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談函數與導數、數列、不等式的復習
高考復習中，如何強化數學理性思維？如何真正把思維訓練與提高能力相得益彰地落到實處？這是我們最需要思考的問題。就函數、數列與不等式部分的復習談幾點想法。
在知識的體系化過程中夯實基礎
在一輪復習中，首先要遵循考試說明對考點的要求并達到相應的目標層次，不能定位過高而沖淡知識的掌握，盡量追求知識的全面性而不刻意追求方法的靈活性，有利于基礎知識鞏固的事多做，盲目拔高而不利于知識深化的事少做甚至不做；第二要加強過程復習，重視知識的體系化：基礎知識的復習應將重點放在其發生的過程上(該知識是如何引進的、有什么樣的表現形式、與“誰”有關聯、有什么好的性質等)，讓學生在反思中把知識構建有序，明確知識的適用情境及來龍去脈，使知識在解決問題的活動中達到“該出手時就出手”的境地。
例1. (06浙江)函數滿足,則這樣的函數個數共有 A.1個 B.4個 C.8個 D.10個 ( )
評析：函數概念是中學數學最重要的概念之一，必須透徹理解。
例2.(08杭州質檢)已知函數,其中是定義域為R的函數,則方程在下面哪個范圍內必有實數根( )
A.(0,1) B. (1,2) C.(2,3) D.(2,4)
例3. (09杭州質檢)已知，則等于（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
評析：函數零點與分段函數都是新課程新加入的知識點，值得我們特別關注。
例4.（07安徽）圖中的圖象所表示的函數的解析式為( )
(A) (0≤x≤2)
(B) (0≤x≤2)
(C) (0≤x≤2) (D) (0≤x≤2)
評析：二次函數、V字形函數、雙勾函數、反比例型函數、指對數函數、冪函數都是高中學生必須熟練掌握其圖形與性質的基本初等函數。
例5. （09廣東理）已知等比數列滿足，且，則當時， ( ((((
A. B. C. D.
從知識的發展中提煉方法、思想與規律
知識的復習應當和基本思想方法、揭示規律融為一體，真正做到水乳交融，不能是兩張皮，就函數部分而言，隨著知識的發展，要注意以下思想方法的提煉：
(1)在函數概念與三個要素的復習中，要從概念的內涵中提煉出“函數思想”的以下要素：變量總是以兩個或多個的形式相互制約相互依存，共處于一個數學問題之中；把一個變量作為自變量，另一個問題作為因變量，考慮后者是不是前者的函數？習慣上總是用自變量表示因變量，具體問題如何完成這個表示？
(2)在復習函數的表示方法時，要提煉出以下認識，它是數形結合思想方法的要素：函數有三種表現形式：解析式、圖像式、表格式。這三種形式不能割裂，而應當統一起來。函數圖像是表現函數性質最直接的手段。
例6.（09全國Ⅰ）函數的定義域為R，若與都是奇函數，則( D )
(A) 是偶函數 (B) 是奇函數 (C) (D) 是奇函數
解: 與都是奇函數，，
函數關于點，及點對稱，函數是周期的周期函數.，，即是奇函數。
(3)函數的每一個性質都有豐富的內涵，就幾個性質的共性來說，可提煉出以下的認識與方法，它是“函數思想”的要素之一：函數概念中有兩個運動變化的過程，自變量的運動變化過程與函數的運動變化過程，前一個運動變化過程的某些特征與后一個運動變化過程的某些特征的內在聯系與規律就是函數性質的本質所在。
例7．（09浙江理）對于正實數，記為滿足下述條件的函數構成的集合：且，有．下列結論中正確的是( )
A．若，，則
B．若，，且，則
C．若，，則 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
善于用函數的觀點看數列問題，用類比的眼光研究等差等比數列
(1)函數是高中數學的重要知識，它像一根主線貫穿高中數學的各個章節，數列是一類定義在正整數集或其有限子集上的特殊函數，是函數概念的繼續與延伸，故任何數列問題都蘊含著函數的本質及意義，具有函數的一些固有特征。從函數觀點出發，以函數的概念、圖像、性質為紐帶，變動地、直觀地研究數列的一些問題，有利于認識數列的本質。例如：對于公差不為零的等差數列來說，它的通項是n的“一次函數”，其圖像是均勻分布在一直線上的離散點；它的前n項和是關于n的常數項為0的“二次函數”，其圖像是分布在過原點的拋物線上的離散點。于是可得是關于n的“一次函數”。而對于公比不為1的等比數列來說，它的通項是關于n的“指數型函數”。
例8．若數列滿足，若，則的值為( )
A． B． C． D．
評析：緊扣分段函數的定義代入法求項(，，，…)，可發現此數列是個周期為3的周期性數列。本題通過求出數列的前幾項，從而掌握數列的構成規律，揭示其周期性，雖然處理方法與函數周期性的處理方法不盡相同，但從中我們可以看到數列作為特殊的函數也蘊含著函數的一些性質。
例9．（09江西理）數列的通項，其前項和為，則為
A． B． C． D．
例10．若對一切正整數n恒成立，求實數的取值范圍。
評析：是關于n的二次函數，點是如圖上的
點，因為函數為離散函數，因此要使函數為
遞增函數，只要對稱軸在的左側即可。
例11. (2009山東文)等比數列{}的前n項和為， 已知對任意的，點均在函數且均為常數)的圖像上.
（1）求r的值；
（11）當b=2時，記 , 求數列的前項和
(2)等差等比數列是高中數學研究的兩種特殊數列，但這兩種數列不是孤立的，從定義到通項公式再到眾多的性質都有很強的類比性：；；
若，則有……等,從運算的角度類比觀察,從等差數列到等比數列都是運算的升級.
例12. （09浙江文）設等差數列的前項和為，則，，，成等差數列．類比以上結論有：設等比數列的前項積為，則， ， ，成等比數列．
(3)數列問題難度降低,注重基礎與通法
09年浙江卷沒有出現數列解答題，但這并不意味著數列解答題不會再考，可以確定的是象往年那樣把數列知識與不等式放縮法綜合的押卷題不會再出現，數列題如果出現應該出現在解答題的前三道位置，在難度上會大大降低，對數列基礎知識與通性通法的考查會是這個考題的重點。
例13．(09廣東)已知點（1，）是函數且）的圖象上一點，等比數列的前項和為,數列的首項為，且前項和滿足－=+（）.
（1）求數列和的通項公式；
（2）若數列{前項和為，問>的最小正整數是多少? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
例14．（09全國Ⅰ）在數列中，
（I）設，求數列的通項公式
（II）求數列的前項和
評析：09年高考理科數學全國(一)試題將數列題前置,考查構造新數列和利用錯位相減法求前n項和，一改往年的將數列結合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用。也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心。
重視導數作為解決函數不等式及實際問題的工具的重要作用
函數與導數都是高中數學的主干知識，導數是研究函數的重要工具，同時導數及其性質的應用也離不開函數的支撐，因此除了對導數基本內容的考查外，以函數為載體、導數為工具在函數與導數交匯處命題始終是高考的熱點。
例15．已知函數在 R上可導且滿足:,則（ ）
A． B．0 C． D．2009
例16．（09江西理）設函數，曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處切線的斜率為
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
例17．（09天津理）設函數則
A．在區間內均有零點。 B。在區間內均無零點。
C．在區間內有零點，在區間內無零點。
D．在區間內無零點，在區間內有零點。
例18．若曲線存在垂直于軸的切線，則實數的取值范圍是 .
例19．（09浙江理）已知函數，，其中．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（I）設函數．若在區間上不單調，求的取值范圍；
（II）設函數 是否存在，對任意給定的非零實數，存在惟一
的非零實數（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
評析：見多了要求單調的問題，問題（I）確實給人耳目一新的感覺；本題盡管是導數的背景但是實際是考查數學中最本質的轉化思想和函數問題，有效區分了考生的數學素養。
例20．設函數，其中常數a>1
(Ⅰ)討論f(x)的單調性;
(Ⅱ)若當x≥0時，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
評析：本題考查導數與函數的綜合運用能力，涉及利用導數討論函數的單調性，第一問關鍵是通過分析導函數，從而確定函數的單調性，第二問是利用導數及函數的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出的范圍。
例21．(09山東理)兩縣城A和B相距20km，現計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y，統計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k ，當垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065.
（1）將y表示成x的函數；
（11）討論（1）中函數的單調性，并判斷弧上是否存在一點，
使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存
在，求出該點到城A的距離;若不存在，說明理由。
評析：本題主要考查了函數在實際問題中的應用,運用待定系數法求解函數解析式的能力和運用換元法和基本不等式研究函數的單調性等問題.

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