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從實(shí)驗(yàn)區(qū)高考試題窺探高中新課程立體幾何教學(xué)的方向
山西省教育科學(xué)研究院 薛紅霞
立體幾何是課標(biāo)中變化較大的內(nèi)容之一，在教學(xué)中如何應(yīng)對(duì)這種變化呢？本文從2009年實(shí)驗(yàn)區(qū)高考試題的特點(diǎn)分析立體幾何教學(xué)的方向。
一、課標(biāo)與大綱的區(qū)別
1. 編排方式的變化。
在大綱中，立體幾何是作為一個(gè)整體安排在必修中，而在課標(biāo)中將立體幾何的內(nèi)容分為3部分，分階段學(xué)習(xí)不同的內(nèi)容。具體編排見下表。
大綱
課 標(biāo)
位置
與
內(nèi)容
必修
（直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體）
數(shù)學(xué)2
（立體幾何初步）
選修1—2
選修2—2
（推理與證明
——反證法）
選修2-3
（空間向量與立體幾何）
課時(shí)
36
18
2
12
2. 立體幾何的學(xué)習(xí)作為向量的應(yīng)用。
在大綱中立體幾何是在綜合幾何的觀點(diǎn)下進(jìn)行學(xué)習(xí)的，在課標(biāo)中，學(xué)生在必修部分學(xué)習(xí)立體幾何初步的知識(shí)，立體幾何中與位置關(guān)系相關(guān)的問(wèn)題是作為向量的應(yīng)用學(xué)習(xí)的。
3. 文理學(xué)習(xí)的內(nèi)容差別加大。
從上表可以看出，側(cè)重文科的學(xué)生只在數(shù)學(xué)2中學(xué)習(xí)立體幾何初步，之后只在選修1-2“推理與證明”部分學(xué)習(xí)反證法，就不再學(xué)習(xí)立體幾何。而側(cè)重理科的學(xué)生則要在向量的背景下繼續(xù)學(xué)習(xí)立體幾何，學(xué)習(xí)直線的方向向量與平面的法向量，運(yùn)用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系，用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理），用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用。
可見與大綱相比，課標(biāo)加強(qiáng)了向量在解決立體幾何中的作用。
4. 教學(xué)要求的改變。
立體幾何初步并不是截取了立體幾何中的一部分，而是改變了整個(gè)編排體系——從空間中的幾何體開始學(xué)習(xí)，即從對(duì)整體的認(rèn)知逐步進(jìn)入局部的深入研究，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)的必要性。在數(shù)學(xué)2立體幾何初步的教學(xué)中，要求對(duì)有關(guān)線面平行、垂直關(guān)系的性質(zhì)定理進(jìn)行證明；對(duì)相應(yīng)的判定定理只要求直觀感知、操作確認(rèn)。并以長(zhǎng)方體為載體進(jìn)行學(xué)習(xí)，能解決一些簡(jiǎn)單的推理論證及應(yīng)用問(wèn)題。但是要求恰當(dāng)?shù)厥褂矛F(xiàn)代信息技術(shù)，提高學(xué)生的幾何直觀能力。
二、實(shí)際教學(xué)現(xiàn)象
我省采用的教學(xué)順序是12345，所以第一學(xué)期的學(xué)習(xí)非常緊張，造成課時(shí)緊的原因是多方面的，但其中有一個(gè)原因是由教師對(duì)課標(biāo)的而理解不到位導(dǎo)致的，即教師在教學(xué)中盲目地拓廣加深、一步到位。比如補(bǔ)充三垂線定理，系統(tǒng)地講解線面位置關(guān)系中的距離、角的計(jì)算問(wèn)題，將幾何研究的載體擴(kuò)充為各種幾何體。在我省某市數(shù)學(xué)2模塊測(cè)試題中出現(xiàn)下列現(xiàn)象：
整張?jiān)嚲碇锌疾榫€面關(guān)系的題目及幾何關(guān)系的載體是：題2（空間4點(diǎn)）、題6（一般的直線與面）、題7（三棱錐）、題11（三棱錐）、題19（四棱錐）、題20（直三棱柱）、題21（折疊、四棱錐）。可以看出沒(méi)有一道題目是以長(zhǎng)方體為載體，完全是按照大綱的思路命制。
甚至有的模塊測(cè)試卷中考查二面角計(jì)算問(wèn)題。等等。
這是當(dāng)前課改的實(shí)際狀況，是課改推進(jìn)中的阻力。導(dǎo)致這種現(xiàn)象的原因之一是認(rèn)為要應(yīng)付高考，所以要一步到位。但正是這堂而皇之的理由擾亂了教學(xué)，制造了學(xué)困生，導(dǎo)致了過(guò)早的兩極分化。這就好比早戀往往結(jié)出苦果，不顧學(xué)生的心智發(fā)展水平，不顧課標(biāo)的要求，揠苗助長(zhǎng)，最終導(dǎo)致的也是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的厭惡。
三、 實(shí)驗(yàn)區(qū)高考試題分析
1. 對(duì)基本關(guān)系的考查體現(xiàn)了直觀感知和操作確認(rèn)。
例1 （2009廣東文6理5）給定下列四個(gè)命題：
　①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另外一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；
②若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；
③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；
④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直。
其中，為真命題的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
這個(gè)題目考查了線面基本位置關(guān)系的判定，但是其考查的切入點(diǎn)不是知識(shí)的再現(xiàn)，而是基于基本知識(shí)的分析判斷，學(xué)生可以根據(jù)題目給出的條件用手頭的工具進(jìn)行操作判斷，也可以通過(guò)想象進(jìn)行判斷。
例2 （2009年海南文9） 如圖1，正方體的棱線長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．
B．
C．三棱錐的體積為定值
D．
這個(gè)題目以正方形為載體，考查在變化過(guò)程中不變的量，在對(duì)選項(xiàng)C和D判斷過(guò)程中學(xué)生不需要計(jì)算其準(zhǔn)確值，只要分析其中的關(guān)鍵量是否會(huì)發(fā)生變化即可。而選項(xiàng)A和B的判斷也是線面關(guān)系性質(zhì)定理與判定性質(zhì)定理的直接應(yīng)用。
這些題目的共同特點(diǎn)都是，既考查了基本知識(shí)，又考查了學(xué)生直觀感知、操作確認(rèn)的能力。
2. 文科試題中沒(méi)有出現(xiàn)考查二面角的試題，但是考查的載體也沒(méi)有長(zhǎng)方體。
文科試題中，考查了基本位置關(guān)系的判定和證明，表面積、體積的計(jì)算（通常與三視圖結(jié)合），角的計(jì)算中沒(méi)有出現(xiàn)二面角問(wèn)題，這是嚴(yán)格執(zhí)行了課標(biāo)的要求。但是文科試題命制的載體多以非長(zhǎng)方體為載體（8套文科試題中22道立體幾何題，只有2道是直接用正方體為載體的），這一點(diǎn)與課標(biāo)的要求不符合，需要進(jìn)一步探討這樣做是否合適。
3. 理科試題主題不變，在解答題中向量方法與綜合幾何法并重。
理科試題中的解答題除個(gè)別題目之外都可以用向量方法和綜合幾何法兩類方法求解，而且向量方法不但有坐標(biāo)法，還有幾何法。運(yùn)用向量方法不但可以證明確定的結(jié)論，還可以探索未知的結(jié)論。
例3 （2009年海南理19）如圖2，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)。
（1）求證：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；
（3）在（2）的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說(shuō)明理由。
本題中三個(gè)小題都可以用綜合幾何法求解，也可以建立坐標(biāo)系用向量法求解，或者用向量幾何法求解。對(duì)于前兩種方法此處不做分析，下面用向量幾何法解決第（3）題。這是一個(gè)探索性問(wèn)題，利用向量可以將待求結(jié)論轉(zhuǎn)化為已知條件，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求未知數(shù)問(wèn)題。利用向量的數(shù)乘運(yùn)算，可以確定線上每一個(gè)點(diǎn)的位置，于是可以用已知向量表示出點(diǎn)E的位置，設(shè)，接著將已有位置關(guān)系的幾何特征代數(shù)化，建立代數(shù)關(guān)系，求出t的值即可：
設(shè)，則。
∵，∴。
∴。
接著利用與中的邊角關(guān)系即可求解。
這種方法數(shù)形結(jié)合，對(duì)于很多學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較容易接受的。類似的題目還有福建理科17題。
4. 注重對(duì)新增加內(nèi)容的考查，規(guī)避刪減的內(nèi)容。
實(shí)驗(yàn)區(qū)的試題都注重考查新增內(nèi)容，如對(duì)三視圖的考查，對(duì)向量方法的考查。
例4 （2009山東文理4） 一空間幾何體的三視圖如圖3所示,則該幾何體的體積為( ).
A. B. C. D.
該題考查了學(xué)生的空間想象力，學(xué)生首先要根據(jù)三視圖想象他們對(duì)應(yīng)的幾何體的形狀，之后再根據(jù)所給數(shù)據(jù)計(jì)算幾何體的體積。這樣的試題在2009年實(shí)驗(yàn)區(qū)的高考試題中有很多，在2007年和2008年的高考試題中也有類似的題目，雖然命題的視角不同，題目的難易不同，但是他們共同的特點(diǎn)都是比較注重三視圖的考查，尤其是借助于視圖給出數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上求原幾何體的體積、表面積或判斷位置關(guān)系（如廣東2009年文科17題），等等。
同時(shí)實(shí)驗(yàn)省市的試題規(guī)避了對(duì)刪減內(nèi)容的考查，尤其是在文科試題中不考查三垂線定理。三垂線定理是很多中學(xué)教師割舍不下的內(nèi)容，但是從例1可見，這個(gè)題目中的選項(xiàng)A雖然可以用三垂線定理判斷，但用線面垂直的定理求解也很便捷，三垂線定理并沒(méi)有顯示出其優(yōu)勢(shì)。文科試題考查空間角的計(jì)算不涉及二面角，考查空間距離、面積、體積的計(jì)算問(wèn)題也避開了三垂線定理，如海南2009年文科18題，或者即使可以用三垂線定理，但是并沒(méi)有任何優(yōu)勢(shì)，看到這些題目后教師并沒(méi)有感到有必要補(bǔ)充三垂線定理，如福建2009年文科20題、浙江2009年文科19題等。
四、對(duì)教學(xué)的啟示
通過(guò)上述分析可見，2009年實(shí)驗(yàn)區(qū)立體幾何的試題較好的反應(yīng)了課標(biāo)的要求，因此在教學(xué)中要做到：
1. 注重學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)；
2. 不但要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，還要注重培養(yǎng)學(xué)生的直觀感知、合情推理能力；
3. 要確定合理的階段性教學(xué)目標(biāo)，不要搞一步到位；
4. 重視新增加的知識(shí)，和提高要求的內(nèi)容的教學(xué)，規(guī)避刪減內(nèi)容，把握好降低要求的內(nèi)容的教學(xué)；
5. 重視課標(biāo)的指導(dǎo)作用，有效教學(xué)。
綜合上述分析，教師在教學(xué)中應(yīng)該在課標(biāo)的指導(dǎo)下落實(shí)教材的編寫意圖，避免固守成規(guī)地按照已有教學(xué)經(jīng)驗(yàn)補(bǔ)充填塞，那樣做是對(duì)學(xué)生的不負(fù)責(zé)任，退一步即使是為了考試取得高分也應(yīng)該關(guān)注課改動(dòng)向，理解并落實(shí)課標(biāo)要求，只有這樣做才能避免給學(xué)生增加不必要的負(fù)擔(dān)，才能使課改之路走的更健康。

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