資源簡介

單元教學設計
單元基本信息
課程標準模塊 選擇性必修第一冊
使用教材版本 2019人民教育出版社A版
單元名稱 3.2雙曲線
單元課時數 3
一、單元學習主題分析（體現學習主題的育人價值）
主題名稱 3.2雙曲線
主題概述 在學面解析幾何初步的基礎上，在本模塊中，學生將學習雙曲線方程，了解雙曲線與二次函數的關系，掌握雙曲線的基本幾何性質，感受雙曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用。結合已學過的曲線及其方程的實例，了解曲線與方程的對應關系，進一步體會數形結合的思想。
主題學情分析 學生已學習了直線與方程，圓與方程，橢圓與方程等平面解析幾何基礎內容的情況下，利用研究橢圓所用的坐標法來研究雙曲線。
學習條件支持 定長細繩、圖釘，黑板、多媒體設備、三角尺
重難點 了解雙曲線的實際背景，感受雙曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用。 經歷從具體情境中抽象出雙曲線的過程，掌握雙曲線的定義、標準方程及簡單幾何性質。
二、單元學習目標設計（基于標準、分析教材、結合學情，體現素養導向）
單元學習目標 了解雙曲線的實際背景，感受雙曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用。 經歷從具體情境中抽象出雙曲線的過程，掌握雙曲線的定義、標準方程及簡單幾何性質。 3.通過雙曲線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想。
三、各課時學習目標（聚焦課時內容，具體、可操作、可檢測，學習符合學科要求） 學習目標解析（明確各學習目標達成之后，學生的具體表現和評價方式。）
第1課時 3.2.1雙曲線及其標準方程 1.知識目標：掌握雙曲線的定義,標準方程,并會根據已知條件求雙曲線的標準方程.2.能力目標：教材通過具體實例類比橢圓的定義,引出雙曲線的定義,通過類比推導出雙曲線的標準方程.3.情感目標：通過本節課的學習,可以培養我們類比推理的能力,激發我們的學習興趣,培養學生思考問題、分析問題、解決問題的能力.
第2課時 3.2.2雙曲線的簡單幾何性質（第一課） 1.知識目標：（1）掌握雙曲線的幾何性質：范圍、對稱性、頂點、漸近線、實軸、虛軸、離心率；（2）掌握雙曲線標準方程中a、b、c、e之間的關系。2.能力目標：通過跟橢圓的幾何性質的類比得到雙曲線的簡單幾何性質，培養學生觀察、類比分析、邏輯推理、理性思維、數形結合的能力。3.情感目標：通過本節課的探究培養學生類比推理的能力,激發學生的學習興趣,培養學生思考問題、分析問題、解決問題的能力.
第3課時 3.2.2雙曲線的簡單幾何性質（第二課） １．熟悉雙曲線的幾何性質；2．了解雙曲線的簡單應用．
四、各課時任務設計及學習活動（指向學習目標，強調學生的活動與體驗）
第1課時 3.2.1雙曲線及其標準方程 一、問題情境： 做下面一個實驗． (1)取一條拉鏈，拉開一部分． (2)在拉開的兩邊各選擇一點，分別固定在點F1，F2上． (3)把筆尖放在M處，隨著拉鏈的拉開或閉攏，畫出一條曲線． 試觀察這是一條什么樣的曲線？點M在運動過程中滿足什么幾何條件？ 二、探究新知識： 1．雙曲線的定義 文字語言平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡.符號語言||PF1|－|PF2||＝常數(常數＜|F1F2|)焦點定點F1，F2焦距兩焦點間的距離
思考：(1)雙曲線定義中，將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常數，其他條件不變，點的軌跡是什么？ (2)雙曲線的定義中，F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點，若|MF1|－|MF2|＝2a(常數)，且2a<|F1F2|，則點M的軌跡是什么？ [提示]　(1)當距離之差的絕對值等于|F1F2|時，動點的軌跡是兩條射線，端點分別是F1，F2，當距離之差的絕對值大于|F1F2|時，動點的軌跡不存在． (2)點M在雙曲線的右支上． 2．雙曲線的標準方程 焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)焦點F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c 的關系c2＝a2＋b2
三、例題探析： 【例1】　根據下列條件，求雙曲線的標準方程： (1)a＝4，經過點A； (2)與雙曲線－＝1有相同的焦點，且經過點(3，2)； (3)過點P，Q且焦點在坐標軸上． [思路探究]　(1)結合a的值設出標準方程的兩種形式，將點A的坐標代入求解． (2)因為焦點相同，所以所求雙曲線的焦點也在x軸上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系數法求解，或設出統一方程求解． (3)雙曲線焦點的位置不確定，可設出一般方程求解． [解]　(1)當焦點在x軸上時，設所求標準方程為－＝1(b>0)，把點A的坐標代入，得b2＝－×<0，不符合題意；當焦點在y軸上時，設所求標準方程為－＝1(b>0)，把A點的坐標代入，得b2＝9.故所求雙曲線的標準方程為－＝1. (2)法一：∵焦點相同， ∴設所求雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20. ① ∵雙曲線經過點(3，2)，∴－＝1. ② 由①②得a2＝12，b2＝8，∴雙曲線的標準方程為－＝1. 法二：設所求雙曲線的方程為－＝1(－4<λ<16)． ∵雙曲線過點(3，2)，∴－＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴雙曲線的標準方程為－＝1. (3)設雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵點P，Q在雙曲線上， ∴解得 ∴雙曲線的標準方程為－＝1. 1．求雙曲線標準方程的步驟 (1)定位：是指確定與坐標系的相對位置，在標準方程的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以確定方程的形式． (2)定量：是指確定a2，b2的數值，常由條件列方程組求解． 2．雙曲線標準方程的兩種求法 (1)定義法：根據雙曲線的定義得到相應的a，b，c，再寫出雙曲線的標準方程． (2)待定系數法：先設出雙曲線的標準方程－＝1或－＝1(a，b均為正數)，然后根據條件求出待定的系數代入方程即可． 提醒：若焦點的位置不明確，應注意分類討論，也可以設雙曲線方程為mx2＋ny2＝1的形式，注意標明條件mn＜0. 四、課堂練習： 1．動點P到點M(1,0)的距離與點N(3,0)的距離之差為2，則點P的軌跡是(　　) A．雙曲線　　　 B．雙曲線的一支 C．兩條射線 D．一條射線 D　[由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以點P的軌跡是一條以N為端點的射線．] 2．已知m，n∈R，則“mn＜0”是“方程＋＝1表示雙曲線”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 C　[方程＋＝1表示雙曲線，必有mn＜0；當mn＜0時，方程＋＝1表示雙曲線，所以“mn＜0”是“方程＋＝1表示雙曲線”的充要條件．] 3．已知雙曲線方程為2x2－y2＝k，焦距為6，則k的值為________． ±6　[若焦點在x軸上，則方程可化為－＝1，所以＋k＝32，解得k＝6； 若焦點在y軸上，則方程可化為－＝1，所以－k＋＝32， 即k＝－6. 綜上所述，k的值為6或－6.] 4．已知F1，F2分別為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|等于________． 4　[在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|， 解得|PF1|·|PF2|＝4.] 5．已知雙曲線與橢圓＋＝1有共同的焦點，且與橢圓相交，一個交點A的縱坐標為4，求雙曲線方程． [解]　因為橢圓＋＝1的焦點為(0，－3)，(0,3)，A點的坐標為(，4)或(－，4)， 設雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)， 所以解得 所以所求的雙曲線的標準方程為－＝1. 五、課堂小結： 讓學生做總結。 六、作業：P127習題3.2第1、2題 七、課后反思：
第2課時 3.2.2雙曲線的簡單幾何性質（第一課） 一、問題情境： (1)復習橢圓的簡單幾何性質：范圍、對稱性、頂點、長軸、短軸、離心率等性質． (2)用多媒體展示幾組焦點在x軸、y軸上開口大小各不相同的雙曲線，觀察雙曲線形狀的美． (3)根據橢圓的幾何性質，那么雙曲線有哪些幾何性質呢？ 二、探究新知識： 1．雙曲線的幾何性質 標準方程－＝1 (a＞0，b＞0)－＝1 (a＞0，b＞0)圖形性質范圍x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點頂點(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)軸長實軸長＝2a，虛軸長＝2b離心率e＝>1漸近線y＝±xy＝±x
思考：漸近線相同的雙曲線是同一條雙曲線嗎？ [提示]　漸近線相同的雙曲線有無數條，但它們實軸與虛軸的長的比值相同． 2．雙曲線的中心和等軸雙曲線 (1)雙曲線的中心 雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心． (2)等軸雙曲線 實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其離心率e＝. 三、例題探析： 【例1】　求雙曲線9y2－4x2＝－36的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程． [解]　雙曲線的方程化為標準形式是－＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝. 又雙曲線的焦點在x軸上， ∴頂點坐標為(－3,0)，(3,0)， 焦點坐標為(－，0)，(，0)， 實軸長2a＝6，虛軸長2b＝4， 離心率e＝＝，漸近線方程為y＝±x. 四、課堂練習： 求適合下列條件的雙曲線的標準方程： (1)焦點在x軸上，虛軸長為8，離心率為； (2)兩頂點間的距離是6，兩焦點的連線被兩頂點和中心四等分； (3)與雙曲線－＝1有共同的漸近線，且過點(－3，2)． [思路探究]　由幾何性質求雙曲線方程，多是根據題設信息尋找a，b，c，e之間的關系，并通過構造方程獲得問題的解(解出a，b或a2，b2的值)． [解]　(1)設所求雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則2b＝8，e＝＝，從而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故雙曲線的標準方程為－＝1. (2)由兩頂點間的距離是6得2a＝6，即a＝3. 由兩焦點的連線被兩頂點和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27. 由于焦點所在的坐標軸不確定，故所求雙曲線的標準方程為－＝1或－＝1. (3)法一：當焦點在x軸上時，設雙曲線的方程為－＝1. 由題意，得 解得a2＝，b2＝4， 所以雙曲線的方程為－＝1. 當焦點在y軸上時，設雙曲線的方程為－＝1. 由題意，得解得a2＝－4，b2＝－(舍去) 綜上所得，雙曲線的方程為－＝1. 法二：設所求雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)， 將點(－3,2)代入得λ＝， 所以雙曲線方程為－＝，即－＝1. 五、方法總結： 1．由幾何性質求雙曲線標準方程的解題思路 由雙曲線的幾何性質求雙曲線的標準方程，一般用待定系數法．當雙曲線的焦點不明確時，方程可能有兩種形式，此時應注意分類討論，為了避免討論，也可設雙曲線的方程為mx2－ny2＝1(mn＞0)． 2．常見雙曲線方程的設法 (1)漸近線為y＝±x的雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果兩條漸近線的方程為Ax±By＝0，那么雙曲線的方程可設為A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)． (2)與雙曲線－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共漸近線的雙曲線方程可設為－＝λ或－＝λ(λ≠0)． (3)與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)離心率相等的雙曲線系方程可設為－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，這是因為由離心率不能確定焦點位置． (4)與橢圓＋＝1(a＞b＞0)共焦點的雙曲線系方程可設為－＝1(b2＜λ＜a2)． 六、課堂小結： 讓學生做總結。 七、作業：P127習題3.2第3,4題。 八、課后反思：
第3課時 3.2.2雙曲線的簡單幾何性質（第二課） 一、復習回顧：師生回顧上一節內容。 二、探究1： 1．雙曲線的離心率的范圍怎樣？對雙曲線的形狀有什么影響？ [提示]　在雙曲線方程中，因為a＜c，所以離心率e＝∈(1，＋∞)，它的大小決定了雙曲線的開口大小，e越大，開口就越大． 2．雙曲線的離心率與其漸近線斜率有什么關系？ [提示]　e＝＝＝ 當焦點在x軸上時，漸近線斜率為k，則e＝，當焦點在y軸上時，漸近線斜率為k，則e＝. 三、例題探析： 【例3】　(1)已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，則其離心率為________． (2)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為c，求其離心率的值． [思路探究]　(1)利用離心率與的關系，注意要分類討論焦點的位置． (2)利用條件建立齊次方程求解． (1)或　[當焦點在x軸上時，＝2，這時離心率e＝＝＝. 當焦點在y軸上時，＝2，即＝，這時離心率e＝＝＝.] (2)[解]　因為雙曲線的右焦點F(c,0)到漸近線y＝±x，即bx±ay＝0的距離為＝＝b，所以b＝c，因此a2＝c2－b2＝c2－c2＝c2，a＝c，所以離心率e＝＝2. 四、方法歸納： 求雙曲線離心率的方法 (1)若可求得a，c，則直接利用e＝得解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝得解． (3)若得到的是關于a，c的齊次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r為常數，且p≠0)，則轉化為關于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解． 五、課堂練習： 2．過雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交C于點P.若點P的橫坐標為2a，則C的離心率為________． 2＋　[如圖，F1，F2為雙曲線C的左、右焦點，將點P的橫坐標2a代入－＝1中，得y2＝3b2， 不妨令點P的坐標為(2a，－b)， 此時kPF2＝＝， 得到c＝(2＋)a， 即雙曲線C的離心率e＝＝2＋. ] 六、探究2： 1．直線和雙曲線只有一個公共點，那么直線和雙曲線一定相切嗎？ [提示]　可能相切，也可能相交，當直線和漸近線平行時，直線和雙曲線相交且只有一個交點． 2．過點(0,2)和雙曲線－＝1只有一個公共點的直線有幾條？ [提示]　四條，其中兩條切線，兩條和漸近線平行的直線． 【例4】　已知雙曲線C：x2－y2＝1及直線l：y＝kx－1. (1)若直線l與雙曲線C有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍； (2)若直線l與雙曲線C交于A，B兩點，O是坐標原點，且△AOB的面積為，求實數k的值． [思路探究]　直線方程與雙曲線方程聯立方程組 判斷“Δ”與“0”的關系 直線與雙曲線的位置關系． [解]　(1)聯立方程組 消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0. ∵直線與雙曲線有兩個不同的交點， 則解得－＜k＜，且k≠±1. ∴若l與C有兩個不同交點，實數k的取值范圍為 (－，－1)∪(－1,1)∪(1，)． (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 對于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0， 由根與系數的關系，得x1＋x2＝－， x1x2＝－， ∴|AB|＝|x1－x2|＝· ＝. 又∵點O(0,0)到直線y＝kx－1的距離d＝， ∴S△AOB＝·|AB|·d＝＝， 即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±. ∴實數k的值為±或0. 七、方法歸納： 直線與雙曲線位置關系的判斷方法 (1)方程思想的應用 把直線與雙曲線的方程聯立成方程組，通過消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式． ①Δ>0時，直線與雙曲線有兩個不同的公共點． ②Δ＝0時，直線與雙曲線只有一個公共點． ③Δ<0時，直線與雙曲線沒有公共點． 當a＝0時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個公共點． (2)數形結合思想的應用 ①直線過定點時，根據定點的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關系確定其位置關系． ②直線斜率一定時，通過平行移動直線，比較直線斜率與漸近線斜率的關系來確定其位置關系． 提醒：利用判別式來判斷直線與雙曲線的交點個數問題的前提是通過消元化為一元二次方程． 八、課堂練習： 3．已知雙曲線－y2＝1，求過點A (3，－1)且被點A平分的弦MN所在直線的方程． [解]　法一：由題意知直線的斜率存在，故可設直線方程為y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1， 由消去y， 整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0. 設M(x1，y1)，N(x2，y2)， ∴x1＋x2＝. ∵A(3，－1)為MN的中點， ∴＝3， 即＝3， 解得k＝－. 當k＝－時， 滿足Δ>0，符合題意， ∴所求直線MN的方程為y＝－x＋， 即3x＋4y－5＝0. 法二：設M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在雙曲線上， ∴ 兩式相減，得＝y－y， ∴＝. ∵點A平分弦MN， ∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2. ∴kMN＝＝＝－. 經驗證，該直線MN存在． ∴所求直線MN的方程為y＋1＝－(x－3)， 即3x＋4y－5＝0. 九、課堂小結： 1．漸近線是雙曲線特有的性質．兩方程聯系密切，把雙曲線的標準方程－＝1(a＞0，b＞0)右邊的常數1換為0，就是漸近線方程．反之由漸近線方程ax±by＝0變為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再結合其他條件求得λ，可得雙曲線方程． 2．與雙曲線有關的其他幾何性質 (1)通徑：過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦點作垂直于焦點所在對稱軸的直線，該直線被雙曲線截得的弦叫做通徑，其長度為. (2)焦點三角形：雙曲線上的點P與兩焦點構成的△PF1F2叫做焦點三角形．設∠F1PF2＝θ，則焦點三角形的面積S＝. (3)距離：雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)右支上任意一點M到左焦點的最小距離為a＋c，到右焦點的最小距離為c－a. (4)與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率相等的雙曲線系方程為－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)． (5)與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)共焦點的雙曲線系方程為－＝1(－a2＜k＜b2)． 十、作業： 1．已知定點F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面內滿足下列條件的動點P的軌跡中為雙曲線的是(　　) A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 A　[|F1F2|＝4，根據雙曲線的定義知選A.] 2．已知雙曲線－＝1的右焦點為(3,0)，則該雙曲線的離心率等于(　　) A．　　B．　　C．　　D． C　[由題意知a2＋5＝9，解得a＝2，故e＝.] 3．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點為F(2，0)，且離心率為e＝，則雙曲線的標準方程為________． －＝1　[由焦點坐標，知c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，則雙曲線的標準方程為－＝1.] 4．過雙曲線x2－＝1的左焦點F1，作傾斜角為的直線與雙曲線交于A，B兩點，則|AB|＝________. 3　[雙曲線的左焦點為(－2,0)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB方程為y＝(x＋2)，即x－y＋2＝0， 由得8y2－12y＋9＝0， 則y1＋y2＝，y1y2＝. ∴|AB|＝ ＝＝3.] 5．直線l與雙曲線x2－4y2＝4相交于A，B兩點，若點P(4,1)為線段AB的中點，則直線l的方程是________． x－y－3＝0　[設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k，易知k存在且k≠0， 則x－4y＝4，x－4y＝4， 兩式相減，得(x1－x2)(x1＋x2)－4(y1－y2)(y1＋y2)＝0， 又∵點P(4,1)為線段AB的中點， ∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2. 代入，得(x1－x2)－(y1－y2)＝0， ∴k＝＝1. 因此直線l的方程是y－1＝1×(x－4)，即x－y－3＝0.] 十一、課后反思：

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