資源簡介

教學設計
課題 正弦函數、余弦函數的性質
課型 新授課 章/單元復習課 專題復習課 習題/試卷講評課 學科實踐活動課 其他
教學內容分析
本節的主要內容是由正弦函數、余弦函數的圖象，由先前學習函數的經驗，通過函數圖像， 觀察總結函數性質，并應用函數性質解決問題。是學生對函數學習方法掌握情況的一次大檢 閱。因此注意對學生研究函數方法的啟發，本節的學習有著極其重要的地位。發展學生數學 直觀、數學抽象、邏輯推理、數學建模的核心素養。
學習者分析
本節的主要內容是正弦、余弦函數的性質，過去學生已經學習了一次函數、二次函數、指數函數和對數函數的性質，了解研究函數性質的一般套路，上一節學習了正弦、余弦函數的圖象，為本節研究正弦函數、余弦函數的性質、奠定了基礎，所以利用正弦函數、余弦函數的圖象獲得其性質不是一件難事，但是進行代數論證比較困難.為此，首先要培養學生的代數說理習慣，其次要給予完整的代數論證過程，還要采取具體化的方法進行說明，即選擇圖象上一個點，通過這個點的變化說明圖象的變換，并滲透換元轉化的思想方法．
學習目標確定
1.了解周期函數、周期、最小正周期的意義，培養數學抽象的核心素養； 2.會求常見三角函數的的周期，提升數學運算的核心素養； 3.通過圖象直觀理解奇偶性，并能正確確定相應的對稱軸和對稱中心，提升直觀想象的核心素養。
學習重點難點
重點： y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性； 難點：1.正弦函數和余弦函數的周期性，以及周期函數、(最小正)周期的意義； 2.會求函數y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．
學習活動設計
過程學習內容與教師活動（引領性問題）學生任務或學習活動設計設計意圖或評價目標環節一引入：通過前期對指數函數、對數函數的學習，你知道對函數性質的研究的一般思路嗎？ 教師：上節課我們已經學習正弦函數、余弦函數的圖象，本節課讓我們一起利用函數的圖象研究正弦函數、余弦函數的性質.（學生思考或相互討論）研究函數性質的一般思路：繪制函數圖象——觀察圖象、發現性質——證明性質 設計意圖：回顧前面所學知識，利用已有的經驗解決新問題，形成一般觀念；評價目標：提升邏輯推理數學核心素養。問題1：類比以往對函數性質的研究，思考本節課可研究正弦函數、余弦函數的哪些性質？ 追問1：通過上一節，利用單位圓構建正（余）弦函數圖象過程中，觀察單位圓上點的縱坐標和橫坐標的變化規律，思考正、余弦函數除了這些性質之外還有其他特別之處嗎？ 閱讀資料：如果現在是早上9點鐘,問你:24小時以后是幾點鐘 你會毫不猶豫地回答:還是早上9點鐘.因為你很清楚,0點、1點、2點、3點……23點,每隔24小時就重復出現一次,如果今天是星期一,問你:7天以后是星期幾 你也會回答:還是星期一.因為你很清楚,星期一、星期二……星期天,每隔7天就重復出現一次.相同的間隔重復出現的現象稱為周期現象,如“24小時1天”“7天1星期”“365天1年”就是我們所熟悉的周期現象.自然界中有很多周期現象,如日出日落、月圓月缺、四季交替等. 追問2：正弦函數、余弦函數是否有這樣的周期性呢 根據正余弦函數圖像或者單位圓的坐標特點，推測一下周期是多少？ 學生思考總結：根據研究函數的經驗，我們可探究正弦函數、余弦函數的定義域、值域、奇偶性、單調性、最大（?。┲档? 追問1思考預設：單位圓上點的橫縱坐標都有“周而復始”的變化（引出周期性）， 追問2思考預設：猜測周期為等，進而得出有無數個周期。 （除了利用單位圓上點的縱坐標來解釋；也可以讓學生觀察正弦函數圖象得到：正弦函數在內的圖象，向左或向右平移個單位長度，即在區間內會出現相同的圖象.教師適當啟發，引導學生發現橫坐標每隔4或個單位長度，也會出現縱坐標相同的點. 直至推廣至.） 設計意圖：明確研究函數的一般方法，形成一般觀念和整體意識，直觀地理解正弦函數的周期性，了解最小正周期。 評價目標：以提升直觀想象數學核心素養。環節二探究1：觀察f(x)的部分圖象,函數圖象每相隔多少個單位重復出現 小組討論，并歸納得出對于f(x)始終有什么規律，能否寫出f(x)的一個規律式子呢？ 問題1:由誘導公式一:sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x. 結合正(余)弦函數圖像以及表達式f(x)=sin x，g(x)=cos x能否寫出類似的規律式子？ 探究1思考預設：每相隔1個單位重復出現,引導學生得出始終有f(x+1)=f(x)。 問題1：學生思考、討論. 當自變量的值增加整數倍時所對應的函數值，與所對應的函數值相等.可利用誘導公式從代數的角度解釋猜想的正確性，最終歸納出和 （教師可引導學生分別討論和兩種情況所對應的兩段圖象，從而讓數與形從特殊到一般進行對應，體會周期描述的周而復始的含義.） 設計意圖：了解一般周期函數及相關概念，為今后系統學習周期性做好鋪墊；通過類比一般周期的概念，達成理解正弦函數的周期的目標。 評價目標：進而提升學生的邏輯推理及數學運算的數學核心素養。閱讀課本P201頁有關周期性的概念：【說一說】你對一般函數周期的定義的理解，并根據定義闡述一下正（余）弦函數的周期的推理。 (1)一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數T，使得對每一個x∈D，都有x＋T∈D，且____________，那么函數f(x)就叫做周期函數．______________叫做這個函數的周期． (2)如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個_______的正數，那么這個最小正數叫做f(x)的最小正周期. 問題2：正余弦函數周期的推理：_____________________. 【注意】對周期函數的三點說明 (1)并不是每一個函數都是周期函數，若函數具有周期性，則其周期也不一定唯一． (2)如果T是函數f(x)的一個周期，則nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期． (3)并非所有的周期函數都有最小正周期，如f(x)＝C(C為常數，x∈R)，所有的非零實數T都是它的周期，不存在最小正周期．閱讀教科書5.4.2節“1．周期性”中的內容． 預設答案：一般地，對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(x+T)=f(x)，那么函數f(x)就叫做周期函數．非零常數T叫做這個函數f(x)的周期；如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期；周期函數的代數關系是f(x+T)=f(x)；周期函數的圖象每隔一個周期就會重復出現． 問題2預設答案： 由,都有，則非零常數為它們的周期，最小正周期為 設計意圖：閱讀并闡述一般周期函數的定義式，通過閱讀理解考查學生對函數周期這一性質的理解；根據掌握情況可以拓展相關的其他式子。 評價目標：提升學生的數學抽象，邏輯推理的核心素養。問題3：我們知道， sin（+）=sin（），sin（+）=sin， sin（+）=sin，…，那么是正弦函數y=sin x的一個周期嗎？為什么？從函數值變化的角度解釋：為什么可以說2kπ（k∈Z）是正弦函數的周期？ 做一做:判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)由于sin＝sin，則是函數y＝sin x的一個周期．(　　) (2)因為sin＝sin，所以函數y＝sin的周期為4π.(　　) (3)對任意實數x，若有f(x＋1)＝f(x)，則f(x)是周期函數，T＝1是f(x)的一個周期．(　　)學生回答，教師啟發學生說全． 問題3預設答案：不是．比如sin（+）≠sin．根據誘導公式可知，當x取正弦函數定義域內的每一個自變量的值時，自變量的值每增加2kπ（k∈Z）個單位，函數值都用重復出現． 做一做答案： (1)(　×　) (2)(　×　) (3)(　√　) 設計意圖：進一步理解周期函數定義式；評價目標：進而提升學生的邏輯推理數學核心素養。環節三例2 求下列函數的周期： （1）y＝3sin x，x∈R； （2）y＝cos 2x，x∈R； （3）y＝2sin，x∈R． 解析：（1） x∈R，有3sin(x+2π)=3sin x，由周期函數的定義可知，原函數的周期為2π． （2）令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y=cos z的周期為2π，即cos(z+2π)＝cos z， 于是cos(2x+2π)＝cos 2x，所以cos 2(x+π)＝cos 2x，x∈R．由周期函數的定義可知，原函數的周期為π． （3）令z＝，由x∈R得z∈R，且y=2sin z的周期為2π，即2sin(z+2π)＝2sin z， 于是2sin(+2π)＝2sin()，所以2sin[(x+4π)－]＝2sin()，x∈R． 由周期函數的定義可知，原函數的周期為4π． 設計意圖：通過例題深化對周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具體步驟，進而幫助學生理解函數y＝A sin(ω x+φ)的周期，為后續學習做準備；評價目標：提升學生的邏輯推理和數學運算核心素養。 探究2：回顧例2的解答過程，你能發現這些函數的周期與解析式中的哪些量有關嗎？通過小組討論，并加以小結。問題預設答案：自變量x的系數設計意圖：引導學生找出導致周期變化的主要原因，并且小結整理。 評價目標：提升學生的邏輯推理的核心素養。小結：對于周期問題，求解的步驟如下： 第一步，先用換元法轉換：比如“（2）y＝cos 2x，x∈R”，令2x＝t，所以y=cos t； 第二步，利用已知的三角函數的周期找關系：由cos（2π+t）＝cos t，代入可得：第三步，根據定義變形：變形可得：cos 2（π+x）＝cos 2x，于是就有f(x+π)＝f(x)； 第四步，確定結論：根據定義可知其周期為π． 結論：仿照上述分析過程可得函數y＝A sin(ω x+φ)和 y＝A cos(ω x+φ)（其中A，，為常數，且，）的周期為：T＝．一般地，如果函數y＝f(x)的周期是T，那么函數y＝f(ω x)的周期是．環節四問題4：觀察正弦曲線和余弦曲線 ， 它們關于原點或y軸對稱嗎？具有奇偶性嗎？你可以通過代數思想加以推理么？ 預設答案：正弦曲線關于原點軸對稱．余弦曲線關于 y 軸對稱.也可由誘導公式=；=得到．所以正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數．設計意圖：通過研究函數的奇偶性，總結方法：一是函數圖象，二是奇偶性定義。 評價目標：進而提升學生的直觀想象，邏輯推理數學核心素養。問題5：知道一個函數具有周期性和奇偶性 ， 對研究它的圖象與性質有什么幫助 預設答案：（1）函數的周期性可以簡化對圖象和性質的研究過程.對于一個周期函數，如果知道了周期，在對函數的探究過程中就可以從一個周期入手，只要認識到一個周期上函數的圖象與性質，那么整個定義域上函數的圖象和性質就都完全清楚了. （2）知道一個函數的奇偶性，同樣也可以縮小我們研究函數的范圍，因為奇、偶函數的圖象分別關于原點、y軸對稱，所以只需要搞清楚函數在y軸右側的圖象與性質，那么，整個定義域內的圖象與性質就都知道了，可以提高我們研究函數的效率．設計意圖：了解周期性和奇偶性的意義，為下面的研究做鋪墊. 評價目標：提升學生的邏輯推理的核心素養。課堂小結說說本節課你的收獲①知識：正弦函數和余弦函數的周期問題和奇偶性問題。 ②方法：類比和數形結合。 ③應用：正余弦函數周期公式的應用、奇偶性以及解決簡單的應用問題。設計意圖：通過總結，讓學生進一步鞏固本節所學內容。 評價目標：提高概括能力,提高學生的數學運算能力和邏輯推理能力。
板書設計
周期函數的定義； 正弦函數的周期，最小正周期； 余弦函數的周期，最小正周期； 結論：y＝Asin(ωx+φ)和 y＝Acos(ωx+φ)（，）的周期公式； 正、余弦函數的奇、偶性：

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