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專題七　對角互補模型
　　如圖，在四邊形ABCD中，CD＝CB，∠B＋∠D＝180°（或
∠BAD＋∠BCD＝180°）→將△ABC繞點C旋轉至△EDC，使CB與
CD重合→A，D，E三點共線，△EDC≌△ABC→將四邊形ABCD等
積轉化成△ACE.
對角互補有如下兩種基本模型：90°→90°互補模型；120°→60°互補模型.
（1）如圖，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB→①CD＝
CE；②OD＋OE＝ OC；③S△OCD＋S△OCE＝ OC2.
（2）如圖，∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB→①CD
＝CE；②OD＋OE＝OC；③S△OCD＋S△OCE＝ OC2.
1. 如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，連
接AC. 線段BC，CD，AC之間的數量關系是 .
BC＋CD＝ AC　
2. 如圖，BD是☉O的直徑，點C，A在☉O上，CA平分∠BCD，AC
＝2，則四邊形ABCD的面積為 .
2　
3. 如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，AD＝
AB，CD＝1，CB＝3，則CA的長 .
4　
4. 如圖，Rt△EPF的直角頂點P在矩形ABCD的對角線上，兩直角邊分
別與矩形的兩鄰邊交于點M，N. 若AD＝ AB，則 的值為 　 　.
　
5. 如圖，正方形ABCD在平面直角坐標系中，對角線AC，BD相交于
點M. 若A（0，2），OM＝3 ，求點C的坐標.
解：如圖，過點M作MN⊥OM，交x軸于點N，連接CN.
∵ABCD為正方形，∴AM＝BM，∠AMB＝90°，
∴∠AMO＋∠OMB＝∠BMN＋∠OMB＝90°，∴∠AMO＝∠BMN.
∵∠AOB＝∠AMB＝90°，∴∠MAO＋∠MBO＝180°.
∵∠MBN＋∠MBO＝180°，∴∠MAO＝∠MBN，
∴△MAO≌△MBN（ASA），∴BN＝AO＝2，NM＝OM＝3 ，
∴ON＝ OM＝3 × ＝6，∴OB＝ON－BN＝6－2＝4.
∵AB＝BC，∠BAO＝∠CBN，AO＝BN，∴△CBN≌△BAO
（SAS），
∴NC＝OB＝4，∠CNB＝∠BOA＝90°，∴CN⊥x軸，∴點C的坐
標為（6，4）.
6. 如圖，四邊形ABCD內接于☉O，AC平分∠BCD. 若BC＝m，
DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的長（用含m，n，θ的式子表示）.
解：∵AC平分∠BCD，∴∠BCA＝∠ACD，∴AB＝AD.
如圖，將△ACD繞點A順時針旋轉至△AFB，則△ABF≌△ADC，
∴BF＝DC＝n，∠ABF＝∠ADC，∠F＝∠ACD＝θ，AF＝AC.
又∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＋∠ABF＝180°，
∴F，B，C三點共線，∴CF＝BF＋BC＝DC＋BC＝m＋n.
如圖，過點A作AE⊥BC于點E，則CE＝ CF＝ .
∵ cos ∠ACE＝ ，∴AC＝ ＝ ＝ .
7. 如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC⊥AB，∠CAD＝30°，
∠BCD＝60°，求證：AB＋2AD＝ AC.
證明：如圖，作∠ECA＝∠BCD＝60°，交AB的延長線于點E，
∴∠ECB＝∠ACD. 又∵AC⊥AB，∴∠E＝30°＝∠CAD，
∴△ECB∽△ACD，∴ ＝ ＝2，即EB＝2AD.
又∵tanE＝ ，∴tan30°＝ ＝ ，
即 ＝ ，整理可得AB＋2AD＝ AC.
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