資源簡介

教學(xué)設(shè)計(jì)
基本信息
課程標(biāo)準(zhǔn)模塊 選擇性必修第一冊
使用教材版本 2019人民教育出版社A版
單元名稱 3.1橢圓
單元課時數(shù) 4
一、單元學(xué)習(xí)主題分析（體現(xiàn)學(xué)習(xí)主題的育人價(jià)值）
主題名稱 3.1橢圓
主題概述 在學(xué)面解析幾何初步的基礎(chǔ)上，在本模塊中，學(xué)生將學(xué)習(xí)橢圓方程，了解橢圓與二次函數(shù)的關(guān)系，掌握橢圓的基本幾何性質(zhì)，感受橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實(shí)例，了解橢圓與方程的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。
主題學(xué)情分析 學(xué)生已學(xué)習(xí)了直線與方程，圓與方程等平面解析幾何基礎(chǔ)內(nèi)容的情況下，利用研究直線與圓所用的坐標(biāo)法來研究橢圓。
學(xué)習(xí)條件支持 定長細(xì)繩、圖釘，黑板、多媒體設(shè)備、三角尺
重難點(diǎn) 1.了解橢圓的實(shí)際背景，感受橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。 2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)。
二、單元學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計(jì)（基于標(biāo)準(zhǔn)、分析教材、結(jié)合學(xué)情，體現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向）
單元學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解橢圓的實(shí)際背景，感受橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)。3.通過橢圓與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。4.了解橢圓的簡單應(yīng)用。
三、各課時學(xué)習(xí)目標(biāo)（聚焦課時內(nèi)容，具體、可操作、可檢測，學(xué)習(xí)符合學(xué)科要求） 學(xué)習(xí)目標(biāo)解析（明確各學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成之后，學(xué)生的具體表現(xiàn)和評價(jià)方式。）
第1課時 3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課） 1、知識目標(biāo)：掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，能正確推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2、能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的動手能力、合作學(xué)習(xí)能力和運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力；培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類比、分類討論、數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力．3、情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、提高學(xué)生的審美情趣、培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，敢于創(chuàng)新的精神．
第2課時 3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第二課） 1.知識目標(biāo)：會求動點(diǎn)的軌跡方程，理解利用中間變量求曲線方程和直譯法求曲線方程。 2.能力目標(biāo)：借助軌跡方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理及直觀想象的核心素養(yǎng). 3.情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，敢于創(chuàng)新的精神．
第3課時 3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（第一課） 1.知識目標(biāo)：掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點(diǎn)，掌握幾何意義以及的相互關(guān)系，初步學(xué)習(xí)利用方程研究曲線性質(zhì)的方法。2.能力目標(biāo)：利用曲線的方程來研究曲線性質(zhì)的方法是學(xué)習(xí)解析幾何以來的第一次，通過初步嘗試，使學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生與形成的過程，不僅注意對研究結(jié)果的掌握和應(yīng)用，更重視對研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)；以自主探究為主，通過體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力。3.情感目標(biāo)：通過自主探究、交流合作使學(xué)生親身體驗(yàn)研究的艱辛，從中體味合作與成功的快樂，由此激發(fā)其更加積極主動的學(xué)習(xí)精神和探索勇氣；通過多媒體展示，讓學(xué)生體會橢圓方程結(jié)構(gòu)的和諧美和橢圓曲線的對稱美，培養(yǎng)學(xué)生的審美習(xí)慣和良好的思維品質(zhì)。
第4課時 3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（第二課） 進(jìn)一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用，會判斷直線與橢圓的位置關(guān)系．
四、各課時任務(wù)設(shè)計(jì)及學(xué)習(xí)活動（指向?qū)W習(xí)目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的活動與體驗(yàn)）
第1課時 3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課） 一、問題情境：用PPT展示生活中的橢圓圖形。 讓學(xué)生觀察圖形并提出問題。 學(xué)生可能提出的問題： 橢圓是平面圖形還是立體圖形？ 橢圓怎么畫？ 橢圓像圓一樣有中心點(diǎn)嗎？ 橢圓的面積和周長怎么算？ 橢圓在生活中的實(shí)際用途？ 教師和學(xué)生一起討論學(xué)生提出的問題，并對本節(jié)課有價(jià)值的問題進(jìn)行進(jìn)一步的探究。 二．探究活動1：怎么畫標(biāo)準(zhǔn)的橢圓？ 1.學(xué)生分組，教師給每組學(xué)生發(fā)一個定長細(xì)繩和一個圖釘，讓學(xué)生畫圓。 (一個定長細(xì)繩，一個定點(diǎn)體驗(yàn)畫圓，給接下來的畫橢圓做基礎(chǔ)，開闊思維) 2.教師給每組學(xué)生一個定長細(xì)繩和兩個圖釘，讓學(xué)生合作探究畫橢圓，教師觀察指導(dǎo)。 （一個定長細(xì)繩，兩個定點(diǎn)畫橢圓） 畫橢圓過程：把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，固定在兩個圖釘上，筆尖移動畫出來。 三、探究活動2：描述求橢圓定義 教師提問：畫橢圓時有固定不動的點(diǎn)和定值？那個點(diǎn)是動點(diǎn)？結(jié)合以上畫橢圓的經(jīng)歷試著描述橢圓的定義。 學(xué)生活動： 不動點(diǎn)和定值： 兩個定點(diǎn)（兩個圖釘），定長細(xì)繩的長度（定值） 動點(diǎn)：筆尖（點(diǎn)的軌跡） 橢圓的定義：兩個定點(diǎn)的距離和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。 教師和學(xué)生一起討論橢圓的定義，把學(xué)生給出的定義的不足之處給表達(dá)完整。 橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。 四、探究活動3：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 教師提問：怎樣得到橢圓的方程？怎么適當(dāng)選擇直角坐標(biāo)系？ 學(xué)生活動：觀察橢圓的幾何特征，適當(dāng)選擇直角坐標(biāo)系。（教師觀察指導(dǎo)） 取過焦點(diǎn)的直線x軸，線段的垂直平分線為y軸設(shè)為橢圓上的任意一點(diǎn)，橢圓的焦距是（2c）.則，又設(shè)M與倆焦點(diǎn)距離之和等于(2a)（常數(shù)） ， 最后整理得 此即為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程 其中 注意:若坐標(biāo)系的選取不同，可得到橢圓的不同的方程 如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上（選取方式不同，調(diào)換軸）焦點(diǎn)則變成,只要將方程中的x,y調(diào)換，即可得，也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 五、探析例題： 例1：已知橢圓的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。 學(xué)生做，學(xué)生講，老師點(diǎn)評。 六、課堂練習(xí)： 1 .橢圓一點(diǎn)P到一個焦點(diǎn)的距離為5，則P到另一個焦點(diǎn)的距離為（ ） ?A.5 ?B.6 ?C.7 ?D.10 2.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） ?A.(±5，0)? B.(0，±5) ?C.(0，±12)? D.(±12，0) 七．課堂小結(jié)： 本節(jié)課學(xué)習(xí)了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程,應(yīng)注意以下幾點(diǎn): ①橢圓的定義 ； ②橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程③a、b、c的幾何意義 八．課后作業(yè)： P115習(xí)題3.1第2題 九、課后反思：
第2課時 3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第二課） 一、復(fù)習(xí)回顧： 教師提問：1.橢圓的定義是什么？2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？3.a,b,c的幾何意義？ 學(xué)生活動：回顧上節(jié)內(nèi)容，回答教師的上述問題。 二、探析例題、方法歸納： 例2：如圖，在圓 上任取一點(diǎn)P，經(jīng)過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD, D為 垂足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，線段PD的終點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？ 師生分析：點(diǎn)P在圓 上運(yùn)動， 點(diǎn)P的運(yùn)動引起點(diǎn)M運(yùn)動，我們可以由M為線段PD的終點(diǎn)得到點(diǎn)M與點(diǎn)P坐標(biāo)之間的關(guān)系式，并由點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足圓的方程得到點(diǎn)M的坐標(biāo)所滿足的方程。 解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,點(diǎn)P的坐標(biāo)為 則點(diǎn)D的坐標(biāo)為由點(diǎn)M是線段PD的中點(diǎn)，得 . 因?yàn)辄c(diǎn)P 在圓 上， 所以 把 代入方程 ①， 得 即 所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓。 方法歸納：讓學(xué)生總結(jié)，教師完善 尋求點(diǎn)M的坐標(biāo)（x,y）中x,y與 之間的關(guān)系，然后消去，得到點(diǎn)M的軌跡方程。 這是解析幾何中求點(diǎn)的軌跡方程的常用方法。 1.將圓按某個方向均勻的壓縮（拉長），可得橢圓。 2.求軌跡方程方法—相關(guān)點(diǎn)法，即利用中間變量（已知動點(diǎn)）求曲線方程。 例3：如圖，設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-5,0），（5,0）.直線AM,BM相較于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是求點(diǎn)M的軌跡方程。 師生分析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 （x,y）, 那么直線AM,BM的斜率就可用含 x,y的關(guān)系式分別表示.且它們的斜率之積是可得出x,y之間的關(guān)系式，進(jìn)而得到點(diǎn)M的軌跡方程。 解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是（-5,0），所以直線AM的斜率 同理，直線BM 的斜率 有已知，有 化簡，得點(diǎn)M的軌跡方程為 點(diǎn)M的軌跡是除去（-5,0），（5,0）兩點(diǎn)的橢圓. 方法歸納： 這種求軌跡方法—直譯法. 課堂練習(xí)：P109 第1.2.3.4題. 四、課堂小節(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了動點(diǎn)軌跡方程的兩種方法：利用中間變量求曲線方程和直譯法求曲線方程。 五、課后反思：
第3課時 3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（第一課） 一、情境引入 使用多媒體手段展示大小、扁圓程度等不同的橢圓，體現(xiàn)橢圓形狀的美，然后分別從橢圓為封閉曲線，即范圍入手講出橢圓的范圍，對稱性，離心率等問題． 教師提問：研究曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研究？ 學(xué)生思考、討論：通過對曲線的范圍、對稱性及特殊點(diǎn)的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置．要從范圍、對稱性、頂點(diǎn)及其他特征性質(zhì)來研究曲線的幾何性質(zhì)． 二、新課探析 教師：下面，我們利用橢圓來研究橢圓的幾何性質(zhì)。 探究1：觀察橢圓的形狀，你能從圖上看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對稱性？橢圓上那些點(diǎn)比較特殊？ 探究2：本章第一課畫橢圓時，定長細(xì)繩長度不變的情況下，倆焦點(diǎn)的距離越大橢圓的形狀越扁，倆焦點(diǎn)的距離越小橢圓的形狀越圓，你能從中受啟發(fā)用適當(dāng)?shù)亩靠坍嫏E圓的扁平程度嗎？ 學(xué)生活動：觀察橢圓的形狀和方程的特點(diǎn)研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)。討論上述探究問題。 焦點(diǎn)的 位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形焦點(diǎn)的 位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn) 方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a對稱性對稱軸為坐標(biāo)軸，對稱中心為原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)軸長短軸長|B1B2|＝2b，長軸長|A1A2|＝2a焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c
2.離心率 (1)定義：橢圓的焦距與長軸長的比ca稱為橢圓的離心率． (2)性質(zhì)：離心率e的范圍是(0,1)．當(dāng)e越接近于1時，橢圓越扁；當(dāng)e越接近于0時，橢圓就越接近于圓． 思考：離心率相同的橢圓是同一橢圓嗎？ [提示]　不是，離心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是橢圓的扁圓程度． 三、探析例題： 例4：求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)。 學(xué)生自己做、講解答案，教師點(diǎn)評。 課堂練習(xí)： 1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的長軸長等于a. (　　) (2)橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為a－c. (　　) (3)橢圓的離心率e越小，橢圓越圓． (　　) [提示]　(1)×　(2)√　(3)√ 2．經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)，Q(0,2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．＋＝1　　　 B．＋＝1 C．－＝1 D．－＝1 A　[由題易知點(diǎn)P(3,0)，Q(0,2)分別是橢圓長軸和短軸的一個端點(diǎn)，故橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以a＝3，b＝2，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.] 3．橢圓的長軸長是短軸長的2倍，它的一個焦點(diǎn)為(0，)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． x2＋＝1　[依題意得2a＝4b，c＝，又a2＝b2＋c2， ∴a＝2，b＝1，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋＝1.] 4．設(shè)橢圓＋＝1(0＜b＜5)的長軸長、短軸長、焦距成等差數(shù)列，則離心率的值為________． 　[由條件知2×5＋2c＝4b，即2b＝c＋5， 又a2－b2＝c2，a＝5解得b＝4，c＝3. ∴離心率e＝＝.] 課堂小結(jié)： 橢圓的焦點(diǎn)決定橢圓的位置，范圍決定橢圓的大小，離心率決定橢圓的扁平程度，對稱性是橢圓的重要特征，頂點(diǎn)是橢圓與對稱軸的交點(diǎn)，是橢圓重要的特殊點(diǎn)．若已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則根據(jù)a，b的值可確定其性質(zhì)． 作業(yè)：P115 習(xí)題3.1 第2、3題 課后反思：
第 4 課 時 3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（第二課） 一、問題情境： 教師提問：大家知道，直線與圓有三種位置關(guān)系，設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為R，則d＞R時 直線與圓相離； d＝R時 直線與圓相切；d＜R時 直線與圓相交． 那么直線與橢圓有幾種位置關(guān)系呢？又如何來判定呢？ 二、合作探究： 學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷過圓與直線的位置判定的兩種方法，利用這個探究橢圓與直線的為關(guān)系。 1．點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓＋＝1(a>b>0)的位置關(guān)系： 點(diǎn)P在橢圓上 ； 點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部 ； 點(diǎn)P在橢圓外部 . 2．直線與橢圓的位置關(guān)系 直線y＝kx＋m與橢圓＋＝1(a>b>0)的位置關(guān)系： 聯(lián)立消去y得一個關(guān)于x的一元二次方程． 位置關(guān)系解的個數(shù)Δ的取值相交兩解Δ>0位置關(guān)系解的個數(shù)Δ的取值相切一解Δ＝0相離無解Δ<0
思考：過原點(diǎn)的直線和橢圓相交，兩交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱嗎？ [提示]　根據(jù)橢圓的對稱性知，兩交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱． 三、例題探析： 【例1】　已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1.試問當(dāng)m取何值時，直線l與橢圓C： (1)有兩個公共點(diǎn)； (2)有且只有一個公共點(diǎn)； (3)沒有公共點(diǎn)． [思路探究]　→ →→得出結(jié)論 [解]　直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0　①. 方程①的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)當(dāng)Δ＞0，即－3＜m＜3時，方程①有兩個不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解．這時直線l與橢圓C有兩個公共點(diǎn)． (2)當(dāng)Δ＝0，即m＝±3時，方程①有兩個相同的實(shí)數(shù)解，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解．這時直線l與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn)． (3)當(dāng)Δ＜0，即m＜－3或m＞3時，方程①沒有實(shí)數(shù)解，可知原方程組沒有實(shí)數(shù)解．這時直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn)． 四、歸納總結(jié)： 代數(shù)法判斷直線與橢圓的位置關(guān)系 判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個變量，得到關(guān)于另一個變量的一元二次方程，則 Δ>0 直線與橢圓相交； Δ＝0 直線與橢圓相切； Δ<0 直線與橢圓相離． 提醒：注意方程組的解與交點(diǎn)個數(shù)之間的等價(jià)關(guān)系． 五、課堂練習(xí)： 1．若直線y＝kx＋1(k∈R)與橢圓＋＝1恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． [解]　因?yàn)閥＝kx＋1(k∈R)恒過點(diǎn)(0,1)，則點(diǎn)(0,1)在橢圓＋＝1內(nèi)或橢圓上時，直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，所以≤1，即m≥1. 當(dāng)m＝5時，＋＝1不是橢圓，它是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓．因此，m的取值范圍為[1,5)∪(5，＋∞)． 六、課堂小結(jié)： 讓學(xué)生做總結(jié)。 課后反思：

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