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新課程下立體幾何若干問題的思考
立體幾何是高中數學非常經典的內容，它在考查學生的觀察能力、思維能力和空間想象能力等方面具有獨特的作用，也是歷來高考的重點內容。其命題風格、考查形式，題型與分值基本保持穩定。2009年是浙江省采用數學新課程的第一次高考，雖說高考對立體幾何的考查一直是以能力為主，對能力考查的要求有一年比一年提高的趨勢。但新舊課程在內容、考試要求、教學要求、教材的編排體系等畢竟有相當大的改變，因此我們進行高三立體幾何復習時，有必要對新舊教材以及近幾年來的新舊課程的高考試題特點等進行研究，制定相應的復習策略。以下談談筆者的一些看法。
一、原、新教材內容編排比較
1、布局調整：舊教材立體幾何內容只有一章，分為：一是空間直線和平面，二是空間向量，三是夾角與距離，四是簡單多面體和球。新課程中將立體幾何分成兩部分：一是《必修2》，
包括兩個內容：簡單幾何體和點、直線、平面之間的位置關系；二是《選修2-1》中的空間向量與立體幾何。
2、新增內容：平行投影、中心投影，三視圖。這些內容與義務教育階段“空間與圖形”中的“視圖與投影”緊密銜接.
3、刪減內容: 三垂線定理及其逆定理、多面體及歐拉公式。過去“三垂線定理”是整個立體幾何內容的一個典型代表，處在整個立體幾何知識的樞紐位置。在新課程《必修2》“點、直線、平面之間的位置關系”中雖然沒有明確提到“三垂線定理”，但在選修2-1“空間向量與立體幾何”中提到“能用向量方法證明有關線、面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）”。
4、突出內容：空間向量在立體幾何中的應用。突出了利用空間向量知識解決求空間角、空間距離、證明平行與垂直的問題，明確了對傳統幾何的向量化思想。同時也體現了對解決問題的方法上的靈活性，重點讓學生掌握向量代數法，同時也兼顧傳統幾何綜合推理方法。
二、對新教材編排科學性的認識
1、與傳統的立體幾何的結構體系相比，新課程中的立體幾何的體系結構有重大改革。傳統的立體幾何內容，常從研究構成空間幾何體的基本要素：點、直線和平面開始，講述平面及其基本性質，點、直線、平面之間位置關系和有關公理、定理，再研究由它們組成的幾何體，包括棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、臺、球的結構特征、體積、表面積等等，基本上按照從局部到整體的原則。現在，先從對空間幾何體的整體感受入手，再研究組成空間幾何體的點、直線和平面。這種安排非常合理，它遵循人類認識世界的過程，也符合學生的認知特點。它有助于發展學生的空間觀念、培養學生的空間想象能力、幾何直觀能力，適當減輕幾何論證的難度，降低立體幾何學習入門的門檻，提高學生學習立體幾何的興趣，同時對空間幾何體有本質的認識。
?2、增加三視圖的有關內容，對于進一步培養學生的空間想象能力和幾何直觀能力具有重要的促進作用。過去的“立體幾何”內容相對來說，這方面比較薄弱。三視圖的有關內容在一定程度上改善了這種狀況。對圖形既需要直觀地感覺，也需要思辨地論證。學生通過“實物模型—三視圖—直觀圖” 這樣一個相互轉化的過程認識空間幾何體，能有效地培養學生空間想象能力。只有這樣，立體幾何的教學目標才更加全面。
3、隨著空間向量的涌入和代數幾何界限的淡化，用空間向量及其運算的向量方法（或坐標方法）處理有關垂直和平行問題成為了一種普適的方法，而用“三垂線定理及其逆定理”的綜合方法就需要急流勇退。與以往的立體幾何教學要求相比，新課程在幾何推理證明方面的教學要求大大降低，削弱了以演繹推理為主要形式的定理證明，減少了定理的數量，刪去了大量的幾何證明題，淡化了幾何證明的技巧。在削弱證明的同時，加強了空間觀念的培養，強調發展學生的空間想象能力，培養學生的推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力。
三、幾點復習建議
1、用系統理論的觀點整合復習內容
系統論告訴我們：一個系統的功能不僅取決于它內部的要素，更取決與各要素之間的結構，具有良好結構的系統，往往會出現“整體大于部分之和”的效果。我們在立體幾何中，內容的提煉與整合應當成為教學設計的核心，削枝強干、優化結構應當成為學習的重點，特別是內容的選擇上，要注意目的性、系統性、概括性、針對性、層次性和可操作性。
（1）知識內容網絡化，結構化
立體幾何的復習要建立起完整的知識網絡，這樣便于記憶，便于提取，給人以“一覽眾山小”的感覺。
（2）解題書寫規范化，合理化。從近年立體幾何解答題的答題情況來看，考生“會而不對，對而不全”的問題比較嚴重，很值得引起我們重視。因此，在平時訓練中，我們應當培養規范答題的良好習慣。在傳統的邏輯推理方法中的基本步驟是：“一作（作輔助線），二證明（如證明直線與平面所成的角），三求（求解角或距離等）”；在用向量代數法時，必須按照“一建系（建立空間直角坐標系），二求點的坐標，三求向量的坐標，四運用向量公式求解”。又如在證明線面垂直時，應證線線垂直時，學生容易只證與平面內一條直線垂直就下結論，這里應強調證兩條相交直線，缺一不可；用空間向量解決問題時，需要用建立坐標系時，一定要說清楚，寫解題過程的最后都必須寫結題語。
2、重視解題思維習慣的形成，培養學生的空間思維能力。
空間向量的引入，為解決立體幾何中空間圖形的位置關系和度量問題提供了十分有效的工具。特別是用數量積求異面直線所成的角、斜線和平面所成的角、二面角的平面角；用向量在法向量上的投影求點到平面的距離，異面直線間的距離；用待定系數法求解立幾開放題、探索題等，確實體現了它的強大功能。但不可否認，傳統方法也有它的優越性，一旦空間的位置關系搞清楚了，計算量較小，正確率高。這“數”和“形”兩條路應正確理解，合理選擇，克服片面迷信向量法的應用。
3、加強學生對探索性題型的強化訓練，注重知識間的轉化和遷移，培養學生的綜合能力。
高考命題由考查知識向考查能力方向轉變，題目新穎，靈活性強，圖形的展開與折疊問題、探索性問題、與其他知識的相結合都是高考選題的一個主要題源，也是近幾年高考命題中對學生邏輯推理和邏輯表達能力、計算能力、空間想象能力和應變能力考查的綜合表現。
（2008年高考浙江10）．如圖，是平面的斜線段，為斜足，若點在平面內運動，使得的面積為定值，則動點的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓
C．一條直線 D．兩條平行直線
（2009年浙江高考數學理第17題）如圖，在長方形中，，，為的中點，為線段（端點除外）上一動點．現將沿折起，使平面平面．在平面內過點作，為垂足．設，則的取值范圍是 ．
【解析】本小題考察空間圖形的翻折，直線與平面、平面與平面垂直以及三角函數知識的綜合應用，本題考查知識點多，對邏輯思維能力及運算能力、空間想象能力等都進行了考查，事實上，作為一個填空題，此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點時，，隨著F點到C點時，因平面，即有，對于，又，因此有，則有，因此的取值范圍是。
或者：方法二

(2009年浙江高考第２０題)如圖，平面平面，
是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，
，的中點，，．
（I）設是的中點，證明：平面；
（II）證明：在內存在一點，使平面，并求點到，的距離．
命題立意：本題主要考查空間線線、線面、面面位置關系，空間向量的概念與運算等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理論證能力。
（2009年高考福建卷）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，，，且MD=NB=1，E為BC的中點
求異面直線NE與AM所成角的余弦值
（２）在線段AN上是否存在點S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由w.w.w.k
（2009年高考海南卷）如圖，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側棱的長都是地面邊長的倍，P為側棱SD上的點。
（Ⅰ）求證：AC⊥SD；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，側棱SC上是否存在一點E，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；
若不存在，試說明理由。
四、幾點教學反思
（1）學生學習立體幾何的興趣有較大提高，但分層現象不夠明顯。這跟教材的展現形式、教學方式、學習方式的變化有較大關系。教材降低了難度，學生積極參與知識的發生過程，讓不同程度的學生都得到收獲。
（2）學生的邏輯推理能力有所下降。但學生的動手操作能力、合情推理能力有所增強。由于課時少，內容多，教師的教學在趕進度，沒有足夠的時間訓練學生的幾何邏輯推理能力。導致學生對立體幾何的證明會而不全面。
（3）在計算面積、體積方面，學生學得較輕松。因為不需要跟以往一樣推導面積、體積公式，也不需要記憶公式，重于應用公式。但是涉及到求高、邊長等問題學生無從下手。因為在學習面積、體積之前，學生沒有學習點、線、面的關系，如何解決這一問題？有待探討。
（4）關于求角、求距離方面，新教材引入了向量方法，降低了難度，受到了學生的青睞。但隨之而來的計算量增大了，對學生的運算能力要求有了較大提高，學生必須有扎實的運算功底，看準每一個點，算好每一個步驟，確保萬無一失，否則就功虧一簣。這里考慮是否有必要穿插傳統方法的教學呢？也有待探討。

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