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二元一次方程組參考例題
［例1］解方程組
分析：題中方程①x的系數為1，則用含y的代數式表示x，代入第②個方程；得到一個關于y的一元一次方程，求出y，進而再求出x；題中方程②出現常數項為零的情況，則由②得x=－2y,再代入①中消去x，進而求出方程組的解.
解法一：由②得x+2y=0即x=－2y.把③代入①得－2y+3y=4,得y=4
把y=4代入③得x=－2×4=－8
所以原方程的解為
解法二：由①得x=4－3y ③
把③代入②得=0
即y=4
把y=4代入③得x=4－3×4=－8
所以原方程組的解為
評注：解二元一次方程組的基本思想是“消元”，把二元一次方程組轉化為我們已熟悉的一元一次方程來解.“代入法”是消元的一種方法，用代入法解二元一次方程組，首先要觀察方程組中未知數系數的特點，盡可能選擇變形后的方程比較簡單和代入后化簡比較容易的方程變形，這是很關鍵的一步.
［例2］解方程組
分析：先把方程②整理為一般形式4x－3y=－5③，通過觀察發現方程①和③中y的系數是“+3”和“－3”，可以用整體代入法將①變形為3y=1+2x后代入③，得出關于x的一元一次方程，進而得到方程組的解.
解：原方程整理為
由①得3y=1+2x ④
把④代入③得
4x－(2x+1)=－5
解得x=－2
把x=－2代入④，得
3y=2×(－2)+1
y=－1
所以原方程的解為
評注：①解二元一次方程組一般要整理成標準形式，這樣有利于確定消去哪個未知數；②用代入法解方程組，關鍵是靈活“變形”和“代入”，以達到“消元”的目的，要認真體會此題代入的技巧和方法.
［例3］已知關于x、y的方程組的解相同，求a、b的值.
分析：既然兩個方程組的解相同，那么兩個方程組的解也應與方程組的解相同，將此方程組的解代入含有a、b的另兩個方程，則解關于a、b的二元一次方程組，從而求出a、b的值.
解：求得方程組解為將其代入ax+by=－1,2ax+3by=3,可得
由①得，b=－3a－1 ③
把③代入②，得
6a+3(－3a－1)=3.
解得a=－2
把a=－2代入④，得
b=5
所以a=－2,b=5
二、參考練習
1.填空題
(1)用代入法解二元一次方程組 最為簡單的方法是將_________式中的_________表示為_________，再代入_________式.
(2)若方程3x－13y=－12的解也是x－3y=2的解，則x=_________,y=_________.
(3)已知3b+2a=17,2a－b=－7,則a2+b2+4ab=_________.
(4)已知｜4x－2y－3｜+(x+2y－7)2=0,則(x－y)2=_________.
2.選擇題
(1)若方程組的解是一對相同的數，則a的值為
A.3
B.4
C.5
D.6
(2)已知x、y的值滿足等式,那么代數式的值為
A.
B.
C.－
D.－
(3)若方程組的解互為相反數，則k的值為
A.8
B.9
C.10
D.11
3.用代入法解下列方程組
(1)
(2)
4.若y=kx+b，當x=1時y=－1;當x=3時，y=5，求k和b的值.
答案：略
二元一次方程組參考例題2
［例1］解方程組：
分析：這個方程組比較復雜，應先化簡，然后再觀察系數的特點，利用加減消元法或代入消元法求解.
解：化簡方程組，得
③×2+④×3，得19x=38
x=2
把x=2代入③，得y=2
所以原方程組的解為
評注：當方程組比較復雜時，應通過去分母，去括號，移項，合并同類項等，使之化為的形式(同類項對齊)，為消元創造條件.
［例2］解方程組
分析：可以仿例1將方程化簡，也可根據方程組的特點考慮把(x+y)、(x－y)看成一個整體，這樣會給計算帶來方便.
解法一：原方程化簡為:
②×3－④,得32y=－64,y=－2
把y=－2代入④，得x=5
所以原方程組的解為
解法二：把(x+y)、(x－y)看成整體
①－②×3得x+y=3 ③
把③代入②，得2(x－y)－5×3=－1
即x－y=7 ④
由③、④聯立方程組，得
解得
評注：在解法二中突出了方程的特點，體現了數學中的“整體”思想.
［例3］已知方程組的解適合x+y=8,求a的值.
分析一：把方程組成的解用含a的代數式表示出來，再代入x+y=8，得到關于a的一元一次方程，解方程即可求出a.
分析二；將方程2x+3y=a代入3x+5y=a+2，即用2x+3y代替方程3x+5y=a+2中的a，可得到3x+5y=2x+3y+2，整理得x+2y=2，將新得到的方程與x+y=8組成方程組解方程組即可求出x、y的值，然后把x、y的值代入2x+3y=a,便可求出a的值.
解法一：
①×2,得6x+10y=2a+4 ③
②×3,得6x+9y=3a ④
③－④，得y=4－a,
把y=4－a代入②，得
2x+3(4－a)=a
解得x=2a－6
所以代入x+y=8,得
(2a+6)+(4－a)=8
解得a=10
解法二：
把②代入①，得3x+5y=2x+3y+2,
整理，得x+2y=2 ③
把方程③與x+y=8組成方程組，
③－④，得y=－6
把y=－6代入④，得x=14
所以
把代入②中
a=2×14+3×(－6)=10
所以a=10
評注：順利解決此題的關鍵是理解二元一次方程組的解和二元一次方程的解的概念；二是靈活運用加減法或代入法解二元一次方程組.
二、參考練習
1.填空題
(1)已知3ay+4b3x－1與－3a2x－2b1－2y是同類項，則x=_________,y=_________.
(2)若(5x+2y－12)2+｜3x+2y－6｜=0,則2x+4y=_________.
(3)若3x3m+5n+9+9y4m－2n+3=5是二元一次方程，則=_________.
(4)在代數式mx+n中，當x=3時，它的值是4，當x=4時，它的值是7，則m=_________,n=_________.
答案：(1)2 －2 (2)0 (3)1 (4)3 －5
2.選擇題
(1)用加減消元法解方程組時，有以下四種結果，其中正確變形是
① ②
③ ④
A.只有①和②
B.只有③和④
C.只有①和③
D.只有②和④
(2)已知則x－y的值是
A.1
B.0
C.－1
D.不能確定
(3)方程組的解x和y的值相等，則k的值等于
A.9
B.10
C.11
D.12
答案：(1)B (2)A (3)C
3.用加減消元法解方程組：
(1)
(2)
(3)x+2y=
(4)
答案：(1)
(2)
(3)
(4)

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