資源簡介

第三節　單　擺
(分值:100分)
選擇題1~10題,每小題9分,共90分。
基礎對點練
題組一　單擺及其運動規律
1.(多選)下列有關單擺的說法,正確的是 (　　)
一根橡皮筋一端系在懸點,另一端連接一個小球,可以構成一個單擺
單擺的擺動一定是簡諧運動
若單擺在同一平面內擺動,且偏角小于5°,可以認為該單擺的運動是簡諧運動
單擺做簡諧運動時,擺長越長,其運動周期越大
2.如圖所示,將擺球拉離平衡位置O后從圖中位置P由靜止釋放,擺球沿圓弧做往復運動。若圖中擺線與豎直方向的夾角θ很小,擺球質量為m,擺長為l,重力加速度為g,忽略空氣阻力,則擺球從P運動到O的過程中 (　　)
擺球的回復力是由擺球的重力與繩子拉力的合力提供
若擺球的位移為x,則此時擺球的回復力為F=x
擺球的回復力不斷減小
擺球在O點時的回復力與擺球所受的合外力相等
題組二　單擺的周期
3.(2024·江蘇南京高二月考)如圖所示,一輕質漏斗裝滿沙子,用細線懸掛該漏斗做成一單擺。在漏斗小角度擺動沙子緩慢漏出時,沿O2O1方向勻速拉動木板,漏出的沙子在木板上會形成圖示曲線,不計擺動時所受空氣阻力,則下列說法正確的是 (　　)
由于漏斗中沙子重心降低,擺動的周期增大
由于漏斗中沙子重心降低,擺動的周期減小
由于漏斗中沙子質量減少,擺動的周期增大
由于漏斗中沙子質量減少,擺動的周期減小
4.一擺鐘由甲地移到乙地后,發現走時變快了,其變快的原因及調整的方法是 (　　)
g甲>g乙,將擺長縮短 g甲g甲g乙,將擺長放長
5.(2024·遼寧大連高二月考)質量相同的甲、乙兩小球用細線系于同一根水平桿上,兩小球做簡諧運動的圖像如圖所示,則 (　　)
兩小球經過平衡位置時速度一樣大
運動過程中最大切向加速度甲的大
兩小球擺動過程中最大擺角乙的大
運動過程中甲的機械能小于乙的機械能
6.如圖所示,一小球用細線懸掛于O點,細線長為L,O點正下方L處有一鐵釘。將小球拉至A處無初速度釋放(擺角很小),這個擺的周期是 (　　)
2π
(+1)π (+1)π
7.一單擺做簡諧振動,如圖為擺繩對擺球的拉力大小F隨時間t變化的圖像,則該單擺的擺長為(重力加速度g取10 m/s2) (　　)
0.4 m 1.6 m
4 m 16 m
8.A、B兩個小球放在一段光滑圓弧曲面上,它們與圓弧最低點O之間的弧長OA>OB,OA、OB均遠小于圓弧半徑。C球位于圓弧的圓心處,三個小球同時從靜止開始運動,則到達O點所需時間的大小關系為 (　　)
tA>tB>tC tC>tA>tB
tA=tB>tC tC>tA=tB
綜合提升練
9.將一個擺長為l的單擺放在一個光滑且傾角為α的斜面上,其擺角為θ(θ<5°),如圖所示。小球質量為m,重力加速度為g,下列說法正確的是 (　　)
擺球做簡諧運動的回復力為mgsin θsin α
擺球做簡諧運動的回復力為mgsin θ
擺球做簡諧運動的周期為2π
擺球在運動過程中,經過平衡位置時,擺線的拉力為FT=mgsin α
10.(多選)甲、乙兩個單擺的振動圖像如圖所示,根據振動圖像可以判定 (　　)
若甲、乙兩單擺在同一地點擺動,甲、乙兩單擺擺長之比是9∶4
甲、乙兩單擺振動的頻率之比是3∶2
甲、乙兩單擺振動的周期之比是2∶3
若甲、乙兩單擺在不同地點擺動,但擺長相同,則甲、乙兩單擺所在地點的重力加速度之比為9∶4
培優加強練
11.(10分)(2024·金華十校調研)如圖甲所示,擺球在豎直平面內做簡諧運動,通過力傳感器測量擺線拉力F,F的大小隨時間t變化規律如圖乙所示,擺球經過最低點時的速度大小v= m/s,忽略空氣阻力,取g=10 m/s2,π2≈10,求:
(1)(3分)單擺的擺長l;
(2)(3分)擺球的質量m;
(3)(4分)擺線拉力的最小值。
第三節　單　擺
1.CD　[一根不可伸長的細繩一端系在懸點,另一端連接一個質量較大且可以看成質點的小球可以構成一個單擺,而橡皮筋受到拉力時形變量較大,連接小球構成的裝置不可看成單擺,A錯誤;若單擺在同一平面內擺動,且偏角小于5°,可以認為該單擺的運動是簡諧運動,B錯誤,C正確;根據單擺的周期公式T=2π可知,單擺做簡諧運動時,擺長越長,其運動周期越大,D正確。]
2.C　[擺球重力沿圓弧切線方向的分力F=mgsin θ充當回復力,A錯誤;若擺球的位移為x,由于θ很小,則sin θ≈θ=,又回復力F與位移x反向,則F=-mg,B錯誤;從P運動到O的過程中,擺球逐漸衡位置,擺球的位移減小,回復力大小不斷減小,C正確;擺球在O點時速度不為零,則指向懸點的合外力不為零,而在O點的回復力為零,故二者不相等,D錯誤。]
3.A　[細線懸點到沙子重心的距離是單擺擺長,由于漏斗中沙子重心降低,單擺的擺長l變大,由單擺周期公式T=2π可知,單擺周期T變大,故A正確,B錯誤;由單擺周期公式T=2π可知,漏斗中沙子的質量對單擺周期沒有影響,故C、D錯誤。]
4.B　[根據單擺的周期公式T=2π,知擺鐘變快了,即周期變短了,說明乙地的重力加速度大于甲地的重力加速度,即g乙>g甲,為了增大周期,可以增大擺長,B正確。]
5.B　[由題圖可知,甲、乙周期之比,甲、乙的振幅之比,根據單擺周期公式T=2π可知,甲、乙的擺長之比,甲的擺長短,振幅大,所以擺動過程中甲的最大擺角大,故C錯誤;x-t圖像中,斜率表示速度,由題圖可知,甲在平衡位置的速度比乙大,故A錯誤;最高點切向加速度最大,所以運動過程中最大切向加速度a=gsin α,因為甲的最大擺角大,所以甲的最大切向加速度大,故B正確;因為甲的擺長短,最大擺角大,所以甲速度為0時,位置更高,重力勢能更大,機械能更大,故D錯誤。]
6.D　[以擺長為L的單擺運動的半個周期為t1=×2π,以擺長為L的單擺運動的半個周期為t2=×2π,則這個擺的周期為T=t1+t2=(+1)π,故A、B、C錯誤,D正確。]
7.B　[因為一個周期內兩次經過平衡位置,經過平衡位置時拉力最大,可知小球擺動的周期為0.8π s,由T=2π得,該單擺的擺長為l= m=1.6 m,故B正確。]
8.C　[設圓弧軌道半徑為R,C球做自由落體運動,則有R=,可得tC=,A、B球是等效單擺,從靜止運動到O點的時間為tA=tB=×2π,則有tA=tB>tC,故C正確。]
9.A　[回復力由重力沿斜面向下的分力的切向分量提供,重力沿斜面向下的分力為mgsin α,沿斜面向下的分力的切向分量為mgsin αsin θ,故A正確,B錯誤;該模型為單擺模型,等效重力加速度為gsin α,故周期為T=2π,故C錯誤;擺球在運動過程中,經過平衡位置時,擺線的拉力和重力沿斜面向下的分力的合力提供向心力,可知FT-mgsin α=m,可知FT>mgsin α,故D錯誤。]
10.BCD　[根據題圖可知,單擺振動的周期關系為T甲=T乙,所以周期之比為,所以頻率之比,故B、C正確;若甲、乙兩單擺在同一地點擺動,則重力加速度相同,根據周期公式T=2π,可得擺長之比為4∶9,故A錯誤;若甲、乙兩單擺在不同地點擺動,擺長相同,根據T=2π得重力加速度之比為9∶4,故D正確。]
11.(1)1 m　(2)0.1 kg　(3)0.99 N
解析　(1)由題圖乙可知單擺周期為T=2 s
根據單擺周期公式T=2π
解得l=1 m。
(2)當拉力最大時,即Fmax=1.02 N
擺球處在最低點,由牛頓第二定律得
Fmax-mg=m
解得m=0.1 kg。
(3)從最低點到最高點,由動能定理得
-mgl(1-cos θ)=0-mv2
解得cos θ=0.99
在最高點擺線的拉力最小,最小值為Fmin=mgcos θ=0.99 N。第三節　單　擺
學習目標　1.知道什么是單擺,了解單擺的構成。2.掌握單擺振動的特點,知道單擺回復力的來源,理解擺角很小時單擺的振動是簡諧運動。3.知道單擺的周期跟什么因素有關,了解單擺的周期公式,并能用來進行有關計算。4.知道用單擺可測定重力加速度。
知識點一　單擺及其運動規律
如圖所示,生活中,在不同的地點我們能夠觀察到很多的機械振動,風鈴的擺動、鐘擺的擺動、秋千的擺動,它們與彈簧振子的結構不同,試著從三種擺動的共性出發,抽象出一種物理模型。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.單擺的定義:忽略懸掛小球細線長度的　　　　和　　　　,且線長比球的直徑　　　　的裝置,叫作單擺。
2.單擺的回復力
(1)單擺的回復力是由重力沿圓弧　　　　方向的分力G1=mgsin θ 提供的。
(2)如圖所示,在偏角很小的條件時(θ為5°左右),sin θ≈tan θ≈,其中x為擺球偏離平衡位置O點的位移,l為擺長。
(3)單擺的回復力F=-x,令k=,則F=-kx,負號表示回復力 F與位移x的方向相反。
3.單擺的運動特點
在偏角較小的情況下,單擺擺球所受的回復力與偏離平衡位置的位移成　　　　,這與彈簧振子受的回復力形式相同。因此單擺在偏角很小時的振動是　　　　　　。
思考 1.單擺在做簡諧運動時,在平衡位置的回復力是否為零 合外力是否為零
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.單擺的擺動只要在同一豎直面內,其運動即可看作簡諧運動,這種說法是否正確。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.單擺是理想化模型,建立模型中保留的主要因素忽略次要因素,忽略的次要因素有什么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 圖中O點為單擺的固定懸點,現將擺球(可視為質點)拉至A點,此時細線處于張緊狀態,釋放擺球,擺球將在豎直平面內的A、C之間來回擺動,B點為運動中的最低位置,則在擺動過程中 (　　)
A.擺球受到重力、拉力、向心力、回復力四個力的作用
B.擺球在A點和C點處,速度為零,合力與回復力也為零
C.擺球在B點處,速度最大,細線拉力也最大
D.擺球在B點處,速度最大,回復力也最大
單擺的受力分析
(1)單擺受力:如圖所示,擺球受細線拉力和重力作用。
(2)向心力來源:細線拉力和重力沿徑向分力的合力。
(3)回復力來源:重力沿圓弧切線方向的分力F=mgsin θ。
訓練1 (多選)如圖所示為一單擺的振動圖像,則 (　)
A.t1和t3時刻擺線的拉力等大
B.t2和t3時刻擺球速度相等
C.t3時刻擺球速度正在減小
D.t4時刻擺線的拉力正在減小
知識點二　單擺的周期
一條短繩系一個小球,它的振動周期較短。懸繩較長的秋千,周期較長。單擺的周期可能與哪些因素有關 如何來探究單擺周期與它們的關系
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.探究單擺的振幅、質量、擺長對周期的影響
(1)探究方法:　　　　　　法。
(2)實驗結論:①單擺振動的周期與擺球質量　　　　。
②單擺振動的周期與振幅　　　　。
③單擺振動的周期與擺長有關。擺長越長,周期　　　　;擺長越短,周期　　　　。
2.周期公式
(1)提出:由荷蘭物理學家　　　　首先提出。
(2)公式:T=　　　　,即單擺做簡諧運動的周期T與擺長l的二次方根成　　　,與重力加速度g的二次方根成　　　　,跟振幅、擺球的質量無關。
3.對周期公式的理解
(1)單擺的周期公式在單擺偏角很小時(θ≤5°)成立。
(2)公式中l是擺長,即懸點到擺球球心的距離l=l線+r球。
(3)公式中g是單擺所在地的重力加速度,由單擺所在的空間位置決定。
(4)周期T只與l和g有關,與擺球的質量m及振幅無關,所以單擺的周期也叫固有周期。
思考 1.單擺從赤道處移至兩極處時,要保證單擺的周期不變,應如何調整擺長
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.如圖所示,某同學家的擺鐘走慢了,他認為是擺錘過輕造成的,因此,他在擺錘下方緊挨擺錘綁了一金屬塊。試分析他的做法是否正確。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　角度1　單擺周期公式的應用
例2 周期是2 s的單擺叫秒擺,秒擺的擺長是多少 把一個地球上的秒擺拿到月球上去,它在月球上做50次全振動要用多長時間 已知地球表面的重力加速度為9.8 m/s2,月球表面的自由落體加速度為1.6 m/s2。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
不同星球表面的重力加速度g不同,不能認為公式中的g一定為9.8 m/s2。
訓練2 (教科版教材P61,T7改編)已知單擺a完成10次全振動的時間內,單擺b完成6次全振動,兩擺長之差為1.6 m,則兩單擺的擺長la與lb分別為 (　　)
A.la=2.5 m,lb=0.9 m
B.la=0.9 m,lb=2.5 m
C.la=2.4 m,lb=4.0 m
D.la=4.0 m,lb=2.4 m
角度2　等效擺長和等效重力加速度
例3 如圖所示,三根細線在O點處打結,A、B端固定在同一水平面上相距為l的兩點上,使∠AOB=90°,∠BAO=30°,已知OC線長是l,下端C點系著一個小球(可視為質點且做小角度擺動)。求:
(1)小球在紙面內擺動的周期;
(2)小球在垂直紙面內擺動的周期。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
對“等效擺長”的理解
(1)圖(a)中,甲、乙在垂直紙面方向上擺動起來效果是相同的,甲擺的等效擺長為lsin α,其周期T=2π。
(2)圖(b)中,乙在垂直紙面方向擺動時,其等效擺長等于甲擺的擺長;乙在紙面內小角度擺動時,等效擺長等于丙擺的擺長。
例4 如圖所示的幾個相同單擺在不同條件下擺動,關于它們的周期關系,下列判斷正確的是 (　　)
A.T甲>T乙>T丙>T丁 B.T甲C.T甲>T乙=T丙>T丁 D.T甲不同系統中的等效重力加速度
在不同的運動系統中,單擺周期公式中的g應理解為等效重力加速度,其大小等于單擺相對系統靜止在平衡位置時的擺線拉力與擺球質量的比值。
情景 等效重力加速度 情景 等效重力加速度
g等效=g-a g等效=
g等效=g+a g等效=g
g等效= g等效=g
隨堂對點自測
1.(單擺及其運動規律)關于單擺,下列說法正確的是 (　　)
A.單擺的擺長即懸點到擺球最下端的長度
B.振動過程中,單擺在平衡位置所受擺線的拉力最小
C.振動過程中,擺球所受的合力就是回復力
D.振動過程中,擺球的機械能守恒
2.(單擺周期公式及應用)將秒擺(周期為2 s)的周期變為1 s,下列措施可行的是(　　)
A.將擺球的質量減半 B.振幅減半
C.擺長減半 D.擺長減為原來的
3.(單擺周期公式及應用)同一地點有甲、乙兩個單擺,擺球質量之比m甲∶m乙=1∶2,它們都在做簡諧運動。甲擺動4次時,乙恰好擺動5次。可以判斷這兩個單擺擺長之比l甲∶l乙為(　　)
A.25∶16 B.16∶25
C.8∶5 D.2∶5
4.(等效擺長)如圖所示,在兩根等長的細線下懸掛一個小球(體積可忽略),組成了雙線擺,若細線長均為l,兩線與天花板的夾角均為α,重力加速度為g,當小球垂直紙面做簡諧運動時,周期為 (　　)
A.2π
C.2π
第三節　單　擺
知識點一
導學
提示　三種擺動都可以抽象為一根輕繩懸掛一個質點在豎直面內做往復運動。
知識梳理
1.微小變化　質量　大得多
2.(1)切線
3.正比　簡諧運動
[思考] 1.提示　在平衡位置回復力為零,但合外力不是零。
2.提示　不正確。
3.提示　次要因素:細線的質量,小球的直徑,空氣的阻力等。
例1 C　[擺球在運動過程中只受到重力和拉力作用,A錯誤;擺球在最高點A、C處速度為零,回復力最大,合力不為零,在最低點B處,速度最大,回復力為零,細線的拉力最大,C正確,B、D錯誤。]
訓練1 AD　[由題圖可知,t1和t3時刻擺球的位移相等,根據對稱性可知單擺振動的速度大小相等,擺線拉力大小相等,故A正確;t2時刻擺球在負的最大位移處,速度為零,t3時刻擺球向平衡位置運動,速度不為0,故B錯誤;t3時刻擺球正衡位置,速度增大,故C錯誤;t4時刻擺球正遠離平衡位置,速度正在減小,擺線拉力也減小,故D正確。]
知識點二
導學
提示　可能與擺長有關,另外還可能與擺動幅度、物體的質量等因素有關。可用控制變量法探究單擺的振幅、質量、擺長對周期的影響。
知識梳理
1.(1)控制變量　(2)①無關　②無關　③越大　越小
2.(1)惠更斯　(2)2π　正比　反比
[思考] 1.提示　兩極處重力加速度大于赤道處重力加速度,由T=2π知,應增大擺長,才能使周期不變。
(2)提示　不正確。擺鐘走得快慢與擺錘的質量無關,綁了金屬塊之后,使擺錘的重心下移,擺長增大,由單擺周期公式T=2π,可知周期進一步增加,擺鐘走得更慢。
例2 0.99 m　247.5 s
解析　根據周期公式T=2π
代入數據解得l= m≈0.99 m
秒擺搬到月球上后,與在地球上時的周期之比為
它在月球上做50次全振動所用的時間為
t=50T'=50T=50×2×s≈247.5 s。
訓練2 B　[設兩個單擺的周期分別為Ta和Tb,由題意,10Ta=6Tb,則Ta∶Tb=3∶5。根據單擺周期公式T=2π,可知l=T2,可得la∶lb==9∶25,又lb-la=1.6 m,則la=0.9 m,lb=2.5 m,故B正確。]
例3 (1)2π　(2)2π
解析　(1)讓小球在紙面內擺動,在偏角很小時,單擺做簡諧運動,擺長為l,周期T=2π。
(2)讓小球在垂直紙面內擺動,在偏角很小時,單擺做簡諧運動,擺長為,周期T=2π。
例4 C　[題圖甲中,當擺球偏離平衡位置時,重力沿斜面的分力mgsin θ為等效重力,即單擺的等效重力加速度g甲=gsin θ;題圖乙中,兩個帶電小球的斥力總與運動方向垂直,不影響回復力,等效重力加速度g乙=g;題圖丙為標準單擺;題圖丁中,擺球處于超重狀態,等效重力增大,故等效重力加速度增大,即g丁=g+a,由單擺做簡諧運動的周期公式T=2π,知T甲>T乙=T丙>T丁,選項C正確。]
隨堂對點自測
1.D　[單擺的擺長即擺線懸點到擺球球心的距離,故A錯誤;設某時刻擺線和豎直方向的夾角為θ,則對擺球,有FT-mgcos θ=m,則擺球所受擺線的拉力FT=mgcos θ+m,在最低點時,θ=0,cos θ=1,最大,由單擺的特點知,此時單擺速度也最大,則此時擺球所受擺線的拉力最大,故B錯誤;振動過程中,重力沿圓弧切線方向的分力充當擺球的回復力,在平衡位置,回復力為零,擺球的合力并不為零,故C錯誤;振動過程中,只有擺球的重力做功,故其機械能守恒,故D正確。]
2.D　[由周期公式T=2π可知,周期與振幅和擺球質量無關,故A、B錯誤;在重力加速度g相同的情況下,可通過縮短擺長來改變周期,要使周期減半,擺長需變為原來的,故D正確,C錯誤。]
3.A　[相同時間內甲擺動4次,乙擺動5次,則T甲∶T乙=5∶4,根據T=2πT2∝T2,所以l甲∶l乙=25∶16,故A正確。]
4.D　[由題意知,小球的運動可等效為單擺,此單擺的等效擺長為lsin α,由單擺周期公式T=2π,可得周期為T=2π,故D正確。](共56張PPT)
第三節　單　擺
第二章 機械振動
1.知道什么是單擺，了解單擺的構成。
2.掌握單擺振動的特點，知道單擺回復力的來源，理解擺角很小時單擺的振動是簡諧運動。
3.知道單擺的周期跟什么因素有關，了解單擺的周期公式，并能用來進行有關計算。
4.知道用單擺可測定重力加速度。
學習目標
目 錄
CONTENTS
知識點
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
知識點
1
知識點二　單擺的周期
知識點一　單擺及其運動規律
知識點一　單擺及其運動規律
如圖所示，生活中，在不同的地點我們能夠觀察到很多的機械振動，風鈴的擺動、鐘擺的擺動、秋千的擺動，它們與彈簧振子的結構不同，試著從三種擺動的共性出發，抽象出一種物理模型。
提示　三種擺動都可以抽象為一根輕繩懸掛一個質點在豎直面內做往復運動。
1.單擺的定義：忽略懸掛小球細線長度的__________和______，且線長比球的直徑________的裝置，叫作單擺。
2.單擺的回復力
(1)單擺的回復力是由重力沿圓弧______方向的分力G1＝mgsin θ 提供的。
微小變化
質量
大得多
切線
3.單擺的運動特點
在偏角較小的情況下，單擺擺球所受的回復力與偏離平衡位置的位移成______，這與彈簧振子受的回復力形式相同。因此單擺在偏角很小時的振動是__________。
正比
簡諧運動
【思考】 1.單擺在做簡諧運動時，在平衡位置的回復力是否為零？合外力是否為零？
提示　在平衡位置回復力為零，但合外力不是零。
2.單擺的擺動只要在同一豎直面內，其運動即可看作簡諧運動，這種說法是否正確。
提示　不正確。
3.單擺是理想化模型，建立模型中保留的主要因素忽略次要因素，忽略的次要因素有什么？
提示　次要因素：細線的質量，小球的直徑，空氣的阻力等。
C
例1 圖中O點為單擺的固定懸點，現將擺球(可視為質點)拉至A點，此時細線處于張緊狀態，釋放擺球，擺球將在豎直平面內的A、C之間來回擺動，B點為運動中的最低位置，則在擺動過程中(　　)
A.擺球受到重力、拉力、向心力、回復力四個力的作用
B.擺球在A點和C點處，速度為零，合力與回復力也為零
C.擺球在B點處，速度最大，細線拉力也最大
D.擺球在B點處，速度最大，回復力也最大
解析　擺球在運動過程中只受到重力和拉力作用，A錯誤；擺球在最高點A、C處速度為零，回復力最大，合力不為零，在最低點B處，速度最大，回復力為零，細線的拉力最大，C正確，B、D錯誤。
單擺的受力分析
(1)單擺受力：如圖所示，擺球受細線拉力和重力作用。
(2)向心力來源：細線拉力和重力沿徑向分力的合力。
(3)回復力來源：重力沿圓弧切線方向的分力F＝mgsin θ。　　　　
訓練1 (多選)如圖所示為一單擺的振動圖像，則 (　　)
AD
A.t1和t3時刻擺線的拉力等大
B.t2和t3時刻擺球速度相等
C.t3時刻擺球速度正在減小
D.t4時刻擺線的拉力正在減小
解析　由題圖可知，t1和t3時刻擺球的位移相等，根據對稱性可知單擺振動的速度大小相等，擺線拉力大小相等，故A正確；t2時刻擺球在負的最大位移處，速度為零，t3時刻擺球向平衡位置運動，速度不為0，故B錯誤；t3時刻擺球正衡位置，速度增大，故C錯誤；t4時刻擺球正遠離平衡位置，速度正在減小，擺線拉力也減小，故D正確。
知識點二　單擺的周期
一條短繩系一個小球，它的振動周期較短。懸繩較長的秋千，周期較長。單擺的周期可能與哪些因素有關？如何來探究單擺周期與它們的關系？
提示　可能與擺長有關，另外還可能與擺動幅度、物體的質量等因素有關。可用控制變量法探究單擺的振幅、質量、擺長對周期的影響。
1.探究單擺的振幅、質量、擺長對周期的影響
(1)探究方法：__________法。
(2)實驗結論：①單擺振動的周期與擺球質量______。
②單擺振動的周期與振幅______。
③單擺振動的周期與擺長有關。擺長越長，周期______；擺長越短，周期______。
控制變量
無關
無關
越大
越小
2.周期公式
(1)提出：由荷蘭物理學家________首先提出。
惠更斯
反比
3.對周期公式的理解
(1)單擺的周期公式在單擺偏角很小時(θ≤5°)成立。
(2)公式中l是擺長，即懸點到擺球球心的距離l＝l線＋r球。
(3)公式中g是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。
(4)周期T只與l和g有關，與擺球的質量m及振幅無關，所以單擺的周期也叫固有周期。
【思考】 1.單擺從赤道處移至兩極處時，要保證單擺的周期不變，應如何調整擺長？
2.如圖所示，某同學家的擺鐘走慢了，他認為是擺錘過輕造成的，因此，他在擺錘下方緊挨擺錘綁了一金屬塊。試分析他的做法是否正確。
角度1　單擺周期公式的應用
例2 周期是2 s的單擺叫秒擺，秒擺的擺長是多少？把一個地球上的秒擺拿到月球上去，它在月球上做50次全振動要用多長時間？已知地球表面的重力加速度為9.8 m/s2，月球表面的自由落體加速度為1.6 m/s2。
不同星球表面的重力加速度g不同，不能認為公式中的g一定為9.8 m/s2。　　　　
B
訓練2 (教科版教材P61，T7改編)已知單擺a完成10次全振動的時間內，單擺b完成6次全振動，兩擺長之差為1.6 m，則兩單擺的擺長la與lb分別為(　　)
A.la＝2.5 m，lb＝0.9 m B.la＝0.9 m，lb＝2.5 m
C.la＝2.4 m，lb＝4.0 m D.la＝4.0 m，lb＝2.4 m
角度2　等效擺長和等效重力加速度
例3 如圖所示，三根細線在O點處打結，A、B端固定在同一水平面上相距為l的兩點上，使∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，已知OC線長是l，下端C點系著一個小球(可視為質點且做小角度擺動)。求：
(1)小球在紙面內擺動的周期；
(2)小球在垂直紙面內擺動的周期。
例4 如圖所示的幾個相同單擺在不同條件下擺動，關于它們的周期關系，下列判斷正確的是(　　)
C
A.T甲＞T乙＞T丙＞T丁 B.T甲＜T乙＝T丙＜T丁
C.T甲＞T乙＝T丙＞T丁 D.T甲＜T乙＜T丙＜T丁
不同系統中的等效重力加速度
在不同的運動系統中，單擺周期公式中的g應理解為等效重力加速度，其大小等于單擺相對系統靜止在平衡位置時的擺線拉力與擺球質量的比值。
隨堂對點自測
2
D
1.(單擺及其運動規律)關于單擺，下列說法正確的是(　　)
A.單擺的擺長即懸點到擺球最下端的長度
B.振動過程中，單擺在平衡位置所受擺線的拉力最小
C.振動過程中，擺球所受的合力就是回復力
D.振動過程中，擺球的機械能守恒
D
2.(單擺周期公式及應用)將秒擺(周期為2 s)的周期變為1 s，下列措施可行的是(　　)
A
3.(單擺周期公式及應用)同一地點有甲、乙兩個單擺，擺球質量之比m甲∶m乙＝1∶2，它們都在做簡諧運動。甲擺動4次時，乙恰好擺動5次。可以判斷這兩個單擺擺長之比l甲∶l乙為(　　)
A.25∶16 B.16∶25
C.8∶5 D.2∶5
D
4.(等效擺長)如圖所示，在兩根等長的細線下懸掛一個小球(體積可忽略)，組成了雙線擺，若細線長均為l，兩線與天花板的夾角均為α，重力加速度為g，當小球垂直紙面做簡諧運動時，周期為(　　)
課后鞏固訓練
3
CD
題組一　單擺及其運動規律
1.(多選)下列有關單擺的說法，正確的是(　　)
A.一根橡皮筋一端系在懸點，另一端連接一個小球，可以構成一個單擺
B.單擺的擺動一定是簡諧運動
C.若單擺在同一平面內擺動，且偏角小于5°，可以認為該單擺的運動是簡諧
運動
D.單擺做簡諧運動時，擺長越長，其運動周期越大
基礎對點練
C
2.如圖所示，將擺球拉離平衡位置O后從圖中位置P由靜止釋放，擺球沿圓弧做往復運動。若圖中擺線與豎直方向的夾角θ很小，擺球質量為m，擺長為l，重力加速度為g，忽略空氣阻力，則擺球從P運動到O的過程中(　　)
A
題組二　單擺的周期
3.(2024·江蘇南京高二月考)如圖所示，一輕質漏斗裝滿沙子，用細線懸掛該漏斗做成一單擺。在漏斗小角度擺動沙子緩慢漏出時，沿O2O1方向勻速拉動木板，漏出的沙子在木板上會形成圖示曲線，不計擺動時所受空氣阻力，則下列說法正確的是(　　)
A.由于漏斗中沙子重心降低，擺動的周期增大
B.由于漏斗中沙子重心降低，擺動的周期減小
C.由于漏斗中沙子質量減少，擺動的周期增大
D.由于漏斗中沙子質量減少，擺動的周期減小
B
4.一擺鐘由甲地移到乙地后，發現走時變快了，其變快的原因及調整的方法是(　　)
A.g甲>g乙，將擺長縮短 B.g甲C.g甲g乙，將擺長放長
B
5.(2024·遼寧大連高二月考)質量相同的甲、乙兩小球用細線系于同一根水平桿上，兩小球做簡諧運動的圖像如圖所示，則(　　)
A.兩小球經過平衡位置時速度一樣大
B.運動過程中最大切向加速度甲的大
C.兩小球擺動過程中最大擺角乙的大
D.運動過程中甲的機械能小于乙的機械能
D
B
7.一單擺做簡諧振動，如圖為擺繩對擺球的拉力大小F隨時間t變化的圖像，則該單擺的擺長為(重力加速度g取10 m/s2)(　　)
A.0.4 m B.1.6 m C.4 m D.16 m
C
8.A、B兩個小球放在一段光滑圓弧曲面上，它們與圓弧最低點O之間的弧長OA>OB，OA、OB均遠小于圓弧半徑。C球位于圓弧的圓心處，三個小球同時從靜止開始運動，則到達O點所需時間的大小關系為(　　)
A.tA＞tB＞tC B.tC＞tA＞tB
C.tA＝tB＞tC D.tC＞tA＝tB
A
9.將一個擺長為l的單擺放在一個光滑且傾角為α的斜面上，其擺角為θ(θ＜5°)，如圖所示。小球質量為m，重力加速度為g，下列說法正確的是(　　)
綜合提升練
BCD
10.(多選)甲、乙兩個單擺的振動圖像如圖所示，根據振動圖像可以判定(　　 )
A.若甲、乙兩單擺在同一地點擺動，甲、乙兩單擺擺
長之比是9∶4
B.甲、乙兩單擺振動的頻率之比是3∶2
C.甲、乙兩單擺振動的周期之比是2∶3
D.若甲、乙兩單擺在不同地點擺動，但擺長相同，
則甲、乙兩單擺所在地點的重力加速度之比為9∶4
培優加強練
(1)單擺的擺長l；
(2)擺球的質量m；
(3)擺線拉力的最小值。
答案　(1)1 m　(2)0.1 kg　(3)0.99 N

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