資源簡介

教學設計
課題 5.4.1 正弦函數、余弦函數的圖象
課型 新授課 章/單元復習課 專題復習課 習題/試卷講評課 學科實踐活動課 其他
教學內容分析
對于畫正弦函數的圖象，教材突出了單位圓的作用，充分利用了三角函數周期性的特點，從畫函數圖象上任一點出發，明確作圖的原理，再畫出具有代表性的點，初步感受圖象的特點，最后畫出足夠多的點，得到對正弦圖象的直觀認識。借助已知的直線函數圖象來畫余弦函數的圖象，加強了兩者的聯系，體現了化歸思想。
學習者分析
本節的主要內容是正弦函數的圖象，過去學生已經學習了一次函數、二次函數、指數函數和對數函數等，此前還學了銳角的正弦函數和任意角的正弦函數，在此基礎上來學習正弦 函數y=sinx的圖象，為今后正弦函數的性質、余弦函數、正切函數的圖象與性質，函數 的圖象的研究打好基礎，起到了承上啟下的作用。
學習目標確定
1.理解并掌握用單位圓作正弦函數以及作余弦函數的圖象的方法，培養邏輯推理、直觀想象的核心素養； 2.通過利用y=sinx, x∈R的圖象，作出y=cosx, x∈R的圖象的方法，滲透數形結合和化歸的數學思想，培養邏輯推理的核心素養； 3.通過正弦函數與余弦函數的圖象的應用，提升直觀想象的核心素養。
學習重點難點
重點：正弦函數、余弦函數的圖象的畫法及應用； 難點：正弦函數與余弦函數圖象間的關系．
學習評價設計
（1）學生能先根據正弦函數的定義繪制一個點，再繪制其他等分點，進而繪制出正弦函數在一個周期內的圖象，最后通過平移得到正弦函數的圖象；能說出正弦函數圖象的特點，并能用五點法繪制正弦函數的圖象． （2）學生能用圖象變換的方法，由正弦函數的圖象繪制余弦函數的圖象，并能就一個具體的點清晰地解釋圖象的變換方式及原因：能用“五點法”繪制余弦函數的圖象．
學習活動設計
過程學習內容與教師活動（引領性問題）學生任務或學習活動設計設計意圖或評價目標情境引入內容1. （創設情境） 簡諧運動的圖象實驗 教師活動：（1）將塑料瓶底部扎一個小孔做成一個漏斗，再掛在架子上，就做成了一個簡易單擺(如圖(1)所示).在漏斗下方放一塊紙板，板的中間畫一條直線作為坐標系的橫軸.把漏斗灌上細沙并拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板.這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運動的圖象. （2）【想一想】通過上述實驗，你對正弦函數、余弦函數圖象的直觀印象是怎樣的？有表達式么？大致有什么函數性質？學生任務1. 回顧以前學過的物理知識，進一步學習正余弦函數的圖象。 學生學習活動： 正、余弦函數的圖象是“波浪起伏”的連續光滑曲線；有，y=sinx,x∈R，y=cosx,x∈R;也有單調性，對稱性等。 設計意圖：通過實驗觀察，讓學生與學過的簡諧振動聯系起來，體會學科之間相互融合，交叉學習。 評價目標：提升數學直觀想象核心素養。繪制一個周期的正弦曲線內容2. 探索交流，解決問題 問題1：繪制函數的圖象，首先需要準確繪制其上一點．對于正弦函數，在[0,2π]上任取一個值，如何利用正弦函數的定義，確定正弦函數值并畫出點T( 師生活動：教師引導學生，根據定義分析確定，對應的幾何量． 問題2：我們已經學會繪制正弦函數圖象上的某一個點，類比指數函數、對數函數圖象的畫法，接下來，如何畫出函數，的圖象？你能想到什么辦法？ 師生活動：學生給出設想，選擇一種或者多種適合的方法實施． 預設的答案： 方案1：在區間內任取一些橫坐標的值，按照上述方法逐一繪制，再用光滑的曲線連接． 方案2：為方便操作，可以在區間內取等分點，按照上述方法逐一繪制，再用光滑的曲線連接． 追問：這兩種繪制方法的異同是什么？（兩種方法本質相同，在信息技術條件支持下都容易實現，在手工操作的條件下，用方案2比較可行） 師生活動：學生用方案2繪制函數圖象，教師借助信息技術，用方案1繪制函數圖象． 利用信息技術，可使在區間［0,2π］上取到足夠多的值而畫出足夠多的點T（，）,將這些點用光滑的曲線連接起來，可得到比較精確的函數， ∈［0,2π］的圖象. 學生任務2. 回顧正弦函數的定義。 學生學習活動： 學生用“手工細線纏繞”的方法，使用自制教具完成． 具體步驟：找一根沒有彈性的細線，在x軸上量出橫坐標的長度，然后將長度為的細線以為起點沿逆時針方向纏繞在單位圓上，細線的末端就是，于是圖象上的點隨之確定． 學生任務3. 的值分別為, , ,…2π時，對應描出T點。 學生學習活動：根據單位圓描點。 設計意圖：（通過學生完成任務2，能描出點 T（，），為后面任務3做準備）。評價目標：提升數學邏輯推理，直觀想象數學核心素養。 設計意圖：確定畫出一個周期內正弦函數圖象的方法并實施，同時體會信息技術給數學研究帶來的便捷； 評價目標：提升邏輯推理數學核心素養。 繪制正弦曲線、余弦曲線內容3. 正弦函數的圖象 問題 3：根據函,的圖象，你能想象正弦函數，的圖象嗎？依據是什么？畫出該函數的圖象． 師生活動：學生畫圖，教師予以指導． 學生任務4.回顧學過的誘導公式，并利用上面問題得到的部分圖象，延伸出整個正弦函數的圖象。 學生學習活動： 由誘導公式一可知，函數， ∈ ［２kπ，２(k＋1)π ］ ，k∈Z且k≠０的圖象與， ∈［0,2π］的圖象形狀完全一致．圖2設計意圖：通過該部分的學習，讓學生聯系之前的知識，溫故而知新，并培養說理的習慣； 評價目標：提升邏輯推理數學核心素養。小結：正弦函數的圖象叫做正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續光滑曲線．設計意圖：培養學生概括總結的表達能力。問題4：如何畫出函數，圖象的簡圖？ 師生活動：教師提出問題，引導學生觀察圖2，并說出他們的想法． 學生任務5.在函數，的圖象上，找到五個點，，，，在確定圖象形狀時起關鍵作用，因此只要描出這五個點。設計意圖：觀察函數圖象，概括其特征，獲得“五點法”畫圖的簡便畫法；評價目標：提升直觀想象，邏輯推理數學核心素養。 繪制余弦曲線內容4. 余弦函數的圖象 問題5：如何畫出余弦函數的圖象？ 師生活動：學生可能會類比正弦函數圖象的畫法，提出用類似的方法畫余弦函數的圖象，對此教師應予以肯定，并進一步提出追問的問題． 追問（1）：由三角函數的定義可知，正弦函數、余弦函數是一對密切相關的函數．誘導公式表明，余弦函數和正弦函數可以互化．相應地，能否通過對正弦函數圖象進行變換得到余弦函數的圖象？ 師生活動：學生先用排除法觀察誘導公式，選擇簡潔的公式，作為正弦函數、余弦函數關系研究的依據，教師引導學生通過比較進行選擇．從數的角度看，可以選擇關系．記，則．因此函數的圖象，可以看作將函數的圖象上的點向左平移個單位得到． 追問（2）：你能在兩個函數圖象上選擇一對具體的點，解釋這種平移變換嗎？ 師生活動：這是教學的難點，教師要首先進行示范．教師可以先選擇一個具體的點，進行分析，然后上升到對一般點的分析，得到圖象之后還可以再利用圖象進行驗證． 預設的答案：設是函數圖象上任意一點，則有． 令，則，即在函數圖象上有對應點． 比較兩個點：與．因為，即． 所以點可以看做是點向左平移個單位得到的，只要將函數圖象上的點向左平移個單位可得到函數的圖象學生任務6. 思考正弦函數與余弦函數的密切相關性．聯系誘導公式相互轉換。 學生學習活動： 根據已學的正弦函數圖象得到余弦函數的圖象。 設計意圖：利用誘導公式，通過圖象變換，由正弦函數的圖象獲得余弦函數圖象；增強對兩個函數圖象之間的聯系性的認識； 評價目標：提升數學直觀想象，邏輯推理數學核心素養。 問題7：類似于用“五點法”作正弦函數圖象，如何作出余弦函數的簡圖？ 追問：余弦函數在區間上相應的五個關鍵點是哪些？學生任務7. 類比正弦函數，找出對應的余弦函數五點。 學生學習活動： 請將它們的坐標填入下表，然后作出，的簡圖． 設計意圖：觀察余弦函數圖象，掌握其特征，獲得“五點法”． 例題講解例題講解： 例1畫出下列函數的簡圖： （1），； （2），． 師生活動：學生先獨立完成，然后就解題思路和結果進行展示交流，教師點評并給出規范的解答． 【思考】你能利用函數y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象，通過圖象變換得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的圖象嗎？同樣地，利用函數y＝cos x，x∈[0,2π] 圖象，通過怎樣的圖象變換就能得到函數y＝-cos x，x∈[0,2π] 的圖象？ 解：（1）按五個關鍵點列表： 描點并將它們用光滑的曲線連接起來 （2）按五個關鍵點列表： 學生任務8.能夠通過變換得到函數圖象。 學生學習活動： 將y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象向上平移1個單位，得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的圖象； 將函數y＝cos x，x∈[0,2π] 圖象關于x軸對稱得到y＝-cos x，x∈[0,2π] 的圖象。 設計意圖：鞏固學生對正弦函數、余弦函數圖象特征的掌握，熟練“五點法”畫圖，掌握畫圖的基技能．通過分析圖象變換，深化對函數圖象關系的理解，并為后續的學習作好鋪墊． 【類題通法】簡單三角函數圖像畫法 1、五點作圖法：掌握五點法作圖.“五點”即y＝sin x或y＝cos x的圖象在[0,2π]內的最高點、最低點和與x軸的交點. 2、圖象變換 鞏固練習：教科書第200頁——1、2學生任務9. 1、五點作圖法： 2、圖象變換： 學生學習活動： 五點作圖法： 在函數，的圖象上，五個點，，，，； 在函數，的圖象上，五個點，，，，； 2、圖象變換設計意圖：通過總結，讓學生對知識點掌握更清晰。 課堂小結教師引導學生回顧本節課的學習內容，回答下面的問題： （1）正弦函數、余弦函數的圖象是什么形狀？ （2）對于正弦函數，我們是如何繪制出它的圖象的？余弦函數呢？ （1）正余弦曲線是具有相同形狀的“波浪形”曲線． （2）根據定義得到圖象，然后由誘導公式將圖象平移得到整個圖象，最后用“五點法”作簡圖。余弦函數的圖象由正弦函數的圖象平移得到。設計意圖：過小結，復習鞏固本單元所學的知識，加深對正弦函數、余弦函數的理解．
板書設計
5.4.1 正弦函數、余弦函數的圖象 1、正弦函數的圖象 3、余弦函數圖象 4、例題講解： 作圖法： 五點法作簡圖； 變換法

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