少代數式證明的經驗、不完全具備數學建模素養、并且思維不夠嚴謹，在利用基本不等式求解最值問題時容易忽視使用條件。
三、教學目標
了解算術平均數與幾何平均數的概念，了解基本不等式的探索及證明過程 2.理解并掌握基本不等式及變形，能夠運用基本不等式求函數或代數式的最值（有條理的寫出目標加入合適的核心素養名詞
四、教學重難點
教學重點：基本不等式的定義及應用 教學難點：基本不等式的幾何解釋，用基本不等式解決簡單的最值問題。
五、教學方法
啟發誘導、合作探究、講練結合
六、教學過程設計
（一）回顧舊知 通過數學家大會會標以及趙爽弦圖回顧上節課所學的重要不等式：對于任意實數，有，當且僅當時，等號成立。 [設計意圖]回顧重要不等式，為下面引出基本不等式做鋪墊，運用多媒體技術能夠使學生直觀感受等號成立的條件。 （二）探究新知 【問題1】如果,我們用分別代替上式中的，可以得到怎樣的式子？ 【師生活動】教師引導學生進行替換，總結得出基本不等式的定義。 基本不等式定義：如果都是正數，那么，當且僅當時等號成立。其中，叫做正數的算數平均數，叫做的幾何平均數。基本不等式表明兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。 [設計意圖]對上節課學習的重要不等式進行特殊形式的賦值計算，得到基本不等式的定義，這使得兩個不等式之間建立聯系，即通過舊知學習新知，使新舊知識相結合。這一過程也分析了基本不等式的代數結構特征，得到基本不等式的代數解釋，加深對基本不等式的認識。 【思考】基本不等式，“基本”在何處呢？ [設計意圖]給出基本不等式“基本”的含義，讓學生從更深層次理解基本不等式，理解基本不等式的重要性。 【學生活動】學生獨立完成作差法證明基本不等式。 【師生活動】教師引導學生用古巴比倫時期的“和差術”證明基本不等式。 [設計意圖]作差法比較簡單，學生有能力獨立完成。用作差法證明基本不等式后，穿插數學史知識，引入古巴比倫時期的“和差術”，能夠引發學生思考、激發學習興趣，開拓學生思維。 【問題2】如圖，是圓的直徑，,，過點作垂直于的弦，連接，，你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋么？ 【師生活動】教師引導學生尋找圖形中和所代表的線段，將基本不等式與圖形建立聯系。從條件和基本不等式出發，發現圓的半徑長等于，，所以基本不等式可以利用“圓中半徑不小于任意一條半弦”得到解釋。當且僅當弦過圓心時，二者相等。 [設計意圖]教師引導學生將基本不等式與圓建立聯系，通過觀察分析得到—算數平均數和幾何平均數分別代表圓的半徑與半弦，進而通過圓的半徑與半弦的關系來獲得基本不等式的幾何解釋。 【師生活動】教師用Geogebar軟件演示當點運動到圓心的動態過程，學生直觀感受基本不等式的這一幾何解釋。 [設計意圖]運用多媒體進行演示，能夠使學生直觀的體會這一過程，體現了教學的直觀性原則。 【學生活動】學生類比基本不等式在圓中的幾何解釋，通過小組討論，完成基本不等式在直角三角形中的幾何解釋。 [設計意圖]類比基本不等式在圓中的幾何解釋，由學生自己得出基本不等式在直角三角形中的幾何解釋，促進學生進行知識的遷移。 【師生活動】比較重要不等式與基本不等式的異同。 [設計意圖]總結歸納重要不等式與基本不等式的異同，在對比中學習，有助于形成知識體系。 （三）例題講解 例1 已知，求的最小值。 【師生活動】學生獨立完成，教師板演。 [設計意圖]引導學生根據本題的代數式形式，判斷是否可以利用基本不等式解決問題，并帶領學生總結出其使用條件為“一正、二定、三相等”。 課堂小結 1.我們這節課學到了哪些關于基本不等式的知識呢？ 2..貫穿于本節課的數學思想方法是什么？ [設計意圖]以問題鏈的形式引導學生進行歸納總結，可以使學生思路較為清晰地回顧本節課所學內容，總結地全面具體。不僅注重知識的總結，而且注重數學思想方法的總結，使學生明白數學思想方法對數學學習的重要意義。 （六）課后作業 1.必做：P46頁練習題1、2； 2.選做：請查閱資料，用其他方法基本證明不等式。 [設計意圖]采用分層作業的形式，滿足不同學生的需要。
七、板書設計
2.2基本不等式 1.定義：如果都是正數，那么， 當且僅當時等號成立. 和差術： （（想體現做一頁PPT） 例1 解：因為， 當且僅當 時， 當時，等號成立.

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