資源簡介

第三章第6節　共點力作用下物體的平衡
(分值:100分)
選擇題1~10題,每小題8分,共80分。
基礎對點練
題組一　共點力作用下物體的平衡狀態及條件
1.(多選)下面關于共點力的平衡與平衡條件的說法正確的是 (　　)
如果物體的運動速度為零,則必處于平衡狀態
如果物體的運動速度大小不變,則必處于平衡狀態
如果物體處于平衡狀態,則物體沿任意方向的合力都必為零
如果物體受到三個共點力的作用而處于平衡狀態,則任意兩個力的合力與第三個力大小相等、方向相反
2.(2024·河北邯鄲高一期末)物體受共點力F1、F2、F3的作用保持靜止,則這三個力可能是 (　　)
15 N、6 N、8 N 6 N、8 N、10 N
12 N、17 N、1 N 8 N、15 N、3 N
題組二　平衡條件的應用
3.(2023·廣東卷,2)如圖所示,可視為質點的機器人通過磁鐵吸附在船舷外壁面檢測船體。壁面可視為斜面,與豎直方向夾角為θ。船和機器人保持靜止時,機器人僅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用,磁力垂直壁面。下列關系式正確的是 (　　)
Ff=G F=FN
Ff=Gcos θ F=Gsin θ
4.如圖所示,用三根等長的輕質細鏈懸拉花盆(花盆與墻壁未接觸,連接處間距相等),已知花盆的重力為G,每根輕質細鏈和豎直方向都成30°角,則每根輕質細鏈對花盆的拉力大小為 (　　)
G G G G
5.(2023·6月浙江選考,6)如圖所示,水平面上固定兩排平行的半圓柱體,重為G的光滑圓柱體靜置其上,a、b為相切點,∠aOb=90°,半徑Ob與重力的夾角為37°,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,則圓柱體受到的支持力Fa、Fb大小為 (　　)
Fa=0.6G,Fb=0.4G
Fa=0.4G,Fb=0.6G
Fa=0.8G,Fb=0.6G
Fa=0.6G,Fb=0.8G
6.(2024·山西晉中高一期末)如圖所示,輕繩與勁度系數為k的輕彈簧互相垂直且一端懸掛在天花板上,另一端連接到物塊的同一點上,輕繩與天花板的夾角為θ=53°(sin 53°=0.8,cos 53°=0.6),物塊的重力為G,并處于靜止狀態,則關于輕繩拉力的大小T和彈簧的形變量Δx正確的為 (　　)
T=G T=G
Δx= Δx=
7.在一半徑為R、質量為m的乒乓球內注入質量為M的水,但未將乒乓球注滿,用水平U形槽將其支撐住,保持靜止狀態,其截面如圖所示。已知U形槽的間距d=R,重力加速度為g,忽略乒乓球與槽間的摩擦力,則U形槽側壁頂端A點對乒乓球(包括水)的支持力大小為 (　　)
(M+m)g (M+m)g
(M+m)g 2(M+m)g
8.(多選)如圖所示,質量為m的物體放在水平桌面上,在與水平方向成θ角的拉力F作用下保持靜止,已知物體與桌面間的動摩擦因數為μ,重力加速度為g,下列判斷正確的是 (　　)
物體對地面的壓力為mg
物體受到地面的支持力為mg-Fsin θ
物體受到的摩擦力為F
物體受到的摩擦力為Fcos θ
綜合提升練
9.(多選)如圖所示,建筑工人用恒力F推著運料車在水平地面上勻速前進,恒力F與水平方向的夾角為θ=30°,運料車和材料的總重力為G,下列說法正確的是 (　　)
運料車受到的摩擦力方向水平向左
運料車受到的摩擦力方向水平向右
運料車受到的摩擦力大小為F
運料車與地面間的動摩擦因數為
10.如圖所示,質量為m的小球套在豎直固定的光滑圓環上,輕繩一端固定在圓環的最高點A,另一端與小球相連,小球靜止時位于環上的B點,此時輕繩與豎直方向的夾角為60°,則輕繩對小球的拉力大小為(重力加速度為g) (　　)
mg mg 2mg mg
11.(10分)如圖所示,質量為m的木塊在與水平方向成α角的推力F(大小未知)作用下,沿豎直墻壁向上勻速運動。已知木塊與墻壁間的動摩擦因數為μ,重力加速度為g。求:
(1)(5分)推力F的大小;
(2)(5分)若將推力的方向改為豎直向上推動木塊,且木塊仍做勻速直線運動,則推力F'為多大
培優加強練
12.(10分)如圖所示,傾角θ=37°的粗糙斜面固定在水平地面上,一質量m=1 kg的小滑塊在斜面上恰好能勻速下滑(g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)。
(1)(3分)求滑塊與斜面之間的動摩擦因數μ;
(2)(3分)若給小滑塊施加一平行于斜面向上的推力F1,小滑塊能沿斜面勻速向上滑動,求推力F1的大小;
(3)(4分)將推力方向改為水平向右,要使小滑塊仍沿斜面勻速上滑,求該情形中力F2的大小。
第6節　共點力作用下物體的平衡
1.CD　[物體運動速度為零時不一定處于平衡狀態，A選項錯誤；物體運動速度大小不變、方向變化時，物體不做勻速直線運動，一定不處于平衡狀態，B選項錯誤；物體處于平衡狀態時，合力為零，物體沿任意方向的合力都必為零，C選項正確；物體受到三個共點力作用而處于平衡狀態時，合力為零，則任意兩個力的合力與第三個力等大反向，D選項正確。]
2.B　[前兩個力的大小范圍為9 N≤F≤21 N，第三個力是8 N，不在范圍內，所以合力不可能為零，物體不能保持靜止，A錯誤；前兩個力的大小范圍為2 N≤F≤14 N，第三個力是10 N，在范圍內，所以合力可以為零，物體能保持靜止，B正確；前兩個力的大小范圍為5 N≤F≤29 N，第三個力是1 N，不在范圍內，所以合力不可能為零，物體不能保持靜止，C錯誤；前兩個力的大小范圍為7 N≤F≤23 N，第三個力是3 N，不在范圍內，所以合力不可能為零，物體不能保持靜止，D錯誤。]
3.C　[如圖所示，
將重力垂直于斜面方向和沿斜面方向分解，由平衡條件得，沿斜面方向Ff＝Gcos θ，垂直斜面方向F＝Gsin θ＋FN，故C正確，A、B、D錯誤。]
4.C　[設每根輕質細鏈對花盆的拉力大小均為F，由平衡條件得3Fcos 30°＝G，解得F＝G，故C項正確。]
5.D　[以圓
柱體為研究對象，受力分析如圖所示，兩側半圓柱體對圓柱體的支持力的合力與重力等大反向，結合幾何關系可知Fa＝Gsin 37°＝0.6G，Fb＝Gcos 37°＝0.8G，D正確。]
6.D　[對物塊受力分析如圖所示，根據平衡條件
有G＝F合，T＝F合sin 53°＝G，F彈＝F合cos 53°＝G，由胡克定律可知Δx＝，故選項D正確。]
　　
第6題圖　　　　第7題圖　　　　第8題圖　　
7.B　[以乒乓球和水為研究對象，受力分析如圖。根據平衡條件有2Nsin θ＝(M＋m)g，由幾何關系可知θ＝60°，則A點對乒乓球(包括水)的支持力大小為N＝(M＋m)g，B項正確。]
8.BD　[物體受力如圖所示，將拉力F沿水平和豎直方向分解，則Fx＝Fcos θ，Fy＝Fsin θ。由平衡條件可得N＋Fsin θ－mg＝0，Fcos θ－f＝0，所以物體受到的摩擦力f＝Fcos θ，支持力N＝mg－Fsin θ，選項B、D正確。]
9.AC　[
對運料車和材料進行受力分析，如圖所示，由平衡條件得，運料車受到地面的摩擦力水平向左，大小為f車＝Fcos 30°＝F，豎直方向上有N車＝G＋Fsin 30°＝G＋0.5F，則運料車與地面間的動摩擦因數為μ＝＝，選項A、C正確，B、D錯誤。]
10.A　[對B點處的小球受力分析，如圖所示，則有Tsin 60°＝Nsin 60°，Tcos 60°＋Ncos 60°＝mg，解得T＝N＝mg，A正確。]
11.(1)　(2)mg
解析　(1)以木塊為研究對象，木塊受到重力、支持力、推力和摩擦力作用，受力情況如圖所示。
水平方向N＝Fcos α
豎直方向Fsin α＝mg＋f
又f＝μN，聯立解得F＝。
(2)若將推力的方向改為豎直向上推動木塊做勻速直線運動，木塊只受重力和推力，根據平衡條件可得F′＝mg。
12.(1)0.75　(2)12 N　(3)34.3 N
解析　(1)根據平衡條件得mgsin θ＝μmgcos θ
解得μ＝0.75。
(2)根據平衡條件得mgsin θ＋μmgcos θ＝F1
代入數據解得F1＝12 N。
(3)推力方向改為水平向右，要使小滑塊仍沿斜面勻速上滑，對小滑塊受力分析，如圖所示
垂直斜面方向N＝mgcos θ＋F2sin θ
平行斜面方向mgsin θ＋f＝F2cos θ
又f＝μN
聯立解得F2≈34.3 N。第6節　共點力作用下物體的平衡
學習目標　1.知道平衡狀態，掌握共點力作用下物體的平衡條件，并會分析生產、生活中的相關問題。2.會對物體的受力情況進行分析。3.會利用合成法或正交分解法分析計算平衡問題。
知識點一　共點力作用下物體的平衡狀態及條件
如圖所示，著名景點——黃山飛來石獨自靜止于懸崖之上，它受哪些力作用？這些力的大小、方向有何關系？它們的合力有何特點？
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1.平衡狀態
(1)定義：如果物體保持靜止或____________運動狀態，我們就說，這個物體處于平衡狀態。
(2)對“平衡狀態”的理解
不管是靜止還是勻速直線運動，速度保持不變，所以Δv＝0，a＝，對應加速度為零，v＝0不代表a＝0。
2.平衡條件：(1)在共點力作用下物體的平衡條件是：物體受到的合力為____________。即F合＝____________。
(2)如果用正交分解的方法，平衡條件可寫成。
思考
1.做豎直上拋運動的物體運動到最高點時，其速度為零，物體是否處于平衡狀態？
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2.一燈泡吊在天花板下，現用另一細繩將燈泡拉到如圖位置，燈泡靜止時。
(1)此時燈泡受幾個力？
(2)試根據二力平衡條件，推導說明：若一個物體受三個力作用而處于平衡狀態，則其中一個力與另外兩個力的合力滿足怎樣的關系？
(3)上面探究的結論是否可以推廣到多個力的平衡？
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例1 (教科版教材P96自我評價T1改編)物體在五個共點力的作用下保持平衡，如圖所示，其中F1大小為10 N，方向水平向右，求：
(1)若撤去力F1，而保持其余四個力不變，其余四個力的合力的大小和方向；
(2)若將F1轉過90°，保持其余四個力不變，物體所受的合力大小。
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訓練1 下列物體處于平衡狀態的是(　　)
A.靜止在水平地面上的杯子
B.做豎直上拋運動的小球
C.做自由落體運動的石塊
D.沿斜面加速下滑的木塊
知識點二　平衡條件的應用
共點力平衡問題的解題思路
(1)明確研究對象(物體、質點或繩的結點等)。
(2)分析研究對象所處的運動狀態，判定其是否處于平衡狀態。
(3)對研究對象進行受力分析，并畫出受力示意圖。
(4)列平衡方程，應用共點力平衡的條件，選擇恰當的方法(合成法、正交分解法)列出平衡方程。
(5)求解方程，并討論結果。
角度1　三力平衡問題
例2 (多選)(教科版教材P96自我評價T4改編)如圖所示，是一種測定風作用力的儀器的原理圖，它能自動隨著風的轉向而轉向，使風總從圖示方向吹向小球P。P是質量為m的金屬球，固定在一細長剛性金屬絲下端，能繞懸掛點O在豎直平面內擺動，無風時金屬絲自然下垂，有風時金屬絲將偏離豎直方向一定角度θ，角θ大小與風力大小有關，下列關于風力F、剛性金屬絲拉力T與角度θ的關系式正確的是(重力加速度為g)(　　)
A.F＝mgsin θ B.F＝mgtan θ
C.T＝mgcos θ D.T＝
聽課筆記___________________________________________________________
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總結提升　處理三力平衡問題的常用方法
合成法 物體在三個共點力作用下處于平衡狀態時，任意兩個力的合力與第三個力大小相等、方向相反
分解法 物體在三個共點力作用下處于平衡狀態時，將某個力按作用效果分解，則其分力與其他兩個力分別平衡
正交 分解法 物體在三個共點力作用下處于平衡狀態，應用正交分解法，則有 ∑Fx＝F1x＋F2x＋F3x＝0， ∑Fy＝F1y＋F2y＋F3y＝0
矢量三 角形法 如果三個力首尾相接恰好構成三角形，則這三個力的合力為零。矢量三角形法可以充分利用幾何邊角關系求解平衡問題
角度2　多力平衡問題
例3 (2024·四川瀘州高一期末)如圖所示為一種家用拖把，拖把頭的總質量m＝1.2 kg，推桿的質量可以忽略，拖地時沿桿方向對拖把頭施加推力F，推力方向始終與水平方向成θ＝37°角。取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度大小為g＝10 m/s2。
(1)若推力F1＝20 N時，拖把靜止不動，求拖把所受摩擦力的大小和方向；
(2)某次拖地過程中，推力F2＝30 N時，拖把在水平地面上恰好做勻速直線運動，求拖把頭與地面之間的動摩擦因數μ。
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訓練2 某幼兒園要在空地上做一個滑梯如圖所示，根據空地的大小，滑梯的水平跨度確定為6 m。設計時，滑板和兒童褲料之間的動摩擦因數取0.4，為使兒童在滑梯游戲時能在滑板上滑下，滑梯至少要多高？
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隨堂對點自測
1.(共點力作用下物體的平衡條件理解)(多選)下列運動項目中的運動員處于平衡狀態的是(　　)
A.體操運動員雙手握住單杠吊在空中不動時
B.蹦床運動員在空中上升到最高點時
C.舉重運動員在舉起杠鈴后不動的那段時間內
D.游泳運動員仰臥在水面靜止不動時
2.(三力平衡問題)(2024·四川遂寧高一期末)一重為16 N的小球固定在AB桿的上端，今用測力計水平拉小球，使桿發生彎曲，如圖所示，當小球達到平衡
時，測力計的示數為12 N，則AB桿對小球作用力的大小為 (　　)
A.15 N B.16 N
C.18 N D.20 N
3.(多力平衡問題)(多選)如圖所示，站在水平地面、質量為15 kg的小朋友用輕繩牽住氫氣球，輕繩與水平方向成53°角，輕繩的拉力大小為5 N。已知重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，則關于地面對小朋友的支持力N和摩擦力f，下列說法正確的是(　　)
A.N＝150 N，方向豎直向上
B.N＝146 N，方向豎直向上
C.f＝3 N，方向水平向右
D.f＝5 N，方向水平向右
第6節　共點力作用下物體的平衡
知識點一
導學　提示　受重力和懸崖對它的作用力；重力方向豎直向下、懸崖對它的作用力方向豎直向上，二力等大、反向；合力為零。
知識梳理
1.(1)勻速直線　2.(1)零　0　(2)0　0
[思考] 1.提示　不是，因為物體此時所受合力不為零。
2.提示　(1)受重力和兩根細繩的拉力共三個力的作用。
(2)如圖
所示，燈泡受三個力的作用，將F1和F2合成，可以發現F1和F2的合力與重力G滿足二力平衡，所以三個力平衡，則其中一個力與另外兩個力的合力必定大小相等、方向相反。
(3)可以。若物體受多個力的作用而處于平衡狀態，則這些力中的某一個力一定與其余力的合力大小相等、方向相反。
例1 (1)10 N　水平向左　(2)10 N
解析　(1)五個共點力作用下物體平衡時所受合力為零，則其余四個力的合力與F1等大、反向，故其余四個力的合力大小為10 N，方向水平向左。
(2)若將F1轉過90°得到F1′，則F1′與其余四個力的合力F垂直，F合＝＝ N＝10 N。
訓練1 A　[物體處于靜止或勻速直線運動狀態，則物體處于平衡狀態。做豎直上拋運動的小球、做自由落體運動的石塊、沿斜面加速下滑的木塊均做加速運動，只有靜止在水平地面上的杯子處于平衡狀態，故A正確，B、C、D錯誤。]
知識點二
例2 BD　[選取金屬球為研究對象，它受到三個力的作用，如圖甲所示。金屬球處于平衡狀態，這三個力的合力為零?？捎靡韵氯N方法求解。
方法一　合成法
將風力F和拉力T合成如圖乙所示，由平衡條件知F與T的合力與重力等大反向，可得F＝mgtan θ，T＝，故B、D正確。
方法二　正交分解法
以金屬球的重心為坐標原點，取水平方向為x軸，豎直方向為y軸，建立直角坐標系，如圖丙所示。由于金屬球處于平衡狀態，故水平方向的合力Fx合和豎直方向的合力Fy合都等于零，即
Fx合＝Tsin θ－F＝0
Fy合＝Tcos θ－mg＝0
解得F＝mgtan θ，T＝，故B、D正確。
方法三　矢量三角形法
把表示重力、風力、拉力的有向線段依次首尾相連構成一個矢量三角形，如圖丁所示。
由圖可知F＝mgtan θ，T＝，故B、D正確。]
例3 (1)16 N，方向水平向左　(2)0.8
解析　(1)根據平衡條件可知拖把受到的摩擦力為f＝F1cos θ＝20×0.8 N＝16 N，方向水平向左。
(2)地面受到的正壓力為
N＝mg＋F2sin θ＝1.2×10 N＋30×0.6 N＝30 N
拖把頭與地面的摩擦力為f1＝μN＝F2cos θ
可得拖把頭與地面之間的動摩擦因數為μ＝0.8。
訓練2 2.4 m
解析　將滑梯抽象為一個斜面的模型如圖所示，以正在勻速滑下的兒童為研究對象。
兒童受到重力G、斜面的支持力N和滑動摩擦力f三個力的作用。
如圖所示，沿平行和垂直于斜面的兩個方向建立直角坐標系。把重力G沿兩個坐標軸的方向分解為Gx和Gy。
設斜面傾角為θ，用l、b和h分別表示AB、AC和BC的長度。
根據共點力平衡的條件和幾何關系可知，
在x軸方向上Gx－f＝0
則f＝Gx＝Gsin θ＝G①
在y軸方向上Gy－N＝0
則N＝Gy＝Gcos θ＝G②
由于f＝μN③
聯立①②③式有G＝μG
可求得h＝μb＝0.4×6 m＝2.4 m
滑梯至少要2.4 m高，兒童才能從滑梯上滑下。
隨堂對點自測
1.ACD　[物體處于平衡狀態的條件是F合＝0，物體處于靜止或勻速直線運動狀態，A、C、D正確；B項中運動員上升到最高點時v＝0，F合≠0，不會靜止在最高點，故不是平衡狀態，B錯誤。]
2.D　[由題意知，小球受到豎直向下的重力G＝16 N，水平向右的拉力F＝12 N，以及桿對小球的作用力，三個力的合力為零，則AB桿對小球作用力的大小為N＝＝20 N，故選項D正確。]
3.BC　[對小朋友進行受力分析如圖
由平衡條件可得Tsin 53°＋N＝Mg，Tcos 53°＝f，解得N＝146 N，f＝3 N，故B、C正確，A、D錯誤。](共46張PPT)
第6節　共點力作用下物體的平衡
第三章　相互作用
1.知道平衡狀態，掌握共點力作用下物體的平衡條件，并會分析生產、生活中的相關問題。2.會對物體的受力情況進行分析。3.會利用合成法或正交分解法分析計算平衡問題。
學習目標
目 錄
CONTENTS
知識點
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
知識點
1
知識點二　平衡條件的應用
知識點一　共點力作用下物體的平衡狀態及條件
知識點一　共點力作用下物體的平衡狀態及條件
如圖所示，著名景點——黃山飛來石獨自靜止于懸崖之上，它受哪些力作用？這些力的大小、方向有何關系？它們的合力有何特點？
提示　受重力和懸崖對它的作用力；重力方向豎直向下、懸崖對它的作用力方向豎直向上，二力等大、反向；合力為零。
1.平衡狀態
(1)定義：如果物體保持靜止或____________運動狀態，我們就說，這個物體處于平衡狀態。
(2)對“平衡狀態”的理解
勻速直線
2.平衡條件：(1)在共點力作用下物體的平衡條件是：物體受到的合力為___。即
F合＝___。
零
0
0
0
【思考】
1.做豎直上拋運動的物體運動到最高點時，其速度為零，物體是否處于平衡狀態？
提示　不是，因為物體此時所受合力不為零。
2.一燈泡吊在天花板下，現用另一細繩將燈泡拉到如圖位置，燈泡靜止時。
(1)此時燈泡受幾個力？
(2)試根據二力平衡條件，推導說明：若一個物體受三個力作用而處于平衡狀態，則其中一個力與另外兩個力的合力滿足怎樣的關系？
(3)上面探究的結論是否可以推廣到多個力的平衡？
提示　(1)受重力和兩根細繩的拉力共三個力的作用。
(2)如圖所示，燈泡受三個力的作用，將F1和F2合成，可以發現F1和F2的合力與重力G滿足二力平衡，所以三個力平衡，則其中一個力與另外兩個力的合力必定大小相等、方向相反。
(3)可以。若物體受多個力的作用而處于平衡狀態，則這些力中的某一個力一定與其余力的合力大小相等、方向相反。
例1 (教科版教材P96自我評價T1改編)物體在五個共點力的作用下保持平衡，如圖所示，其中F1大小為10 N，方向水平向右，求：
(1)若撤去力F1，而保持其余四個力不變，其余四個力的
合力的大小和方向；
(2)若將F1轉過90°，保持其余四個力不變，物體所受的合力大小。
解析　(1)五個共點力作用下物體平衡時所受合力為零，則其余四個力的合力與F1等大、反向，故其余四個力的合力大小為10 N，方向水平向左。
A
訓練1 下列物體處于平衡狀態的是(　　)
A.靜止在水平地面上的杯子 B.做豎直上拋運動的小球
C.做自由落體運動的石塊 D.沿斜面加速下滑的木塊
解析　物體處于靜止或勻速直線運動狀態，則物體處于平衡狀態。做豎直上拋運動的小球、做自由落體運動的石塊、沿斜面加速下滑的木塊均做加速運動，只有靜止在水平地面上的杯子處于平衡狀態，故A正確，B、C、D錯誤。
知識點二　平衡條件的應用
共點力平衡問題的解題思路
(1)明確研究對象(物體、質點或繩的結點等)。
(2)分析研究對象所處的運動狀態，判定其是否處于平衡狀態。
(3)對研究對象進行受力分析，并畫出受力示意圖。
(4)列平衡方程，應用共點力平衡的條件，選擇恰當的方法(合成法、正交分解法)列出平衡方程。
(5)求解方程，并討論結果。
BD
角度1　三力平衡問題
例2 (多選)(教科版教材P96自我評價T4改編)如圖所示，是一種測定風作用力的儀器的原理圖，它能自動隨著風的轉向而轉向，使風總從圖示方向吹向小球P。P是質量為m的金屬球，固定在一細長剛性金屬絲下端，能繞懸掛點O在豎直平面內擺動，無風時金屬絲自然下垂，有風時金屬絲將偏離豎直方向一定角度θ，角θ大小與風力大小有關，下列關于風力F、剛性金屬絲拉力T與角度θ的關系式正確的是(重力加速度為g)(　　)
解析　選取金屬球為研究對象，它受到三個力的作用，如圖甲所示。金屬球處于平衡狀態，這三個力的合力為零?？捎靡韵氯N方法求解。
方法一　合成法
方法二　正交分解法
以金屬球的重心為坐標原點，取水平方向為x軸，豎直方向為y軸，建立直角坐標系，如圖丙所示。由于金屬球處于平衡狀態，故水平方向的合力Fx合和豎直方向的合力Fy合都等于零，即
Fx合＝Tsin θ－F＝0
Fy合＝Tcos θ－mg＝0
方法三　矢量三角形法
把表示重力、風力、拉力的有向線段依次首尾相連構成一個矢量三角形，如圖丁所示。
總結提升　處理三力平衡問題的常用方法
合成法 物體在三個共點力作用下處于平衡狀態時，任意兩個力的合力與第三個力大小相等、方向相反
分解法 物體在三個共點力作用下處于平衡狀態時，將某個力按作用效果分解，則其分力與其他兩個力分別平衡
正交分解法 物體在三個共點力作用下處于平衡狀態，應用正交分解法，則有
∑Fx＝F1x＋F2x＋F3x＝0，
∑Fy＝F1y＋F2y＋F3y＝0
矢量三角形法 如果三個力首尾相接恰好構成三角形，則這三個力的合力為零。矢量三角形法可以充分利用幾何邊角關系求解平衡問題
角度2　多力平衡問題
例3 (2024·四川瀘州高一期末)如圖所示為一種家用拖把，拖把頭的總質量m＝1.2 kg，推桿的質量可以忽略，拖地時沿桿方向對拖把頭施加推力F，推力方向始終與水平方向成θ＝37°角。取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度大小為g＝10 m/s2。
(1)若推力F1＝20 N時，拖把靜止不動，求拖把所受摩擦力的大小和方向；
(2)某次拖地過程中，推力F2＝30 N時，拖把在水平地面上恰好做勻速直線運動，求拖把頭與地面之間的動摩擦因數μ。
解析　(1)根據平衡條件可知拖把受到的摩擦力為f＝F1cos θ＝20×0.8 N＝16 N，方向水平向左。
(2)地面受到的正壓力為N＝mg＋F2sin θ＝1.2×10 N＋30×0.6 N＝30 N
拖把頭與地面的摩擦力為f1＝μN＝F2cos θ
可得拖把頭與地面之間的動摩擦因數為μ＝0.8。
答案　(1)16 N，方向水平向左　(2)0.8
訓練2 某幼兒園要在空地上做一個滑梯如圖所示，根據空地的大小，滑梯的水平跨度確定為6 m。設計時，滑板和兒童褲料之間的動摩擦因數取0.4，為使兒童在滑梯游戲時能在滑板上滑下，滑梯至少要多高？
答案　2.4 m
解析　將滑梯抽象為一個斜面的模型如圖所示，以正在勻速滑下的兒童為研究對象。
兒童受到重力G、斜面的支持力N和滑動摩擦力f三個力的作用。
如圖所示，沿平行和垂直于斜面的兩個方向建立直角坐標系。把重力G沿兩個坐標軸的方向分解為Gx和Gy。
設斜面傾角為θ，用l、b和h分別表示AB、AC和BC的長度。
根據共點力平衡的條件和幾何關系可知，
在x軸方向上Gx－f＝0
在y軸方向上Gy－N＝0
由于f＝μN③
可求得h＝μb＝0.4×6 m＝2.4 m
滑梯至少要2.4 m高，兒童才能從滑梯上滑下。
隨堂對點自測
2
ACD
1.(共點力作用下物體的平衡條件理解)(多選)下列運動項目中的運動員處于平衡狀態的是(　 　)
A.體操運動員雙手握住單杠吊在空中不動時
B.蹦床運動員在空中上升到最高點時
C.舉重運動員在舉起杠鈴后不動的那段時間內
D.游泳運動員仰臥在水面靜止不動時
解析　物體處于平衡狀態的條件是F合＝0，物體處于靜止或勻速直線運動狀態，A、C、D正確；B項中運動員上升到最高點時v＝0，F合≠0，不會靜止在最高點，故不是平衡狀態，B錯誤。
D
2.(三力平衡問題)(2024·四川遂寧高一期末)一重為16 N的小球固定在AB桿的上端，今用測力計水平拉小球，使桿發生彎曲，如圖所示，當小球達到平衡時，測力計的示數為12 N，則AB桿對小球作用力的大小為 (　　)
A.15 N B.16 N C.18 N D.20 N
BC
3.(多力平衡問題)(多選)如圖所示，站在水平地面、質量為15 kg的小朋友用輕繩牽住氫氣球，輕繩與水平方向成53°角，輕繩的拉力大小為5 N。已知重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，則關于地面對小朋友的支持力N和摩擦力f，下列說法正確的是(　　)
A.N＝150 N，方向豎直向上 B.N＝146 N，方向豎直向上
C.f＝3 N，方向水平向右 D.f＝5 N，方向水平向右
解析　對小朋友進行受力分析如圖
由平衡條件可得Tsin 53°＋N＝Mg，Tcos 53°＝f，解得N＝146 N，f＝3 N，故B、C正確，A、D錯誤。
課后鞏固訓練
3
CD
題組一　共點力作用下物體的平衡狀態及條件
1.(多選)下面關于共點力的平衡與平衡條件的說法正確的是(　　)
A.如果物體的運動速度為零，則必處于平衡狀態
B.如果物體的運動速度大小不變，則必處于平衡狀態
C.如果物體處于平衡狀態，則物體沿任意方向的合力都必為零
D.如果物體受到三個共點力的作用而處于平衡狀態，則任意兩個力的合力與第三個力大小相等、方向相反
基礎對點練
解析　物體運動速度為零時不一定處于平衡狀態，A選項錯誤；物體運動速度大小不變、方向變化時，物體不做勻速直線運動，一定不處于平衡狀態，B選項錯誤；物體處于平衡狀態時，合力為零，物體沿任意方向的合力都必為零，C選項正確；物體受到三個共點力作用而處于平衡狀態時，合力為零，則任意兩個力的合力與第三個力等大反向，D選項正確。
B
2.(2024·河北邯鄲高一期末)物體受共點力F1、F2、F3的作用保持靜止，則這三個力可能是(　　)
A.15 N、6 N、8 N B.6 N、8 N、10 N
C.12 N、17 N、1 N D.8 N、15 N、3 N
解析　前兩個力的大小范圍為9 N≤F≤21 N，第三個力是8 N，不在范圍內，所以合力不可能為零，物體不能保持靜止，A錯誤；前兩個力的大小范圍為2 N≤F≤14 N，第三個力是10 N，在范圍內，所以合力可以為零，物體能保持靜止，B正確；前兩個力的大小范圍為5 N≤F≤29 N，第三個力是1 N，不在范圍內，所以合力不可能為零，物體不能保持靜止，C錯誤；前兩個力的大小范圍為7 N≤F≤23 N，第三個力是3 N，不在范圍內，所以合力不可能為零，物體不能保持靜止，D錯誤。
C
題組二　平衡條件的應用
3.(2023·廣東卷，2)如圖所示，可視為質點的機器人通過磁鐵吸附在船舷外壁面檢測船體。壁面可視為斜面，與豎直方向夾角為θ。船和機器人保持靜止時，機器人僅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力垂直壁面。下列關系式正確的是(　　)
A.Ff＝G B.F＝FN
C.Ff＝Gcos θ D.F＝Gsin θ
解析　如圖所示，將重力垂直于斜面方向和沿斜面方向分解，由平衡條件得，沿斜面方向Ff＝Gcos θ，垂直斜面方向F＝Gsin θ＋FN，故C正確，A、B、D錯誤。
C
4.如圖所示，用三根等長的輕質細鏈懸拉花盆(花盆與墻壁未接觸，連接處間距相等)，已知花盆的重力為G，每根輕質細鏈和豎直方向都成30°角，則每根輕質細鏈對花盆的拉力大小為(　　)
D
5.(2023·6月浙江選考，6)如圖所示，水平面上固定兩排平行的半圓柱體，重為G的光滑圓柱體靜置其上，a、b為相切點，∠aOb＝90°，半徑Ob與重力的夾角為37°，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則圓柱體受到的支持力Fa、Fb大小為(　　)
A.Fa＝0.6G，Fb＝0.4G 　 B.Fa＝0.4G，Fb＝0.6G
C.Fa＝0.8G，Fb＝0.6G 　 D.Fa＝0.6G，Fb＝0.8G
解析　以圓柱體為研究對象，受力分析如圖所示，兩側半圓柱體對圓柱體的支持力的合力與重力等大反向，結合幾何關系可知Fa＝Gsin 37°＝0.6G，Fb＝Gcos 37°＝0.8G，D正確。
D
6.(2024·山西晉中高一期末)如圖所示，輕繩與勁度系數為k的輕彈簧互相垂直且一端懸掛在天花板上，另一端連接到物塊的同一點上，輕繩與天花板的夾角為θ＝53°(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)，物塊的重力為G，并處于靜止狀態，則關于輕繩拉力的大小T和彈簧的形變量Δx正確的為(　　)
解析　對物塊受力分析如圖所示，根據平衡條件
B
7.在一半徑為R、質量為m的乒乓球內注入質量為M的水，但未將乒乓球注滿，用水平U形槽將其支撐住，保持靜止狀態，其截面如圖所示。已知U形槽的間距d＝R，重力加速度為g，忽略乒乓球與槽間的摩擦力，則U形槽側壁頂端A點對乒乓球(包括水)的支持力大小為(　　)
BD
8.(多選)如圖所示，質量為m的物體放在水平桌面上，在與水平方向成θ角的拉力F作用下保持靜止，已知物體與桌面間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，下列判斷正確的是(　　)
A.物體對地面的壓力為mg
B.物體受到地面的支持力為mg－Fsin θ
C.物體受到的摩擦力為F
D.物體受到的摩擦力為Fcos θ
解析　物體受力如圖所示，將拉力F沿水平和豎直方向分解，則Fx＝Fcos θ，Fy＝Fsin θ。由平衡條件可得N＋Fsin θ－mg＝0，Fcos θ－f＝0，所以物體受到的摩擦力f＝Fcos θ，支持力N＝mg－Fsin θ，選項B、D正確。
AC
9.(多選)如圖所示，建筑工人用恒力F推著運料車在水平地面上勻速前進，恒力F與水平方向的夾角為θ＝30°，運料車和材料的總重力為G，下列說法正確的是(　　)
綜合提升練
A
10.如圖所示，質量為m的小球套在豎直固定的光滑圓環上，輕繩一端固定在圓環的最高點A，另一端與小球相連，小球靜止時位于環上的B點，此時輕繩與豎直方向的夾角為60°，則輕繩對小球的拉力大小為(重力加速度為g)(　　)
解析　對B點處的小球受力分析，如圖所示，則有Tsin 60°＝Nsin 60°，Tcos 60°＋Ncos 60°＝mg，解得T＝N＝mg，A正確。
11.如圖所示，質量為m的木塊在與水平方向成α角的推力F(大小未知)作用下，沿豎直墻壁向上勻速運動。已知木塊與墻壁間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g。求：
(1)推力F的大小；
(2)若將推力的方向改為豎直向上推動木塊，且木塊仍做勻速直線運動，則推力F′為多大？
解析　(1)以木塊為研究對象，木塊受到重力、支持力、推力和摩擦力作用，受力情況如圖所示。
水平方向N＝Fcos α
豎直方向Fsin α＝mg＋f
(2)若將推力的方向改為豎直向上推動木塊做勻速直線運動，木塊只受重力和推力，根據平衡條件可得F′＝mg。
培優加強練
12.如圖所示，傾角θ＝37°的粗糙斜面固定在水平地面上，一質量m＝1 kg的小滑塊在斜面上恰好能勻速下滑(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。
(1)求滑塊與斜面之間的動摩擦因數μ；
(2)若給小滑塊施加一平行于斜面向上的推力F1，小滑塊能沿斜面勻速向上滑動，求推力F1的大??；
(3)將推力方向改為水平向右，要使小滑塊仍沿斜面勻速上滑，求該情形中力F2的大小。
答案　(1)0.75　(2)12 N　(3)34.3 N
解析　(1)根據平衡條件得mgsin θ＝μmgcos θ
解得μ＝0.75。
(2)根據平衡條件得mgsin θ＋μmgcos θ＝F1
代入數據解得F1＝12 N。
(3)推力方向改為水平向右，要使小滑塊仍沿斜面勻速上滑，對小滑塊受力分析，
如圖所示
垂直斜面方向N＝mgcos θ＋F2sin θ
平行斜面方向mgsin θ＋f＝F2cos θ
又f＝μN
聯立解得F2≈34.3 N。

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