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第三章 函數
第12講 反比例函數的圖像、性質及應用
（思維導圖+3考點+4命題點18種題型（含4種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 反比例函數的圖像與性質
考點二 反比例函數與一次函數
考點三 反比例函數的實際應用
04題型精研·考向洞悉
命題點一 反比例函數的圖像與性質
題型01 反比例函數的定義
題型02 判斷反比例函數的圖像
題型03 由反比例函數圖像的對稱性求點的坐標
題型04 根據反比例函數的圖像確定其解析式
題型05 判斷反比例函數所在象限
題型06 已知反比例函數經過象限求參數取值范圍
題型07 由反比例函數增減性求值
題型08 由反比例函數的性質比較大小
題型09 求反比例函數解析式
題型10 與反比例函數有關的規律有關的探究問題
題型11 以開放性試題的形式考查反比例函數的圖像與性質
命題點二 反比例系數k的幾何意義
題型01 已知反比例系數求圖形面積
題型02 已知圖形面積求反比例系數
命題點三 反比例函數與實際問題
題型01 反比例函數與實際問題
題型02 新考法：新考法問題
題型03 新考法：跨學科問題
命題點四 反比例函數與一次函數
題型01 一次函數與反比例函數綜合
題型02 反比例函數與幾何圖形綜合
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
反比例函數圖像上點的坐標特征 ★ 結合具體情境體會反比例函數的意義，能根據已知條件確定反比例函數的解析式； 能畫反比例函數的圖像，根據圖像和表達式 ()探索并理解k>0和k<0時圖像的變化情況.
反比例函數的增減性 ★★
反比例函數的圖像共存 ★★
反比例函數解析式的確定 ★
反比例函數中比例系數k的幾何意義 ★★★
反比例函數的實際應用 ★★ 能用反比例函數解決簡單實際問題.
【考情分析1】對反比例函數的圖像和性質的考查一般包含對反比例函數的增減性、中心對稱性及系數k的幾何意義的考查，難度中等，試題多以選擇題、填空題的形式出現，當利用反比例函數的增減性比較函數值的大小時，應注意圖像是否在同一象限內. 【考情分析2】反比例函數與一次函數綜合是中考的常考內容，試題多以解答題形式出現，難度中等，一般情況下是兩函數圖像相交，通過交點坐標同時滿足兩函數解析式來確定函數的解析式及交點坐標，體現了函數與方程的關系. 【考情分析3】利用反比例函數解決實際問題考查較少，試題形式多樣，難度不大，但較為典型，常結合物理、化學等科目內容進行考查，涉及密度、濃度等問題，故解題時除必須掌握的數學知識外，其他學科知識也要有所了解. 【備考建議】反比例函數是非常重要的函數，年年都會考，總分值為12分左右，考生在復習該考點時，需要掌握其各性質規律，并且多注意其與幾何圖形結合題的思考探究.
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 反比例函數的圖像與性質
1. 反比例函數的有關概念
定義：一般地，形如（為常數，）的函數稱為反比例函數. 其中x是自變量，y是x的函數.
待定系數法求反比例函數解析式：由于反比例函數中，只有一個待定系數k，因此只需要知道一對對應值或圖像上一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式.
2 .雙曲線
定義：反比例函數的圖像由兩條曲線組成，我們稱之為雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限，它們關于原點對稱，永遠不會與x軸，y軸相交，只是無限靠近兩坐標軸.
3. 反比例函數的性質
表達式
圖像
k＞0 k＜0
圖像無限接近坐標軸，但不相交 圖像無限接近坐標軸，但不相交
經過象限 一、三象限（x、y同號） 二、四象限（x、y異號）
增減性 在每個象限內，y隨x的增大而減小 在每個象限內，y隨x的增大而增大
【易錯易混】
1. 反比例函數的圖象不是連續的，因此在描述反比例函數的增減性時，一定要有“在其每個象限內”這個前提．當k＞0時，在每一象限（第一、三象限）內y隨x的增大而減小，但不能籠統地說當k＞0時，y隨x的增大而減小．同樣，當k＜0時，也不能籠統地說y隨x的增大而增大．
2. 反比例函數圖象的位置和函數的增減性，都是由常數k的符號決定的，反過來，由雙曲線所在位置和函數的增減性，也可以推斷出k的符號。
3. 雙曲線是由兩個分支組成的，一般不說兩個分支經過第一、三象限（或第二、四象限），而說圖象的兩個分支分別在第一、三象限（或第二、四象限）．
4. 反比例函數的對稱性
反比例函數的圖像既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=x或y= -x，對稱中心為原點.
5. 反比例函數中k的幾何意義（2種基礎模型）
【模型結論1】反比例函數圖象上一點關于坐標軸的垂線、與另一坐標軸上一點（含原點）圍成的三角形面積為.
【模型結論2】反比例函數圖象上一點與坐標軸的兩條垂線圍成的矩形面積為.
1．（2024·云南·中考真題）已知點在反比例函數的圖象上，則 ．
【答案】
【分析】本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征，將點代入求值，即可解題．
【詳解】解：點在反比例函數的圖象上，
，
故答案為：．
2．（2024·江蘇徐州·中考真題）若點、、都在反比例函數的圖象上，則a、b、c的大小關系為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了比較反比例函數值的大小，判斷反比例函數的增減性，根據解析式得到反比例函數的函數圖象在二、四象限，且在每一象限內y隨x的增大而增大，再根據三個點的橫坐標判斷A，B，C三點的位置，從而根據增減性判斷a，b，c的大小即可．
【詳解】解：∵在反比例函數中，，
∴反比例函數的函數圖象在二、四象限，且在每一象限內y隨x的增大而增大，
∵、、，
∴A在第二象限，B，C在第四象限，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
3．（2024·黑龍江大慶·中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數與的大致圖象為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數圖象，根據一次函數與反比例函數的性質，逐項分析判斷，即可求解．
【詳解】解：∵
當時，一次函數經過第一、二、三象限，
當時，一次函數經過第一、三、四象限
A.一次函數中，則當時，函數圖象在第四象限，不合題意，
B.一次函數經過第二、三、四象限，不合題意，
一次函數中，則當時，函數圖象在第一象限，故C選項正確，D選項錯誤，
故選：C．
4．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，點A為反比例函數圖象上的一點，連接，過點O作的垂線與反比例的圖象交于點B，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，反比例函數系數k的幾何意義，三角形相似的判定和性質，數形結合是解題的關鍵．過A作軸于C，過B作軸于D，證明，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可．
【詳解】解：過A作軸于C，過B作軸于D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（負值舍去），
故選：A．
5．（2024·貴州·中考真題）已知點在反比例函數的圖象上．
(1)求反比例函數的表達式；
(2)點，，都在反比例函數的圖象上，比較a，b，c的大小，并說明理由．
【答案】(1)
(2)，理由見解析
【分析】本題主要考查了反比例函數的性質，以及函數圖象上點的坐標特點，待定系數法求反比例函數解析式，關鍵是掌握凡是函數圖象經過的點必能滿足解析式．
（1）把點代入可得k的值，進而可得函數的解析式；
（2）根據反比例函數表達式可得函數圖象位于第一、三象限，再根據點A、點B和點C的橫坐標即可比較大小．
【詳解】（1）解：把代入，得，
∴，
∴反比例函數的表達式為；
（2）解：∵，
∴函數圖象位于第一、三象限，
∵點，，都在反比例函數的圖象上，，
∴，
∴．
考點二 反比例函數與一次函數
1.一次函數與反比例函數的交點問題
1）從圖象上看，一次函數與反比例函數的交點由k值的符號來決定．
①k值同號，兩個函數必有兩個交點；
②k值異號，兩個函數可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；
2）【熱考】從計算上看，一次函數與反比例函數的交點主要取決于兩函數所組成的方程組的解的情況．
2. 反比例函數與一次函數關系
從圖像可以看出,在①，③部分，反比例函數圖像在一次函數圖像上方,所以的解集為或 ；在②，④部分,反比例函數圖像在一次函數圖像下方，所以的解集為或.
1．（2024·江蘇鎮江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，過點且垂直于x軸的直線l與反比例函數的圖像交于點，將直線l繞點逆時針旋轉45°，所得的直線經過第一、二、四象限，則的取值范圍是（ ）
A．或 B．且
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本題考查反比例函數與一次函數的交點，一次函數的解析式，關鍵是要分兩種情況討論．
當在原點右側時，點坐標為，設旋轉后的直線的解析式為：，得到，求出；當在原點左側時，設旋轉后的直線的解析式為：，，求出，即可得到的取值范圍．
【詳解】解：當在原點右側時，點坐標為，
直線繞點逆時針旋轉，
所得的直線與直線平行，
設這條直線的解析式為：，
這條直線經過第一、二、四象限，
，
在直線上，
，
，
，
，
；
當在原點左側時，
設這條直線的解析式為：，
同理：，
，
，
，
，
．
的取值范圍是或．
故選：C．
2．（2024·安徽·中考真題）已知反比例函數與一次函數的圖象的一個交點的橫坐標為3，則k的值為（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】題目主要考查一次函數與反比例函數的交點問題，根據題意得出，代入反比例函數求解即可
【詳解】解：∵反比例函數與一次函數的圖象的一個交點的橫坐標為3，
∴，
∴，
∴，
故選：A
3．（2023·浙江金華·中考真題）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，則不等式的解是（ ）

A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】先求出反比例函數解析式，進而求出點B的坐標，然后直接利用圖象法求解即可．
【詳解】解：∵在反比例函數圖象上，
∴，
∴反比例函數解析式為，
∵在反比例函數圖象上，
∴，
∴，
由題意得關于x的不等式的解集即為一次函數圖象在反比例函數圖象上方時自變量的取值范圍，
∴關于x的不等式的解集為或，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了一次函數與反比例函數綜合，解題的關鍵是正確求出點B的坐標．
4．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于點、．
(1)求一次函數、反比例函數的表達式；
(2)連接，求的面積．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題考查反比例函數與一次函數的交點問題：
（1）待定系數法求出函數解析式即可；
（2）設直線與軸交于點，分割法求出的面積即可．
【詳解】（1）解：∵一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于點、，
∴，
∴，
∴反比例函數的解析式為：，，
∴，解得：，
∴一次函數的解析式為：；
（2）解：設直線與軸交于點，
∵，
∴當時，，
∴，
∴的面積．
5．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象的一個交點是．點在直線上，過點作軸的平行線，交的圖象于點．
(1)求這個反比例函數的表達式；
(2)求的面積．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題考查了待定系數法求反比例函數的表達式，坐標與圖形，三角形的面積，利用待定系數法求出反比例函數的表達式是解題的關鍵．
（）利用正比例函數求出點的坐標，再代入反比例函數的表達式即可求解；
（）分別求出的坐標，得到的長度，再根據坐標與圖形以及三角形的面積公式計算即可求解；
【詳解】（1）解：把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函數的表達式為；
（2）解：把代入得，，
∴，
∵軸，
∴點的橫坐標為，
把代入得，，
∴，
∴，
∴．
考點三 反比例函數的實際應用
1. 用反比例函數解決問題的兩種思路：
1）通過題目已知條件，明確變量之間的關系，設相應的函數關系式，然后根據題中條件求出函數關系式；
2）已知反比例函數關系式，通過反比例函數的圖像和性質解決問題.
2. 列反比例函數解決問題的步驟：
1）審：審題，找出題目中的常量和變量，以及它們之間的關系；
2）設：根據常量與變量之間的關系，設出函數表達式；
3）求：根據題中條件列方程，求出待定系數的值；
4）寫：寫出函數表達式，并注意表達式中自變量的取值范圍；
5）解：用函數解析式去解決實際問題．
利用反比例函數解決實際問題，要做到：
1）能把實際的問題轉化為數學問題，建立反比例函數的數學模型；
2）注意在自變量和函數值的取值上的實際意義；
3）問題中出現的不等關系轉化成相等的關系來解，然后在作答中說明．
【易錯點】
1.利用反比例函數的性質時，誤認為所給出的點在同一曲線上；
2.利用函數圖像解決實際問題時，容易忽視自變量在實際問題的意義．
1．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，取一根長的勻質木桿，用細繩綁在木桿的中點O并將其吊起來，在中點O的左側距離中點處掛一個重的物體，在中點O的右側用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態．彈簧秤與中點O的距離L（單位：）及彈簧秤的示數F（單位：N）滿足．以L的數值為橫坐標，F的數值為縱坐標建立直角坐標系．則F關于L的函數圖象大致是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意代入數據求得，即可求解．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴，函數為反比例函數，
當時，，
即函數圖象經過點．
故選：B．
【點睛】本題考查了反比例函數的應用以及函數圖象，根據題意求出函數關系式是解題的關鍵．
2．（2024·湖北·模擬預測）某個亮度可調節的臺燈，其燈光亮度的改變，可以通過調節總電阻控制電流的變化來實現．如圖所示的是該臺燈的電流．與電阻的關系圖象，該圖象經過點．根據圖象可知，下列說法正確的是（　　）
A．當時，
B．I與R的函數關系式是
C．當時，
D．當時，I的取值范圍是
【答案】D
【分析】本題考查了反比例函數的應用，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵，根據題意設I與R的函數關系式是，將代入關系式，求出反比例函數關系式再根據各選項的條件求出結論，即可判斷是否正確，進而得到答案．
【詳解】解：設I與R的函數關系式是，
∵該圖象經過點，
∴，
∴，
∴I與R的函數關系式是，故B不符合題意，
當時，，
∵，
∴I隨R增大而減小，
∴當時，，
當時，，
當時，的取值范圍是，
故A、C不符合題意，D符合題意．
故選：D．
3．（2024·海南·中考真題）某型號蓄電池的電壓U（單位：V）為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：）是反比例函數關系，即，它的圖象如圖所示，則蓄電池的電壓U為 （V）．
【答案】64
【分析】此題主要考查了反比例函數的應用．根據函數圖象可用電阻R表示電流I的函數解析式為，其中U為電壓，再把代入可得U的值．
【詳解】解：設用電阻R表示電流I的函數解析式為，
∵過，
∴（V），
故答案為：64．
4．（2024·江蘇連云港·中考真題）杠桿平衡時，“阻力阻力臂動力動力臂”．已知阻力和阻力臂分別為和，動力為，動力臂為．則動力關于動力臂的函數表達式為 ．
【答案】
【分析】本題考查了根據實際問題列反比例函數關系式，根據題意可得，進而即可求解，掌握杠桿原理是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意可得，，
∴，即，
故答案為：．
5．（2023·寧夏·中考真題）給某氣球充滿一定質量的氣體，在溫度不變時，氣球內氣體的氣壓 是氣體體積（）的反比例函數，其圖象如圖所示．

(1)當氣球內的氣壓超過時，氣球會爆炸．若將氣球近似看成一個球體，試估計氣球的半徑至少為多少時氣球不會爆炸（球體的體積公式，取3）；
(2)請你利用與的關系試解釋為什么超載的車輛容易爆胎．
【答案】(1)氣球的半徑至少為時，氣球不會爆炸；
(2)由于車輛超載，輪胎體積變小，胎內氣壓增大導致爆胎．
【分析】（1）設函數關系式為，用待定系數法可得，即可得當時，，從而求出；
（2）由于車輛超載，輪胎體積變小，胎內氣壓增大導致爆胎．
【詳解】（1）設函數關系式為，
根據圖象可得：，
，
當時，，
，
解得：，
，
隨的增大而減小，
要使氣球不會爆炸，，此時，
氣球的半徑至少為時，氣球不會爆炸；
（2）由于車輛超載，輪胎體積變小，胎內氣壓增大導致爆胎．
【點睛】本題考查反比例函數的應用，涉及立方根等知識，解題的關鍵是讀懂題意，掌握待定系數法求出反比例函數的解析式．
04題型精研·考向洞悉
命題點一 反比例函數的圖像與性質
題型01 反比例函數的定義
1．（2024·重慶·中考真題）反比例函數的圖象一定經過的點是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了求反比例函數值．熟練掌握求反比例函數值是解題的關鍵．分別將各選項的點坐標的橫坐標代入，求縱坐標，然后判斷作答即可．
【詳解】解：解：當時，，圖象不經過，故A不符合要求；
當時，，圖象一定經過，故B符合要求；
當時，，圖象不經過，故C不符合要求；
當時，，圖象不經過，故D不符合要求；
故選：B．
2．（2023·海南·中考真題）若反比例函數（）的圖象經過點，則k的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】把點代入反比例函數解析式即可得到答案．
【詳解】解：∵反比例函數（）的圖象經過點，
∴，
解得，
故選：B
【點睛】此題考查了反比例函數，把點的坐標代入函數解析式準確計算是解題的關鍵．
3．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知反比例函數的圖像經過點，則a的值為 ．
【答案】2
【分析】將點的坐標代入函數解析式即可．
【詳解】解：將代入得：
，
解得：，
故答案為：2．
【點睛】本題考查了反比例函數的定義，根據反比例函數值求自變量是解題的關鍵．
題型02 判斷反比例函數的圖像
1．（2023·江蘇揚州·中考真題）函數的大致圖像是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據函數自變量的取值范圍排除錯誤選項．
【詳解】解：函數自變量的取值范圍為．
對于B、C，函數圖像可以取到的點，不符合題意；
對于D，函數圖像只有的部分，沒有的部分，不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題考查了根據函數表達式選函數圖像，解題的關鍵是根據函數表達式分析出圖像的特點，進而對錯誤選項進行排除．
2．（2024·江蘇淮安·模擬預測）小明同學利用計算機軟件繪制了某一函數的圖象，如圖所示．由學習函數的經驗，可以推斷這個函數可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了函數圖象，一次函數圖象，反比例函數圖象等知識．熟練掌握函數圖象，一次函數圖象，反比例函數圖象是解題的關鍵．
由圖象可知，當時，隨著的增大先增大后減小，A中，由，可知當時，隨著的增大而減小，進而可判斷A的正誤；B中為與的和，如圖，由一次函數圖象與反比例函數圖象可知，當時，隨著的增大而增大，當時，隨著的增大而減小，進而可判斷B的正誤；C中當時，，的圖象經過點，進而可判斷C的正誤；D中當，無意義，進而可判斷D的正誤．
【詳解】解：由圖象可知，當時，隨著的增大先增大后減小，
A中，由，可知當時，隨著的增大而減小，故不符合要求；
B中為與的和，如圖，
由一次函數圖象與反比例函數圖象可知，當時，隨著的增大而增大，當時，隨著的增大而減小，故符合要求；
C中當時，，的圖象經過點，故不符合要求；
D中當，無意義，故不符合要求；
故選：B．
3．（23-24九年級上·江蘇南通·期末）函數的圖象為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查反比例函數的圖象，根據列表、描點、連線畫出的圖象，即可解題．
【詳解】解：列表：
x … 1 2 3 …
y … …
描點，連線，畫出函數圖象如圖，
故選：C．
4．（2023·河北廊坊·三模）若函數和函數在同一平面直角坐標系的圖象如圖所示，則坐標系的縱軸是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據反比例函數的取值分析即可得到答案．
【詳解】解：，
的圖象在第一象限，的圖象在第二象限，
，
函數的圖象更靠近坐標軸，
坐標系的縱軸是：，
故選：B．
【點睛】本題考查了反比例函數的圖象，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．
5．（2023·河南信陽·一模）參照學習函數的過程與方法，探究函數的圖象與性質．
x … 0 1 2 3 4 5 6 …
… 4 2 1 …
… m 4 2 1 …

(1)__________________．
(2)請畫出函數的圖象；
(3)觀察圖象并分析表格，回答下列問題：
①當時，y隨x的增大而___________；（填“增大”或“減小”）
②的圖象是由的圖象向__________平移__________個單位長度而得到的；
③圖象關于點__________中心對稱．（填點的坐標）
【答案】(1)
(2)見解析
(3)①減小；②右；2；③
【分析】（1）把代入函數即可解答；
（2）用一條光滑曲線順次連接所描的點即可；
（3）數形結合，觀察函數圖象即可得到答案．
【詳解】（1）解：把代入，
得，
∴，
故答案為；
（2）函數圖象如圖所示：

（3）解：①當時，隨的增大而減小；
②的圖象是由的圖象向右平移2個單位長度而得到的；
③圖象關于點中心對稱；
故答案為：①減小；②右；2；③．
【點睛】本題考查了類反比例函數的圖象和性質，解題的關鍵是掌握列表，描點，連線作圖及數形結合得到函數性質．
題型03 由反比例函數圖像的對稱性求點的坐標
1）反比例函數圖像關于原點對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（-a，-b）在雙曲線的另一支上；
2）若（a，b）在反比例函數圖像上，則（b，a）在也在該圖像上.
1．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，若函數的圖象經過點和，則的值是 .
【答案】0
【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，已知自變量求函數值，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．
將點和代入，求得和，再相加即可．
【詳解】解：∵函數的圖象經過點和，
∴有，
∴，
故答案為：0．
2．（2021·廣西河池·中考真題）在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象交于，兩點，則的值是 ．
【答案】0
【分析】根據正比例函數和反比例函數的圖像關于原點對稱，則交點也關于原點對稱，即可求得
【詳解】一次函數與反比例函數的圖象交于，兩點，
一次函數與反比例函數的圖象關于原點對稱，
故答案為：0
【點睛】本題考查了正比例函數和反比例函數圖像的性質，掌握以上性質是解題的關鍵．
3．（2024·北京·模擬預測）直線與雙曲線交于兩點（A在第二象限），則的值為 ．
【答案】10
【分析】本題為反比例函數與正比例函數的綜合．根據反比例函數上點的坐標特征推出與與的關系，直線與雙曲線交點的特征推出與與的關系是解答本題的關鍵．
先根據點是雙曲線上的點可得出，再根據直線與雙曲線交于點兩點可得，再把此關系代入所求代數式進行計算即可．
【詳解】解：∵點是雙曲線上的點，
，
∵直線與雙曲線交于點兩點，
即兩點關于原點對稱．
，
，
故答案為：10．
4．（2024·重慶·三模）在如圖所示的平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與正比例函數的圖象交于，兩點，過點作軸于點，已知，，則的值為 ．
【答案】12
【分析】本題考查了正比例函數與反比例函數的交點問題，反比例函數的中心對稱性，勾股定理，待定系數法求反比例函數的解析式，利用函數的對稱性求得的長度是解題的關鍵．根據對稱性可得，利用勾股定理求得，由此可求出點的坐標，然后運用待定系數法即可求得答案．
【詳解】反比例函數與正比例函數的圖象相交于、兩點
軸于點，
反比例函數的圖象過點
，即
故答案為：12．
題型04 根據反比例函數的圖像確定其解析式
1．（2023·貴州貴陽·一模）反比例函數（）的圖象如圖所示，則的值可能是（ ）

A．5 B．12 C． D．
【答案】C
【分析】根據圖象，當時，，則；當時，，則，所以，即可求解．
【詳解】解：由圖可知：當時，，即，則，
當時，，即，則，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查反比例函數圖象性質，關鍵是要結合函數的圖象，掌握反比例函數的性質．
2．（2024·山東濟寧·模擬預測）如圖，矩形的對角線經過坐標原點，矩形的邊分別平行于坐標軸，點C在反比例函數的圖象上，若點A的坐標為，則k的值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了矩形的判定和性質，反比例函數比例系數的幾何意義．設分別于x軸交于點E，G，與y軸交于點F，H，可得邊形，均是矩形，從而得到 ，進而得到，再由反比例函數比例系數的幾何意義，即可求解．
【詳解】解：如圖，設分別于x軸交于點E，G，與y軸交于點F，H，
∵四邊形是矩形，矩形的邊分別平行于坐標軸，
∴，，
∴四邊形是矩形，
同理四邊形均是矩形，
∴，
∴，
∵點C在反比例函數的圖象上，點A的坐標為，
∴，
解得：．
故選：B
3．（2021·四川甘孜·中考真題）如圖，點A，B在反比例函數（）的圖象上，點A的橫坐標為2，點B的縱坐標為1，OA⊥AB，則k的值為 ．
【答案】8
【分析】過點A作AM⊥x軸于點M，過點B作BN⊥AM于N，通過證得△AOM∽△BAN，即可得到關于k的方程，解方程即可求得．
【詳解】解：過點A作AM⊥x軸于點M，過點B作BN⊥AM于N，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAM+∠BAN=90°，
∵∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BAN=∠AOM，
∴△AOM∽△BAN，
∴，
∵點A，B在反比例函數（k＞0）的圖象上，點A的橫坐標為2，點B的縱坐標為1，
∴A（2，），B（k，1），
∴OM=2，AM=，AN=-1，BN=k-2，
∴，
解得k1=2（舍去），k2=8，
∴k的值為8，
故答案為：8．
【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定和性質，表示出點的坐標是解題的關鍵．
4．（2023·浙江杭州·三模）兩位同學在描述同一反比例函數的圖象時，圓圓說：“這個反比例函數圖象上任意一點到兩坐標軸的距離之積是20．芳芳說：“這個反比例函數圖象與直線有兩個交點”．你認為這兩個同學所描繪的反比例函數對應的表達式是 ．
【答案】
【分析】根據反比例函數的定義及圖象性質求解．
【詳解】設反比例函數為，
則
∵反比例函數圖象與直線有兩個交點
∴反比例函數圖象位于二、四象限，即
∴
∴
故答案為．
【點睛】本題考查反比例函數的定義、圖象性質，掌握反比例函數的解析式及圖象性質是解題的關鍵．
題型05 判斷反比例函數所在象限
1．（2023·湖南永州·中考真題）已知點在反比例函數的圖象上，其中a，k為常數，且﹐則點M一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根據反比例函數中的，可知反比例函數經過第一、三象限，再根據點M點的橫坐標判斷點M所在的象限，即可解答
【詳解】解：，
反比例函數的圖象經過第一、三象限，
故點M可能在第一象限或者第三象限，
的橫坐標大于0，
一定在第一象限，
故選：A．
【點睛】本題考查了判斷反比例函數所在的象限，判斷點所在的象限，熟知反比例函數的圖象所經過的象限與k值的關系是解題的關鍵．
2．（2024·安徽六安·模擬預測）若關于x的一元二次方程無實數根，則反比例函數的圖象所在的象限分別位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】此題考查了一元二次方程根的判別式、反比例函數的圖象和性質.
先利用一元二次方程無實數根得到，解得，則，根據反比例的圖象和性質即可判斷反比例函數的圖象所在的象限.
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程無實數根，
∴，
解得，
∴，
∴反比例函數的圖象所在的象限分別位于第一、三象限，
故選：C
3．（2024·安徽六安·模擬預測）直線（a，b是常數且）經過第二、三、四象限，則反比例函數的圖象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】本題考查一次函數和反比例函數的圖象與系數的關系．對于一次函數，當時，圖象必過一、三象限；當時，圖象必過二、四象限；當時，圖象必過一、二象限；當時，圖象必過三、四象限；對于反比例函數，當時，圖象在一、三象限均有隨的增大而減小；當時，圖象在二、四象限均有隨的增大而增大．熟記相關結論即可求解．
【詳解】解：∵直線（a，b是常數且）經過第二、三、四象限，
∴，；
∴
∴反比例函數的圖象位于第二、四象限
故選：C
4．（2024·廣東廣州·一模）已知一次函數經過點，正比例函數不經過第三象限，則反比例函數的圖象位于（ ）
A．第一、第二象限 B．第一、第三象限
C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
【答案】D
【分析】本題考查了正比例函數、一次函數、反比例函數圖象．熟練掌握正比例函數、一次函數、反比例函數的圖象是解題的關鍵．
由正比例函數不經過第三象限，可得，由一次函數經過點，可知一次函數經過第二、三、四象限，即，進而可判斷反比例函數的圖象位于第二、四象限．
【詳解】解：∵正比例函數不經過第三象限，
∴，
又∵一次函數經過點，
∴一次函數經過第二、三、四象限，
∴，
∴反比例函數的圖象位于第二、四象限，
故選：D．
題型06 已知反比例函數經過象限求參數取值范圍
1．（2024·湖北荊門·模擬預測）已知：多項式是一個完全平方式，且反比例函數的圖象位于二、四象限，k的值為 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了反比例函數的圖象及其性質，完全平方公式．根據多項式是一個完全平方式得，再根據反比例函數的圖象位于第二、四象限得，由此解得，據此可得出的值．
【詳解】解：多項式是一個完全平方式，
，
反比例函數的圖象位于第二、四象限，
，
解得：，
，
故答案為：．
2．（2024·江蘇南京·三模）如圖，圖像分別是反比例函數、、（為常數）的部分圖像，比較的大小關系 ．（用“或”連接）
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數的圖象和性質，根據反比例函數的圖象和性質判斷即可求解，掌握反比例函數的圖象和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵反比例函數、的圖象分布在第三象限，
∴，，
又∵反比例函數隨的增大減小的更快，
∴，
∵反比例函數的圖象分布在第四象限，
∴，
∴．
3．（2024·河南商丘·模擬預測）若反比例函數的圖象位于第一、三象限，則關于的一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有一個實數根 B．有兩個相等的實數根
C．有兩個不相等的實數根 D．沒有實數根
【答案】C
【分析】本題考查反比例函數的圖象與性質，一元二次方程根的判別式等知識，先根據反比例函數的圖象位于第一、三象限求出k的取值范圍，再求方程根的判別式并判斷其符合，從而得解．
【詳解】解：反比例函數的圖象位于第一、三象限，
，
，
∴該方程有兩個不相等的實數根，
故選C．
4．（2024·遼寧本溪·二模）如圖，點A在反比例函數的圖象上，點B在反比例函數的圖象上，軸于點M，且，則k的值為（　　）
A．4.5 B． C．7 D．
【答案】B
【分析】本題考查反比例函數的比例系數k的幾何意義，反比例函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積，難度中等．連接，根據反比例函數k的幾何意義可得出， ，再結合，即可求出，最后根據反比例函數的圖象在第四象限，即可求出結果．
【詳解】解：如圖，連接．
∵點A在反比例函數的圖象上，點B在反比例函數的圖象上，
∴， ．
∵，
∴，
∴．
∵反比例函數的圖象在第四象限，
∴，
∴．
故選B．
題型07 由反比例函數增減性求值
1) 當k＞0時，同象限：，整體：.
2) 當k＜0時，同象限：，整體：
1．（2024·浙江·中考真題）反比例函數的圖象上有，兩點．下列正確的選項是（ ）
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當時，
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數圖象上的點的坐標特征，由于反比例函數，可知函數位于一、三象限，分情況討論，根據反比例函數的增減性判斷出與的大小．
【詳解】解：根據反比例函數，可知函數圖象位于一、三象限，且在每個象限中，y都是隨著x的增大而減小，
反比例函數的圖象上有，兩點，
當，即時，；
當，即時，；
當，即時，；
故選：A．
2．（2024·江蘇鎮江·二模）反比例函數，當時，函數y的最大值與最小值之差為6， 則 ．
【答案】9
【分析】本題考查了反比例函數的圖象性質，根據，反比例函數在第一、三象限，且在每個象限內隨的增大而減小，結合，函數y的最大值與最小值之差為6，進行列式，即可作答．
【詳解】解：∵反比例函數
∴反比例函數在第一、三象限，且在每個象限內隨的增大而減小
∵當時，函數y的最大值與最小值之差為6，
∴，
解得，
故答案為：9．
3．（2022·湖北武漢·中考真題）在反比例的圖象的每一支上，y都隨x的增大而減小，且整式是一個完全平方式，則該反比例函數的解析式為 ．
【答案】
【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷可求出k的值，再根據反比例函數的性質即可確定k的值．
【詳解】解：∵x2-kx+4是一個完全平方式，
∴-k=±4，即k=±4，
∵在反比例函數y=的圖象的每一支上，y都隨x的增大而減小，
∴k-1＞0，
∴k＞1．
解得：k=4，
∴反比例函數解析式為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數的性質，完全平方式，根據反比例函數的性質得出k-1＞0是解此題的關鍵．
4．（2024·陜西西安·一模）已知反比例函數．
(1)若該反比例函數圖象在每一個象限內，y都隨著x的增大而減小，求m的取值范圍；
(2)若點在此反比例函數圖象上，求反比例函數的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查反比例的性質，
根據反比例函數得性質得，求解不等式即可；
將點A代入可求得，整體代入即可反比例函數解析式．
【詳解】（1）解：∵該反比例函數圖象在每一個象限內，y都隨著x的增大而減小，
∴，
解得；
（2）∵點在反比例函數圖象上，
∴，
則，
故反比例函數解析式為．
題型08 由反比例函數的性質比較大小
1．（2024·山東濟寧·中考真題）已知點在反比例函數的圖象上，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，根據反比例函數的性質得到函數的圖象分布在第二、四象限，在每一象限，y隨x的增大而增大，結合三點的橫坐標即可求解，掌握反比例函數圖象的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴函數的圖象分布在第二、四象限，在每一象限，y隨x的增大而增大，
∵，
∴
∴，
故選：C．
2．（2024·天津·中考真題）若點都在反比例函數的圖象上，則的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了比較反比例函數值的大小，根據反比例函數性質即可判斷．
【詳解】解：，
反比例函數的圖象分布在第一、三象限，在每一象限隨的增大而減小，
點，都在反比例函數的圖象上，，
．
∵，在反比例函數的圖象上，
∴，
∴.
故選：B．
3．（2024·廣西·中考真題）已知點，在反比例函數的圖象上，若，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數的圖象，熟練掌握反比例函數圖象上點的坐標特征是解題的關鍵．根據點，在反比例函數圖象上，則滿足關系式，橫縱坐標的積等于2，結合即可得出答案．
【詳解】解： 點，在反比例函數的圖象上，
，，
，
，，
．
故選：A．
4．（2024·湖北武漢·模擬預測）反比例函數的圖象向右平移個單位長度得到一個新的函數，當自變量x取1，2，3，4，5，…，（正整數）時，新的函數值分別為，，，，，…，其中最小值和最大值分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】本題考查反比例函數的性質、平移變換等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用圖象法解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．圖象向右平移個單位長度得到一個新的函，因為，結合圖形可知：當時，，隨的增大而減小，時，得到的最小值，當時，，隨的增大而增大，時，得到的最大值；
【詳解】解：圖象向右平移個單位長度得到一個新的函，
，
當時，，隨的增大而減小，時，得到的最小值，
當時，，隨的增大而減小，時，得到的最大值，
故選：B
題型09 求反比例函數解析式
由于反比例函數中，只有一個待定系數k，因此只需要知道一對對應值或圖像上一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式.
1．（2024·福建·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與交于兩點，且點都在第一象限．若，則點的坐標為 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數的性質以及勾股定理，完全平方公式的應用，先根據得出，設，則，結合完全平方公式的變形與應用得出，結合，則，即可作答．
【詳解】解：如圖：連接
∵反比例函數的圖象與交于兩點，且
∴
設，則
∵
∴
則
∵點在第一象限
∴
把代入得
∴
經檢驗：都是原方程的解
∵
∴
故答案為：
2．（2024·湖南株洲·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數交于，，與軸交于點，與軸交于點．若點，恰好是線段的三等分點，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了求反比例函數解析式，相似三角形的性質與判定，先根據題意得到，，，再證明，利用相似三角形的性質得到，，則，據此得到，再利用待定系數法求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∵點，恰好是線段的三等分點，
∴，
如圖，過點A作軸于E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
把代入中得：
∴，
故答案為：．
3．（2024·四川·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知兩點在反比例函數的圖象上．
(1)求k與m的值；
(2)連接，并延長交反比例函數的圖象于點C．若一次函數的圖象經過A，C兩點，求這個一次函數的解析式．
【答案】(1)，
(2)
【分析】題目主要考查一次函數與反比例函數綜合問題，確定反比例函數及一次函數解析式，反比例函數的性質，熟練掌握兩個函數的基本性質是解題關鍵．
（1）根據題意將點代入反比例函數即可求解；
（2）根據題意及反比例函數的性質得出，設直線所在直線的解析式為，利用待定系數法即可求解．
【詳解】（1）解：兩點在反比例函數的圖象上．
∴，
∴，
將點代入得：，解得：；
（2）∵連接，并延長交反比例函數的圖象于點C，
∴，
∵，
設直線所在直線的解析式為，代入得：，
解得：，
∴．
4．（2024·江蘇鹽城·中考真題）小明在草稿紙上畫了某反比例函數在第二象限內的圖像，并把矩形直尺放在上面，如圖．
請根據圖中信息，求：
(1)反比例函數表達式；
(2)點C坐標．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查反比例函數、銳角三角函數：
（1）設反比例函數表達式為，將點A的坐標代入表達式求出k值即可；
（2）設點C的坐標為，則，，根據平行線的性質得，進而根據求出m的值即可．
【詳解】（1）解：由圖可知點A的坐標為，
設反比例函數表達式為，
將代入，得：，解得，
因此反比例函數表達式為；
（2）解：如圖，作軸于點E，軸于點D，
由圖可得，，
設點C的坐標為，則，，
，
矩形直尺對邊平行，
，
，
，即，
解得或，
點C在第二象限，
，，
點C坐標為
題型10 與反比例函數有關的規律有關的探究問題
1．（2022·陜西渭南·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系的第一象限中，和，點在上，軸交于點，軸交于點，軸交于點，，按照此規律作圖，則的點坐標為 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特點的應用，依次代入求出各個點的坐標事解此題的關鍵，此題是一個中檔題目，難度適中．根據反比例函數圖象上點的特點依次代入求出、、、的坐標，即可得出的縱坐標，代入即可求出答案．
【詳解】解：把代入得：，
即，
所以點的縱坐標是4，
把代入得：，
即，
所以的橫坐標是2，
把代入得：，
即，
所以的縱坐標是2，
把代入得：，
即，
所以的橫坐標是4，
把代入得：，
即，
所以的縱坐標是1，
把代入得：，
即，
故答案為：．
2．（2019·遼寧·一模）如圖，點在直線上，過點作交直線于點，以為邊在外側作等邊三角形，過的反比例函數為；再過點作，分別交直線和于兩點，以為邊在外側作等邊三角形，過的反比例函數為，…，按此規律進行下去，則第個反比例函數的 ．（用含的代數式表示）

【答案】或
【分析】與的夾角30°，利用直角三角形求出 的橫坐標 的縱坐標 即可求解；
【詳解】解：直線 與x軸夾角為30°，
直線與x軸夾角為60°，
∴ 與的夾角30°，
∵，
∴
∵等邊三角形，
∴⊥x軸，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴的橫坐標
的縱坐標
∴
∴
以此得到 的橫坐標
的縱坐標
∴

故答案為
【點睛】本題考查一次函數與反比例函數圖象及性質，銳角三角函數值，平面內點的坐標特點；能夠通過直角三角形中30°的特點，求出邊的關系是解題的關鍵．
3．（2021·山東威海·二模）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形的頂點分別在軸，軸上，點在反比例函數圖象上，過的中點作矩形，使頂點落在反比例函數圖象上，再過的中點作矩形，使頂點落在反比例函數圖象上，…，依此規律，作出矩形時，落在反比例函數圖象上的頂點的坐標為 ．
【答案】，
【分析】先根據題意得出點的坐標，進而可得出反比例函數的解析式，再依次求出點，的坐標，找出規律即可得出結論．
【詳解】解：正方形的邊長為1，點在反比例函數的圖象上，
，
，
在反比例函數的解析式為：，
是的中點，
，
，
，
同理，，
，，
∴頂點的坐標為，．
故答案為：，．
【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，矩形的性質，找出規律是解題的關鍵．
4．（2024綿陽市模擬）如圖1～4所示，每個圖中的“7”字形是由若干個邊長相等的正方形拼接而成，“7”字形的一個頂點P落在反比例函數的圖象上，另“7”字形有兩個頂點落在x軸上，一個頂點落在y軸上．
（1）圖1中的每一個小正方形的面積是 ；
（2）按照圖1→圖2→圖3→圖4→…這樣的規律拼接下去，第n個圖形中每一個小正方形的面積是 ．（用含n的代數式表示）

【答案】
【分析】（1）作軸于點A，圖中的“7”字形與坐標軸的交點分別為B、C、D，設每一個小正方形的邊長為a，由正方形的性質可證，從而可求出．再結合勾股定理可求出，，即，從而可得出，即得出，即圖1中的每一個小正方形的面積是；
（2）由（1）同理求出圖2，圖3，圖4中每一個小正方形的面積，然后總結規律求解即可．
【詳解】解：作軸于點A，圖中的“7”字形與坐標軸的交點分別為B、C、D，如圖1，

設每一個小正方形的邊長為a，
由正方形的性質可證，
∴，，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即圖1中的每一個小正方形的面積是．
故答案為：；
（2）如圖2，

由（1）同理可證，
∴，，
∴．
∵，，，
∴．
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，即此時每一個小正方形的面積是；
如圖3，

由（1）同理可證，
∴，，
∴．
同理可求出，即此時每一個小正方形的面積是；
如圖4，

同理可得；
…；
∵第1個圖形每個小正方形的面積；
第2個圖形每個小正方形的面積；
第3個圖形每個小正方形的面積；
第4個圖形每個小正方形的面積；
…；
∴第n圖形每個小正方形的面積．
故答案為：．
【點睛】本題考查正方形的性質，三角形相似的判定和性質，反比例函數的圖象和性質，圖形類規律探索．掌握反比例函數圖象上的點的坐標滿足其函數解析式，和利用數形結合的思想是解題關鍵．
5．（2024·山東青島·中考真題）如圖，點為反比例函數圖象上的點，其橫坐標依次為．過點作x軸的垂線，垂足分別為點；過點作于點，過點作于點，…，過點作于點．記的面積為的面積為的面積為．
(1)當時，點的坐標為______，______，______，______（用含n的代數式表示）；
(2)當時，______（用含n的代數式表示）．
【答案】(1)；；；
(2)
【分析】本題主要考查了反比例函數與幾何綜合，圖形類的規律探索：
（1）先求出，進而得到，再求出，，則，同理可得，，，再根據三角形面積計算公式求出的面積，然后找到規律求解即可；
（2）仿照（1）表示出的面積，然后找到規律求解即可．
【詳解】（1）解：當時，反比例函數解析式為，
在中，當時，；當時，；當時，，
∴，
∵軸，
∴，
∵，
∴，
∴；
同理可得，，，
∴，，
，
∴，，
……
以此類推可得，；
故答案為：；；；；
（2）解：當時，反比例函數解析式為，
在中，當時，；當時，；當時，，
∴，
∵軸，
∴，
∵，
∴，
同理可得，，，
∴，，
，
以此類推可得，
．
題型11 以開放性試題的形式考查反比例函數的圖像與性質
1．（2024·湖北武漢·中考真題）某反比例函數具有下列性質：當時，y隨x的增大而減小，寫出一個滿足條件的k的值是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本題考查的是反比例函數的性質，反比例函數的圖象是雙曲線，當，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內y隨x的增大而減小，當，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而增大．直接根據反比例函數的性質寫出符合條件的值即可．
【詳解】解：∵當時，y隨x的增大而減小，
∴
故答案為：1（答案不唯一）．
2．（2023·河北·中考真題）如圖，已知點，反比例函數圖像的一支與線段有交點，寫出一個符合條件的k的數值： ．

【答案】4（答案不唯一，滿足均可）
【分析】先分別求得反比例函數圖像過A、B時k的值，從而確定k的取值范圍，然后確定符合條件k的值即可．
【詳解】解：當反比例函數圖像過時，；
當反比例函數圖像過時，；
∴k的取值范圍為
∴k可以取4．
故答案為4（答案不唯一，滿足均可）．
【點睛】本題主要考查了求反比例函數的解析式，確定邊界點的k的值是解答本題的關鍵．
3．（2023·山東日照·中考真題）已知反比例函數（且）的圖象與一次函數的圖象共有兩個交點，且兩交點橫坐標的乘積，請寫出一個滿足條件的k值 ．
【答案】（滿足都可以）
【分析】先判斷出一次函數的圖象必定經過第二、四象限，再根據判斷出反比例函數圖象和一次函數圖象的兩個交點在同一象限，從而可以得到反比例函數的圖象經過第二、四象限，即，最終選取一個滿足條件的值即可．
【詳解】解： ，
一次函數的圖象必定經過第二、四象限，
，
反比例函數圖象和一次函數圖象的兩個交點在同一象限，
反比例函數（且）的函數圖象經過第一、三象限，
，
∴，
∵，
∴，
∴滿足條件的k值可以為1.5，
故答案為：1.5（滿足都可以）．
【點睛】本題考查一次函數和反比例函數的圖形性質，解題的關鍵是根據判斷出反比例函數圖象和一次函數圖象的兩個交點在同一象限．
4．（2024·河北邢臺·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，矩形面積為4，反比例函數與邊、有交點，請寫出一個符合條件的k的整數值 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本題考查反比例函數的圖象和性質，先確定雙曲線經過點B時的k值，再求符合條件的k即可
【詳解】解：如圖：
當雙曲線經過點B時，．
∴當雙曲線于邊相交時，，
不妨取，
故答案為：1（答案不唯一）．
命題點二 反比例系數k的幾何意義
題型01 已知反比例系數求圖形面積
1．（2023·廣西·中考真題）如圖，過的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點，以，為鄰邊的矩形被坐標軸分割成四個小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】設，則，，，根據坐標求得，，推得，即可求得．
【詳解】設，則，，
∵點A在的圖象上
則，
同理∵B，D兩點在的圖象上，
則
故，
又∵，
即，
故，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數的性質，矩形的面積公式等，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．
2．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖，在函數的圖像上任取一點A，過點A作y軸的垂線交函數的圖像于點B，連接OA，OB，則的面積是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【分析】作AD⊥x軸，BC⊥x軸，由即可求解；
【詳解】解：如圖，作AD⊥x軸，BC⊥x軸，
∵，
∴
∵
∴
故選：B．
【點睛】本題主要考查反比例函數的應用，掌握反比例函數相關知識，結合圖像進行求解是解題的關鍵．
3．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點，的坐標分別為，，過點作軸交軸于點，點為線段上的一點，且．反比例函數的圖象經過點交線段于點，則四邊形的面積是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了反比例函數的圖象與性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，反比例函數的幾何意義，作軸于，作軸于，則，由點，的坐標分別為，得，，，然后證明得，求出，則，故有點坐標為，求出反比例函數解析式，再求出，最后根據即可求解，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】如圖，作軸于，作軸于，則，
∵點，的坐標分別為，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴點坐標為，代入得，，
∴反比例函數解析式為，
∵軸，
∴點與點縱坐標相等，且在反比例函數圖象上，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
4．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖，點A、B在x軸上，分別以，為邊，在x軸上方作正方形，．反比例函數的圖象分別交邊，于點P，Q．作軸于點M，軸于點N．若，Q為的中點，且陰影部分面積等于6，則k的值為 ．

【答案】24
【分析】設，則，從而可得、，由正方形的性質可得，由軸，點P在上，可得，由于Q為的中點，軸，可得，則，由于點Q在反比例函數的圖象上可得，根據陰影部分為矩形，且長為，寬為a，面積為6，從而可得，即可求解．
【詳解】解：設，
∵，
∴，
∴，
∴，
在正方形中，，
∵Q為的中點，
∴，
∴，
∵Q在反比例函數的圖象上，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∵P在上，
∴P點縱坐標為，
∵P點在反比例函數的圖象上，
∴P點橫坐標為，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：24．
【點睛】本題考查反比例函數圖象的性質及正方形的性質及矩形的面積公式，讀懂題意，靈活運用所學知識是解題的關鍵．
5．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，點和在反比例函數的圖象上，其中．過點A作軸于點C，則的面積為 ；若的面積為，則 ．

【答案】 2
【分析】根據，得出，根據三角形面積公式，即可求出的面積；過點B作軸于點D，交于點E，根據，，得出，進而得出，根據梯形面積公式，列出方程，化簡得，令，則，求出x的值，根據，得出，即，即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
過點B作軸于點D，交于點E，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
令，
則，
解得：（舍），，
∵，
∴，即，
∴，
故答案為：，2．

【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖象和性質，解題的關鍵是是掌握反比例函數圖象上點的坐標特征，靈活運用面積關系建立方程．
題型02 已知圖形面積求反比例系數
1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，點A在雙曲線上，連接AO并延長，交雙曲線于點B，點C為x軸上一點，且，連接，若的面積是6，則k的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數的的幾何意義，掌握反比例函數的幾何意義是解題的關鍵．
過點A作軸，過點B作軸，根據相似三角形的判定和性質得出，確定，然后結合圖形及面積求解即可．
【詳解】解：過點A作軸，過點B作軸，如圖所示：
∴，
∴，
∵點A在雙曲線上，點B在，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，軸，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴，
故選：C．
2．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，矩形的頂點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點D在上，且，反比例函數的圖象經過點D及矩形的對稱中心M，連接．若的面積為3，則k的值為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】設點的坐標為，根據矩形對稱中心的性質得出延長恰好經過點B，，確定，然后結合圖形及反比例函數的意義，得出，代入求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，，
設點的坐標為，
∵矩形的對稱中心M，
∴延長恰好經過點B，，

∵點D在上，且，
∴，
∴，
∴
∵在反比例函數的圖象上，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故選C．
【點睛】本題考查了矩形的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積等知識，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵．
3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，反比例函數的圖象經過平行四邊形的頂點，在軸上，若點，，則實數的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數，根據的縱坐標相同以及點在反比例函數上得到的坐標，進而用代數式表達的長度，然后根據列出一元一次方程求解即可．
【詳解】是平行四邊形
縱坐標相同
的縱坐標是
在反比例函數圖象上
將代入函數中，得到
的縱坐標為
即：
解得：
故答案為：．
4．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，點A是反比例函數的圖象上一點，過點A作軸，垂足為點C，延長至點B，使，點D是y軸上任意一點，連接，，若的面積是6，則 ．
【答案】
【分析】連結、，軸，由得到．由得到，則，再根據反比例函數圖象所在象限即可得到滿足條件的k的值．
【詳解】解：如圖，連結、，

∵軸，
∴．
∴．
∵，
∵，
∴，
∵圖象位于第一象限，則，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數的比例系數k的幾何意義，掌握反比例函數的圖象與性質并能熟練運用數形結合的思想是解答問題的關鍵．
5．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，函數（為大于0的常數，）圖象上的兩點，滿足．的邊軸，邊軸，若的面積為6，則的面積是 ．
【答案】2
【分析】過點作軸于點，軸于點，于點，利用，，得到，結合梯形的面積公式解得，再由三角形面積公式計算，即可解答．
【詳解】解：如圖，過點作軸于點，軸于點，于點，

故答案為：2．
【點睛】本題考查反比例函數中的幾何意義，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．
命題點三 反比例函數與實際問題
題型01 反比例函數與實際問題
1．（2023·浙江臺州·中考真題）科學課上，同學用自制密度計測量液體的密度．密度計懸浮在不同的液體中時，浸在液體中的高度h（單位：cm）是液體的密度（單位：）的反比例函數，當密度計懸浮在密度為的水中時，．

(1)求h關于的函數解析式．
(2)當密度計懸浮在另一種液體中時，，求該液體的密度．
【答案】(1)．
(2)該液體的密度為．
【分析】（1）由題意可得，設，把，代入解析式，求解即可；
（2）把代入（1）中的解析式，求解即可．
【詳解】（1）解：設h關于的函數解析式為，
把，代入解析式，得．
∴h關于的函數解析式為．
（2）解：把代入，得．
解得：．
答：該液體的密度為．
【點睛】此題考查了反比例函數的應用，待定系數法求反比例函數解析式，解題的關鍵是理解題意，靈活利用反比例函數的性質進行求解．
2．（2022·山東棗莊·中考真題）為加強生態文明建設，某市環保局對一企業排污情況進行檢測，結果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標，即硫化物的濃度超過最高允許的1.0mg/L．環保局要求該企業立即整改，在15天內（含15天）排污達標．整改過程中，所排污水中硫化物的濃度y（mg/L）與時間x（天）的變化規律如圖所示，其中線段AC表示前3天的變化規律，第3天時硫化物的濃度降為4.5mg/L．從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時間x滿足下面表格中的關系：
時間x（天） 3 5 6 9 ……
硫化物的濃度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 ……
(1)在整改過程中，當0≤x＜3時，硫化物的濃度y與時間x的函數表達式；
(2)在整改過程中，當x≥3時，硫化物的濃度y與時間x的函數表達式；
(3)該企業所排污水中硫化物的濃度能否在15天以內不超過最高允許的1.0mg/L？為什么？
【答案】(1)線段AC的函數表達式為：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
(2)y＝（x≥3）；
(3)該企業所排污水中硫化物的濃度可以在15天以內不超過最高允許的1.0mg/L，理由見解析．
【分析】（1）設線段AC的函數表達式為：y=kx+b，把A、C兩點坐標代入求出k、b的值即可；
（2）設函數的表達式為：y=，把C點坐標代入，求出k的值即可；
（3）根據（2）所得表達式，求出x=15時，y的值與硫化物濃度允許的最高值比較即可．
【詳解】（1）解：由前三天的函數圖像是線段，設函數表達式為：y=kx+b
把（0，12）（3，4.5）代入函數關系式，得 ，
解得：k=﹣2.5，b=12
∴當0≤x＜3時，硫化物的濃度y與時間x的函數表達式為：y=﹣2.5x+12；
（2）解：當x≥3時，設y=，
把（3，4.5）代入函數表達式，得4.5=，
解得k=13.5，
∴當x≥3時，硫化物的濃度y與時間x的函數表達式為：y= ；
（3）解：能，理由如下：
當x=15時，y==0.9，
因為0.9＜1，
所以該企業所排污水中硫化物的濃度，能在15天以內不超過最高允許的1.0mg/L．
【點睛】本題考查一次函數和反比例函數，熟練掌握根據坐標確定解析式的一次項系數和常數項是解題關鍵．
3．（2024·湖南郴州·模擬預測）某數學小組探究“酒精對人體的影響”，資料顯示，一般飲用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時間x（時）的關系可近似的用如圖所示的圖象表示．國家規定，人體血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．
(1)求部分雙曲線的函數表達式；
(2)參照上述數學模型，假設某人晚上喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上能否駕車出行？請說明理由．
【答案】(1)
(2)不能，見解析
【分析】本題考查反比例函數的應用，熟練掌握一次函數與反比例函數的圖象、待定系數法的應用是解題關鍵．
（1）由待定系數法可以求出的函數表達式，從而得到點坐標，進一步得到點坐標，然后再利用待定系數法可以得到部分雙曲線的函數表達式；
（2）在部分雙曲線的函數表達式中令，可以得到飲用低度白酒100毫升后完全醒酒的時間范圍，再把題中某人喝酒后到準備駕車的時間間隔進行比較即可得解．
【詳解】（1）解：設的函數表達式為，則：
，
，
的函數表達式為，
當時，，
可設部分雙曲線的函數表達式為，
由圖象可知，當時，，
，
部分雙曲線的函數表達式為；
（2）解：在中，令，
可得：，
解之可得：，
晚上到第二天早上的時間間隔為，，
某人晚上喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上時體內的酒精含量高于20（毫克百毫升），
某人晚上喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上不能駕車出行．
題型02 新考法：新考法問題
1．（2023·浙江衢州·中考真題）視力表中蘊含著很多數學知識，如：每個“E”形圖都是正方形結構，同一行的“E”是全等圖形且對應著同一個視力值，不同的檢測距離需要不同的視力表．
素材1 國際通用的視力表以5米為檢測距離，任選視力表中7個視力值n，測得對應行的“E”形圖邊長b（mm），在平面直角坐標系中描點如圖1．
探究1 檢測距離為5米時，歸納n與b的關系式，并求視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長．
素材2 圖2為視網膜成像示意圖，在檢測視力時，眼睛能看清最小“E”形圖所成的角叫做分辨視角，視力值與分辨視角（分）的對應關系近似滿足．
探究2 當時，屬于正常視力，根據函數增減性寫出對應的分辨視角的范圍．
素材3 如圖3，當確定時，在A處用邊長為的I號“E”測得的視力與在B處用邊長為的Ⅱ號“E”測得的視力相同．
探究3 若檢測距離為3米，求視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長．
【答案】探究檢測距離為5米時，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為；
探究 ；
探究3：檢測距離為時，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為．
【分析】探究1：由圖象中的點的坐標規律得到與成反比例關系，由待定系數法可得，將 代入得：；
探究2：由，知在自變量的取值范圍內，隨著的增大而減小，故當時，，即可得；
探究3：由素材可知，當某人的視力確定時，其分辨視角也是確定的，可得，即可解得答案．
【詳解】探究
由圖象中的點的坐標規律得到與成反比例關系，
設，將其中一點代入得：，
解得：，
，將其余各點一一代入驗證，都符合關系式；
將 代入得：；
答：檢測距離為5米時，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為；
探究
，
在自變量的取值范圍內，隨著的增大而減小，
當時，，
，
；
探究3：由素材可知，當某人的視力確定時，其分辨視角也是確定的，由相似三角形性質可得，
由探究1知，
，
解得，
答：檢測距離為時，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為．
【點睛】本題考查反比例函數的綜合應用，涉及待定系數法，函數圖象上點坐標的特征，相似三角形的性質等知識，解題的關鍵是讀懂題意，能將生活中的問題轉化為數學問題加以解決．
2．（2022·山東臨沂·中考真題）杠桿原理在生活中被廣泛應用（杠桿原理：阻力×阻力臂=動力×動力臂），小明利用這一原理制作了一個稱量物體質量的簡易“秤”（如圖1）．制作方法如下：
第一步：在一根勻質細木桿上標上均勻的刻度（單位長度1cm），確定支點，并用細麻繩固定，在支點左側2cm的A處固定一個金屬吊鉤，作為秤鉤；
第二步：取一個質量為0.5kg的金屬物體作為秤砣．
(1)圖1中，把重物掛在秤鉤上，秤砣掛在支點О右側的B處，秤桿平衡，就能稱得重物的質量．當重物的質量變化時，的長度隨之變化．設重物的質量為，的長為．寫出y關于x的函數解析式；若，求的取值范圍．
(2)調換秤砣與重物的位置，把秤砣掛在秤鉤上，重物掛在支點О右側的B處，使秤桿平衡，如圖2．設重物的質量為，的長為，寫出y關于x的函數解析式，完成下表，畫出該函數的圖象．
…… 0.25 0.5 1 2 4 ……
…… ……
【答案】(1)；
(2)，表、圖見解析
【分析】（1）根據阻力×阻力臂=動力×動力臂解答即可；
（2）根據阻力×阻力臂=動力×動力臂求出解析式，然后根據列表、描點、連線的步驟解答．
【詳解】（1）解：∵阻力×阻力臂=動力×動力臂，
∴重物×OA=秤砣×OB．
∵OA=2cm，重物的質量為，的長為，秤砣為0.5kg，
∴2x=0.5y，
∴；
∵4>0，
∴y隨x的增大而增大，
∵當y=0時，x=0；當y=48時，x=12，
∴．
（2）解：∵阻力×阻力臂=動力×動力臂，
∴秤砣×OA=重物×OB．
∵OA=2cm，重物的質量為，的長為，秤砣為0.5kg，
∴2×0.5=xy，
∴；
當x=0.25時，；
當x=0.5時，；
當x=1時，；
當x=2時，；
當x=4時，；
填表如下：
…… 0.25 0.5 1 2 4 ……
…… 4 2 1 ……
畫圖如下：
【點睛】本題考查了一次函數的應用，反比例函數的應用，以及列表、描點、連線畫函數圖象的方法，求出函數解析式是解答本題的關鍵．
3．（2023·山東濟南·中考真題）綜合與實踐
如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為的矩形地塊種植農作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．
【問題提出】
小組同學提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？
【問題探究】
小穎嘗試從“函數圖象”的角度解決這個問題：
設為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數的圖象在第一象限內點的坐標；木欄總長為，得到，滿足條件的可看成一次函數的圖象在第一象限內點的坐標，同時滿足這兩個條件的就可以看成兩個函數圖象交點的坐標．
如圖2，反比例函數的圖象與直線：的交點坐標為和_________，因此，木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或___________m，__________m．
（1）根據小穎的分析思路，完成上面的填空．
【類比探究】
（2）若，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數圖象并說明理由．
【問題延伸】
當木欄總長為時，小穎建立了一次函數．發現直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，當過點時，直線與反比例函數的圖象有唯一交點．
（3）請在圖2中畫出直線過點時的圖象，并求出的值．
【拓展應用】
小穎從以上探究中發現“能否圍成矩形地塊問題”可以轉化為“與圖象在第一象限內交點的存在問題”．
（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍．
【答案】（1）；4；2；（2）不能圍出，理由見解析；（3）圖見解析，；（4）
【分析】（1）聯立反比例函數和一次函數表達式，求出交點坐標，即可解答；
（2）根據得出，，在圖中畫出的圖象，觀察是否與反比例函數圖像有交點，若有交點，則能圍成，否則，不能圍成；
（3）過點作的平行線，即可作出直線的圖象，將點代入，即可求出a的值；
（4）根據存在交點，得出方程有實數根，根據根的判別式得出，再得出反比例函數圖象經過點，，則當與圖象在點左邊，點右邊存在交點時，滿足題意；根據圖象，即可寫出取值范圍．
【詳解】解：（1）∵反比例函數，直線：，
∴聯立得：，
解得：，，
∴反比例函與直線：的交點坐標為和，
當木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或，．
故答案為：4；2．
（2）不能圍出．
∵木欄總長為，
∴，則，
畫出直線的圖象，如圖中所示：
∵與函數圖象沒有交點，
∴不能圍出面積為的矩形；
（3）如圖中直線所示，即為圖象，
將點代入，得：，
解得；

（4）根據題意可得∶ 若要圍出滿足條件的矩形地塊， 與圖象在第一象限內交點的存在問題，
即方程有實數根，
整理得：，
∴，
解得：，
把代入得：，
∴反比例函數圖象經過點，
把代入得：，解得：，
∴反比例函數圖象經過點，
令，，過點，分別作直線的平行線，
由圖可知，當與圖象在點A右邊，點B左邊存在交點時，滿足題意；

把代入得：，
解得：，
∴．
【點睛】本題主要考查了反比例函數和一次函數綜合，解題的關鍵是正確理解題意，根據題意得出等量關系，掌握待定系數法，會根據函數圖形獲取數據．
4．（2024·浙江金華·模擬預測）建筑是一門不斷演化和創新的藝術，近年來，一種名為雙曲鋁單板的新興材料以其獨特的曲線和光澤，為建筑注入了新的時尚元素，同時也賦予了建筑更多的創意和流動性．圖1為某廠家設計制造的雙曲鋁單板建筑，其橫截面（圖2）由兩條曲線，（反比例函數圖象的一部分）和若干線段圍成，為軸對稱圖形，其中四邊形與四邊形均為矩形，，，，，，以AC的中點為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系．
請回答下列問題：
(1)如圖2，求所在圖象的函數表達式．
(2)如圖3，為在曲面實現自動化操作，工程師安裝了支架，并加裝了始終垂直于的伸縮機械臂用來雕刻所在曲面的花紋，請問點在上滑動過程中，最長為多少米？
【答案】(1)
(2)米
【分析】（1）根據題意可得，再利用待定系數法解答，即可求解；
（2）先求出所在直線解析式為，再根據反比例函數圖像軸對稱的性質，可得曲線關于直線軸對稱，然后聯立，即可求解．
【詳解】（1）解：，，，為中點，，
，
設所在雙曲線的表達式為，
將點坐標代入表達式中，得：
解得：，
拋物線表達式為；
（2）解：根據題意得：點與點坐標分別為，，
設所在直線解析式為，
將、兩點坐標代入得：，
解得，，
所在直線解析式為，
根據反比例函數圖像軸對稱的性質，曲線關于直線軸對稱，
聯立，
解得，
∴，
聯立，
解得：，
∴，
．
【點睛】本題主要查了反比例函數的實際應用，求反比例函數解析式，求一次函數解析式，一次函數與反比例函數的交點問題，利用數形結合思想解答是解題的關鍵．
題型03 新考法：跨學科問題
跨學科的反比例函數應用問題一般要利用其他學科相關量之間的等量關系構建反比例函數模型，再利用反比例函數的相關知識解決問題.
1．（2024·湖南·模擬預測）物理實驗課上，小明為探究電流與接入電路的滑動變阻器之間的關 系，設計如圖所示的電路圖．已知電源的電壓保持不變，小燈泡的電阻為．改變接入電路的滑動變阻器的電阻， 電流表的讀數即電流發生改變．當接入電路的滑動變阻器的電阻為時，電流表的讀數為．
(1)求電路中的電阻關于接入電路的滑動變阻器的電阻之間的函數關系，
(2)求電流關于電路中的電阻的函數關系；
(3)如果電流表的讀數為，則接入電路的滑動變阻器的電阻為多少？
【答案】(1)
(2)
(3)接入電路的滑動變阻器的電阻為．
【分析】本題考查了反比例函數應用，掌握串聯電路的特點以及歐姆定理是解題關鍵．
（1）根據串聯電路的特點可知，燈泡與滑動變阻器串聯接入電路，則電路中的總電阻等于各部分的電阻之和，即可求解；
（2）由歐姆定律可知，，進而得出電源的電壓為，即可求解；
（3）將代入（2）所求解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意可知，燈泡與滑動變阻器串聯接入電路，則電路中的總電阻等于各部分的電阻之和，
電路中的電阻；
（2）解：由歐姆定律可知，，
由題意可知，小燈泡的電阻為，當接入電路的滑動變阻器的電阻為時，電流表的讀數為，
，解得：，
即電源的電壓為，
電流關于電路中的電阻的函數關系為；
（3）解：電流表的讀數為，
，
解得：，
答：接入電路的滑動變阻器的電阻為．
2．（2024·山西忻州·三模）閱讀與思考
下面是小晉同學的數學日記，請仔細閱讀，并完成相應的任務．
×年×月×日 星期六
借助物理知識用吸管制作樂器
根據物理學知識，我們知道聲音是由物體的振動產生的．查閱資料可知，用吸管吹氣時，吸管內部空氣的振動產生聲音，而吸管的長度能夠影響空氣振動的頻率，使吸管發出不同的聲調．于是我準備了一些相同規格的吸管進行如下操作：
①分別剪出不同長度的吸管．
②借助儀器用同樣的力度向吸管吹氣，并記錄吸管中空氣的振動頻率．
③將吸管的長度記為，振動頻率記為，記錄數據如表：
組別 第組 第組 第組 第組 第組 第組
④建立如圖所示的平面直角坐標系，將表中的數據對應的各點在平面直角坐標系中描出．
我發現其中一個數據異常，將其剔除后，用光滑的曲線將剩余的點順次連接起來，根據畫出的圖象，猜想與大致滿足我們學過的一種函數關系．
再次查閱資料得到了表的數據：
音調
頻率
根據以上研究，我成功制作出了可以吹出表中個音調的吸管樂器．
任務：
(1)根據以上材料，可以判斷表中異常的數據是第 組．
(2)根據小晉畫出的圖象，猜想是的 函數（填“一次”“二次”或“反比例”），與的函數關系式為 （系數保留整數）．
(3)根據以上材料，求音調“”對應吸管的長度．（結果精確到）
【答案】(1)
(2)反比例；
(3)音調“”對應吸管的長度為
【分析】本題考查了反比例函數的應用，解答本題的關鍵是仔細觀察表格，得出與的積為定值，從而得出函數關系式．
（1）根據表中數據，可與的乘積接近的定值，從而可得答案．
（2）根據散點圖判斷，根據散點圖判斷，可以用反比例函數來確定與的對應關系，由于吸管的長度與振動頻率記為的乘積接近的定值，故系數保留整數時，即可得到．
（3）由題可得，音調“”對應頻率為，即，將代入，
可得吸管的長度．
【詳解】（1）根據表中數據，可發現吸管的長度與振動頻率記為的乘積接近的定值，而第三組相差太多，故第三組數據錯誤．
（2）根據散點圖判斷，可以用反比例函數來確定與的對應關系，
由于吸管的長度與振動頻率記為的乘積接近的定值，
故在反比例函數中（系數保留整數），
故與的函數關系式為，
故答案為：反比例、．
（3）由題可得，音調“”對應頻率為，即，
將代入，
可得吸管的長度，
答：音調“”對應吸管的長度．
3．（2024·湖南長沙·一模）綜合與實踐：如何稱量一個空礦泉水瓶的重量？
器材：如圖1所示的一架自制天平，支點固定不變，左側托盤固定在點處，右側托盤的點可以在橫梁段滑動．已知，，一個的砝碼．
鏈接：根據杠桿原理，平衡時：左盤物體重量右盤物體重量（不計托盤與橫梁重量）．
(1)左側托盤放置砝碼，右側托盤放置物體，設右側托盤放置物體的重量為，長．當天平平衡時，求關于的函數表達式，并求的取值范圍；
(2)由于一個空的礦泉水瓶太輕無法稱量，小組進行如下操作：左側托盤放置砝碼，右側托盤放置礦泉水瓶，如圖2．滑動點至點，空瓶中加入適量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，發現點移動到長為時，天平平衡．求這個空礦泉水瓶的重量．
【答案】(1)，．
(2)空礦泉水瓶的重量為．
【分析】本題考查反比例函數的實際應用．
（1）根據天平的杠桿原理，可以列出可以列出與之間的關系式：．即可得到反比例函數的解析式，再根據的取值范圍求出的取值范圍；
（2）根據題意列出方程組，求解即可．
【詳解】（1）解：根據鏈接中給的杠桿原理，可以列出與之間的關系式：．
將其化為關于的函數表達式：，
由于．
，即為．
的取值范圍為．
（2）解：根據素材2，設第一次加入水的質量為，空礦泉水瓶的質量為．
第一次稱量時，，，
根據杠桿原理列出方程：．
第二次稱量時，，，
根據杠桿原理列出方程： ．
可得方程組，
解得，
因此可得，空礦泉水瓶的重量為．
4．（2024·廣東深圳·二模）【項目式學習】
項目主題：學科融合－用數學的眼光觀察世界
項目背景：學習完相似三角形性質后，某學校科學小組的同學們嘗試用數學的知識和方法來研究凸透鏡成像規律．
項目素材：
素材一：凸透鏡成像規律：
物體到凸透鏡距離 像到凸透鏡距離 像的大小 像的正倒
大于2倍焦距 大于1倍焦距小于2倍焦距 縮小 倒立
2倍焦距 2倍焦距 等大 倒立
大于1倍焦距小于2倍焦距 大于2倍焦距 放大 倒立
小于焦距 與物同側 放大 正立
素材二：透鏡成像中，光路圖的規律：通過透鏡中心的光線不發生改變：平行于主光軸的光線經過折射后光線經過焦點．
項目任務：
任務一：凸透鏡的焦距為，蠟燭的高為，離透鏡中心的距離是時，請你利用所學的知識填空：①______，②____；
任務二：凸透鏡的焦距為，蠟燭是，離透鏡中心的距離是 時，蠟燭的成像的高，請你利用所學的知識求出與的關系式：
任務三：
（1）根據任務二的關系式得出下表：
物距 8 10 12 14 16
像高 12 6 4 2.4
其中______；
（2）請在坐標系中畫出它的圖像：
（3）根據函數關系式，結合圖像寫出1條你得到的結論：
____________________________________________________．
【答案】任務一：①；，任務二：，任務三：（1）3，（2）見解析，（3）當時，隨著的增大而減小．
【分析】任務一：①由矩形，得到的長，由，得到，即：，設，用含的代數式，表示出、，由，得到，解出，即可求解，任務二：由，整理得到，代入，即可求解，任務三：（1）將代入，即可求解，（2）根據描點法，即可求解，（3）根據反比例函數的增減性，即可求解，
本題考查了，相似三角形的性質與判定，畫反比例函數，反比例函數的性質，解題的關鍵是：讀懂題意，列出關系式．
【詳解】解：任務一：①根據題意得：矩形，
∴，
根據題意得：與平行，
則，
∴，即：，
設，則，，
由題意得，
∴，
∴，即：，解得：，
∴，
∵，
∴，
任務二：∵，即：，解得：，
∴，
任務三：（1）當時，，
∴，
（2）作圖如下：
（3）當時，隨著的增大而減小，
故答案為：任務一：①；，任務二：，任務三：（1）3，（2）見解析，（3）當時，隨著的增大而減小．
5．（2023·廣東深圳·三模）【綜合實踐】
如圖所示，是《天工開物》中記載的三千多年前中國古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠桿原理：阻力阻力臂動力動力臂，如圖，即），受桔槔的啟發，小杰組裝了如圖所示的裝置．其中，杠桿可繞支點O在豎直平面內轉動，支點O距左端，距右端，在杠桿左端懸掛重力為的物體A．
(1)若在杠桿右端掛重物B，杠桿在水平位置平衡時，重物B所受拉力為______．
(2)為了讓裝置有更多的使用空間，小杰準備調整裝置，當重物B的質量變化時，的長度隨之變化．設重物B的質量為，的長度為．則①y關于x的函數解析式是______．
②完成下表：
… 10 20 30 40 50 …
… 8 a 2 b …
③在直角坐標系中畫出該函數的圖象．
(3)在（2）的條件下，將函數圖象向右平移4個單位長度，與原來的圖像組成一個新的函數圖象，記為L．若點A的坐標為，在L上存在點Q，使得．請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標．
【答案】(1)
(2)①；②見解析；③見解析
(3)或
【分析】（1）根據公式進行計算即可；
（2）①根據公式即可得到；②根據（2）①所求求出a、b的值即可；③先描點，再連線，畫出函數圖象即可；
（3）先根據面積求出點Q的縱坐標，再根據反比例函數性質和平移的性質求出點Q的坐標即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴
∴重物B所受拉力為，
故答案為：；
（2）解：①∵，
∴，即，
故答案為：；
②由（2）①得，
填表如下：
… 10 20 30 40 50 …
… 8 4 2 …
③函數圖象如下所示：

（3）解：∵點A的坐標為，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，當時，
∴在函數上滿足題意的Q的坐標為，
∵將函數圖象向右平移4個單位長度，與原來的圖像組成一個新的函數圖象，記為L，
∴點，即也在L上，即滿足題意的Q的坐標為；
綜上所述，點Q的坐標為或．
【點睛】本題主要考查了反比例函數的實際運用，正確理解題意是解題的關鍵．
6．（2023·河南安陽·二模）寓言故事：青年用木柴燒水時，由于木柴不足，水沒有燒開，重新找木柴的時間水已變涼，而新找的木柴也不夠將水重新燒開，很是氣餒．路過的智者提醒他，木柴不夠，可以將水倒掉一部分．青年聽后，茅塞頓開，把水燒開了．
智者的話蘊含一定道理，根據物理學公式（Q表示寓言故事中水吸收的總熱量，c表示水的比熱容為常數，m表示水的質量，表示水的溫差），得．智者的話可解釋為：當木柴質量確定時，提供給水吸收的總熱量Q隨之確定，為定值，水上升的溫度（單位：）與水的質量m（單位：kg）成反比例．
(1)若現有木柴可以將3kg溫度為25℃的水加熱到75℃，請求出這種情形下的值及關于m的反比例函數的表達式；
(2)在（1）的情形下，現有的木柴可將多少千克溫度為25℃的水加熱到100℃．
【答案】(1)150，
(2)2千克
【詳解】（1）解：由題意，得，
∴，
∴，
∴，
即關于m的反比例函數的表達式為：．
（2）解：把代入，得
，
∴(千克)，
答：現有的木柴可將2千克溫度為25℃的水加熱到100℃．
【點睛】本題考查反比例函數的應用，熟練掌握用待定系數法求反比例函數解析式是解題的關鍵．
命題點四 反比例函數與一次函數
題型01 一次函數與反比例函數綜合
1．（2024·四川瀘州·中考真題）已知關于x的一元二次方程無實數根，則函數與函數的圖象交點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】本題考查了根的判別式及一次函數和反比例函數的圖象．首先根據一元二次方程無實數根確定k的取值范圍，然后根據一次函數和反比例函數的性質確定其圖象的位置．
【詳解】解：∵方程無實數根，
∴，
解得：，則函數的圖象過二，四象限，
而函數的圖象過一，三象限，
∴函數與函數的圖象不會相交，則交點個數為0，
故選：A．
2．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數的圖象交于兩點，點的橫坐標為1．
(1)求的值及點的坐標．
(2)點是線段上一點，點在直線上運動，當時，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先求解A的坐標，再求解反比例函數解析式，再聯立兩個解析式可得B的坐標；
（2）由，證明，可得，求解,證明，如圖，當時，最短；再進一步利用勾股定理與等面積法求解即可；
【詳解】（1）解：∵直線與反比例函數的圖象交于兩點，點的橫坐標為1．
∴，
∴,
∴，
∴反比例函數為：；
∴，
解得：，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，,
∴，
∴，，
如圖，當時，最短；
∴；
【點睛】本題考查的是一次函數與反比例函數的綜合，求解函數解析式，一元二次方程的解法，勾股定理的應用，等腰三角形的性質，理解題意是解本題的關鍵.
3．（2024·山東東營·中考真題）如圖，一次函數（）的圖象與反比例函數（）的圖象交于點，，且一次函數與軸，軸分別交于點C，D．
(1)求反比例函數和一次函數的表達式；
(2)根據圖象直接寫出不等式的解集；
(3)在第三象限的反比例函數圖象上有一點P，使得，求點的坐標．
【答案】(1)，
(2)或
(3)點坐標為
【分析】本題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題，熟知反比例函數及一次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
（1）將點坐標代入反比例函數解析式，求出，再將點坐標代入反比例函數解析式，求出點坐標，最后將，兩點坐標代入一次函數解析式即可解決問題；
（2）利用反比例函數以及一次函數圖象，即可解決問題；
（3）根據與的面積關系，可求出點的縱坐標，據此可解決問題．
【詳解】（1）解：將代入得，
∴，
反比例函數的解析式為，
將代入得，，
點的坐標為．
將點和點的坐標代入得，
，
解得，
一次函數的解析式為；
（2）解：根據所給函數圖象可知，
當或時，一次函數的圖象在反比例函數圖象的上方，即，
不等式的解集為：或．
（3）解：將代入得，，
點的坐標為，
，
．
將代入得，，
點的坐標為，
，
解得．
∵點在第三象限，
∴，
將代入得，，
點坐標為．
4．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，直線與雙曲線交于，兩點，已知點坐標為．
(1)求，的值；
(2)將直線向上平移個單位長度，與雙曲線在第二象限的圖象交于點，與軸交于點，與軸交于點，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接把點A的坐標代入反比例函數解析式，求出a，然后利用待定系數法即可求得k的值；
（2）根據直線向上平移m個單位長度，可得直線解析式為，根據三角形全等的判定和性質即可得到結論．
【詳解】（1）解：∵點A在反比例函數圖象上，
∴，解得，
將代入，
；
（2）解：如圖，過點C作軸于點F，
，
，，
，
，
，，
∵直線向上平移m個單位長度得到，
令，得，令，得，
，，
，，
，
雙曲線過點C，
，
解得或（舍去），
．
【點睛】本題是反比例函數的綜合題，考查了一次函數與反比例函數的交點問題，全等三角形的判定和性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求一次函數的解析式，正確表示點C的坐標是解題的關鍵．
5．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象交于點，，與軸，軸分別交于，兩點．
(1)求一次函數和反比例函數的表達式；
(2)若點在軸上，當的周長最小時，請直接寫出點的坐標；
(3)將直線向下平移個單位長度后與軸，軸分別交于，兩點，當時，求的值．
【答案】(1)一次函數的表達式為，反比例函數的表達式為
(2)點的坐標為
(3)或
【分析】本題考查了待定系數法求函數的解析式，軸對稱-最短路徑問題，勾股定理，正確地求出函數的解析式是解題的關鍵．
（1）根據已知條件列方程求得，得到反比例函數的表達式為，求得，解方程組即可得到結論；
（2）如圖，作點A關于y軸的對稱點E，連接交y軸于P，則此時，的周長最小，根據軸對稱的性質得到，得到直線的解析式為，當時，，于是得到點P的坐標為；
（3）將直線向下平移a個單位長度后得直線的解析式為，得到，根據勾股定理即可得到結論．
【詳解】（1）解：一次函數與反比例函數的圖象交于點，，
，
，
反比例函數的表達式為，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函數的表達式為；
（2）解：如圖，作點關于軸的對稱點，連接交軸于，
此時，的周長最小，
點，
，
設直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
當時，，
點的坐標為；
（3）解：將直線向下平移個單位長度后與軸，軸分別交于，兩點，
直線的解析式為，
，，
，
，
解得或．
6．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與直線相交于點，與軸交于點，點在反比例函數圖象上．
(1)求，，的值；
(2)若第三章 函數
第12講 反比例函數的圖像、性質及應用
（思維導圖+3考點+4命題點18種題型（含4種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 反比例函數的圖像與性質
考點二 反比例函數與一次函數
考點三 反比例函數的實際應用
04題型精研·考向洞悉
命題點一 反比例函數的圖像與性質
題型01 反比例函數的定義
題型02 判斷反比例函數的圖像
題型03 由反比例函數圖像的對稱性求點的坐標
題型04 根據反比例函數的圖像確定其解析式
題型05 判斷反比例函數所在象限
題型06 已知反比例函數經過象限求參數取值范圍
題型07 由反比例函數增減性求值
題型08 由反比例函數的性質比較大小
題型09 求反比例函數解析式
題型10 與反比例函數有關的規律有關的探究問題
題型11 以開放性試題的形式考查反比例函數的圖像與性質
命題點二 反比例系數k的幾何意義
題型01 已知反比例系數求圖形面積
題型02 已知圖形面積求反比例系數
命題點三 反比例函數與實際問題
題型01 反比例函數與實際問題
題型02 新考法：新考法問題
題型03 新考法：跨學科問題
命題點四 反比例函數與一次函數
題型01 一次函數與反比例函數綜合
題型02 反比例函數與幾何圖形綜合
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
反比例函數圖像上點的坐標特征 ★ 結合具體情境體會反比例函數的意義，能根據已知條件確定反比例函數的解析式； 能畫反比例函數的圖像，根據圖像和表達式 ()探索并理解k>0和k<0時圖像的變化情況.
反比例函數的增減性 ★★
反比例函數的圖像共存 ★★
反比例函數解析式的確定 ★
反比例函數中比例系數k的幾何意義 ★★★
反比例函數的實際應用 ★★ 能用反比例函數解決簡單實際問題.
【考情分析1】對反比例函數的圖像和性質的考查一般包含對反比例函數的增減性、中心對稱性及系數k的幾何意義的考查，難度中等，試題多以選擇題、填空題的形式出現，當利用反比例函數的增減性比較函數值的大小時，應注意圖像是否在同一象限內. 【考情分析2】反比例函數與一次函數綜合是中考的常考內容，試題多以解答題形式出現，難度中等，一般情況下是兩函數圖像相交，通過交點坐標同時滿足兩函數解析式來確定函數的解析式及交點坐標，體現了函數與方程的關系. 【考情分析3】利用反比例函數解決實際問題考查較少，試題形式多樣，難度不大，但較為典型，常結合物理、化學等科目內容進行考查，涉及密度、濃度等問題，故解題時除必須掌握的數學知識外，其他學科知識也要有所了解. 【備考建議】反比例函數是非常重要的函數，年年都會考，總分值為12分左右，考生在復習該考點時，需要掌握其各性質規律，并且多注意其與幾何圖形結合題的思考探究.
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 反比例函數的圖像與性質
1. 反比例函數的有關概念
定義：一般地，形如（為常數，）的函數稱為反比例函數. 其中x是自變量，y是x的函數.
待定系數法求反比例函數解析式：由于反比例函數中，只有一個待定系數k，因此只需要知道一對對應值或圖像上一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式.
2 .雙曲線
定義：反比例函數的圖像由兩條曲線組成，我們稱之為雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限，它們關于原點對稱，永遠不會與x軸，y軸相交，只是無限靠近兩坐標軸.
3. 反比例函數的性質
表達式
圖像
k＞0 k＜0
圖像無限接近坐標軸，但不相交 圖像無限接近坐標軸，但不相交
經過象限 一、三象限（x、y同號） 二、四象限（x、y異號）
增減性 在每個象限內，y隨x的增大而減小 在每個象限內，y隨x的增大而增大
【易錯易混】
1. 反比例函數的圖象不是連續的，因此在描述反比例函數的增減性時，一定要有“在其每個象限內”這個前提．當k＞0時，在每一象限（第一、三象限）內y隨x的增大而減小，但不能籠統地說當k＞0時，y隨x的增大而減小．同樣，當k＜0時，也不能籠統地說y隨x的增大而增大．
2. 反比例函數圖象的位置和函數的增減性，都是由常數k的符號決定的，反過來，由雙曲線所在位置和函數的增減性，也可以推斷出k的符號。
3. 雙曲線是由兩個分支組成的，一般不說兩個分支經過第一、三象限（或第二、四象限），而說圖象的兩個分支分別在第一、三象限（或第二、四象限）．
4. 反比例函數的對稱性
反比例函數的圖像既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=x或y= -x，對稱中心為原點.
5. 反比例函數中k的幾何意義（2種基礎模型）
【模型結論1】反比例函數圖象上一點關于坐標軸的垂線、與另一坐標軸上一點（含原點）圍成的三角形面積為.
【模型結論2】反比例函數圖象上一點與坐標軸的兩條垂線圍成的矩形面積為.
1．（2024·云南·中考真題）已知點在反比例函數的圖象上，則 ．
2．（2024·江蘇徐州·中考真題）若點、、都在反比例函數的圖象上，則a、b、c的大小關系為 ．
3．（2024·黑龍江大慶·中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數與的大致圖象為（ ）
A．B．C． D．
4．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，點A為反比例函數圖象上的一點，連接，過點O作的垂線與反比例的圖象交于點B，則的值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·貴州·中考真題）已知點在反比例函數的圖象上．
(1)求反比例函數的表達式；
(2)點，，都在反比例函數的圖象上，比較a，b，c的大小，并說明理由．
考點二 反比例函數與一次函數
1.一次函數與反比例函數的交點問題
1）從圖象上看，一次函數與反比例函數的交點由k值的符號來決定．
①k值同號，兩個函數必有兩個交點；
②k值異號，兩個函數可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；
2）【熱考】從計算上看，一次函數與反比例函數的交點主要取決于兩函數所組成的方程組的解的情況．
2. 反比例函數與一次函數關系
從圖像可以看出,在①，③部分，反比例函數圖像在一次函數圖像上方,所以的解集為或 ；在②，④部分,反比例函數圖像在一次函數圖像下方，所以的解集為或.
1．（2024·江蘇鎮江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，過點且垂直于x軸的直線l與反比例函數的圖像交于點，將直線l繞點逆時針旋轉45°，所得的直線經過第一、二、四象限，則的取值范圍是（ ）
A．或 B．且
C．或 D．或
2．（2024·安徽·中考真題）已知反比例函數與一次函數的圖象的一個交點的橫坐標為3，則k的值為（ ）
A． B． C．1 D．3
3．（2023·浙江金華·中考真題）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，則不等式的解是（ ）

A．或 B．或
C．或 D．或
4．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于點、．
(1)求一次函數、反比例函數的表達式；
(2)連接，求的面積．
5．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象的一個交點是．點在直線上，過點作軸的平行線，交的圖象于點．
(1)求這個反比例函數的表達式；
(2)求的面積．
考點三 反比例函數的實際應用
1. 用反比例函數解決問題的兩種思路：
1）通過題目已知條件，明確變量之間的關系，設相應的函數關系式，然后根據題中條件求出函數關系式；
2）已知反比例函數關系式，通過反比例函數的圖像和性質解決問題.
2. 列反比例函數解決問題的步驟：
1）審：審題，找出題目中的常量和變量，以及它們之間的關系；
2）設：根據常量與變量之間的關系，設出函數表達式；
3）求：根據題中條件列方程，求出待定系數的值；
4）寫：寫出函數表達式，并注意表達式中自變量的取值范圍；
5）解：用函數解析式去解決實際問題．
利用反比例函數解決實際問題，要做到：
1）能把實際的問題轉化為數學問題，建立反比例函數的數學模型；
2）注意在自變量和函數值的取值上的實際意義；
3）問題中出現的不等關系轉化成相等的關系來解，然后在作答中說明．
【易錯點】
1.利用反比例函數的性質時，誤認為所給出的點在同一曲線上；
2.利用函數圖像解決實際問題時，容易忽視自變量在實際問題的意義．
1．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，取一根長的勻質木桿，用細繩綁在木桿的中點O并將其吊起來，在中點O的左側距離中點處掛一個重的物體，在中點O的右側用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態．彈簧秤與中點O的距離L（單位：）及彈簧秤的示數F（單位：N）滿足．以L的數值為橫坐標，F的數值為縱坐標建立直角坐標系．則F關于L的函數圖象大致是（　　）

A． B． C． D．
2．（2024·湖北·模擬預測）某個亮度可調節的臺燈，其燈光亮度的改變，可以通過調節總電阻控制電流的變化來實現．如圖所示的是該臺燈的電流．與電阻的關系圖象，該圖象經過點．根據圖象可知，下列說法正確的是（　　）
A．當時，
B．I與R的函數關系式是
C．當時，
D．當時，I的取值范圍是
3．（2024·海南·中考真題）某型號蓄電池的電壓U（單位：V）為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：）是反比例函數關系，即，它的圖象如圖所示，則蓄電池的電壓U為 （V）．
4．（2024·江蘇連云港·中考真題）杠桿平衡時，“阻力阻力臂動力動力臂”．已知阻力和阻力臂分別為和，動力為，動力臂為．則動力關于動力臂的函數表達式為 ．
5．（2023·寧夏·中考真題）給某氣球充滿一定質量的氣體，在溫度不變時，氣球內氣體的氣壓 是氣體體積（）的反比例函數，其圖象如圖所示．

(1)當氣球內的氣壓超過時，氣球會爆炸．若將氣球近似看成一個球體，試估計氣球的半徑至少為多少時氣球不會爆炸（球體的體積公式，取3）；
(2)請你利用與的關系試解釋為什么超載的車輛容易爆胎．
04題型精研·考向洞悉
命題點一 反比例函數的圖像與性質
題型01 反比例函數的定義
1．（2024·重慶·中考真題）反比例函數的圖象一定經過的點是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·海南·中考真題）若反比例函數（）的圖象經過點，則k的值是（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知反比例函數的圖像經過點，則a的值為 ．
題型02 判斷反比例函數的圖像
1．（2023·江蘇揚州·中考真題）函數的大致圖像是( )
A． B． C． D．
2．（2024·江蘇淮安·模擬預測）小明同學利用計算機軟件繪制了某一函數的圖象，如圖所示．由學習函數的經驗，可以推斷這個函數可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24九年級上·江蘇南通·期末）函數的圖象為（　　）
A．B．C．D．
4．（2023·河北廊坊·三模）若函數和函數在同一平面直角坐標系的圖象如圖所示，則坐標系的縱軸是（ ）

A． B． C． D．
5．（2023·河南信陽·一模）參照學習函數的過程與方法，探究函數的圖象與性質．
x … 0 1 2 3 4 5 6 …
… 4 2 1 …
… m 4 2 1 …

(1)__________________．
(2)請畫出函數的圖象；
(3)觀察圖象并分析表格，回答下列問題：
①當時，y隨x的增大而___________；（填“增大”或“減小”）
②的圖象是由的圖象向__________平移__________個單位長度而得到的；
③圖象關于點__________中心對稱．（填點的坐標）
題型03 由反比例函數圖像的對稱性求點的坐標
1）反比例函數圖像關于原點對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（-a，-b）在雙曲線的另一支上；
2）若（a，b）在反比例函數圖像上，則（b，a）在也在該圖像上.
1．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，若函數的圖象經過點和，則的值是 .
2．（2021·廣西河池·中考真題）在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象交于，兩點，則的值是 ．
3．（2024·北京·模擬預測）直線與雙曲線交于兩點（A在第二象限），則的值為 ．
4．（2024·重慶·三模）在如圖所示的平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與正比例函數的圖象交于，兩點，過點作軸于點，已知，，則的值為 ．
題型04 根據反比例函數的圖像確定其解析式
1．（2023·貴州貴陽·一模）反比例函數（）的圖象如圖所示，則的值可能是（ ）

A．5 B．12 C． D．
2．（2024·山東濟寧·模擬預測）如圖，矩形的對角線經過坐標原點，矩形的邊分別平行于坐標軸，點C在反比例函數的圖象上，若點A的坐標為，則k的值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．（2021·四川甘孜·中考真題）如圖，點A，B在反比例函數（）的圖象上，點A的橫坐標為2，點B的縱坐標為1，OA⊥AB，則k的值為 ．
4．（2023·浙江杭州·三模）兩位同學在描述同一反比例函數的圖象時，圓圓說：“這個反比例函數圖象上任意一點到兩坐標軸的距離之積是20．芳芳說：“這個反比例函數圖象與直線有兩個交點”．你認為這兩個同學所描繪的反比例函數對應的表達式是 ．
題型05 判斷反比例函數所在象限
1．（2023·湖南永州·中考真題）已知點在反比例函數的圖象上，其中a，k為常數，且﹐則點M一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·安徽六安·模擬預測）若關于x的一元二次方程無實數根，則反比例函數的圖象所在的象限分別位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限
3．（2024·安徽六安·模擬預測）直線（a，b是常數且）經過第二、三、四象限，則反比例函數的圖象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
4．（2024·廣東廣州·一模）已知一次函數經過點，正比例函數不經過第三象限，則反比例函數的圖象位于（ ）
A．第一、第二象限 B．第一、第三象限
C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
題型06 已知反比例函數經過象限求參數取值范圍
1．（2024·湖北荊門·模擬預測）已知：多項式是一個完全平方式，且反比例函數的圖象位于二、四象限，k的值為 ．
2．（2024·江蘇南京·三模）如圖，圖像分別是反比例函數、、（為常數）的部分圖像，比較的大小關系 ．（用“或”連接）
3．（2024·河南商丘·模擬預測）若反比例函數的圖象位于第一、三象限，則關于的一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有一個實數根 B．有兩個相等的實數根
C．有兩個不相等的實數根 D．沒有實數根
4．（2024·遼寧本溪·二模）如圖，點A在反比例函數的圖象上，點B在反比例函數的圖象上，軸于點M，且，則k的值為（　　）
A．4.5 B． C．7 D．
題型07 由反比例函數增減性求值
1) 當k＞0時，同象限：，整體：.
2) 當k＜0時，同象限：，整體：
1．（2024·浙江·中考真題）反比例函數的圖象上有，兩點．下列正確的選項是（ ）
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當時，
2．（2024·江蘇鎮江·二模）反比例函數，當時，函數y的最大值與最小值之差為6， 則 ．
3．（2022·湖北武漢·中考真題）在反比例的圖象的每一支上，y都隨x的增大而減小，且整式是一個完全平方式，則該反比例函數的解析式為 ．
4．（2024·陜西西安·一模）已知反比例函數．
(1)若該反比例函數圖象在每一個象限內，y都隨著x的增大而減小，求m的取值范圍；
(2)若點在此反比例函數圖象上，求反比例函數的解析式．
題型08 由反比例函數的性質比較大小
1．（2024·山東濟寧·中考真題）已知點在反比例函數的圖象上，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·天津·中考真題）若點都在反比例函數的圖象上，則的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·廣西·中考真題）已知點，在反比例函數的圖象上，若，則有（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北武漢·模擬預測）反比例函數的圖象向右平移個單位長度得到一個新的函數，當自變量x取1，2，3，4，5，…，（正整數）時，新的函數值分別為，，，，，…，其中最小值和最大值分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
題型09 求反比例函數解析式
由于反比例函數中，只有一個待定系數k，因此只需要知道一對對應值或圖像上一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式.
1．（2024·福建·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與交于兩點，且點都在第一象限．若，則點的坐標為 ．
2．（2024·湖南株洲·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數交于，，與軸交于點，與軸交于點．若點，恰好是線段的三等分點，則 ．
3．（2024·四川·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知兩點在反比例函數的圖象上．
(1)求k與m的值；
(2)連接，并延長交反比例函數的圖象于點C．若一次函數的圖象經過A，C兩點，求這個一次函數的解析式．
4．（2024·江蘇鹽城·中考真題）小明在草稿紙上畫了某反比例函數在第二象限內的圖像，并把矩形直尺放在上面，如圖．
請根據圖中信息，求：
(1)反比例函數表達式；
(2)點C坐標．
題型10 與反比例函數有關的規律有關的探究問題
1．（2022·陜西渭南·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系的第一象限中，和，點在上，軸交于點，軸交于點，軸交于點，，按照此規律作圖，則的點坐標為 ．
2．（2019·遼寧·一模）如圖，點在直線上，過點作交直線于點，以為邊在外側作等邊三角形，過的反比例函數為；再過點作，分別交直線和于兩點，以為邊在外側作等邊三角形，過的反比例函數為，…，按此規律進行下去，則第個反比例函數的 ．（用含的代數式表示）

3．（2021·山東威海·二模）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形的頂點分別在軸，軸上，點在反比例函數圖象上，過的中點作矩形，使頂點落在反比例函數圖象上，再過的中點作矩形，使頂點落在反比例函數圖象上，…，依此規律，作出矩形時，落在反比例函數圖象上的頂點的坐標為 ．
4．（2024綿陽市模擬）如圖1～4所示，每個圖中的“7”字形是由若干個邊長相等的正方形拼接而成，“7”字形的一個頂點P落在反比例函數的圖象上，另“7”字形有兩個頂點落在x軸上，一個頂點落在y軸上．
（1）圖1中的每一個小正方形的面積是 ；
（2）按照圖1→圖2→圖3→圖4→…這樣的規律拼接下去，第n個圖形中每一個小正方形的面積是 ．（用含n的代數式表示）

5．（2024·山東青島·中考真題）如圖，點為反比例函數圖象上的點，其橫坐標依次為．過點作x軸的垂線，垂足分別為點；過點作于點，過點作于點，…，過點作于點．記的面積為的面積為的面積為．
(1)當時，點的坐標為______，______，______，______（用含n的代數式表示）；
(2)當時，______（用含n的代數式表示）．
題型11 以開放性試題的形式考查反比例函數的圖像與性質
1．（2024·湖北武漢·中考真題）某反比例函數具有下列性質：當時，y隨x的增大而減小，寫出一個滿足條件的k的值是 ．
2．（2023·河北·中考真題）如圖，已知點，反比例函數圖像的一支與線段有交點，寫出一個符合條件的k的數值： ．

3．（2023·山東日照·中考真題）已知反比例函數（且）的圖象與一次函數的圖象共有兩個交點，且兩交點橫坐標的乘積，請寫出一個滿足條件的k值 ．
4．（2024·河北邢臺·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，矩形面積為4，反比例函數與邊、有交點，請寫出一個符合條件的k的整數值 ．
命題點二 反比例系數k的幾何意義
題型01 已知反比例系數求圖形面積
1．（2023·廣西·中考真題）如圖，過的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點，以，為鄰邊的矩形被坐標軸分割成四個小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖，在函數的圖像上任取一點A，過點A作y軸的垂線交函數的圖像于點B，連接OA，OB，則的面積是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
3．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點，的坐標分別為，，過點作軸交軸于點，點為線段上的一點，且．反比例函數的圖象經過點交線段于點，則四邊形的面積是 ．
4．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖，點A、B在x軸上，分別以，為邊，在x軸上方作正方形，．反比例函數的圖象分別交邊，于點P，Q．作軸于點M，軸于點N．若，Q為的中點，且陰影部分面積等于6，則k的值為 ．

5．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，點和在反比例函數的圖象上，其中．過點A作軸于點C，則的面積為 ；若的面積為，則 ．

題型02 已知圖形面積求反比例系數
1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，點A在雙曲線上，連接AO并延長，交雙曲線于點B，點C為x軸上一點，且，連接，若的面積是6，則k的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，矩形的頂點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點D在上，且，反比例函數的圖象經過點D及矩形的對稱中心M，連接．若的面積為3，則k的值為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，反比例函數的圖象經過平行四邊形的頂點，在軸上，若點，，則實數的值為 ．
4．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，點A是反比例函數的圖象上一點，過點A作軸，垂足為點C，延長至點B，使，點D是y軸上任意一點，連接，，若的面積是6，則 ．
5．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，函數（為大于0的常數，）圖象上的兩點，滿足．的邊軸，邊軸，若的面積為6，則的面積是 ．
命題點三 反比例函數與實際問題
題型01 反比例函數與實際問題
1．（2023·浙江臺州·中考真題）科學課上，同學用自制密度計測量液體的密度．密度計懸浮在不同的液體中時，浸在液體中的高度h（單位：cm）是液體的密度（單位：）的反比例函數，當密度計懸浮在密度為的水中時，．

(1)求h關于的函數解析式．
(2)當密度計懸浮在另一種液體中時，，求該液體的密度．
2．（2022·山東棗莊·中考真題）為加強生態文明建設，某市環保局對一企業排污情況進行檢測，結果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標，即硫化物的濃度超過最高允許的1.0mg/L．環保局要求該企業立即整改，在15天內（含15天）排污達標．整改過程中，所排污水中硫化物的濃度y（mg/L）與時間x（天）的變化規律如圖所示，其中線段AC表示前3天的變化規律，第3天時硫化物的濃度降為4.5mg/L．從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時間x滿足下面表格中的關系：
時間x（天） 3 5 6 9 ……
硫化物的濃度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 ……
(1)在整改過程中，當0≤x＜3時，硫化物的濃度y與時間x的函數表達式；
(2)在整改過程中，當x≥3時，硫化物的濃度y與時間x的函數表達式；
(3)該企業所排污水中硫化物的濃度能否在15天以內不超過最高允許的1.0mg/L？為什么？
3．（2024·湖南郴州·模擬預測）某數學小組探究“酒精對人體的影響”，資料顯示，一般飲用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時間x（時）的關系可近似的用如圖所示的圖象表示．國家規定，人體血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．
(1)求部分雙曲線的函數表達式；
(2)參照上述數學模型，假設某人晚上喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上能否駕車出行？請說明理由．
題型02 新考法：新考法問題
1．（2023·浙江衢州·中考真題）視力表中蘊含著很多數學知識，如：每個“E”形圖都是正方形結構，同一行的“E”是全等圖形且對應著同一個視力值，不同的檢測距離需要不同的視力表．
素材1 國際通用的視力表以5米為檢測距離，任選視力表中7個視力值n，測得對應行的“E”形圖邊長b（mm），在平面直角坐標系中描點如圖1．
探究1 檢測距離為5米時，歸納n與b的關系式，并求視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長．
素材2 圖2為視網膜成像示意圖，在檢測視力時，眼睛能看清最小“E”形圖所成的角叫做分辨視角，視力值與分辨視角（分）的對應關系近似滿足．
探究2 當時，屬于正常視力，根據函數增減性寫出對應的分辨視角的范圍．
素材3 如圖3，當確定時，在A處用邊長為的I號“E”測得的視力與在B處用邊長為的Ⅱ號“E”測得的視力相同．
探究3 若檢測距離為3米，求視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長．
2．（2022·山東臨沂·中考真題）杠桿原理在生活中被廣泛應用（杠桿原理：阻力×阻力臂=動力×動力臂），小明利用這一原理制作了一個稱量物體質量的簡易“秤”（如圖1）．制作方法如下：
第一步：在一根勻質細木桿上標上均勻的刻度（單位長度1cm），確定支點，并用細麻繩固定，在支點左側2cm的A處固定一個金屬吊鉤，作為秤鉤；
第二步：取一個質量為0.5kg的金屬物體作為秤砣．
(1)圖1中，把重物掛在秤鉤上，秤砣掛在支點О右側的B處，秤桿平衡，就能稱得重物的質量．當重物的質量變化時，的長度隨之變化．設重物的質量為，的長為．寫出y關于x的函數解析式；若，求的取值范圍．
(2)調換秤砣與重物的位置，把秤砣掛在秤鉤上，重物掛在支點О右側的B處，使秤桿平衡，如圖2．設重物的質量為，的長為，寫出y關于x的函數解析式，完成下表，畫出該函數的圖象．
…… 0.25 0.5 1 2 4 ……
…… ……
3．（2023·山東濟南·中考真題）綜合與實踐
如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為的矩形地塊種植農作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．
【問題提出】
小組同學提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？
【問題探究】
小穎嘗試從“函數圖象”的角度解決這個問題：
設為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數的圖象在第一象限內點的坐標；木欄總長為，得到，滿足條件的可看成一次函數的圖象在第一象限內點的坐標，同時滿足這兩個條件的就可以看成兩個函數圖象交點的坐標．
如圖2，反比例函數的圖象與直線：的交點坐標為和_________，因此，木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或___________m，__________m．
（1）根據小穎的分析思路，完成上面的填空．
【類比探究】
（2）若，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數圖象并說明理由．
【問題延伸】
當木欄總長為時，小穎建立了一次函數．發現直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，當過點時，直線與反比例函數的圖象有唯一交點．
（3）請在圖2中畫出直線過點時的圖象，并求出的值．
【拓展應用】
小穎從以上探究中發現“能否圍成矩形地塊問題”可以轉化為“與圖象在第一象限內交點的存在問題”．
（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍．
4．（2024·浙江金華·模擬預測）建筑是一門不斷演化和創新的藝術，近年來，一種名為雙曲鋁單板的新興材料以其獨特的曲線和光澤，為建筑注入了新的時尚元素，同時也賦予了建筑更多的創意和流動性．圖1為某廠家設計制造的雙曲鋁單板建筑，其橫截面（圖2）由兩條曲線，（反比例函數圖象的一部分）和若干線段圍成，為軸對稱圖形，其中四邊形與四邊形均為矩形，，，，，，以AC的中點為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系．
請回答下列問題：
(1)如圖2，求所在圖象的函數表達式．
(2)如圖3，為在曲面實現自動化操作，工程師安裝了支架，并加裝了始終垂直于的伸縮機械臂用來雕刻所在曲面的花紋，請問點在上滑動過程中，最長為多少米？
題型03 新考法：跨學科問題
跨學科的反比例函數應用問題一般要利用其他學科相關量之間的等量關系構建反比例函數模型，再利用反比例函數的相關知識解決問題.
1．（2024·湖南·模擬預測）物理實驗課上，小明為探究電流與接入電路的滑動變阻器之間的關 系，設計如圖所示的電路圖．已知電源的電壓保持不變，小燈泡的電阻為．改變接入電路的滑動變阻器的電阻， 電流表的讀數即電流發生改變．當接入電路的滑動變阻器的電阻為時，電流表的讀數為．
(1)求電路中的電阻關于接入電路的滑動變阻器的電阻之間的函數關系，
(2)求電流關于電路中的電阻的函數關系；
(3)如果電流表的讀數為，則接入電路的滑動變阻器的電阻為多少？
2．（2024·山西忻州·三模）閱讀與思考
下面是小晉同學的數學日記，請仔細閱讀，并完成相應的任務．
×年×月×日 星期六
借助物理知識用吸管制作樂器
根據物理學知識，我們知道聲音是由物體的振動產生的．查閱資料可知，用吸管吹氣時，吸管內部空氣的振動產生聲音，而吸管的長度能夠影響空氣振動的頻率，使吸管發出不同的聲調．于是我準備了一些相同規格的吸管進行如下操作：
①分別剪出不同長度的吸管．
②借助儀器用同樣的力度向吸管吹氣，并記錄吸管中空氣的振動頻率．
③將吸管的長度記為，振動頻率記為，記錄數據如表：
組別 第組 第組 第組 第組 第組 第組
④建立如圖所示的平面直角坐標系，將表中的數據對應的各點在平面直角坐標系中描出．
我發現其中一個數據異常，將其剔除后，用光滑的曲線將剩余的點順次連接起來，根據畫出的圖象，猜想與大致滿足我們學過的一種函數關系．
再次查閱資料得到了表的數據：
音調
頻率
根據以上研究，我成功制作出了可以吹出表中個音調的吸管樂器．
任務：
(1)根據以上材料，可以判斷表中異常的數據是第 組．
(2)根據小晉畫出的圖象，猜想是的 函數（填“一次”“二次”或“反比例”），與的函數關系式為 （系數保留整數）．
(3)根據以上材料，求音調“”對應吸管的長度．（結果精確到）
3．（2024·湖南長沙·一模）綜合與實踐：如何稱量一個空礦泉水瓶的重量？
器材：如圖1所示的一架自制天平，支點固定不變，左側托盤固定在點處，右側托盤的點可以在橫梁段滑動．已知，，一個的砝碼．
鏈接：根據杠桿原理，平衡時：左盤物體重量右盤物體重量（不計托盤與橫梁重量）．
(1)左側托盤放置砝碼，右側托盤放置物體，設右側托盤放置物體的重量為，長．當天平平衡時，求關于的函數表達式，并求的取值范圍；
(2)由于一個空的礦泉水瓶太輕無法稱量，小組進行如下操作：左側托盤放置砝碼，右側托盤放置礦泉水瓶，如圖2．滑動點至點，空瓶中加入適量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，發現點移動到長為時，天平平衡．求這個空礦泉水瓶的重量．
4．（2024·廣東深圳·二模）【項目式學習】
項目主題：學科融合－用數學的眼光觀察世界
項目背景：學習完相似三角形性質后，某學校科學小組的同學們嘗試用數學的知識和方法來研究凸透鏡成像規律．
項目素材：
素材一：凸透鏡成像規律：
物體到凸透鏡距離 像到凸透鏡距離 像的大小 像的正倒
大于2倍焦距 大于1倍焦距小于2倍焦距 縮小 倒立
2倍焦距 2倍焦距 等大 倒立
大于1倍焦距小于2倍焦距 大于2倍焦距 放大 倒立
小于焦距 與物同側 放大 正立
素材二：透鏡成像中，光路圖的規律：通過透鏡中心的光線不發生改變：平行于主光軸的光線經過折射后光線經過焦點．
項目任務：
任務一：凸透鏡的焦距為，蠟燭的高為，離透鏡中心的距離是時，請你利用所學的知識填空：①______，②____；
任務二：凸透鏡的焦距為，蠟燭是，離透鏡中心的距離是 時，蠟燭的成像的高，請你利用所學的知識求出與的關系式：
任務三：
（1）根據任務二的關系式得出下表：
物距 8 10 12 14 16
像高 12 6 4 2.4
其中______；
（2）請在坐標系中畫出它的圖像：
（3）根據函數關系式，結合圖像寫出1條你得到的結論：
____________________________________________________．
5．（2023·廣東深圳·三模）【綜合實踐】
如圖所示，是《天工開物》中記載的三千多年前中國古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠桿原理：阻力阻力臂動力動力臂，如圖，即），受桔槔的啟發，小杰組裝了如圖所示的裝置．其中，杠桿可繞支點O在豎直平面內轉動，支點O距左端，距右端，在杠桿左端懸掛重力為的物體A．
(1)若在杠桿右端掛重物B，杠桿在水平位置平衡時，重物B所受拉力為______．
(2)為了讓裝置有更多的使用空間，小杰準備調整裝置，當重物B的質量變化時，的長度隨之變化．設重物B的質量為，的長度為．則①y關于x的函數解析式是______．
②完成下表：
… 10 20 30 40 50 …
… 8 a 2 b …
③在直角坐標系中畫出該函數的圖象．
(3)在（2）的條件下，將函數圖象向右平移4個單位長度，與原來的圖像組成一個新的函數圖象，記為L．若點A的坐標為，在L上存在點Q，使得．請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標．
6．（2023·河南安陽·二模）寓言故事：青年用木柴燒水時，由于木柴不足，水沒有燒開，重新找木柴的時間水已變涼，而新找的木柴也不夠將水重新燒開，很是氣餒．路過的智者提醒他，木柴不夠，可以將水倒掉一部分．青年聽后，茅塞頓開，把水燒開了．
智者的話蘊含一定道理，根據物理學公式（Q表示寓言故事中水吸收的總熱量，c表示水的比熱容為常數，m表示水的質量，表示水的溫差），得．智者的話可解釋為：當木柴質量確定時，提供給水吸收的總熱量Q隨之確定，為定值，水上升的溫度（單位：）與水的質量m（單位：kg）成反比例．
(1)若現有木柴可以將3kg溫度為25℃的水加熱到75℃，請求出這種情形下的值及關于m的反比例函數的表達式；
(2)在（1）的情形下，現有的木柴可將多少千克溫度為25℃的水加熱到100℃．
命題點四 反比例函數與一次函數
題型01 一次函數與反比例函數綜合
1．（2024·四川瀘州·中考真題）已知關于x的一元二次方程無實數根，則函數與函數的圖象交點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數的圖象交于兩點，點的橫坐標為1．
(1)求的值及點的坐標．
(2)點是線段上一點，點在直線上運動，當時，求的最小值．
3．（2024·山東東營·中考真題）如圖，一次函數（）的圖象與反比例函數（）的圖象交于點，，且一次函數與軸，軸分別交于點C，D．
(1)求反比例函數和一次函數的表達式；
(2)根據圖象直接寫出不等式的解集；
(3)在第三象限的反比例函數圖象上有一點P，使得，求點的坐標．
4．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，直線與雙曲線交于，兩點，已知點坐標為．
(1)求，的值；
(2)將直線向上平移個單位長度，與雙曲線在第二象限的圖象交于點，與軸交于點，與軸交于點，若，求的值．
5．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象交于點，，與軸，軸分別交于，兩點．
(1)求一次函數和反比例函數的表達式；
(2)若點在軸上，當的周長最小時，請直接寫出點的坐標；
(3)將直線向下平移個單位長度后與軸，軸分別交于，兩點，當時，求的值．
6．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與直線相交于點，與軸交于點，點在反比例函數圖象上．
(1)求，，的值；
(2)若，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，求點的坐標和的值；
(3)過，兩點的直線與軸負半軸交于點，點與點關于軸對稱．若有且只有一點，使得與相似，求的值．
題型02 反比例函數與幾何圖形綜合
1．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，正方形與（其中邊，分別在，軸的正半軸上）的公共頂點在反比例函數的圖象上，直線與，軸分別相交于點，．若這兩個正方形的面積之和是，且．則的值是（ ）
A．5 B．1 C．3 D．2
2．（2024·廣東·中考真題）【問題背景】
如圖1，在平面直角坐標系中，點B，D是直線上第一象限內的兩個動點，以線段為對角線作矩形，軸．反比例函數的圖象經過點A．
【構建聯系】
（1）求證：函數的圖象必經過點C．
（2）如圖2，把矩形沿折疊，點C的對應點為E．當點E落在y軸上，且點B的坐標為時，求k的值．
【深入探究】
（3）如圖3，把矩形沿折疊，點C的對應點為E．當點E，A重合時，連接交于點P．以點O為圓心，長為半徑作．若，當與的邊有交點時，求k的取值范圍．
3．（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點A、B，與軸交于點C，點A的橫坐標為2．
(1)求的值；
(2)利用圖像直接寫出時的取值范圍；
(3)如圖2，將直線沿軸向下平移4個單位，與函數的圖像交于點D，與軸交于點E，再將函數的圖像沿平移，使點A、D分別平移到點C、F處，求圖中陰影部分的面積．
4．（2023·河南·中考真題）小軍借助反比例函數圖象設計“魚形”圖案，如圖，在平面直角坐標系中，以反比例函數圖象上的點和點B為頂點，分別作菱形和菱形，點D，E在x軸上，以點O為圓心，長為半徑作，連接．
(1)求k的值；
(2)求扇形的半徑及圓心角的度數；
(3)請直接寫出圖中陰影部分面積之和．
5．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點．將點沿軸正方向平移個單位長度得到點為軸正半軸上的點，點的橫坐標大于點的橫坐標，連接的中點在反比例函數的圖象上．

(1)求的值；
(2)當為何值時，的值最大 最大值是多少
6．（2023·四川涼山·中考真題）閱讀理解題：
閱讀材料：
如圖1，四邊形是矩形，是等腰直角三角形，記為、為，若，則．

證明：設，∵，∴，
易證
∴，
∴
∴，
若時，當，則．
同理：若時，當，則．
根據上述材料，完成下列問題：
如圖2，直線與反比例函數的圖象交于點，與軸交于點．將直線繞點順時針旋轉后的直線與軸交于點，過點作軸于點，過點作軸于點，已知．

(1)求反比例函數的解析式；
(2)直接寫出的值；
(3)求直線的解析式．

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