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第三章 函數
第13講 二次函數的圖像與性質
（思維導圖+4考點+3命題點19種題型（含3種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 二次函數的相關概念
考點二 二次函數的圖像與性質
考點三 二次函數與各項系數之間的關系
考點四 二次函數與方程、不等式
04題型精研·考向洞悉
命題點一 二次函數的圖像與性質
題型01 根據二次函數解析式判斷其性質
題型02 根據二次函數的圖像與性質求解
題型03 求二次函數解析式
題型04 畫二次函數的圖像
題型05 以開放性試題的形式考查二次函數的圖像與性質
題型06 二次函數的平移變換問題
題型07 二次函數的對稱變換問題
題型08 根據二次函數的對稱性求參數取值范圍
題型09 二次函數的最值問題
題型10 根據二次函數的最值求參數/取值范圍
題型11 根據二次函數的增減性求參數的取值范圍
題型12 根據二次函數自變量/函數值的取值范圍求函數值/自變量的取值范圍
命題點二 二次函數的圖像與各項系數之間的關系
題型01 二次函數的圖像與各項系數符號
題型02 根據二次函數的圖像判斷式子符號
題型03 函數圖像綜合
命題點三 二次函數與方程、不等式
題型01 已知一元二次方程根的分布情況求參數
題型02 二次函數與坐標系交點問題
題型03 二次函數與方程、不等式
題型04 二次函數與三角形相結合的應用方法
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
二次函數的圖像對稱性與增減性 ★★ 能畫二次函數的圖像，通過圖像了解二次函數的性質，知道二次函數系數與圖像形狀和對稱軸的關系； 會求二次函數的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值.
二次函數圖像的有關判斷 ★★
二次函數的圖像變換 ★★
二次函數的圖像與系數 ★★★
二次函數解析式的確定 ★★★
二次函數與方程結合 ★ 知道二次函數和一元二次方程之間的關系，會利用二次函數的圖像求一元二次方程的近似解.
二次函數與不等式結合 ★
【考情分析1】二次函數是初中階段的重點內容、難點內容，也是中考的必考內容，對于二次函數圖像和性質的簡單考查常以非解答題的形式出現，經常考查二次函數的對稱性、增減性與其解析式中的二次項系數、一次項系數及常數項之間的關系. 【考情分析2】二次函數與方程，不等式主要考查二次函數與一次函數結合，考查圖像交點個數與函數各項系數間的關系，試題形式多樣，難度一般，單獨命題較少，一般都是問題中的某一部分，,其中函數圖像與x軸的交點個數與對應的一元二次方程有關，相應不等式也可依靠函數圖像求解. 【備考建議】二次函數作為初中三大函數中考點最多，出題最多，難度最大的函數，一直都是各地中考數學中最重要的考點，年年都會考查，總分值為15-20分，預計2025年各地中考還會考. 出題形式多樣，考生復習時需要熟練掌握相關知識，熟悉相關題型，認真對待該考點的復習.
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 二次函數的相關概念
二次函數的定義：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常數)的函數叫做二次函數. 其中，x是自變量，a，b，c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項.
二次函數的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常數).
二次函數的3種特殊形式：1)當b＝0時，
2)當c＝0時，
3)當b＝0且c＝0時，
二次函數的常見表達式：
名稱 解析式 前提條件 相互聯系
一般式 當已知拋物線上的無規律的三個點的坐標時,常用一般式求其表達式. 1）以上三種表達式是二次函數的常見表達式，它們之間可以互相轉化. 2) 一般式化為頂點式，交點式，主要運用配方法，因式分解等方法.
頂點式 當已知拋物線的頂點坐標（h，k）或對稱軸或最值等有關條件時，常用頂點式求其表達式.
交點式 當已知拋物線與x軸的兩個交點坐標時，常用交點式求其表達式.
1．（2024·上海寶山·三模）下列函數中是二次函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查二次函數的概念和解析式的形式，知識點簡單，比較容易掌握．整理后根據二次函數的定義和條件判斷即可．
【詳解】A. 是反比例函數，不符合題意；
B. ，是一次函數，不符合題意；
C. ，右邊不是整式，不是二次函數，不符合題意；
D. 是二次函數，符合題意
故選：D．
2．（2023·北京·模擬預測）線段，動點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發，沿線段運動至點，以線段為邊作正方形，線段長為半徑作圓，設點的運動時間為，正方形周長為，的面積為S，則y與t，S與t滿足的函數關系分別是（ ）
A．正比例函數關系，反比例函數關系 B．一次函數關系，二次函數關系
C．正比例函數關系，二次函數關系 D．一次函數關系，反比例函數關系
【答案】C
【分析】根據題意列出函數關系式，即可判斷函數的類型．
【詳解】解：由題意，得
，屬于正比例函數關系，
，屬于二次函數關系，
故選：C．
【點睛】本題考查了函數關系式，根據題意列出函數關系式是解題的關鍵．
3．（2024·山東菏澤·一模）若二次函數經過原點，則的值為（ ）
A． B．4 C．或4 D．無法確定
【答案】B
【分析】此題考查二次函數的定義，二次函數圖象上點的坐標特征，注意二次函數的二次項系數不能為0，這是容易出錯的地方．
由題意二次函數的解析式為：知，則，再根據二次函數的圖象經過原點，把代入二次函數，解出的值．
【詳解】解：二次函數的解析式為：，
∴，
，
二次函數的圖象經過原點，
，
或，
∵，
．
故選：B．
4．（2023·四川南充·一模）點在函數的圖象上，則代數式的值等于 ．
【答案】3
【分析】利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出，將其代入中即可求出結論．
【詳解】解：點在函數的圖象上，
，
，
則代數式，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，牢記直線上任意一點的坐標都滿足函數關系式是解題的關鍵．
考點二 二次函數的圖像與性質
二次函數的圖像與性質
圖像特征 二次函數的圖像是一條關于某條直線對稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.
基本形式
圖像 a>0
a<0
對稱軸 y軸 y軸 x=h x=h x=
頂點坐標 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，)
最值 a>0 開口向上，頂點是最低點，此時y有最小值；
a<0 開口向下，頂點是最高點，此時y有最大值.
【小結】二次函數最小值(或最大值)為0（k或）.
增
減
性 a>0 在對稱軸的左邊y隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊y隨x的增大而增大.
a<0 在對稱軸的左邊y隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊y隨x的增大而減小.
易錯 拋物線的增減性問題，由a的正負和對稱軸同時確定，單一的直接說，y隨x 的增大而增大(或減小) 是不對的，必須附加一定的自變量x取值范圍.
二、二次函數的圖象變換
1）二次函數的平移變換
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 頂點式y＝a(x–h) 2＋k 平移口訣
向左平移n個單位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n個單位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右減
向上平移n個單位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n個單位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下減
補充：
① 二次函數圖像平移的實質：點的坐標整體平移，在此過程中a的值不發生變化，變化的只是頂點的位置，且與平移方向有關.
② 根據平移規律，左右平移是給x加減平移單位，上下平移是給常數項加減平移單位.
③ 涉及拋物線的平移時，首先將表達式轉化為頂點式的形式，因為二次函數平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，因此可以直接由解析式中常數的加或減求出變化后的解析式.
④ 求函數圖像上某點平移后的坐標口訣與圖像平移口訣相同.
⑤ 對二次函數上下平移，不改變增減性，改變最值；對二次函數左右平移，改變增減性，不改變最值.
2）二次函數圖象的對稱變換
變換方式 變換后 口訣
關于x軸對稱 x不變，y變-y
關于y軸對稱 y不變，x變-x
關于原點對稱 x變-x，y變-y
1．（2024·廣東·中考真題）若點都在二次函數的圖象上，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質、二次函數圖象上點的坐標特征等知識點，根據二次函數的解析式得出函數圖象的對稱軸是y軸（直線），圖象的開口向上，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，再比較即可．
【詳解】解∶ 二次函數的對稱軸為y軸，開口向上，
∴當時， y隨x的增大而增大，
∵點都在二次函數的圖象上，且，
∴，
故選∶A．
2．（2024·內蒙古包頭·中考真題）將拋物線向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了二次函數的平移以及頂點式，根據平移的規律“上加下減．左加右減”可得出平移后的拋物線為，再把化為頂點式即可．
【詳解】解：拋物線向下平移2個單位后，
則拋物線變為，
∴化成頂點式則為 ，
故選：A．
3．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數，當時，函數取得最大值；當時，函數取得最小值，則t的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，二次函數的最值等知識．熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
由，可知圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為，當時，，即關于對稱軸對稱的點坐標為，由當時，函數取得最大值；當時，函數取得最小值，可得，計算求解，然后作答即可．
【詳解】解：∵，
∴圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為，
當時，，
∴關于對稱軸對稱的點坐標為，
∵當時，函數取得最大值；當時，函數取得最小值，
∴，
解得，，
故選：C．
4．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線與x軸相交于點、點，與y軸相交于點C，點D在拋物線上，當軸時， ．

【答案】4
【分析】與拋物線與x軸相交于點、點，可得拋物線的對稱軸為直線，由軸，可得，關于直線對稱，可得，從而可得答案．
【詳解】解：∵拋物線與x軸相交于點、點，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∵當時，，即，
∵軸，
∴，關于直線對稱，
∴，
∴；
故答案為：4
【點睛】本題考查的是利用拋物線上兩點的坐標求解對稱軸方程，熟練的利用拋物線的對稱性解題是關鍵．
6．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與與相交于點，，點的坐標為，若點在拋物線上，則的長為 ．

【答案】
【分析】本題主要考查了待定系數求二次函數的解析式，二次函數的性質，熟練求解二次函數的解析式是解題的關鍵．先利用待定系數法求得拋物線，再令，得，解得或，從而即可得解．
【詳解】解：把點 ，點代入拋物線得，
，
解得，
∴拋物線，
令，得，
解得或，
∴，
∴；
故答案為：．
考點三 二次函數與各項系數之間的關系
① 二次函數的圖像與a，b，c的關系
字母 字母的符號 圖像特征 備注
a a>0 開口向上 a的正負決定開口方向， a的大小決定開口的大小(|a|越大，開口越小)．
a<0 開口向下
b b=0 對稱軸是y軸，即=0 左同右異中間0
a，b同號 對稱軸在y軸左側，即
a，b異號 對稱軸在y軸右側，即
c c=0 圖像過原點 c決定了拋物線與y軸交點的位置．
c>0 與y軸正半軸相交
c<0 與y軸負半軸相交
與x軸有兩個交點 的正負決定拋物線與x軸交點個數
與x軸有唯一交點
與x軸沒有交點
【補充】
1）若兩條拋物線的形狀與開口方向相同時，則它們的二次項系數a必相同；
2）由a的符號與對稱軸x=的位置共同確定b的符號；
【小技巧】通過給x賦值，結合圖像即可判斷特殊函數值的正負.
1．（2024·內蒙古·中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數和的圖象大致如圖所示，則函數的圖象大致為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了一次函數、反比例函數、二次函數的圖象，熟練掌握各函數的圖象特點是解題關鍵．先根據一次函數與反比例函數的圖象可得，，再根據二次函數的圖象特點即可得．
【詳解】解：∵一次函數的圖象經過第一、二、四象限，
∴，即，
∵反比例函數的圖象位于第二、四象限，
∴，即，
∴函數的開口向下，與軸的交點位于軸的正半軸，對稱軸為直線，
故選：D．
2．（2024·山東東營·中考真題）已知拋物線的圖像如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．(為任意實數)
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，熟知二次函數的圖象和性質及巧用數形結合的思想是解題的關鍵；
由圖象可知：，，根據拋物線的與x軸的交點可求對稱軸，根據對稱軸及a與b的符號關系可得，則可判斷選項A、B、C，由當時，函數有最大值，可判斷選項D．
【詳解】解：A、拋物線開口往下，
，
拋物線與y軸交于正半軸，
拋物線的與x軸的交點是：和
∴對稱軸為，
，
，
，故選項A錯誤．
∵，
∴，故選項B錯誤（否則可得，不合題意）．
，，
∴，故選項C錯誤．
拋物線的對稱軸為直線，且開口向下，
當時，函數值最大為，
當時，，
，
，故選項D正確．
故選：D．
3．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，已知拋物線（a、b、c為常數，且）的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，與軸的交點在，之間（不含端點），則下列結論正確的有多少個（ ）
①；
②；
③；
④若方程兩根為，則．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題主要考查二次函數和一次函數的性質，根據題干可得，，，即可判斷①錯誤；根據對稱軸和一個交點求得另一個交點為，即可判斷②錯誤；將c和b用a表示，即可得到，即可判斷③正確；結合拋物線和直線與軸得交點，即可判斷④正確．
【詳解】解：由圖可知，
∵拋物線的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，
∴，，
則，
∵拋物線與軸的交點在，之間，
∴，
則，故①錯誤；
設拋物線與軸另一個交點，
∵對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，
∴，解得，
則，故②錯誤；
∵，，，
∴，解得，故③正確；
根據拋物線與軸交于點和，直線過點和，如圖，
方程兩根為滿足，故④正確；
故選：B．
4．（2023·四川·中考真題）已知拋物線（，，是常數且）過和兩點，且，下列四個結論：；；若拋物線過點，則；關于的方程有實數根，則其中正確的結論有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】由拋物線過和兩點得到對稱軸為直線，且，所以得到，進而判斷的符號，得到，；拋物線過點和，代入可得和，解得，又由，得；對稱軸為直線，，開口向下，所以有最大值為，且，無法判斷關于x的方程是否有實數根．
【詳解】解：已知拋物線過和兩點，則對稱軸為直線，
∵，所以，即，，則，
當時，，則，所以，故結論①錯誤；
因為，所以，，即，故結論②正確；
拋物線過和兩點，代入可得和，兩式相減解得，由可得，解得，故結論③正確；
對稱軸為直線，，開口向下，
∵，
∴所以有最大值為，
∵不一定成立，
∴關于x的方程有實數根無法確定，故結論④錯誤．
故選：B
【點睛】本題主要考查二次函數的圖象與性質，根據題意判斷a，b，c與0的關系，再借助點的坐標得出結論．
5．（2023·山東青島·中考真題）如圖，二次函數的圖象與正比例函數的圖象相交于A，B兩點，已知點A的橫坐標為，點B的橫坐標為2，二次函數圖象的對稱軸是直線．下列結論：①；②；③關于x的方程的兩根為，；④．其中正確的是 ．（只填寫序號）
【答案】①③
【分析】依據題意，根據所給圖象可以得出，，再結合對稱軸，同時令，從而由根與系數的關系，逐個判斷可以得解．
【詳解】解：由圖象可得，，，又，
．
．
①正確．
由題意，令，
．
又二次函數的圖象與正比例函數的圖象相交于，兩點，已知點的橫坐標為，點的橫坐標為2，
的兩根之和為，兩根之積為．
，．
．
又，
．
．
②錯誤，③正確．
，，
．
④錯誤．
故答案為：①③．
【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質；熟練掌握二次函數的圖象及性質是解題的關鍵．
考點四 二次函數與方程、不等式
1. 二次函數圖像與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況
求二次函數的圖像與x軸的交點坐標，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時二次函數就轉化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數決定了拋物線與x軸的交點的個數，它們的關系如下表：
判別式 二次函數 一元二次方程 與x軸交點個數
圖像 與x軸的交點坐標 根的情況
△＞0 拋物線 與x軸交于， 兩點 一元二次方程 有兩個不相等的實數根 2個交點
△＝0 拋物線與x軸交于這一點 一元二次方程 有兩個相等的實數根 1個交點
△＜0 拋物線 與x軸無交點 一元二次方程 在實數范圍內無解（或稱無實數根） 0個交點
二、二次函數與不等式的關系
二次函數與一元二次不等式及之間的關系如下(）：
圖像 有兩個交點 有1個交點 無交點
判別式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0
或 的全體實數 全體實數 無解 無解
或 無實根 或 無實根
無解 無解 或 的全體實數 全體實數
1．（2023九年級下·江蘇·專題練習）如表是部分二次函數的自變量x與函數值y的對應值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y 0.04 0.59 1.16
那么方程的一個根在（　　）范圍之間．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二次函數和一元二次方程的關系．
【詳解】解：觀察表格可知：當時；當時，，
∴方程的一個根在范圍是．
故選：B．
【點睛】本題考查了用圖象法求一元二次方程的近似根，解題的關鍵是找到y由正變為負時，自變量的取值即可．
2．（2024·河南周口·模擬預測）如圖，拋物線交軸于，，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．拋物線的對稱軸是直線
B．當時，隨的增大而減小
C．一元二次方程的兩個根分別是1和3
D．當時，
【答案】D
【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，從圖象中有效的獲取信息，利用對稱性，增減性和二次函數與一元二次方程的關系，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：∵拋物線交軸于，，
∴拋物線的對稱軸是直線，故A選項正確；
一元二次方程的兩個根分別是1和3，故C選項正確；
由圖象可知：當時，隨的增大而減小，故B選項正確；
當時，或，故D選項錯誤；
故選D．
3．（2024·山西大同·模擬預測）已知，若關于x的方程 的解為，關于x的方程 的解為，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了拋物線與一元二次方程的關系，把，看做是直線與拋物線交點的橫坐標，把，看做是直線與拋物線交點的橫坐標，畫出對應的函數圖象即可得到答案，正確把一元二次方程的解轉換成直線與拋物線交點的橫坐標是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖所示，設直線與拋物線交于兩點，直線與拋物線交于兩點，
∵，若關于的方程的解為，關于的方程的解為，
∴，，，分別是的橫坐標，
∴根據圖象可知：，
故選：．
4．（2024·山東濟寧·中考真題）將拋物線向下平移k個單位長度．若平移后得到的拋物線與x軸有公共點，則k的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】先根據平移的規律寫出拋物線向下平移k個單位長度后的拋物線的表達式，再根據平移后得到的拋物線與x軸有公共點可得，由此列不等式即可求出k的取值范圍．
此題考查了二次函數圖像的平移與幾何變換，以及拋物線與x軸的交點問題，利用拋物線解析式的變化規律：左加右減，上加下減是解題關鍵．
【詳解】解：將拋物線向下平移k個單位長度得，
∵與x軸有公共點，
∴，
即，
解得，
故答案為：．
5．（2023·浙江寧波·中考真題）如圖，已知二次函數圖象經過點和．

(1)求該二次函數的表達式及圖象的頂點坐標．
(2)當時，請根據圖象直接寫出x的取值范圍．
【答案】(1)，頂點坐標為；
(2)
【分析】（1）把和代入，建立方程組求解解析式即可，再把解析式化為頂點式，可得頂點坐標；
（2）把代入函數解析式求解的值，再利用函數圖象可得時的取值范圍．
【詳解】（1）解：∵二次函數圖象經過點和．
∴，解得：，
∴拋物線為，
∴頂點坐標為：；
（2）當時，，
∴
解得：，，

如圖，當時，
∴．
【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解二次函數的解析式，二次函數的頂點坐標，利用圖象法解不等式，熟練的運用數形結合的方法解題是關鍵．
04題型精研·考向洞悉
命題點一 二次函數的圖像與性質
題型01 根據二次函數解析式判斷其性質
1．（2023·遼寧沈陽·中考真題）二次函數圖象的頂點所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【詳解】根據拋物線，可以寫出該拋物線的頂點坐標，從而可以得到頂點在第幾象限．
解：，
頂點坐標為，
頂點在第二象限．
故選：．
【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
2．（2023·四川甘孜·中考真題）下列關于二次函數的說法正確的是( )
A．圖象是一條開口向下的拋物線 B．圖象與軸沒有交點
C．當時，隨增大而增大 D．圖象的頂點坐標是
【答案】D
【分析】由二次函數解析式可得拋物線開口方向、對稱軸、頂點坐標，與軸的交點個數，由此解答即可．
【詳解】解：A、，圖象的開口向上，故此選項不符合題意；
B、 ，
，
即圖象與軸有兩個交點，
故此選項不符合題意；
C、拋物線開口向上，對稱軸為直線，
當時，隨增大而減小，
故此選項不符合題意；
D、 ，
圖象的頂點坐標是，
故此選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象性質，解題的關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系．
3．（2024·四川涼山·中考真題）拋物線經過三點，則的大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．根據二次函數的圖象與性質可進行求解．
【詳解】解：由拋物線可知：開口向上，對稱軸為直線，
該二次函數上所有的點滿足離對稱軸的距離越近，其對應的函數值也就越小，
∵，，，
而，，，
∴點離對稱軸最近，點離對稱軸最遠，
∴；
故選：D．
4．（2023·陜西·中考真題）在平面直角坐標系中，二次函數（為常數）的圖像經過點，其對稱軸在軸左側，則該二次函數有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
【答案】D
【分析】將代入二次函數解析式，進而得出的值，再利用對稱軸在軸左側，得出，再利用二次函數的頂點式即可求出二次函數最值．
【詳解】解：將代入二次函數解析式得：，解得：，，
∵二次函數，對稱軸在軸左側，即，
∴，
∴，
∴，
∴當時，二次函數有最小值，最小值為，
故選：．
【點睛】此題主要考查了二次函數的性質以及二次函數的最值，正確得出的值是解題關鍵．
5．（2023·湖南·中考真題）已知是拋物線（a是常數，上的點，現有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線；②點在拋物線上；③若，則；④若，則其中，正確結論的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】根據對稱軸公式可判斷①；當時，，可判斷②；根據拋物線的增減性，分兩種情況計算可判斷③；利用對稱點的坐標得到，可以判斷④．
【詳解】解：∵拋物線（a是常數，，
∴，
故①正確；
當時，，
∴點在拋物線上，
故②正確；
當時，，
當時，，
故③錯誤；
根據對稱點的坐標得到，
，
故④錯誤．
故選B．
【點睛】本題考查了拋物線的對稱性，增減性，熟練掌握拋物線的性質是解題的關鍵．
題型02 根據二次函數的圖像與性質求解
1．（2024·陜西·中考真題）已知一個二次函數的自變量x與函數y的幾組對應值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
則下列關于這個二次函數的結論正確的是（ 　　 ）
A．圖象的開口向上 B．當時，y的值隨x的值增大而增大
C．圖象經過第二、三、四象限 D．圖象的對稱軸是直線
【答案】D
【分析】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質．先利用待定系數法求得二次函數解析式，再根據二次函數的性質逐一判斷即可．
【詳解】解：由題意得，解得，
∴二次函數的解析式為，
∵，
∴圖象的開口向下，故選項A不符合題意；
圖象的對稱軸是直線，故選項D符合題意；
當時，y的值隨x的值增大而增大，當時，y的值隨x的值增大而減小，故選項B不符合題意；
∵頂點坐標為且經過原點，圖象的開口向下，
∴圖象經過第一、三、四象限，故選項C不符合題意；
故選：D．
2．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知拋物線過點與x軸交點的橫坐標分別為，，且，，則下列結論：
①；
②方程有兩個不相等的實數根；
③；
④；
⑤．其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查的是二次函數的圖象與性質，熟練的利用數形結合的方法解題是關鍵；由當時，，可判斷①，由函數的最小值，可判斷②，由拋物線的對稱軸為直線，且，可判斷③，由時，，當時，，可判斷④，由根與系數的關系可判斷⑤；
【詳解】解：①拋物線開口向上，，，
∴當時，，故①不符合題意；
②∵拋物線過點，
∴函數的最小值，
∴有兩個不相等的實數根；
∴方程有兩個不相等的實數根；故②符合題意；
③∵，，
∴拋物線的對稱軸為直線，且，
∴，而，
∴，
∴，故③不符合題意；
④∵拋物線過點，
∴，
∵時，，
即，
當時，，
∴，
∴，
∴，故④符合題意；
⑤∵，，
∴，
由根與系數的關系可得：，，
∴
∴，
∴，故⑤符合題意；
故選：C．
3．（2024·江蘇鎮江·中考真題）對于二次函數（a是常數），下列結論：①將這個函數的圖像向下平移3個單位長度后得到的圖像經過原點；②當時，這個函數的圖像在函數圖像的上方；③若，則當時，函數值y隨自變量x增大而增大；④這個函數的最小值不大于3．其中正確的是 （填寫序號）．
【答案】①②④
【分析】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的最值，一次函數圖象上點的坐標特征，掌握二次函數的性質，數形結合是解題的關鍵．根據平移的規律頂點平移后的函數解析式即可判斷①；確定拋物線與直線沒有交點，且開口向上即可判斷②；利用函數的性質即可判斷③；求得頂點坐標即可判斷④．
【詳解】解：將二次函數是常數）的圖象向下平移3個單位長度后得到，
當時，，
平移后的函數的圖象經過原點，
故①正確；
當時，則，
令，即，
，
拋物線與直線沒有交點，
拋物線開口向上，
當時，這個函數的圖象在函數圖象的上方；
故②正確；
二次函數是常數），
開口向上，對稱軸為直線，
當時，函數值隨自變量增大而增大，
故③錯誤；
，
頂點為，
，
故④正確．
故答案為：①②④．
4．（2024·內蒙古通遼·中考真題）關于拋物線（是常數），下列結論正確的是 （填寫所有正確結論的序號）．
①當時，拋物線的對稱軸是軸；
②若此拋物線與軸只有一個公共點，則；
③若點，在拋物線上，則；
④無論為何值，拋物線的頂點到直線的距離都等于．
【答案】①④/④①
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象和性質．①把代入解析式，即可判斷；②利用一元二次方程根的判別式，即可判斷；③把拋物線解析式化為頂點式可得拋物線的對稱軸為直線，再由二次函數的性質，即可判斷；④根據題意可得拋物線的頂點坐標在直線上，即可判斷．
【詳解】解：當時，，此時拋物線的對稱軸是軸，故①正確；
∵此拋物線與軸只有一個公共點，
∴方程的有兩個相等的實數根，
∴，
解得：，故②錯誤；
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∵，
∴離對稱軸距離越遠的點的縱坐標越大，
∵點，在拋物線上，且，
∴，故③錯誤；
∵，
∴拋物線的頂點坐標為，
∴拋物線的頂點坐標在直線上，
如圖，過點A作直線于點B，則點，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，即拋物線的頂點到直線的距離都等于，故④正確．
故答案為：①④
5．（2024·安徽·中考真題）已知拋物線（b為常數）的頂點橫坐標比拋物線的頂點橫坐標大1．
(1)求b的值；
(2)點在拋物線上，點在拋物線上．
（ⅰ）若，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）3；（ⅱ）
【分析】題目主要考查二次函數的性質及化為頂點式，解一元二次方程，理解題意，熟練掌握二次函數的性質是解題關鍵．
（1）根據題意求出的頂點為，確定拋物線（b為常數）的頂點橫坐標為2，即可求解；
（2）根據題意得出， ，然后整理化簡；（ⅰ）將代入求解即可；（ⅱ）將代入整理為頂點式，即可得出結果．
【詳解】（1）解：，
∴的頂點為，
∵拋物線（b為常數）的頂點橫坐標比拋物線的頂點橫坐標大1，
∴拋物線（b為常數）的頂點橫坐標為2，
∴，
∴；
（2）由（1）得
∵點在拋物線上，點在拋物線上．
∴， ，
整理得：
（ⅰ）∵，
∴，
整理得：，
∵，，
∴，
∴；
（ⅱ）將代入，
整理得，
∵，
∴當，即時，h取得最大值為．
題型03 求二次函數解析式
1）已知拋物線上任意三點坐標，可設
2）已知拋物線上的頂點坐標（h，k），可設
3）已知拋物線與x軸的兩個交點坐標時，可設
4）已知拋物線過點時，可設（縱坐標相等的兩個點關于對稱軸對稱，則拋物線的對稱軸可表示為直線h=）
【注意事項】
1)二次函數的解析式求解，最后結果一般寫成一般式或頂點式，不寫成交點式；
2)任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即時，拋物線才可以用交點式表示，二次函數解析式的這三種形式可以互化.
1．（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是，頂點坐標為，則下列說法正確的是（ ）
A．二次函數圖象的對稱軸是直線
B．二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2
C．當時，y隨x的增大而減小
D．二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標是3
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數的性質，待定系數法求二次函數解析式，利用二次函數的性質，對稱性，增減性判斷選項A、B、C，利用待定系數法求出二次函數的解析式，再求出與y軸的交點坐標即可判定選項D．
【詳解】解∶ ∵二次函數的頂點坐標為，
∴二次函數圖象的對稱軸是直線，故選項A錯誤；
∵二次函數的圖象與x軸的一個交點的橫坐標是，對稱軸是直線，
∴二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是1，故選項B錯誤；
∵拋物線開口向下， 對稱軸是直線，
∴當時，y隨x的增大而增大，故選項C錯誤；
設二次函數解析式為，
把代入，得，
解得，
∴，
當時，，
∴二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標是3，故選項D正確，
故選D．
2．（2024·江蘇蘇州·中考真題）二次函數的圖象過點，，，，其中m，n為常數，則的值為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，把A、B、D的坐標代入，求出a、b、c，然后把C的坐標代入可得出m、n的關系，即可求解．
【詳解】解：把，，代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴，
故答案為：．
3．（2023·浙江紹興·中考真題）在平面直角坐標系中，一個圖形上的點都在一邊平行于軸的矩形內部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關聯矩形．例如：如圖，函數的圖象（拋物線中的實線部分），它的關聯矩形為矩形．若二次函數圖象的關聯矩形恰好也是矩形，則 ．

【答案】或
【分析】根據題意求得點，，，根據題意分兩種情況，待定系數法求解析式即可求解．
【詳解】由，當時，，
∴，
∵，四邊形是矩形，
∴，
①當拋物線經過時，將點，代入，
∴
解得：
②當拋物線經過點時，將點,代入，
∴
解得：
綜上所述，或，
故答案為：或．
【點睛】本題考查了待定系數法求拋物線解析式，理解新定義，最小矩形的限制條件是解題的關鍵．
4．（2024·吉林長春·模擬預測）二次函數的圖象是一條拋物線，自變量x與函數y的部分對應值如表：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 0 …
有如下結論：
①拋物線的開口向上；②拋物線的對稱軸是直線；③拋物線與y軸的交點坐標為；④由拋物線可知的解集是．其中正確的是 ．
【答案】①②④
【分析】本題考查了二次函數的性質：熟練掌握二次函數 的性質是解決問題的關鍵.也考查了待定系數法求拋物線解析式.
利用交點式求出拋物線的解析式為則根據二次函數的性質可對①②進行判斷；利用 時， 可對③進行判斷；利用拋物線與軸的交點坐標為，則寫出拋物線在軸上方所對應的自變量的范圍可對④進行判斷.
【詳解】∵拋物線經過點，
∴設拋物線的解析式為
把代入得 解得
∴拋物線解析式為即
，
∴拋物線開口向上，所以①正確；
拋物線的對稱軸是直線 所以②正確；
拋物線與軸的交點坐標為所以③錯誤；
∵拋物線與軸交于點， 且拋物線開口向上，
∴當時， ，
的解集是所以④正確.
故答案為： ①②④.
5．（2024·四川成都·二模）已知二次函數圖像與x軸相交于點，且，若二次函數經過點，則二次函數表達式為 ．
【答案】
【分析】本題考查了待定系數法求二次函數解析式及根于系數的關系，熟練掌握待定系數法及根與系數的關系是解題關鍵．
利用根與系數的關系得出，再將點C代入求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
將三點代入到中，得：，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案為：．
題型04 畫二次函數的圖像
1．（2023·江蘇泰州·中考真題）閱讀下面方框內的內容，并完成相應的任務．
小麗學習了方程、不等式、函數后提出如下問題：如何求不等式的解集？ 通過思考，小麗得到以下3種方法： 方法1 方程的兩根為，，可得函數的圖像與x軸的兩個交點橫坐標為、，畫出函數圖像，觀察該圖像在x軸下方的點，其橫坐標的范圍是不等式的解集． 方法2 不等式可變形為，問題轉化為研究函數與的圖像關系．畫出函數圖像，觀察發現：兩圖像的交點橫坐標也是、3；的圖像在的圖像下方的點，其橫坐標的范圍是該不等式的解集． 方法3 當時，不等式一定成立；當時，不等式變為；當時，不等式變為．問題轉化為研究函數與的圖像關系…
任務：
(1)不等式的解集為_____________；
(2)3種方法都運用了___________的數學思想方法（從下面選項中選1個序號即可）；
A.分類討論 B.轉化思想 C.特殊到一般 D.數形結合
(3)請你根據方法3的思路，畫出函數圖像的簡圖，并結合圖像作出解答．
【答案】(1)
(2)D
(3)圖像見解析，不等式的解集為
【分析】（1）如圖1，作的圖像，由方法1可知，不等式的解集為；
（2）由題意知，3種方法都運用了數形結合的數學思想方法；
（3）如圖2，作函數與的圖像，由圖像可得，的解集為，或，進而可得的解集．
【詳解】（1）解：如圖1，作的圖像，

由方法1可知，不等式的解集為，
故答案為：；
（2）解：由題意知，3種方法都運用了數形結合的數學思想方法，
故選：D；
（3）解：如圖2，作函數與的圖像，

由圖像可得，的解集為，或，
綜上，的解集為．
【點睛】本題考查了數形結合求一元二次不等式的解集，作二次函數、一次函數、反比例函數的圖像．解題的關鍵在于理解題意并正確的作函數圖象．
2．（2024·甘肅·模擬預測）已知拋物線與y軸的交點為A，且y與x的部分對應值如表：
x …… 0 1 2 5 ……
y …… 0 m 8 9 0 ……
(1)拋物線的對稱軸為直線 ，點A的坐標為 ，并畫出函數的圖象；
(2)設點P為拋物線上的一個動點，連接，取的中點．猜想點構成的曲線是什么函數的圖象，求此函數的解析式，并在網格中畫出該函數的大致圖象．
【答案】(1)，；圖見解析
(2)二次函數，，圖見解析
【分析】（1）根據表中數據和函數的對稱性可以求出函數的對稱軸，再令，則求出點坐標；根據表中數據描點、連線畫出函數圖象；
（2）根據（1）中數據可以求出拋物線的解析式，再設點坐標為，根據中點坐標公式求出，令，則，把代入中即可得出點運動的函數解析式，并根據函數解析式畫出點的圖象．
本題考查動點問題的函數圖象，解題關鍵是求出函數的解析式．
【詳解】（1）解：根據當和5時，，得出拋物線的對稱軸是：直線，
拋物線與軸的交點為，
時，，則點，
故答案為：，；
由表中數據可畫出二次函數圖象，如圖：
（2）解：點構成的曲線是拋物線．
拋物線過，，
，
解得，
二次函數的解析式為：，
設點坐標為，
點坐標為，是中點，
，，
令，則，
，
圖象如圖所示：
3．（2024·河南安陽·模擬預測）操作與探究：已知點P是拋物線上的一個動點．
(1)在如圖的平面直角坐標系中畫出函數的圖象；
(2)仔細觀察圖象，結合所學知識解答下列問題：
①當函數值時，自變量x的取值范圍是 ；
②方程的根是 （結果保留一位小數）；
③當時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是 ；
④當時，函數值，直接寫出n的取值范圍 ．
【答案】(1)見解析
(2)①；②或；③；④
【分析】（）利用畫函數圖象的步驟即可求解；
（）根據二次函數的圖象及性質逐一解答即可；
此題考查了二次函數的圖象及性質和畫二次函數圖象，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】（1）列表：
描點，連線，如圖，
（2）根據圖象可知，當函數值時，自變量x的取值范圍是，
故答案為：；
由得，，
方程的根可以看作是函數與x軸交點，
通過圖象可知函數與x軸交點近似為，
或，
故答案為：或；
根據圖象可知，當時，隨的增大而增大，
當時，y隨x的增大而增大，
則m的取值范圍是，
故答案為：；
根據圖象可知，
則的取值范圍是．
題型05 以開放性試題的形式考查二次函數的圖像與性質
1．（2024·江蘇無錫·模擬預測）某個函數同時滿足兩個條件：①圖象過點、；②當時，隨的增大而減小．這個函數表達式可以是 ．（只要寫出一個符合愿意的答案即可）
【答案】
【分析】本題考查了待定系數法求函數的解析式．設此函數的解析式為，再把點，代入求出、的值即可．
【詳解】解：設此函數的解析式為，
圖象過點、，
，
解得，
這個函數表達式可以是，
故答案為：（答案不唯一）．
2．（2023·上海·中考真題）一個二次函數的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左側的部分是上升的，那么這個二次函數的解析式可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據二次函數的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左側的部分是上升的，可確定，對稱軸，，從而確定答案．
【詳解】解：∵二次函數的對稱軸左側的部分是上升的，
∴拋物線開口向上，即，
∵二次函數的頂點在y軸正半軸上，
∴，即，，
∴二次函數的解析式可以是（答案不唯一）
故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題考查二次函數的性質，能根據增減性和二次函數圖象與y軸的交點確定系數的正負是解題的關鍵．
3．（2023·江蘇泰州·中考真題）二次函數的圖像與x軸有一個交點在y軸右側，則n的值可以是 （填一個值即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據根與系數的關系即可求解．
【詳解】解：設二次函數的圖象與軸交點的橫坐標為、，
即二元一次方程的根為、，
由根與系數的關系得：，，
一次函數的圖象與軸有一個交點在軸右側，
，為異號，
，
故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題考查拋物線與軸的交點，根與系數之間的關系，關鍵是根與系數之間的關系的應用．
4．（2024·上海松江·二模）平移拋物線，使得平移后的拋物線經過原點，且頂點在第四象限，那么平移后的拋物線的表達式可以是 ．（只需寫出一個符合條件的表達式）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題主要考查了二次函數圖象的平移．根據題意可設平移后的拋物線的解析式為，可得該拋物線的頂點坐標為，再由頂點在第四象限，可得，即可．
【詳解】解：根據題意可設平移后的拋物線的解析式為，
∵，
∴該拋物線的頂點坐標為，
∵頂點在第四象限，
∴，
即，
∴平移后的拋物線的解析式為．
故答案為：（答案不唯一）．
題型06 二次函數的平移變換問題
1．（2024·四川內江·中考真題）已知二次函數的圖象向左平移兩個單位得到拋物線，點，在拋物線上，則 （填“＞”或“＜”）；
【答案】
【分析】本題主要考查了二次函數圖象的平移以及二次函數的性質，由平移的規律可得出拋物線的解析式為，再利用二次函數圖象的性質可得出答案．
【詳解】解：，
∵二次函數的圖象向左平移兩個單位得到拋物線，
∴拋物線的解析式為，
∴拋物線開口向上，對稱軸為，
∴當時，y隨x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案為：．
2．（2023·西藏·中考真題）將拋物線通過平移后，得到拋物線的解析式為，則平移的方向和距離是（ ）
A．向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度
B．向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度
C．向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度
D．向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度
【答案】D
【分析】先確定兩個拋物線的頂點坐標，再利用點平移的規律確定拋物線平移的情況．
【詳解】解：拋物線的頂點坐標為，拋物線的頂點坐標為，
而點向左平移2個，再向下平移3個單位可得到，
所以拋物線向左平移2個，再向下平移3個單位得到拋物線y=x2+2x+3．
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式；二是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式．
3．（2024·江蘇徐州·中考真題）在平面直角坐標系中，將二次函數的圖象向下平移5個單位長度，所得拋物線與x軸有兩個公共點P、Q，則 ．
【答案】1
【分析】本題主要考查了二次函數平移規律，拋物線與x軸的交點，兩點間的距離公式，解題關鍵是熟練掌握二次函數圖象的平移規律，求出拋物線的解析式．根據二次函數圖象的平移規律，求出拋物線的解析式，然后令，列出關于x的方程，解方程求出x，再根據兩點間的距離公式求出答案即可．
【詳解】解：將二次函數的圖象向下平移5個單位長度，所得拋物線的解析式為：
，
令，則，
或，
解得：或，
，
故答案為：1．
4．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線向下平移1個單位長度，再向右平移 個單位長度后，得到的新拋物線經過原點．
【答案】2或4/4或2
【分析】先求出拋物線向下平移1個單位長度后與的交點坐標，然后再求出新拋物線經過原點時平移的長度．
【詳解】解：拋物線向下平移1個單位長度后的解析式為，
令，則，
解得，，
∴拋物線與的交點坐標為和，
∴將拋物線向右平移2個單位或4個單位后，新拋物線經過原點．
故答案為：2或4．
【點睛】此題考查了二次函數圖象的平移與幾何變換，利用拋物線解析式的變化規律：左加右減，上加下減是解題關鍵．
5．（2024·貴州遵義·模擬預測）拋物線可以由拋物線平移得到，通常先求出的頂點坐標，再根據的頂點坐標，可發現其圖象的平移過程．請根據你對函數圖象平移的理解，完成下列問題．
【初步感知】
（1）將拋物線向_______平移_______個單位長度，再向_______平移_______個單位長度可得的圖象；
【深入探究】
（2）將的圖象平移，使得平移后的圖象始終過點，且對任意的自變量的值，所對應的函數值都不大于10，則最多將的圖象向右平移多少個單位長度？
【拓展提升】
（3）將的圖象平移后得到的圖象，且使得的圖象與直線在軸上方只有一個交點，直接寫出的取值范圍．
【答案】（1）上， 3，右，2；
（2）右平移3個單位長度；
（3）的取值范圍為，，或．
【分析】(1)根據拋物線頂點，向右平移2個單位長度、再向上平移3個單位長度可得拋物線，頂點得出結論；
(2)設將的圖象向右平移個單位長度、向上平移個單位長度，則平移后的拋物線為，再由已知可得: ，由“x為任意實數”可得，從而得出結論；
(3)把代入，得到，從而得到: 的圖象與直線有交點時b的取值范圍及交點的坐標，再由已知條件“在x軸上方只有一個交點”得出結論．
【詳解】解：（1）拋物線的頂點是，拋物線的頂點為，而點向右平移2個單位長度、再向上平移3個單位長度可得點，
將拋物線向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度可得的圖象，
故答案為：上，3，右，2；
（2）設將的圖象向右平移個單位長度、向上平移個單位長度，則平移后的拋物線為，
將的圖象平移，使得平移后的圖象始終過點且對任意的自變量的值，所對應的函數值都不大于10，，
整理，得，，
為任意實數，
，，
，
，
最多將的圖象向右平移3個單位長度；
（3）①當平移后兩個圖象相切，只有一個交點時，，
即：，
兩函數圖象相切，
，
解得：，，
當時，兩圖象交于點，
當時，兩圖象交于點，
，都在軸上方，
當或，兩圖象在軸上方只有一個交點，
（2）當平移后兩個圖象不相切，在軸上方只有一個交點時，
與軸的交點為，
時，二次函數的值為：，
過點為，
過點為，
當時，兩圖象在軸上方只有一個交點，另一個交點在軸上.
解得：，
兩圖象在軸上的交點坐標為或，另一個交點在軸上方，.
與軸的交點為，
的對稱軸為.
與軸的交點橫坐標小于大于0，
的對稱軸大于，
兩個圖象的一個交點在第四象限，一個交點在第一象限，，
與軸的交點為，
的對稱軸為，
與軸的交點橫坐標大于小于0，
的對稱軸小于，
兩個圖象的一個交點在第三象限，一個交點在第二象限.
當或是，兩圖象在軸上方只有一個交點，
綜上所述：的取值范圍為，，或．
【點睛】本題主要考查了二次函數圖象與幾何變換，掌握平移規律是解題的關鍵．
題型07 二次函數的對稱變換問題
1．（2023·四川自貢·中考真題）經過兩點的拋物線（為自變量）與軸有交點，則線段長為（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【分析】根據題意，求得對稱軸，進而得出，求得拋物線解析式，根據拋物線與軸有交點得出，進而得出，則，求得的橫坐標，即可求解．
【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線
∵拋物線經過兩點
∴，
即，
∴，
∵拋物線與軸有交點，
∴，
即，
即，即，
∴，，
∴，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數的對稱性，與軸交點問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
2．（2024·陜西西安·模擬預測）已知二次函數（為常數，且）的圖象經過，，，四點，且點B在點A的右側，則d的值不可能是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的性質．求得拋物線的對稱軸為直線，得到點關于直線的對稱點為，求得，根據拋物線開口向下，即可求解d的取值范圍，據此即可判斷．
【詳解】解：∵，，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∴點關于直線的對稱點為，
∵，
∴，
∵，
∴拋物線開口向下，
∴或，
觀察四個選項，d的值可能為，，4，不可能是，
故選：B．
3．（2024·福建莆田·一模）坐標平面上有兩個二次函數的圖像，其頂點、皆在軸上，且有一水平線與兩圖像相交于、、、四點，各點位置如圖所示，若，，，則的長度是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的圖像與性質，線段長度的相關計算，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．由，，的長度以及根據二次函數的對稱性可以知道，和，和，和橫坐標的差，從而推出和的橫坐標之差，得到的長度．
【詳解】由、、、四點在同一水平線，可以知道四點縱坐標相同
，，，
，
又
．
故選：B．
4．（2024·江蘇無錫·二模）已知二次函數的對稱軸是直線，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數的對稱性，求出二次函數圖象與x軸的兩個交點坐標，利用拋物線的對稱性即這兩個交點關于對稱軸對稱，即可求得．
【詳解】解：令，解得：，
即拋物線與x軸的兩個交點坐標為，
由于拋物線的對稱軸是直線，即，
解得：
故答案為：．
題型08 根據二次函數的對稱性求參數取值范圍
1．（2024·浙江金華·二模）已知二次函數，當時，或．若，是拋物線上的兩點，且，則m的取值范圍為（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】本題考查的二次函數的圖象與性質，能確定出拋物線的開口方向與對稱軸是解題的關鍵．
根據題意先確定出拋物線的開口方向及對稱軸,再根據開口向上的拋物線上的點離對稱軸距離越大對應的函數值越大得到關于m的不等式組,求解即可得答案．
【詳解】解：∵當時， 或，
∴拋物線開口向上，且對稱軸是直線，
∴當拋物線上的點離對稱軸越近函數值就越小，
∵，
又， 是拋物線上的兩點， 且，
∴，
∴，
∴，
，
故選： A．
2．（2024·浙江·一模）已知點，，均在拋物線的圖象上，且，點和也在此拋物線上，則下列說法正確的是（ ）
A．若恒成立，則 B．若恒成立，則
C．若恒成立，則 D．若恒成立，則
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數圖象上點坐標特征，主要利用了二次函數的增減性與對稱性，根據頂點的縱坐標最大確定出拋物線開口方向是解題的關鍵．先判斷出拋物線開口方向下，求出對稱軸范圍即可求解．
【詳解】解：由題意得：，
解得：，
，即，
解得：，
，，
，
，
，，
拋物線的圖象開口向下，對稱軸在y軸右側，
點和也在此拋物線上，
若恒成立，則；
若恒成立，則；
故選：A．
3．（2024·江蘇無錫·二模）已知二次函數，點均在該二次函數的圖象上，且，則k的取值范圍為 ．
【答案】或
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象和性質．根據點，可得二次函數圖象的對稱軸，從而得到點關于對稱軸的對稱點為，再分兩種情況：當點在對稱軸的左側時；當點在對稱軸的右側時，即可求解．
【詳解】解：∵點均在該二次函數的圖象上，且關于對稱軸對稱，
∴二次函數圖象的對稱軸為直線，
∴點關于對稱軸的對稱點為，
當時，，
∴二次函數的圖象與y軸的交點為，
∵，
當點在對稱軸的左側時，；
當點在對稱軸的右側時，，且，
解得：；
綜上所述，k的取值范圍為或．
故答案為：或．
4．（2024·北京西城·模擬預測）在平面直角坐標系中，點，是拋物線上的兩點（，不重合）．
(1)若，求的值；
(2)若點在拋物線上，且對于，都有，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二次函數的圖像上的點的坐標特征，解題的關鍵是掌握時，離對稱軸越近的點，其縱坐標越小，再分類討論可得答案；
（1）由可得對稱軸是直線，解得：；
（2）由，可知離對稱軸水平距離越近的點，其縱坐標越小，再分類討論可得答案；
【詳解】（1）解：由題意得，
，點，是拋物線上的兩點，
對稱軸是直線，
，
（2）拋物線，
拋物線開口向上，對稱軸為直線，
點在拋物線上，且對于，
點在對稱軸右側，
點關于對稱軸的對稱點為，
當時，
，
，
當時，
，則，不符合題意；
綜上所述，的取值范圍是
5．（2023·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，點在拋物線上，設拋物線的對稱軸為．
(1)當時，求的值；
(2)若，求a的取值范圍及的取值范圍．
【答案】(1)2；
(2)a的取值范圍為，的取值范圍為．
【分析】（1）根據題意可得點關于拋物線對稱軸對稱，據此求解即可；
（2）先求出點在拋物線上；再分當時，則離對稱軸越遠函數值越大，當時，則離對稱軸越遠函數值越小，兩種情況根據二次函數的性質列出不等式組求解即可．
【詳解】（1）解：∵點在拋物線上，且，
∴拋物線對稱軸為直線，即；
（2）解：在中，當時，，
∴點在拋物線上；
當時，則離對稱軸越遠函數值越大，
∵，
∴，
∴，即，此時不等式組無解，
∴此種情況不成立；
當時，則離對稱軸越遠函數值越小，
∴，
∴，即，
解得即，
綜上所述，a的取值范圍為，的取值范圍為．
【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，熟知二次函數的性質并利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．
題型09 二次函數的最值問題
1．（2024·四川眉山·中考真題）定義運算：，例如，則函數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查二次函數求最值，根據新定義，得到二次函數關系式，進而利用二次函數的性質，求最值即可．
【詳解】解：由題意得，，
即，
當時，函數的最小值為．
故選：B．
2．（2023·陜西·中考真題）在平面直角坐標系中，二次函數（為常數）的圖像經過點，其對稱軸在軸左側，則該二次函數有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
【答案】D
【分析】將代入二次函數解析式，進而得出的值，再利用對稱軸在軸左側，得出，再利用二次函數的頂點式即可求出二次函數最值．
【詳解】解：將代入二次函數解析式得：，解得：，，
∵二次函數，對稱軸在軸左側，即，
∴，
∴，
∴，
∴當時，二次函數有最小值，最小值為，
故選：．
【點睛】此題主要考查了二次函數的性質以及二次函數的最值，正確得出的值是解題關鍵．
3．（2023·遼寧大連·中考真題）已知拋物線，則當時，函數的最大值為（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】D
【分析】把拋物線化為頂點式，得到對稱軸為，當時，函數的最小值為，再分別求出和時的函數值，即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴對稱軸為，當時，函數的最小值為，
當時，，當時，，
∴當時，函數的最大值為2，
故選：D
【點睛】此題考查了二次函數的最值，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
4．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在四邊形中，，，點分別為邊上的動點，連接，，若，，則面積的最大值為 ．
【答案】6
【分析】該題主要考查了勾股定理，解直角三角形，二次函數最值求解等知識點，解題的關鍵是掌握以上知識點．
由題意可知，即可得，證明，在中，勾股定理算出，即可得出，設．則，根據，得出，即可得，，即可得出 ，據此即可求解；
【詳解】解：由題意可知，
，
∴在中，，
又，
，
在中，，
，
設．則，．
∵，
，
，
，
，
∵，
當時，取得最大值6，
故答案為：6．
題型10 根據二次函數的最值求參數/取值范圍
1．（2024·湖北·模擬預測）已知關于的二次函數，當時，隨的增大而減小．且當時，有最大值2．則的值為（ ）
A． B．1 C． 1 D．
【答案】B
【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，先求出對稱軸，根據增減性確定的符號，再根據最值求出的值即可．
【詳解】解：∵，
∴對稱軸為直線，
∵當時，隨的增大而減小，
∴拋物線的開口向上，
∴，拋物線上的點離對稱軸越遠，函數值越大，
∵，，
∴當時，有最大值為，
解得：或（舍去）；
故選B．
2．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知二次函數（為常數，且），當時，函數的最大值與最小值的差為9，則的值為（ ）
A．－6 B．4 C．或0 D．0或
【答案】D
【分析】根據題意可知二次函數，故該函數的對稱軸為直線 函數的最大值為2，然后根據對稱軸所在的位置進行分類討論計算即可．
本題考查了二次函數的圖象與性質，準確了解當時，函數的最值會發生變化，從而結合方程解決問題是關鍵．
【詳解】解：二次函數
∴該函數的對稱軸為直線， 函數的最大值為2，
當時，
時， 函數有最大值，
時，函數有最小值，
∵當時，函數的最大值與最小值的差為9，
，
解得：(舍去)，
當 時，
時，函數有最大值，
時，函數有最小值，
∵當 時，函數的最大值與最小值的差為9，
，
解得：(舍去) ，
當時，時，函數有最小值，函數有最大值，
，
解得：或(舍去)，
當時，時，函數有最小值，函數有最大值，
，
解得或4(舍去)，
或，
故選：D．
3．（2023·吉林長春·模擬預測）已知二次函數，當時，函數的最大值為，則m的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】計算當時，，根據當時，函數的最大值為，列得，即可求出m的取值范圍．
【詳解】解：∵，
∴圖象開口向下，頂點坐標為，
∵當時，函數的最大值為，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】此題考查了二次函數的性質，二次函數的最值，正確理解二次函數的性質是解題的關鍵．
4．（2024·云南昆明·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知二次函數的圖象經過坐標原點O和點，其中．
(1)當時，求y關于x的函數表達式，并求出當x為何值時，y有最大值，最大值是多少
(2)當時，在范圍內，y是否存在最大值10 若存在，求出相應的a和x的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，當時，有最大值，最大值為2
(2)當的值為5，的值為4時，取得最大值10
【分析】本題主要考查二次函數的應用，解題的關鍵是分類討論思想的應用．
（1）依據題意，當時，，再把，代入計算求出，即可得解析式，化成頂點式即可判斷得解；
（2）依據題意，二次函數的圖象經過原點O和點，可得，從而可得解析式為，進而可得拋物線的對稱軸為直線，從而分類討論即可判斷得解．
【詳解】（1）解：當時，，
把，代入得：，
∴．
∴關于的函數表達式為，
∵，
∴當時，有最大值，最大值為2．
（2）在范圍內，存在最大值10，理由如下：
∵二次函數的圖象經過原點O和點，，
∴．
∴．
∴．
∴拋物線的對稱軸為直線．
∵，
∴，
①當，即時，
∴當時，取得最大值．
∴，
解得：．
∴當的值為5，的值為4時，取得最大值10；
②當，即時，
∴當時，取得最大值．
∴．
解得：（小于0，舍去）或（大于4，舍去），
綜上所述，當的值為5，的值為4時，取得最大值10．
5．（2024溫州市三模）已知二次函數（a為常數）．
(1)若，當時，此二次函數y隨著x的增大而減小，求m的取值范圍．
(2)若二次函數在時有最大值3，求a的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】
本題考查了二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是運用數形結合思想和分類討論思想．
（1）由可知拋物線開口向上，求得對稱軸為直線，根據二次函數的性質得到，即可求解；
（2）分兩種情況討論，得到關于a的方程，解方程即可．
【詳解】（1）解∶拋物線的對稱軸為直線，
拋物線開口向上，當時，二次函數隨的增大而減小，
時，此二次函數隨著的增大而減小，
，
即；
（2）由題意得∶，
二次函數在時有最大值3，
當時，開口向上，
當時，有最大值，
，
；
當時，開口向下，
當時，有最大值，
，
，
綜上，或．
題型11 根據二次函數的增減性求參數的取值范圍
1．（2023溫州市一模）已知點、是二次函數圖象上的兩個點，若當時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根據點A、B是該二次函數圖象上的兩點且縱坐標相等，可得對稱軸為直線，再根據開口向上，時，y隨x的增大而減小，可得，據此即可求解．
【詳解】解：∵點、是二次函數圖象上的兩個點，
∴該二次函數圖象的對稱軸為直線，且開口向上，
∵當時，y隨x的增大而減小，
∴該二次函數圖象的對稱軸為直線或在其右側，
，
解得，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，得到該二次函數圖象的對稱軸為直線或在其右側是解決本題的關鍵．
2．（2023·山東臨沂·二模）已知點，、，是二次函數圖象上的兩個點，若當時，隨的增大而減小，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】首先根據點、是該二次函數圖象上的兩點且縱坐標相等，可得對稱軸為直線，再根據開口向上，時，隨的增大而減小，可得 ，據此即可求解．
【詳解】解：∵點，、，是二次函數圖象上的兩個點，
∴對稱軸為直線，開口向上，
∵當時，隨的增大而減小，
∴該二次函數圖象的對稱軸為直線或在其右側，
∴
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，得到該二次函數圖象的對稱軸為直線或在其右側是解決本題的關鍵．
3．（2023·安徽蕪湖·三模）在平面直角坐標系中，將拋物線繞點旋轉，當時，y隨x的增大而減小，則k的范圍是 ．
【答案】
【分析】先確定旋轉后拋物線的開口方向和對稱軸，再由題意列出關于k的不等式進行求解．
【詳解】解：∵，，
∵原拋物線的開口向上，對稱軸是直線，
∵將該拋物線繞點旋轉后開口向下，
∵旋轉后的對稱軸為直線，開口向下，
∵當時，y隨x的增大而減小，
∴，
解得，
故答案為：．
【點睛】此題考查了二次函數的圖象與性質的應用能力，關鍵是掌握二次函數的圖象和性質．
4．（2023·貴州銅仁·模擬預測）若實數使得關于的分式方程有正整數解，且使二次函數當時，隨增大而增大，則滿足以上所有條件的整數的和為 ．
【答案】3
【分析】題考查二次函數的性質、分式方程的解，把a看作已知數解分式方程，求出符合條件的a的值，用a表示出二次函數的對稱軸，根據，y隨必增大而增大，得出二次函數的對稱軸在的左側，求出滿足a的取值范圍，進而求出a的所有值即可求和
【詳解】解：由分式方程得，
∵關于x的二次函數在時，隨增大而增大，
∴，
解得：，
∵分式方程有正整數解，
∴，1，2，
∴滿足以上所有條件的整數的和為3．
故答案為：3．
題型12 根據二次函數自變量/函數值的取值范圍求函數值/自變量的取值范圍
1．（2024汕頭市一模）已知二次函數中，函數y與自變量x的部分對應值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
則當時，x的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】本題主要考查了二次函數的性質，根據表格數據可知：利用二次函數的對稱性判斷出對稱軸，在對稱軸的左邊y隨著x的增大而減小，在對稱軸的右邊y隨著x的增大而增大，進一步得出時，，然后寫出時，x的取值范圍即可．
【詳解】解：由表格可知，和時的函數值相同，
∴對稱軸為直線，
∵當時的函數值小于時的函數值，
∴二次函數開口向上，
∴在對稱軸由此y隨x增大而增大，在對稱軸左側，y隨x增大而減小，
∵時，，
∴時，，
∴當時，x的取值范圍是，
故答案為：．
2．（2023·新疆烏魯木齊·模擬預測）已知二次函數，頂點坐標是( )，當時，則函數的取值范圍
【答案】
【分析】本題考查了二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．把拋物線解析式化為頂點式可求得拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標，然后根據二次函數的性質可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴拋物線的開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為．
∴當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小，
當時，；
當時，；
∴當時，二次函數的函數值y的取值范圍為．
故答案為：，．
3．（2023·湖南邵陽·二模）已知如圖，平面直角坐標系中，一條直線與拋物線相交于、兩點，求當時的x的取值范圍是 ．

【答案】或
【分析】根據圖象結合A，B兩點的坐標求解即可．
【詳解】解：∵、，
由圖象可得，
當或時，．
故答案為：或．
【點睛】本題考查了二次函數與一次函數的交點問題，利用數形結合的思想，熟練掌握數形結合思想是解本題的關鍵．
4．（2023·廣西梧州·二模）如圖，直線與拋物線相交于A，B兩點，點B在y軸上，當時，x的取值范圍是 ．

【答案】/
【分析】求得A，B兩點的橫坐標，再根據圖象得出取值范圍即可．
【詳解】解：因為直線與拋物線分別交于A，B兩點，
令，則，
∴B點坐標為，
則，解得，
∴直線的解析式為，
解方程，
得，，
∴A，B兩點的橫坐標分別為，0，
∴當時，，
故答案為：．
【點睛】此題考查二次函數與不等式，關鍵是根據圖象得出取值范圍．
5．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知二次函數（a是常數，且），
（1）若點在該函數的圖象上，則a的值為 ；
（2）當時，若，則函數值y的取值范圍是 ．
【答案】 2
【分析】本題考查了待定系數法，拋物線的對稱軸，增減性，解不等式，熟練掌握拋物線的性質是解題的關鍵．
（1）把代入函數解析式計算即可；
（2）根據拋物線開口向，結合對稱軸，利用函數的增減性列出不等式計算即可．
【詳解】解：（1）∵點在二次函數的圖象，
∴，
解得；
（2）當時，
∵，
∴拋物線開口向下，
∴當時，y有最大值4，
又當時，，
當時，．
∴當時，函數值y的取值范圍是．
命題點二 二次函數的圖像與各項系數之間的關系
題型01 二次函數的圖像與各項系數符號
1．（2024·四川雅安·中考真題）已知一元二次方程有兩實根，，且，則下列結論中正確的有（ ）
①；②拋物線的頂點坐標為；
③；④若，則．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次函數圖象與系數的關系、根與系數的關系、根的判別式、拋物線與軸的交點，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數的性質是關鍵．
依據題意，由有兩實根，，可得，即可得，故可判斷①又拋物線的對稱軸是直線，進而拋物線的頂點為c)，再結合，可得，故可判斷②；依據題意可得，又，進而可得，從而可以判斷③；由，故，即對于函數，當時的函數值小于當時的函數值，再結合，拋物線的對稱軸是直線，從而根據二次函數的性質即可判斷④．
【詳解】解：由題意，∵有兩實根，
．
∴得，．
∴，故①正確．
，
∴拋物線的對稱軸是直線．
∴拋物線的頂點為．
又，
∴，即．
∴．
∴．
∴頂點坐標為，故②正確．
∵，
∴．
又，
，
∴，故③錯誤．
，
，
∴對于函數，當時的函數值小于當時的函數值．
∵，拋物線的對稱軸是直線，
又此時拋物線上的點離對稱軸越近函數值越小，
，
，
∴，故④錯誤．
綜上，正確的有①②共2個．
故選：B．
2．（2024·山東日照·中考真題）已知二次函數圖象的一部分如圖所示，該函數圖象經過點，對稱軸為直線．對于下列結論：①；②；③多項式可因式分解為；④當時，關于的方程無實數根．其中正確的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象的性質，二次函數的最值問題，熟練掌握二次函數圖象與系數的關系是解題的關鍵．①根據圖像分別判斷，，的符號即可；②將點代入函數即可得到答案；③根據題意可得該函數與軸的另一個交點的橫坐標為5，即可得到；④由，得到，，將代入函數得，從而推出當時，該拋物線與直線的圖象無交點，即可判斷．
【詳解】解：由題圖可知，，
，故①正確；
當時，，即，故②正確；
二次函數與軸的一個交點的橫坐標為，對稱軸為直線，
二次函數與軸的另一個交點的橫坐標為5，
多項式，故③錯誤；
當時，有最大值，即，
當時，拋物線與直線的圖象無交點，
即關于x的方程無實數根，故④正確．
綜上，①②④正確．
故選：C．
3．（2024·黑龍江綏化·中考真題）二次函數的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，則下列結論中：
① ②（m為任意實數） ③
④若、是拋物線上不同的兩個點，則．其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，根據拋物線的開口方向，對稱軸可得，即可判斷①，時，函數值最大，即可判斷②，根據時，，即可判斷③，根據對稱性可得即可判段④，即可求解．
【詳解】解：∵二次函數圖象開口向下
∴
∵對稱軸為直線，
∴
∴
∵拋物線與軸交于正半軸，則
∴，故①錯誤，
∵拋物線開口向下，對稱軸為直線,
∴當時，取得最大值，最大值為
∴（m為任意實數）
即，故②正確；
∵時，
即
∵
∴
即
∴，故③正確；
∵、是拋物線上不同的兩個點，
∴關于對稱，
∴即故④不正確
正確的有②③
故選：B
4．（2024·江蘇連云港·中考真題）已知拋物線（a、b、c是常數，）的頂點為．小燁同學得出以下結論：①；②當時，隨的增大而減小；③若的一個根為3，則；④拋物線是由拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的．其中一定正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【分析】根據拋物線的頂點公式可得，結合，，由此可判斷①；由二次函數的增減性可判斷②；用a表示b、c的值，再解方程即可判斷③，由平移法則即可判斷④．
【詳解】解：根據題意可得：，
，
，
即，
，
，
的值可正也可負，
不能確定的正負；故①錯誤；
，
拋物線開口向下，且關于直線對稱，
當時，隨的增大而減小；故②正確；
，
拋物線為，
，
，故③正確；
拋物線，
將向左平移1個單位得：，
拋物線是由拋物線向左平移1個單位得到的，故④錯誤；
正確的有②③，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數的平移，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數與一元二次方程，一元二次方程的解的定義，用a表示b、c的值是本題的關鍵．
題型02 根據二次函數的圖像判斷式子符號
1）根據拋物線的開口方向判斷a的正負性；
2）根據拋物線的對稱軸判斷b的正負性（左同右異中間0）.
3）根據拋物線與y軸的交點位置，判斷c的正負性.
4）根據拋物線與x軸有無交點，判斷的正負性.
5）根據拋物線的對稱軸可得與±1的大小關系，可得2a±b的正負性.
6）特殊點代入確定a，b，c的關系.例：當x=±1時，；
7）根據拋物線的頂點，判斷的大小.
1．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線的頂點的坐標為，與軸的一個交點位于0和1之間，則以下結論：①；②；③若拋物線經過點，則；④若關于的一元二次方程無實數根，則．其中正確結論是 （請填寫序號）．
【答案】①②④
【分析】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系，根的判別式，二次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是掌握二次函數的圖象與性質．①利用拋物線的頂點坐標和開口方向即可判斷；②利用拋物線的對稱軸求出，根據圖象可得當時，，即可判斷；③利用拋物線的對稱軸，設兩點橫坐標與對稱軸的距離為，求出距離，根據圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數值越大，即可判斷；④根據圖象即可判斷．
【詳解】解：①∵拋物線的頂點的坐標為，
∴，
∴，即，
由圖可知，拋物線開口方向向下，即，
∴，
當時，，
∴，故①正確，符合題意；
②∵直線是拋物線的對稱軸，
∴，
∴，
∴
由圖象可得：當時，，
∴，即，故②正確，符合題意；
③∵直線是拋物線的對稱軸，
設兩點橫坐標與對稱軸的距離為，
則，，
∴，
根據圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數值越大，
∴，故③錯誤，不符合題意；
④如圖，
∵關于x的一元二次方程無實數根，
∴，故④正確，符合題意．
故答案為：①②④
2．（2024·山東青島·中考真題）二次函數的圖象如圖所示，對稱軸是直線，則過點和點的直線一定不經過（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次函數與一次函數綜合，根據二次函數與y軸交于y軸的正半軸得到，根據對稱軸計算公式得到，即，則在x軸正半軸上；由二次函數頂點在第二象限，得到當時，，再由二次函數與x軸無交點，得到，則點在第二象限，據此可得答案．
【詳解】解：∵二次函數與y軸交于y軸的正半軸，
∴，
∵對稱軸是直線，
∴，
∴，
∴，
∴在x軸正半軸上；
∵二次函數頂點在第二象限，
∴當時，，
∵二次函數與x軸無交點，
∴，
∴點在第二象限，
∴經過點和點的直線一定經過第一、二、四象限，不經過第三象限，
故選：C．
3．（2024·四川·中考真題）二次函數的圖象如圖所示，給出下列結論：①；②；③當時，．其中所有正確結論的序號是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，圖象與系數的關系，熟練掌握二次函數圖象和性質是解題的關鍵．根據圖象與軸交點在軸負半軸，可得，故①正確；根據圖象可得二次函數的對稱軸為，由于對稱軸為，可得，故②正確；當時，二次函數圖象位于軸下方，即當，所對應的，故③正確．
【詳解】解：① 當時，，根據圖象可知，二次函數的圖象與軸交點在軸負半軸，即，故①正確，符合題意；
②根據圖象可知，二次函數的對稱軸是直線，即，故②正確，符合題意；
③根據圖象可知，當時，圖象位于軸下方，即當，所對應的，故③正確，符合題意；
綜上所述，①②③結論正確，符合題意．
故選：D．
4．（2023·湖南婁底·中考真題）已知二次函數的圖象如圖所示，給出下列結論：①；②；③（m為任意實數）；④若點和點在該圖象上，則．其中正確的結論是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】由拋物線的開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸在y軸的左邊，可得，， ，故①不符合題意；當與時的函數值相等，可得，故②符合題意；當時函數值最大，可得，故③不符合題意；由點和點在該圖象上，而，且離拋物線的對稱軸越遠的點的函數值越小，可得④符合題意．
【詳解】解：∵拋物線的開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸在y軸的左邊，
∴，，，
∴，
∴，故①不符合題意；
∵對稱軸為直線，
∴當與時的函數值相等，
∴，故②符合題意；
∵當時函數值最大，
∴，
∴；故③不符合題意；
∵點和點在該圖象上，
而，且離拋物線的對稱軸越遠的點的函數值越小，
∴．故④符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查的是二次函數的圖象與性質，熟記二次函數的開口方向，與y軸的交點坐標，對稱軸方程，增減性的判定，函數的最值這些知識點是解本題的關鍵．
題型03 函數圖像綜合
1．（2024·廣東廣州·中考真題）函數與的圖象如圖所示，當（ ）時，，均隨著的增大而減小．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數以及反比例函數的圖象和性質，利用數形結合的思想解決問題是關鍵．由函數圖象可知，當時，隨著的增大而減小；位于在一、三象限內，且均隨著的增大而減小，據此即可得到答案．
【詳解】解：由函數圖象可知，當時，隨著的增大而減小；
位于一、三象限內，且在每一象限內均隨著的增大而減小，
當時，，均隨著的增大而減小，
故選：D．
2．（2024·四川自貢·中考真題）一次函數，二次函數，反比例函數在同一直角坐標系中圖象如圖所示，則n的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數的圖象，一次函數圖象，二次函數的圖象與系數的關系，根據題意列不等式組，解不等式組即可得到結論，正確地識別圖形是解題的關鍵．
【詳解】解：根據題意得：
，
解得：，
∴的取值范圍是，
故選：C．
3．（2022·湖北襄陽·中考真題）二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數y＝bx+c和反比例函數y＝在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據二次函數圖象開口向下得到a＜0，再根據對稱軸確定出b，根據與y軸的交點確定出c＜0，然后確定出一次函數圖象與反比例函數圖象的情況，即可得解．
【詳解】解：∵二次函數圖象開口方向向下，
∴a＜0，
∵對稱軸為直線＞0，
∴b＞0，
∵與y軸的負半軸相交，
∴c＜0，
∴y=bx+c的圖象經過第一、三、四象限，
反比例函數y=圖象在第二四象限，
只有D選項圖象符合．
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數的圖形，一次函數的圖象，反比例函數的圖象，熟練掌握二次函數的有關性質：開口方向、對稱軸、與y軸的交點坐標等確定出a、b、c的情況是解題的關鍵．
4．（2023·四川自貢·模擬預測）二次函數的圖象如圖所示，反比例函數與正比例函數在同一坐標系中的大致圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查一次函數，二次函數，反比例函數中系數及常數項與圖象位置之間關系．準確選擇數量關系解得的值，簡單的圖象最少能反映出個條件：開口向下；對稱軸的位置即可確定的取值范圍．由已知二次函數的圖象開口方向可以知道的取值范圍，對稱軸可以確定的取值范圍，然后就可以確定反比例函數與正比例函數在同一坐標系內的大致圖象．
【詳解】解：二次函數的圖象開口方向向下，
，
對稱軸在軸的右邊，
、異號，即．
反比例函數的圖象位于第二、四象限，
正比例函數的圖象位于第一、三象限．
觀察選項，C選項符合題意．
故選：C．
命題點三 二次函數與方程、不等式
題型01 已知一元二次方程根的分布情況求參數
1．（2023·四川南充·中考真題）拋物線與x軸的一個交點為，若，則實數的取值范圍是( )
A． B． 或
C． D．或
【答案】B
【分析】根據拋物線有交點，則有實數根，得出或，分類討論，分別求得當和時的范圍，即可求解．
【詳解】解：∵拋物線與x軸有交點，
∴有實數根，
∴
即
解得：或，
當時，如圖所示，

依題意，當時，，
解得：，
當時，，解得，
即，
當時，
當時，，
解得：
∴

綜上所述， 或，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
2．（2023·四川瀘州·中考真題）已知二次函數（其中是自變量），當時對應的函數值均為正數，則的取值范圍為（　　）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】首先根據題意求出對稱軸，然后分兩種情況：和，分別根據二次函數的性質求解即可．
【詳解】∵二次函數，
∴對稱軸，
當時，
∵當時對應的函數值均為正數，
∴此時拋物線與x軸沒有交點，
∴，
∴解得；
當時，
∵當時對應的函數值均為正數，
∴當時，，
∴解得，
∴，
∴綜上所述，
當時對應的函數值均為正數，則的取值范圍為或．
故選：D．
【點睛】此題考查了二次函數的圖象和性質，解題的關鍵是分兩種情況討論．
3．（2024·四川瀘州·中考真題）已知二次函數（x是自變量）的圖象經過第一、二、四象限，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數圖象與性質．利用二次函數的性質，拋物線與軸有2個交點，開口向上，而且與軸的交點不在負半軸上，然后解不等式組即可．
【詳解】解：二次函數圖象經過第一、二、四象限，
設拋物線與軸兩個交點的橫坐標分別為，由題意可得
解得．
故選：A．
4．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線.
(1)當時，求拋物線的頂點坐標；
(2)已知和是拋物線上的兩點.若對于，，都有，求的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（）把代入，轉化成頂點式即可求解；
（）分 和兩種情況，畫出圖形結合二次函數的性質即可求解；
本題考查了求二次函數的頂點式，二次函數的性質，運用分類討論和數形結合思想解答是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：把代入得，，
∴拋物線的頂點坐標為；
（2）解：分兩種情況：拋物線的對稱軸是直線；
當時，如圖，此時，
∴，
又∵，
∴；
當時，如圖，此時，
解得，
又∵，
∴；
綜上，當或，都有．
5．（2023·江蘇南京·中考真題）已知二次函數（a為常數，．
(1)若，求證：該函數的圖象與x軸有兩個公共點．
(2)若，求證：當時，．
(3)若該函數的圖象與軸有兩個公共點，，且，則的取值范圍是．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)或
【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，二次函數與坐標軸的交點問題，熟知二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
（1）證明即可解決問題．
（2）將代入函數解析式，進行證明即可．
（3）先求得對稱軸為直線，頂點坐標為，再對和進行分類討論即可．
【詳解】（1）證明：因為，
又因為，
所以，，
所以，
所以該函數的圖象與軸有兩個公共點．
（2）證明：將代入函數解析式得，
，
所以拋物線的對稱軸為直線，開口向下．
則當時，
隨的增大而增大，
又因為當時，，
所以．
（3）對稱軸為直線，頂點坐標為，
①當時，拋物線開口向上，要保證二次函數與x軸兩個交點在與之間（不包含這兩點），則只需保證頂點在x軸下方，時，，時，，
即，解得：
②當時，拋物線開口向下，要保證二次函數與x軸兩個交點在與之間（不包含這兩點），則只需保證頂點在x軸上方，時，，時
即，解得，
綜上，當或時，二次函數與x軸兩個交點在與之間（不包含這兩點），
故答案為：或．
題型02 二次函數與坐標系交點問題
1．（2024·吉林長春·中考真題）若拋物線（是常數）與軸沒有交點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題，掌握拋物線與x軸沒有交點與沒有實數根是解題的關鍵．
由拋物線與x軸沒有交點，運用根的判別式列出關于c的一元一次不等式求解即可．
【詳解】解：∵拋物線與x軸沒有交點，
∴沒有實數根，
∴，．
故答案為：．
2．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）拋物線與y軸的交點坐標是 ．
【答案】
【分析】與軸的交點的特點為，令，求出的值，即可求出拋物線與軸的交點坐標．
【詳解】令拋物線中，
即，
解得，
故與軸的交點坐標為，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了拋物線與y軸的交點坐標，解題的關鍵是令，求出的值．
3．（2024·四川眉山·二模）若拋物線經過和兩點，開口向上，且與軸有兩個交點，則的取值范圍是 ．
【答案】或
【分析】本題考查二次函數圖象與坐標軸的交點問題，待定系數法將二次函數的解析式轉化為只含參數的解析式，根據拋物線的開口向上，與軸有兩個交點，列出不等式組進行求解即可．
【詳解】解：∵拋物線經過和兩點，
∴，解得：，
∴，
∵拋物線的開口向上，且與軸有兩個交點，
∴，解得：或；
故答案為：或．
4．（2024·河南南陽·三模）已知拋物線
(1)當 時，求拋物線與x軸的交點坐標；
(2)已知點，，連接，若拋物線與線段只有一個公共點，求m的取值范圍．
【答案】(1)和
(2)或
【分析】（1）當 時，拋物線解析式為．由求出x的值，即可得拋物線與x軸的交點坐標．
（2）當拋物線的頂點在線段上時，拋物線與線段只有一個公共點，此時頂點坐標為，由此可求出m的值．再分別求出拋物線經過B點和A點時m的值，即可得m的取值范圍．
【詳解】（1）當時，拋物線解析式為，
由，
得，
解得，，
∴時，求拋物線與x軸的交點坐標為和．
（2）∵點和點縱坐標相同，
∴軸，
當拋物線的頂點在線段上時，拋物線與線段只有一個公共點，
此時頂點坐標為，
，
解得；
當拋物線經過點時，
，
解得；
當拋物線經過點時，
，
解得．
∴當時，拋物線與只有一個交點；
當時，拋物線與有兩個交點；
當時，拋物線與只有一個交點．
綜上，若拋物線與線段只有一個公共點，則 m的取值范圍為或．
【點睛】本題考查了求二次函數與x軸的交點坐標，以及根據二次函數與線段的交點坐標，求字母的取值范圍．熟練掌握二次函數圖像的性質及數形結合法是解題的關鍵．
5．（2024·云南昆明·一模）已知拋物線
(1)求證：拋物線與x軸有兩個不同的交點；
(2)當時，拋物線與x軸交于點A，B，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)6
【分析】本題考查的是拋物線和x軸的交點問題，涉及一元二次方程解法與根的判別式．
（1）證明，即可求解；
（2）將代入拋物線表達式，令，求出點A，B的坐標，根據兩點間距離公式進而求解．
【詳解】（1）證明：
，
故此拋物線與x軸有兩個不同的交點；
（2）解：當時，，
令，則，
解得：或，
∴．
題型03 二次函數與方程、不等式
1．（2024·廣東廣州·模擬預測）如圖，拋物線經過點和點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了由二次函數的圖象判斷系數的符號，二次函數與一元二次方程的關系，熟練掌握以上知識點，采用數形結合的思想是解此題的關鍵．根據圖象及二次函數的性質判斷即可
【詳解】解：根據題意可得：拋物線與y軸交于正半軸，故，故A錯誤；
拋物線對稱軸在y軸右邊或左邊，故無法確定，故B錯誤；
拋物線一定經過第一、二、四象限，故拋物線與x軸有2個交點，
故，故C正確、D錯誤；
故選：C．
2．（23-24九年級上·四川成都·開學考試）設，下表列出了與的6對對應值：
根據表格能夠發現一元二次方程的一個解的大致范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】當時，，，所以當在之間取某一個數時，，于是可對各選項進行判斷．
【詳解】解：∵當時，，，
∴當在之間取某一個數時，，
∴一元二次方程的一個解的大致范圍為．
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數與方程的解，熟練掌握方程的解是對應二次函數與軸的交點坐標是解題的關鍵．
3．（2024·浙江溫州·三模）二次函數的部分對應值如下表所示，則當時，x的取值范圍為（ ）
x 3 4
y m 0 m
A． B． C．或 D．或
【答案】C
第三章 函數
第13講 二次函數的圖像與性質
（思維導圖+4考點+3命題點19種題型（含3種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 二次函數的相關概念
考點二 二次函數的圖像與性質
考點三 二次函數與各項系數之間的關系
考點四 二次函數與方程、不等式
04題型精研·考向洞悉
命題點一 二次函數的圖像與性質
題型01 根據二次函數解析式判斷其性質
題型02 根據二次函數的圖像與性質求解
題型03 求二次函數解析式
題型04 畫二次函數的圖像
題型05 以開放性試題的形式考查二次函數的圖像與性質
題型06 二次函數的平移變換問題
題型07 二次函數的對稱變換問題
題型08 根據二次函數的對稱性求參數取值范圍
題型09 二次函數的最值問題
題型10 根據二次函數的最值求參數/取值范圍
題型11 根據二次函數的增減性求參數的取值范圍
題型12 根據二次函數自變量/函數值的取值范圍求函數值/自變量的取值范圍
命題點二 二次函數的圖像與各項系數之間的關系
題型01 二次函數的圖像與各項系數符號
題型02 根據二次函數的圖像判斷式子符號
題型03 函數圖像綜合
命題點三 二次函數與方程、不等式
題型01 已知一元二次方程根的分布情況求參數
題型02 二次函數與坐標系交點問題
題型03 二次函數與方程、不等式
題型04 二次函數與三角形相結合的應用方法
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
二次函數的圖像對稱性與增減性 ★★ 能畫二次函數的圖像，通過圖像了解二次函數的性質，知道二次函數系數與圖像形狀和對稱軸的關系； 會求二次函數的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值.
二次函數圖像的有關判斷 ★★
二次函數的圖像變換 ★★
二次函數的圖像與系數 ★★★
二次函數解析式的確定 ★★★
二次函數與方程結合 ★ 知道二次函數和一元二次方程之間的關系，會利用二次函數的圖像求一元二次方程的近似解.
二次函數與不等式結合 ★
【考情分析1】二次函數是初中階段的重點內容、難點內容，也是中考的必考內容，對于二次函數圖像和性質的簡單考查常以非解答題的形式出現，經常考查二次函數的對稱性、增減性與其解析式中的二次項系數、一次項系數及常數項之間的關系. 【考情分析2】二次函數與方程，不等式主要考查二次函數與一次函數結合，考查圖像交點個數與函數各項系數間的關系，試題形式多樣，難度一般，單獨命題較少，一般都是問題中的某一部分，,其中函數圖像與x軸的交點個數與對應的一元二次方程有關，相應不等式也可依靠函數圖像求解. 【備考建議】二次函數作為初中三大函數中考點最多，出題最多，難度最大的函數，一直都是各地中考數學中最重要的考點，年年都會考查，總分值為15-20分，預計2025年各地中考還會考. 出題形式多樣，考生復習時需要熟練掌握相關知識，熟悉相關題型，認真對待該考點的復習.
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 二次函數的相關概念
二次函數的定義：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常數)的函數叫做二次函數. 其中，x是自變量，a，b，c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項.
二次函數的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常數).
二次函數的3種特殊形式：1)當b＝0時，
2)當c＝0時，
3)當b＝0且c＝0時，
二次函數的常見表達式：
名稱 解析式 前提條件 相互聯系
一般式 當已知拋物線上的無規律的三個點的坐標時,常用一般式求其表達式. 1）以上三種表達式是二次函數的常見表達式，它們之間可以互相轉化. 2) 一般式化為頂點式，交點式，主要運用配方法，因式分解等方法.
頂點式 當已知拋物線的頂點坐標（h，k）或對稱軸或最值等有關條件時，常用頂點式求其表達式.
交點式 當已知拋物線與x軸的兩個交點坐標時，常用交點式求其表達式.
1．（2024·上海寶山·三模）下列函數中是二次函數的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·北京·模擬預測）線段，動點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發，沿線段運動至點，以線段為邊作正方形，線段長為半徑作圓，設點的運動時間為，正方形周長為，的面積為S，則y與t，S與t滿足的函數關系分別是（ ）
A．正比例函數關系，反比例函數關系 B．一次函數關系，二次函數關系
C．正比例函數關系，二次函數關系 D．一次函數關系，反比例函數關系
3．（2024·山東菏澤·一模）若二次函數經過原點，則的值為（ ）
A． B．4 C．或4 D．無法確定
4．（2023·四川南充·一模）點在函數的圖象上，則代數式的值等于 ．
考點二 二次函數的圖像與性質
二次函數的圖像與性質
圖像特征 二次函數的圖像是一條關于某條直線對稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.
基本形式
圖像 a>0
a<0
對稱軸 y軸 y軸 x=h x=h x=
頂點坐標 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，)
最值 a>0 開口向上，頂點是最低點，此時y有最小值；
a<0 開口向下，頂點是最高點，此時y有最大值.
【小結】二次函數最小值(或最大值)為0（k或）.
增
減
性 a>0 在對稱軸的左邊y隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊y隨x的增大而增大.
a<0 在對稱軸的左邊y隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊y隨x的增大而減小.
易錯 拋物線的增減性問題，由a的正負和對稱軸同時確定，單一的直接說，y隨x 的增大而增大(或減小) 是不對的，必須附加一定的自變量x取值范圍.
二、二次函數的圖象變換
1）二次函數的平移變換
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 頂點式y＝a(x–h) 2＋k 平移口訣
向左平移n個單位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n個單位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右減
向上平移n個單位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n個單位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下減
補充：
① 二次函數圖像平移的實質：點的坐標整體平移，在此過程中a的值不發生變化，變化的只是頂點的位置，且與平移方向有關.
② 根據平移規律，左右平移是給x加減平移單位，上下平移是給常數項加減平移單位.
③ 涉及拋物線的平移時，首先將表達式轉化為頂點式的形式，因為二次函數平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，因此可以直接由解析式中常數的加或減求出變化后的解析式.
④ 求函數圖像上某點平移后的坐標口訣與圖像平移口訣相同.
⑤ 對二次函數上下平移，不改變增減性，改變最值；對二次函數左右平移，改變增減性，不改變最值.
2）二次函數圖象的對稱變換
變換方式 變換后 口訣
關于x軸對稱 x不變，y變-y
關于y軸對稱 y不變，x變-x
關于原點對稱 x變-x，y變-y
1．（2024·廣東·中考真題）若點都在二次函數的圖象上，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·內蒙古包頭·中考真題）將拋物線向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數，當時，函數取得最大值；當時，函數取得最小值，則t的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線與x軸相交于點、點，與y軸相交于點C，點D在拋物線上，當軸時， ．

6．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與與相交于點，，點的坐標為，若點在拋物線上，則的長為 ．

考點三 二次函數與各項系數之間的關系
① 二次函數的圖像與a，b，c的關系
字母 字母的符號 圖像特征 備注
a a>0 開口向上 a的正負決定開口方向， a的大小決定開口的大小(|a|越大，開口越小)．
a<0 開口向下
b b=0 對稱軸是y軸，即=0 左同右異中間0
a，b同號 對稱軸在y軸左側，即
a，b異號 對稱軸在y軸右側，即
c c=0 圖像過原點 c決定了拋物線與y軸交點的位置．
c>0 與y軸正半軸相交
c<0 與y軸負半軸相交
與x軸有兩個交點 的正負決定拋物線與x軸交點個數
與x軸有唯一交點
與x軸沒有交點
【補充】
1）若兩條拋物線的形狀與開口方向相同時，則它們的二次項系數a必相同；
2）由a的符號與對稱軸x=的位置共同確定b的符號；
【小技巧】通過給x賦值，結合圖像即可判斷特殊函數值的正負.
1．（2024·內蒙古·中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數和的圖象大致如圖所示，則函數的圖象大致為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山東東營·中考真題）已知拋物線的圖像如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．(為任意實數)
3．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，已知拋物線（a、b、c為常數，且）的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，與軸的交點在，之間（不含端點），則下列結論正確的有多少個（ ）
①；②；③；④若方程兩根為，則．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023·四川·中考真題）已知拋物線（，，是常數且）過和兩點，且，下列四個結論：；；若拋物線過點，則；關于的方程有實數根，則其中正確的結論有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5．（2023·山東青島·中考真題）如圖，二次函數的圖象與正比例函數的圖象相交于A，B兩點，已知點A的橫坐標為，點B的橫坐標為2，二次函數圖象的對稱軸是直線．下列結論：①；②；③關于x的方程的兩根為，；④．其中正確的是 ．（只填寫序號）
考點四 二次函數與方程、不等式
1. 二次函數圖像與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況
求二次函數的圖像與x軸的交點坐標，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時二次函數就轉化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數決定了拋物線與x軸的交點的個數，它們的關系如下表：
判別式 二次函數 一元二次方程 與x軸交點個數
圖像 與x軸的交點坐標 根的情況
△＞0 拋物線 與x軸交于， 兩點 一元二次方程 有兩個不相等的實數根 2個交點
△＝0 拋物線與x軸交于這一點 一元二次方程 有兩個相等的實數根 1個交點
△＜0 拋物線 與x軸無交點 一元二次方程 在實數范圍內無解（或稱無實數根） 0個交點
二、二次函數與不等式的關系
二次函數與一元二次不等式及之間的關系如下(）：
圖像 有兩個交點 有1個交點 無交點
判別式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0
或 的全體實數 全體實數 無解 無解
或 無實根 或 無實根
無解 無解 或 的全體實數 全體實數
1．（2023九年級下·江蘇·專題練習）如表是部分二次函數的自變量x與函數值y的對應值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y 0.04 0.59 1.16
那么方程的一個根在（　　）范圍之間．
A． B． C． D．
2．（2024·河南周口·模擬預測）如圖，拋物線交軸于，，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．拋物線的對稱軸是直線
B．當時，隨的增大而減小
C．一元二次方程的兩個根分別是1和3
D．當時，
3．（2024·山西大同·模擬預測）已知，若關于x的方程 的解為，關于x的方程 的解為，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·山東濟寧·中考真題）將拋物線向下平移k個單位長度．若平移后得到的拋物線與x軸有公共點，則k的取值范圍是 ．
5．（2023·浙江寧波·中考真題）如圖，已知二次函數圖象經過點和．

(1)求該二次函數的表達式及圖象的頂點坐標．
(2)當時，請根據圖象直接寫出x的取值范圍．
04題型精研·考向洞悉
命題點一 二次函數的圖像與性質
題型01 根據二次函數解析式判斷其性質
1．（2023·遼寧沈陽·中考真題）二次函數圖象的頂點所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023·四川甘孜·中考真題）下列關于二次函數的說法正確的是( )
A．圖象是一條開口向下的拋物線 B．圖象與軸沒有交點
C．當時，隨增大而增大 D．圖象的頂點坐標是
3．（2024·四川涼山·中考真題）拋物線經過三點，則的大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·陜西·中考真題）在平面直角坐標系中，二次函數（為常數）的圖像經過點，其對稱軸在軸左側，則該二次函數有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
5．（2023·湖南·中考真題）已知是拋物線（a是常數，上的點，現有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線；②點在拋物線上；③若，則；④若，則其中，正確結論的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
題型02 根據二次函數的圖像與性質求解
1．（2024·陜西·中考真題）已知一個二次函數的自變量x與函數y的幾組對應值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
則下列關于這個二次函數的結論正確的是（ 　　 ）
A．圖象的開口向上 B．當時，y的值隨x的值增大而增大
C．圖象經過第二、三、四象限 D．圖象的對稱軸是直線
2．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知拋物線過點與x軸交點的橫坐標分別為，，且，，則下列結論：
①；
②方程有兩個不相等的實數根；
③；
④；
⑤．其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．（2024·江蘇鎮江·中考真題）對于二次函數（a是常數），下列結論：①將這個函數的圖像向下平移3個單位長度后得到的圖像經過原點；②當時，這個函數的圖像在函數圖像的上方；③若，則當時，函數值y隨自變量x增大而增大；④這個函數的最小值不大于3．其中正確的是 （填寫序號）．
4．（2024·內蒙古通遼·中考真題）關于拋物線（是常數），下列結論正確的是 （填寫所有正確結論的序號）．
①當時，拋物線的對稱軸是軸；
②若此拋物線與軸只有一個公共點，則；
③若點，在拋物線上，則；
④無論為何值，拋物線的頂點到直線的距離都等于．
5．（2024·安徽·中考真題）已知拋物線（b為常數）的頂點橫坐標比拋物線的頂點橫坐標大1．
(1)求b的值；
(2)點在拋物線上，點在拋物線上．
（ⅰ）若，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
題型03 求二次函數解析式
1）已知拋物線上任意三點坐標，可設
2）已知拋物線上的頂點坐標（h，k），可設
3）已知拋物線與x軸的兩個交點坐標時，可設
4）已知拋物線過點時，可設（縱坐標相等的兩個點關于對稱軸對稱，則拋物線的對稱軸可表示為直線h=）
【注意事項】
1)二次函數的解析式求解，最后結果一般寫成一般式或頂點式，不寫成交點式；
2)任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即時，拋物線才可以用交點式表示，二次函數解析式的這三種形式可以互化.
1．（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是，頂點坐標為，則下列說法正確的是（ ）
A．二次函數圖象的對稱軸是直線
B．二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2
C．當時，y隨x的增大而減小
D．二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標是3
2．（2024·江蘇蘇州·中考真題）二次函數的圖象過點，，，，其中m，n為常數，則的值為 ．
3．（2023·浙江紹興·中考真題）在平面直角坐標系中，一個圖形上的點都在一邊平行于軸的矩形內部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關聯矩形．例如：如圖，函數的圖象（拋物線中的實線部分），它的關聯矩形為矩形．若二次函數圖象的關聯矩形恰好也是矩形，則 ．

4．（2024·吉林長春·模擬預測）二次函數的圖象是一條拋物線，自變量x與函數y的部分對應值如表：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 0 …
有如下結論：
①拋物線的開口向上；②拋物線的對稱軸是直線；③拋物線與y軸的交點坐標為；④由拋物線可知的解集是．其中正確的是 ．
5．（2024·四川成都·二模）已知二次函數圖像與x軸相交于點，且，若二次函數經過點，則二次函數表達式為 ．
題型04 畫二次函數的圖像
1．（2023·江蘇泰州·中考真題）閱讀下面方框內的內容，并完成相應的任務．
小麗學習了方程、不等式、函數后提出如下問題：如何求不等式的解集？ 通過思考，小麗得到以下3種方法： 方法1 方程的兩根為，，可得函數的圖像與x軸的兩個交點橫坐標為、，畫出函數圖像，觀察該圖像在x軸下方的點，其橫坐標的范圍是不等式的解集． 方法2 不等式可變形為，問題轉化為研究函數與的圖像關系．畫出函數圖像，觀察發現：兩圖像的交點橫坐標也是、3；的圖像在的圖像下方的點，其橫坐標的范圍是該不等式的解集． 方法3 當時，不等式一定成立；當時，不等式變為；當時，不等式變為．問題轉化為研究函數與的圖像關系…
任務：
(1)不等式的解集為_____________；
(2)3種方法都運用了___________的數學思想方法（從下面選項中選1個序號即可）；
A.分類討論 B.轉化思想 C.特殊到一般 D.數形結合
(3)請你根據方法3的思路，畫出函數圖像的簡圖，并結合圖像作出解答．
2．（2024·甘肅·模擬預測）已知拋物線與y軸的交點為A，且y與x的部分對應值如表：
x …… 0 1 2 5 ……
y …… 0 m 8 9 0 ……
(1)拋物線的對稱軸為直線 ，點A的坐標為 ，并畫出函數的圖象；
(2)設點P為拋物線上的一個動點，連接，取的中點．猜想點構成的曲線是什么函數的圖象，求此函數的解析式，并在網格中畫出該函數的大致圖象．
3．（2024·河南安陽·模擬預測）操作與探究：已知點P是拋物線上的一個動點．
(1)在如圖的平面直角坐標系中畫出函數的圖象；
(2)仔細觀察圖象，結合所學知識解答下列問題：
①當函數值時，自變量x的取值范圍是 ；
②方程的根是 （結果保留一位小數）；
③當時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是 ；
④當時，函數值，直接寫出n的取值范圍 ．
題型05 以開放性試題的形式考查二次函數的圖像與性質
1．（2024·江蘇無錫·模擬預測）某個函數同時滿足兩個條件：①圖象過點、；②當時，隨的增大而減小．這個函數表達式可以是 ．（只要寫出一個符合愿意的答案即可）
2．（2023·上海·中考真題）一個二次函數的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左側的部分是上升的，那么這個二次函數的解析式可以是 ．
3．（2023·江蘇泰州·中考真題）二次函數的圖像與x軸有一個交點在y軸右側，則n的值可以是 （填一個值即可）
4．（2024·上海松江·二模）平移拋物線，使得平移后的拋物線經過原點，且頂點在第四象限，那么平移后的拋物線的表達式可以是 ．（只需寫出一個符合條件的表達式）
題型06 二次函數的平移變換問題
1．（2024·四川內江·中考真題）已知二次函數的圖象向左平移兩個單位得到拋物線，點，在拋物線上，則 （填“＞”或“＜”）；
2．（2023·西藏·中考真題）將拋物線通過平移后，得到拋物線的解析式為，則平移的方向和距離是（ ）
A．向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度
B．向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度
C．向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度
D．向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度
3．（2024·江蘇徐州·中考真題）在平面直角坐標系中，將二次函數的圖象向下平移5個單位長度，所得拋物線與x軸有兩個公共點P、Q，則 ．
4．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線向下平移1個單位長度，再向右平移 個單位長度后，得到的新拋物線經過原點．
5．（2024·貴州遵義·模擬預測）拋物線可以由拋物線平移得到，通常先求出的頂點坐標，再根據的頂點坐標，可發現其圖象的平移過程．請根據你對函數圖象平移的理解，完成下列問題．
【初步感知】
（1）將拋物線向_______平移_______個單位長度，再向_______平移_______個單位長度可得的圖象；
【深入探究】
（2）將的圖象平移，使得平移后的圖象始終過點，且對任意的自變量的值，所對應的函數值都不大于10，則最多將的圖象向右平移多少個單位長度？
【拓展提升】
（3）將的圖象平移后得到的圖象，且使得的圖象與直線在軸上方只有一個交點，直接寫出的取值范圍．
題型07 二次函數的對稱變換問題
1．（2023·四川自貢·中考真題）經過兩點的拋物線（為自變量）與軸有交點，則線段長為（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
2．（2024·陜西西安·模擬預測）已知二次函數（為常數，且）的圖象經過，，，四點，且點B在點A的右側，則d的值不可能是（ ）
A． B． C．2 D．4
3．（2024·福建莆田·一模）坐標平面上有兩個二次函數的圖像，其頂點、皆在軸上，且有一水平線與兩圖像相交于、、、四點，各點位置如圖所示，若，，，則的長度是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2024·江蘇無錫·二模）已知二次函數的對稱軸是直線，則的值為 ．
題型08 根據二次函數的對稱性求參數取值范圍
1．（2024·浙江金華·二模）已知二次函數，當時，或．若，是拋物線上的兩點，且，則m的取值范圍為（ ）
A． B．或
C． D．或
2．（2024·浙江·一模）已知點，，均在拋物線的圖象上，且，點和也在此拋物線上，則下列說法正確的是（ ）
A．若恒成立，則 B．若恒成立，則
C．若恒成立，則 D．若恒成立，則
3．（2024·江蘇無錫·二模）已知二次函數，點均在該二次函數的圖象上，且，則k的取值范圍為 ．
4．（2024·北京西城·模擬預測）在平面直角坐標系中，點，是拋物線上的兩點（，不重合）．
(1)若，求的值；
(2)若點在拋物線上，且對于，都有，求的取值范圍．
5．（2023·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，點在拋物線上，設拋物線的對稱軸為．
(1)當時，求的值；
(2)若，求a的取值范圍及的取值范圍．
題型09 二次函數的最值問題
1．（2024·四川眉山·中考真題）定義運算：，例如，則函數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陜西·中考真題）在平面直角坐標系中，二次函數（為常數）的圖像經過點，其對稱軸在軸左側，則該二次函數有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
3．（2023·遼寧大連·中考真題）已知拋物線，則當時，函數的最大值為（ ）
A． B． C．0 D．2
4．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在四邊形中，，，點分別為邊上的動點，連接，，若，，則面積的最大值為 ．
題型10 根據二次函數的最值求參數/取值范圍
1．（2024·湖北·模擬預測）已知關于的二次函數，當時，隨的增大而減小．且當時，有最大值2．則的值為（ ）
A． B．1 C． 1 D．
2．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知二次函數（為常數，且），當時，函數的最大值與最小值的差為9，則的值為（ ）
A．－6 B．4 C．或0 D．0或
3．（2023·吉林長春·模擬預測）已知二次函數，當時，函數的最大值為，則m的取值范圍是 ．
4．（2024·云南昆明·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知二次函數的圖象經過坐標原點O和點，其中．
(1)當時，求y關于x的函數表達式，并求出當x為何值時，y有最大值，最大值是多少
(2)當時，在范圍內，y是否存在最大值10 若存在，求出相應的a和x的值；若不存在，請說明理由．
5．（2024溫州市三模）已知二次函數（a為常數）．
(1)若，當時，此二次函數y隨著x的增大而減小，求m的取值范圍．
(2)若二次函數在時有最大值3，求a的值．
題型11 根據二次函數的增減性求參數的取值范圍
1．（2023溫州市一模）已知點、是二次函數圖象上的兩個點，若當時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山東臨沂·二模）已知點，、，是二次函數圖象上的兩個點，若當時，隨的增大而減小，則的取值范圍是 ．
3．（2023·安徽蕪湖·三模）在平面直角坐標系中，將拋物線繞點旋轉，當時，y隨x的增大而減小，則k的范圍是 ．
4．（2023·貴州銅仁·模擬預測）若實數使得關于的分式方程有正整數解，且使二次函數當時，隨增大而增大，則滿足以上所有條件的整數的和為 ．
題型12 根據二次函數自變量/函數值的取值范圍求函數值/自變量的取值范圍
1．（2024汕頭市一模）已知二次函數中，函數y與自變量x的部分對應值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
則當時，x的取值范圍是 ．
2．（2023·新疆烏魯木齊·模擬預測）已知二次函數，頂點坐標是( )，當時，則函數的取值范圍
3．（2023·湖南邵陽·二模）已知如右圖，平面直角坐標系中，一條直線與拋物線相交于、兩點，求當時的x的取值范圍是 ．
4．（2023·廣西梧州·二模）如下圖，直線與拋物線相交于A，B兩點，點B在y軸上，當時，x的取值范圍是 ．

5．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知二次函數（a是常數，且），
（1）若點在該函數的圖象上，則a的值為 ；
（2）當時，若，則函數值y的取值范圍是 ．
命題點二 二次函數的圖像與各項系數之間的關系
題型01 二次函數的圖像與各項系數符號
1．（2024·四川雅安·中考真題）已知一元二次方程有兩實根，，且，則下列結論中正確的有（ ）
①；②拋物線的頂點坐標為；
③；④若，則．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．（2024·山東日照·中考真題）已知二次函數圖象的一部分如圖所示，該函數圖象經過點，對稱軸為直線．對于下列結論：①；②；③多項式可因式分解為；④當時，關于的方程無實數根．其中正確的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．（2024·黑龍江綏化·中考真題）二次函數的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，則下列結論中：
① ②（m為任意實數） ③
④若、是拋物線上不同的兩個點，則．其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4．（2024·江蘇連云港·中考真題）已知拋物線（a、b、c是常數，）的頂點為．小燁同學得出以下結論：①；②當時，隨的增大而減小；③若的一個根為3，則；④拋物線是由拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的．其中一定正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
題型02 根據二次函數的圖像判斷式子符號
1）根據拋物線的開口方向判斷a的正負性；
2）根據拋物線的對稱軸判斷b的正負性（左同右異中間0）.
3）根據拋物線與y軸的交點位置，判斷c的正負性.
4）根據拋物線與x軸有無交點，判斷的正負性.
5）根據拋物線的對稱軸可得與±1的大小關系，可得2a±b的正負性.
6）特殊點代入確定a，b，c的關系.例：當x=±1時，；
7）根據拋物線的頂點，判斷的大小.
1．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線的頂點的坐標為，與軸的一個交點位于0和1之間，則以下結論：①；②；③若拋物線經過點，則；④若關于的一元二次方程無實數根，則．其中正確結論是 （請填寫序號）．
2．（2024·山東青島·中考真題）二次函數的圖象如圖所示，對稱軸是直線，則過點和點的直線一定不經過（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·四川·中考真題）二次函數的圖象如圖所示，給出下列結論：①；②；③當時，．其中所有正確結論的序號是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2023·湖南婁底·中考真題）已知二次函數的圖象如圖所示，給出下列結論：①；②；③（m為任意實數）；④若點和點在該圖象上，則．其中正確的結論是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④
題型03 函數圖像綜合
1．（2024·廣東廣州·中考真題）函數與的圖象如圖所示，當（ ）時，，均隨著的增大而減小．
A． B． C． D．
2．（2024·四川自貢·中考真題）一次函數，二次函數，反比例函數在同一直角坐標系中圖象如圖所示，則n的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北襄陽·中考真題）二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數y＝bx+c和反比例函數y＝在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川自貢·模擬預測）二次函數的圖象如圖所示，反比例函數與正比例函數在同一坐標系中的大致圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
命題點三 二次函數與方程、不等式
題型01 已知一元二次方程根的分布情況求參數
1．（2023·四川南充·中考真題）拋物線與x軸的一個交點為，若，則實數的取值范圍是( )
A． B． 或
C． D．或
2．（2023·四川瀘州·中考真題）已知二次函數（其中是自變量），當時對應的函數值均為正數，則的取值范圍為（　　）
A． B．或
C．或 D．或
3．（2024·四川瀘州·中考真題）已知二次函數（x是自變量）的圖象經過第一、二、四象限，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線.
(1)當時，求拋物線的頂點坐標；
(2)已知和是拋物線上的兩點.若對于，，都有，求的取值范圍.
5．（2023·江蘇南京·中考真題）已知二次函數（a為常數，．
(1)若，求證：該函數的圖象與x軸有兩個公共點．
(2)若，求證：當時，．
(3)若該函數的圖象與軸有兩個公共點，，且，則的取值范圍是．
題型02 二次函數與坐標系交點問題
1．（2024·吉林長春·中考真題）若拋物線（是常數）與軸沒有交點，則的取值范圍是 ．
2．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）拋物線與y軸的交點坐標是 ．
3．（2024·四川眉山·二模）若拋物線經過和兩點，開口向上，且與軸有兩個交點，則的取值范圍是 ．
4．（2024·河南南陽·三模）已知拋物線
(1)當 時，求拋物線與x軸的交點坐標；
(2)已知點，，連接，若拋物線與線段只有一個公共點，求m的取值范圍．
5．（2024·云南昆明·一模）已知拋物線
(1)求證：拋物線與x軸有兩個不同的交點；
(2)當時，拋物線與x軸交于點A，B，求的長．
題型03 二次函數與方程、不等式
1．（2024·廣東廣州·模擬預測）如圖，拋物線經過點和點，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年級上·四川成都·開學考試）設，下表列出了與的6對對應值：
根據表格能夠發現一元二次方程的一個解的大致范圍是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江溫州·三模）二次函數的部分對應值如下表所示，則當時，x的取值范圍為（ ）
x 3 4
y m 0 m
A． B． C．或 D．或
4．（2024·廣東東莞·模擬預測）如圖，已知二次函數經過點和點，

(1)求該二次函數的解析式；
(2)如圖，若一次函數經過B、C兩點，直接寫出不等式的解；
(3)點A為該二次函數與x軸的另一個交點，求的面積．
題型04 二次函數與三角形相結合的應用方法
解題方法：過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離a叫做△ABC的“水平寬”,中間的這條直線在△ABC內部的線段的長度h叫做△ABC的“鉛垂高”，我們可得出一種計算三角形面積的新方法:，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.
1．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知二次函數的圖像與軸交于，兩點．
(1)求的值；
(2)若點在該二次函數的圖像上，且的面積為，求點的坐標．
2．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，A、B為一次函數的圖像與二次函數的圖像的公共點，點A、B的橫坐標分別為0、4．P為二次函數的圖像上的動點，且位于直線的下方，連接、．
(1)求b、c的值；
(2)求的面積的最大值．
3．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為，點C的坐標為，連接．
(1)求該二次函數的解析式；
(2)點P是拋物線在第四象限圖象上的任意一點，當的面積最大時，邊上的高的值為______．

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