資源簡介

3.1.1橢圓及其標準方程課時教學設計
題目 3.1.1橢圓及其標準方程
一、內容和內容解析 內容 章引言、橢圓及其標準方程
內容解析 內容的本質： 在阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》中，三種圓錐曲線是基于平面截圓錐給出的.用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線，它們統稱為圓錐曲線.圓錐曲線在天文學、物理和光學中有廣泛的應用.橢圓的定義本質上也是平面內具有一定性質的點的集合；橢圓的標準方程是從代數角度認識橢圓，建立標準方程的過程是將幾何問題代數化的過程。 蘊含的數學思想和方法： 從具體的探究活動中，用數學的眼光觀察動點軌跡，歸納出橢圓的幾何特征,進而抽象概括出橢圓的定義，蘊含著“數學抽象思想”；類比圓的標準方程的建立，運用坐標法，結合橢圓的對稱性，通過“建-設-限-代-化-驗”六步，得到橢圓的方程，體現用代數方法研究幾何問題的一般思路，蘊含著“數形結合思想”、“化歸與轉化思想”。 知識的上下位關系： 幾何與代數主題學習平面解析幾何，通過建立坐標系，借助直線、圓與圓錐曲線的幾何特征，導出相應方程；用代數方法研究它們的幾何性質，體現數形結合思想.在第二章“直線和圓的方程”中，學生學習了確定直線與圓的幾何特征：定點、定方向，以及定點、定長，并且在平面直角坐標系中用坐標法給出了直線與圓的方程.本節課中，我們將直線與圓的這種研究方法拓展到橢圓，確定橢圓的基本幾何量，并在平面直角坐標系中推導橢圓的標準方程.本課時內容是學生繼續學習橢圓幾何性質的基礎.橢圓是圓錐曲線中的代表性圖形，它與雙曲線、拋物線在概念與性質上具有基本同構特點.橢圓相關內容的學習為后續研究雙曲線、拋物線提供了基本模式和理論基礎.因此，本節課具有承前啟后的作用。 育人價值： 學生通過觀察圓錐曲線在實際生活中應用的圖片以及阿波羅尼奧斯獲得圓錐曲線的動畫，可以感受數學文化的魅力, 體會數學與生活的緊密聯系；通過開展充分的畫橢圓的探究活動，抽象概括橢圓定義的過程，有助于培養學生觀察、分析、抽象、概括的數學思維能力和數學抽象的核心素養；引導學生推導橢圓標準方程感受橢圓的定義（幾何）與橢圓的標準方程（代數）之間的聯系，同時感悟數學的簡潔美，培養學生的數學抽象和數學運算的核心素養以及應用數形結合的思想解決問題的能力。
二、學情分析 1.學生已有基礎 從知識上講，學生初中就對圓的幾何特征有了充分的了解.從方法上，通過圓的標準方程的學習，學生對用坐標法研究曲線的基本思路與方法已有了解。 2.學生可能遇到的難點 學生可能遇到的難點有兩個,一是如何提煉橢圓的幾何特征，進而用精確的數學語言抽象出橢圓的定義.二是如何推導橢圓的標準方程，化簡含有兩個根式的方程，學生可能束手無策，不能和已有的運算經驗建立聯系。 3.突破難點的策略 （1）通過開展充分的畫橢圓活動，引導學生做中學，聯系畫圓的活動經驗，建構相應的幾何圖形，能夠借助圖形發現圖形與數量的關系，提煉出橢圓的幾何特征，抽象出橢圓的定義。 （2）一方面，引導學生結合橢圓的幾何特征—對稱性建立坐標系.另一方面，回顧已有運算經驗—“平方法去除一個根號”，強化思維的“預測功能”.如果兩邊直接平方，后續的運算會怎樣；如果先移項后兩邊平方，后續的運算又會怎樣.具體分析后實施操作,采取小組合作的方式，設計方程化簡的方案，在小組活動中教師對運算策略加以指導.最后，橢圓方程中b的引入，結合圖形分析a、c與的線段，引導學生思考a、c與的幾何意義，理解引入b 的合理性。
三、目標和目標解析 目標 （1）通過開展繪制橢圓小組探究活動，能夠說出橢圓的幾何特征并抽象概括出橢圓的定義,發展數學抽象素養。 （2）類比圓的標準方程研究路徑，能夠恰當建立直角坐標系，設計合適運算方案，推導出橢圓的標準方程，進一步感悟數形結合思想和體會坐標法的魅力與威力，發展邏輯推理、數學運算素養。
目標解析 （1）通過小組合作在紙板上繪制橢圓的探究活動認識橢圓的幾何特征,能抽象概括出橢圓的定義.通過觀察動畫能夠說出“動點到兩定點距離之和必須大于兩定點之間的距離”的限制條件，全面準確把握橢圓概念的內涵與外延。 （2）能夠結合圓的標準方程的學習經驗說出橢圓標準方程學習的研究方法和研究路徑并逐步開展研究.能夠從已有運算經驗—“平方法去除一個根號”出發，觀察方程結構特征，小組合作探究設計出化簡橢圓方程的方案，關注化簡過程的等價性，比較不同方案的優劣。
教學重點 橢圓的概念、橢圓的標準方程。
教學難點 橢圓標準方程的推導，計算量很大。
四、教學方法分析
五、教學過程設計 教師活動與數學問題 問題或任務與學生學習活動 設計意圖或評價目標
環節一 內容1：創設情境，引入新知 引導語：前面我們用坐標法研究了直線、圓及它們的位置關系.生產、生活中還有許多非常有用、有趣、我們還不太熟悉的曲線需要研究。 教學情境1. 解決問題1：我們知道，用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側面的交線）是一個圓，如果改變截面與圓錐的軸所成的角，會得到怎樣的截口曲線呢？ 學習任務1．教師通過信息技術演示，引導學生認識截面與圓錐的軸所成的角不同時得到不同的截口曲線，并指出它們分別是橢圓、雙曲線、拋物線 學習任務2．
環節二 內容2：實驗探究，形成定義 教學情境2. 取一條定長的繩子，把它的兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，觀察筆尖（動點）畫出的軌跡是什么？再將細繩兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點 （如圖2），套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖（動點）畫出的軌跡又是什么曲線？ 解決問題2：在筆尖移動的過程中，變化的量是什么？不變的量又是什么？你能歸納出動點 具有的不變性嗎？并用符號表示？ 學習任務1．是變量，動點 到兩個定點 的距離之和為常數，即是常數。
小結：
環節三 內容3：代數運算，建立方程 【問題3】請你回顧圓的標準方程的推導方法與步驟，嘗試建立橢圓的方程. 教學情境3. （1）建立適當的平面直角坐標系.（2）設曲線上任意一點的坐標 以及給出相應各點的坐標.（3）尋找點 的限制條件 .（4）將坐標代入條件 ，列出方程. （5）化方程為最簡形式.（6）檢驗完備性. 解決問題3：學生自主建系，教師巡視.如果學生建系使得方程比較復雜，則提出下列追問. 追問：觀察橢圓的形狀，你認為怎樣建立坐標系可能使所得的橢圓方程形式簡單？ 教師活動： （1）引導學生關注方程的結構特征，方程的結構特征往往蘊含著化簡的方向. （2）引導學生關注上述化簡都是等價的，簡要說說理由. （3）引導學生回顧去除一個根式的方法—平方法，面對兩個根式，在逐步化簡中，通過移項再次平方，把陌生問題轉化為熟悉的問題，引導學生體會二次平方去根式的方法，多次打開括號，積累運算策略. （4）④到⑤這一步目的是使方程結構更加優美 教師活動： （1）引導學生分析方程的結構特征，先后利用兩次“移項再平方”的方法化簡方程. （2）引導學生關注上述化簡都是等價的，簡要說說理由. （3）教師巡視過程中給予學生適當運算策略的指導. （4）引導學生比較不同方案的優劣. 動點運動的軌跡—曲線（橢圓）是客觀存在的，在求曲線的方程時，可以建立不同的坐標系，為了使方程簡潔，不失一般性，我們要注意選擇建系的方法，比如利用橢圓的對稱性建系. 【橢圓標準方程的推導—限制條件】 由橢圓定義可知，橢圓可看作點集： 追問：怎樣化簡動點 滿足的三角不等式？ 方案一：（直接平方法） 若將方程①兩邊同時平方： ② 將方程②進行化簡： 追問：接下來怎么進行？ 預設：兩邊平方展開. 即為： ③ 將方程③兩邊同時平方： 追問：接下來怎么進行？有沒有簡化運算的策略？ 方案二：（移項平方法） 為了化簡①式，我們將其左邊的一個根式移到右邊，得到： ② 對方程②左右平方，得： 追問：接下來怎么進行？ 預設：平方展開，移項，化簡. ③ 對方程③兩邊平方，得： 追問：如何整理？ 預設：移項，合并同類項，因式分解. 整理得： ④ 將方程④兩邊同除以 得： ⑤--------（關注 ） 追問:將方程③變形為 ，你能用精確的數學語言刻畫它的幾何意義嗎？ 預設：動點 到定點 的距離與點 到定直線 的距離 之比為常數 .
課堂小結 結合本節課內容，回答下述問題： （1）結合橢圓所學，完成下表. （2）推導橢圓標準方程的方法和步驟？ 預設：坐標法，“建系—設點—限制條件—代入坐標—化簡—檢驗” （3）求橢圓標準方程的方法？
六、目標檢測與作業設計 目標檢測作業設計 1.已知橢圓方程為，為橢圓上任意一點，為橢圓的焦點，則（ ） A. B. C. D. 2.已知的頂點在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另一個焦點在上，則的周長是（ ） A. B. C. D. 12 3.橢圓的一個焦點坐標為（ ） B. C. D. 4.已知橢圓的焦點為，點在橢圓上，則橢圓的標準方程為（ ） A. B. C. D. 5. 以兩條坐標軸為對稱軸的橢圓過點和，則此橢圓的標準方程是（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不對 6.是橢圓的左焦點，是橢圓上的動點為定點,則的最小值是(　　) A. B. C. D. 作業設計 1.如果橢圓 上一點 與焦點 的距離等于6，那么點 與另一個 的距離是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 14 2.設橢圓 的焦點分別為 和 ，過焦點 作直線 與橢圓交于 兩點.則 的周長為（ ） A． B. C. D. 3.橢圓 的焦點坐標是（ ） A. B. C. D. 4.求下列橢圓標準方程： （1）焦點坐標為 ，且橢圓經過 ；（2）橢圓經過兩點
七、板書設計 一、橢圓的概念 二、橢圓標準方程的推導 坐標法，建-設-限-代-化-驗 （1）建系 （2）設點 （3）限制條件 （4）代入坐標 （5）化簡 （6）檢驗 橢圓的標準方程： （5）化簡 方案1 方案2 三、應用 例
八、反思 加強學生計算能力 引導學生結合橢圓的幾何特征—對稱性建立坐標系.另一方面，回顧已有運算經驗—“平方法去除一個根號”，強化思維的“預測功能”。

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