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二次函數(shù)綜合應(yīng)用
三亞市第二中學(xué) 符斌
二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是歷年中考的一個必考知識點(diǎn)，并且也是綜合代數(shù)與幾何的一個重要載體，它往往以中考壓軸題的形勢出現(xiàn)。此類問題考查知識點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，難度較大，能較好地考查學(xué)生綜合應(yīng)用能力與靈活應(yīng)變能力，在解題思路上注意滲透數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用。本文就綜合問題的分類歸納解析，以供讀者參考。
一、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式
要確定函數(shù)解析式，就是要確定解析式中的待定系數(shù)（常數(shù)）。由于二次函數(shù)的解析式有三種形式，即一般式：，頂點(diǎn)式：，交點(diǎn)式：，所以求二次函數(shù)解析式時，要根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)形式，建立方程或方程組，簡化計(jì)算過程。
例1．（北京市中考題）已知拋物線與y軸交于點(diǎn)A(0,3)，與x軸分別交于B(1,0)、C(5,0)兩點(diǎn)，
求拋物線的解析式；
若點(diǎn)D為線段OA的一個三等分點(diǎn)，求直線DC的解析式。
解：(1) 因?yàn)閽佄锞€過A(0,3)、B(1,0)、C(5,0)三點(diǎn)，所以
有 解得 .
∴拋物線的解析式是.
(2) 依題知，OA的三等分點(diǎn)分別為(0,1)、(0,2).
?設(shè)直線DC的解析式為
當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,1)時，有 解得 ，
∴直線DC的解析式為
當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2)時，有 解得 ，
∴直線DC的解析式為
二、從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系
從幾何圖形中確定或建立函數(shù)關(guān)系式是數(shù)形結(jié)合的新題型，已構(gòu)成中考命題的熱點(diǎn)，主要是運(yùn)用相似的性質(zhì)、勾股定理、面積關(guān)系（或公式）等建立量與量的函數(shù)關(guān)系，幾何圖形中要建立兩個量之間的關(guān)系，一般的方法和步驟是：
1、將題目中的幾何量用含字母x和y的代數(shù)式表示，并將有關(guān)幾何量通過添加輔助線等方法轉(zhuǎn)化為我們熟悉的特殊圖形中的量。
2、用特殊圖形的特定性質(zhì)和幾何定理，寫出滿足含有字母x、y的方程，并用x表示y，并寫出自變量的范圍。
例2、（長春市中考題）如圖1，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(0、10)、(8、4)，頂點(diǎn)C、D在第一象限，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形按逆時針方向勻速運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)E(4、0)出發(fā)，沿x軸正方向以相同速度運(yùn)動。當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒。
(1)求正方形ABCD的邊長；
(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動時，△OPQ的面積S(平方單位)與時間t(秒)之間的函數(shù)圖像為拋物線的一部分（如圖2），求P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動速度；
(3)求(2)中的面積S（平方單位）與時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時點(diǎn)F的坐標(biāo)；
(4)若點(diǎn)P、Q保持(2)中的速度不變，則點(diǎn)P沿著AB邊運(yùn)動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而增大；沿著BC邊運(yùn)動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而減小。當(dāng)點(diǎn)P沿著這兩邊運(yùn)動時，使∠OPQ=90o的點(diǎn)P有 個。
(拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 .)
y D y
A C
P B
O E Q x O 10 x
圖1 圖2
解：(1) 過點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F,
由 A(0、10)、B(8、4) 得BF=8,AF=6. ∴ AB=10.
(2) 由圖2可知,點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B用了10秒.
∵AB=10,1010=1. ∴P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動速度均為每秒1個單位.
(3) 過點(diǎn)P作P G⊥y軸于點(diǎn)G ,則P G∥BF.
∴
∴ ∴
∵
∴.
∵
∴當(dāng)時, S有最大值.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為
(4) 2.
三、如何求實(shí)際問題的最值（最值問題）
解此類問題通常分為兩個步驟進(jìn)行：先是根據(jù)實(shí)際問題的條件建立函數(shù)關(guān)系，二是在給定的自變量的取值范圍內(nèi)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值.
例3.在黃州服裝批發(fā)市場，某種品牌的時裝當(dāng)季節(jié)即將來臨時，價格呈上升趨勢.設(shè)這種時裝開始時定價為20元，并且每周(7天)漲價2元，從第6周開始保持30元的價格平穩(wěn)銷售,從第12周開始，當(dāng)季節(jié)即將過去時，平均每周減價2元，直到第16周周末，該服裝不再銷售.
(1)試建立銷售價y與周次x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若這種時裝每件進(jìn)價z與周次x之間的關(guān)系為，且x為整數(shù)，試問該服裝第幾周出售時，每件銷售利潤最大？最大利潤是多少？

解：(1)依題意，可建立函數(shù)關(guān)系式為
20+2(x-1)(1≤x≤6) 2x + 18(1≤x≤6)
y= 30(6≤x≤11) 即 y= 30(6≤x≤11)
30-2(x-11)(12≤x≤16) -2x+52 (12≤x≤16)
(2)設(shè)銷售利潤為W，則W=售價 - 進(jìn)價,
； ；
故W= ； 即W= ；
； ；
①當(dāng)W=時，∵x≥0時，函數(shù)W隨x增大而增大，
又1≤x≤6, ∴當(dāng)x=6時, W有最大值,此時最大值為18.5；
②當(dāng)W= =時, ∵x≥8時，函數(shù)W隨x增大而增大，
∴當(dāng)x=11時, W有最大值,此時最大值為19.125；
③當(dāng)W= =時, ∵12≤x≤16時，函數(shù)W隨x增大而減小∴當(dāng)x=12時, W有最大值,此時最大值為18；
綜上所述，該服裝第11周出售時，每件銷售利潤最大，最大利潤是19.125元.
四、存在性問題
存在性問題是指在一定條件下判斷某種數(shù)學(xué)對象是否存在的問題。解決此類問題的一般思路是：假設(shè)存在，運(yùn)用條件、定理、性質(zhì)等逆推，看與題中的條件是否相等。
例4.（海南省中考題）如下圖，已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C(1、0)，直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為 (3、4)，B點(diǎn)在y軸上.
求m的值及這個二次函數(shù)的關(guān)系式；
P為線段AB上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)P與A、B不重合)，過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖像交于E點(diǎn)，設(shè)線段PE的長為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
D為直線AB與這個二次函數(shù)圖像對稱軸的交點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形DCEP是平行四邊形？若存在，請求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. y
解: (1) ∵點(diǎn)A (3、4)在直線y=x+m上， P A
∴4=3+m ∴ m=1 D
設(shè)所求二次函數(shù)的關(guān)系式為 . B E
∵點(diǎn)A (3、4)在二次函數(shù)的圖像上, O C x
∴4=, ∴.
∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為 . 即 .
(2)設(shè)P、E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為和.
∴PE==-= . 即(0 (3)存在.
假設(shè)存在點(diǎn)P，使得四邊形DCEP是平行四邊形，則必有PE=DC.
∵點(diǎn)D在直線y=x+1上， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1、2)，
∴. .
解之，得, （不合題意，舍去）
∴ 當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2、3）時，四邊形DCEP是平行四邊形.
附：
作者通訊地址：海南省三亞市第二中學(xué) 符斌
郵編：572000

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