資源簡介

第三章 函數
第14講 二次函數的應用
（思維導圖+考點+11種題型（含4種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
04題型精研·考向洞悉
題型01 最大利潤問題
題型02 方案選擇問題
題型03 行程問題
題型04 拱橋問題
題型05 隧道通車問題
題型06 噴水問題
題型07 投球問題
題型08 利用圖像構建函數模型解決問題
題型09 圖形最大面積問題
題型10 圖形問題
題型11 圖形運動問題
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
二次函數的實際應用-圖形面積問題 ★★ 通過對實際問題的分析，體會二次函數的意義； 能解決相應的實際問題.
二次函數的實際應用-利潤最值問題 ★★
二次函數的實際應用-其他問題 ★★
【考情分析】二次函數的實際應用多以解答題形式出現，難度中等，考查類型包括銷售問題，拱橋、投籃等拋物線型問題. 一般需要根據題目條件列出二次函數關系式，再利用其性質確定最大利潤/最大面積等.
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
1. 用二次函數解決實際問題的一般步驟：
1）審：仔細審題，理清題意；
2）設：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析，設出適當的未知數；
3）列：用二次函數表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數模型，寫出二次函數的解析式；
4）解：依據已知條件，借助二次函數的解析式、圖像和性質等求解實際問題；
5）檢：檢驗結果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結論.
【注意】二次函數在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內，一定要注意是否包含頂點坐標，如果頂點坐標不在取值范圍內，應按照對稱軸一側的增減性探討問題結論．
2. 利用二次函數解決實際問題的常見類型
常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等，對此類問題要正確地建立模型，選擇合理的位置建立平面直角坐標系是解決此類問題的關鍵，然后用待定系數法求出函數表達式，利用函數性質解決問題.
04題型精研·考向洞悉
題型01 最大利潤問題
利用二次函數解決利潤最值的方法：利潤問題主要涉及兩個等量關系:利潤=售價-進價，總利潤=單件商品的利潤x銷售量，在解答此類問題時，應建立二次函數模型，轉化為函數的最值問題，然后列出相應的函數解析式，從而解決問題.
1．（2024·貴州·中考真題）某超市購入一批進價為10元/盒的糖果進行銷售，經市場調查發現：銷售單價不低于進價時，日銷售量y（盒）與銷售單價x（元）是一次函數關系，下表是y與x的幾組對應值．
銷售單價x/元 … 12 14 16 18 20 …
銷售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y與x的函數表達式；
(2)糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？
(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈送一件價值為m元的禮品，贈送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，求m的值．
2．（2024·山東煙臺·中考真題）每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”，康寧公司新研發了一批便攜式輪椅計劃在該月銷售，根據市場調查，每輛輪椅盈利200元時，每天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元，設每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為y元．
(1)求y與x的函數關系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？
(2)全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？
3．（2024·四川遂寧·中考真題）某酒店有兩種客房、其中種間，種間．若全部入住，一天營業額為元；若兩種客房均有間入住，一天營業額為元．
(1)求兩種客房每間定價分別是多少元？
(2)酒店對種客房調研發現：如果客房不調價，房間可全部住滿；如果每個房間定價每增加元，就會有一個房間空閑；當種客房每間定價為多少元時，種客房一天的營業額最大，最大營業額為多少元？
4．（2023·遼寧營口·中考真題）某大型超市購進一款熱銷的消毒洗衣液，由于原材料價格上漲，今年每瓶洗衣液的進價比去年每瓶洗衣液的進價上漲4元，今年用1440元購進這款洗衣液的數量與去年用1200元購進這款洗衣液的數量相同．當每瓶洗衣液的現售價為36元時，每周可賣出600瓶，為了能薄利多銷．該超市決定降價銷售，經市場調查發現，這種洗衣液的售價每降價1元，每周的銷量可增加100瓶，規定這種消毒洗衣液每瓶的售價不低于進價．
(1)求今年這款消毒洗衣液每瓶進價是多少元；
(2)當這款消毒洗衣液每瓶的售價定為多少元時，這款洗衣液每周的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
題型02 方案選擇問題
5．（2024·江蘇鹽城·中考真題）請根據以下素材，完成探究任務．
制定加工方案
生產背景 背景1 ◆某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風”“雅”“正”三種樣式． ◆因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風”服裝2件，或“雅”服裝1件，或“正”服裝1件． ◆要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件，“正”服裝總件數和“風”服裝相等.
背景2 每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的獲利情況為： ①“風”服裝：24元/件； ②“正”服裝：48元/件； ③“雅”服裝：當每天加工10件時，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件獲利將減少2元．
信息整理 現安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風”服裝，列表如下： 服裝種類加工人數（人）每人每天加工量（件）平均每件獲利（元）風y224雅x1正148
探究任務 任務1 探尋變量關系 求x、y之間的數量關系．
任務2 建立數學模型 設該工廠每天的總利潤為w元，求w關于x的函數表達式．
任務3 擬定加工方案 制定使每天總利潤最大的加工方案．
6．（2022·湖南湘潭·中考真題）為落實國家《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長）和長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數學興趣小組設計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據設計方案回答下列問題：
(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區中留一個寬度的水池且需保證總種植面積為，試分別確定、的長；
(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問應設計為多長？此時最大面積為多少？
7．（2024·浙江寧波·模擬預測）請閱讀信息，并解決問題：
優化產品分配方案
素材1 某工廠每月生產800件產品，每件產品成本100元．這個工廠將這800件產品分配給線下直營店和線上旗艦店兩個渠道一起銷售，每月都能售完．
素材2 線下直營店的產品按照定價190元出售，并進行促銷活動：月銷售量不超過400件的部分，每件產品贈送成本為60元的禮品，可全部售完；超過400件的部分，因禮品已送完，則需要再一次性投入成本為5000元的廣告進行宣傳，也可全部售完．線上旗艦店的產品售價y（元）與月銷售量x（件）滿足關系：．
素材3 優秀方案月總利潤元（銷售利潤銷售收入成本）良好方案44000元月總利潤元合格方案40000元月總利潤元
任務1 ①線下直營店的月銷售量為m件． 若，則這m件產品的銷售利潤為________元． 若，則這m件產品的銷售利潤為________元． ②線上旗艦店的月銷售量為n件，則這n件產品的銷售利潤為________元．
任務2 ①若平均分配給兩個渠道銷售，求這800件產品的銷售總利潤． ②請設計一種與①不同的分配方案，并判斷方案類型．（設計優秀方案得3分，良好方案得2分，合格方案得1分．）
8．（2024·湖北宜昌·模擬預測）某商場計劃用5400元購買一批商品，若將進價降低10%，則可以多購買該商品30件．市場調查反映：售價為每件25元時，每天可賣出250件．如果調整價格，一件商品每漲價1元，每天要少賣出10件．
(1)求該商品原來的進價；
(2)在進價沒有改變的條件下，若每天所得的銷售利潤為2000元，且銷售量盡可能大時，該商品的售價是多少元/件？
(3)在進價沒有改變的條件下，商場的營銷部在調控價格方面，提出了A，B兩種營銷方案．
方案A：每件商品漲價不超過5元；
方案B：每件商品的利潤至少為16元．
請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由．
題型03 行程問題
9．（2023·浙江衢州·中考真題）某龍舟隊進行500米直道訓練，全程分為啟航，途中和沖刺三個階段．圖1，圖2分別表示啟航階段和途中階段龍舟劃行總路程與時間的近似函數圖象．啟航階段的函數表達式為；途中階段勻速劃行，函數圖象為線段；在沖刺階段，龍舟先加速后勻速劃行，加速期龍舟劃行總路程與時間的函數表達式為．

(1)求出啟航階段關于的函數表達式（寫出自變量的取值范圍），
(2)已知途中階段龍舟速度為5m/s．
①當時，求出此時龍舟劃行的總路程，
②在距離終點125米處設置計時點，龍舟到達時，視為達標，請說明該龍舟隊能否達標；
(3)沖刺階段，加速期龍舟用時1s將速度從5m/s提高到5.25m/s，之后保持勻速劃行至終點.求該龍舟隊完成訓練所需時間（精確到0.01s）．
10．（2024·廣西南寧·三模）根據物理學知識可知，物體勻加（減）速運動時的路程平均速度時間t．，其中是開始時的速度，是t秒時的速度．如圖，鋼球從斜面頂端由靜止開始沿斜面滾下，速度每秒增加．
(1)直接寫出鋼球在斜面滾動t秒時的速度．
(2)求鋼球在斜面滾動的距離s（單位：m）關于滾動的時間t（單位：s）的函數解析式．
(3)如果斜面的長是，鋼球從斜面頂端滾到底端用多長時間？
(4)在（3）的條件下，鋼球從斜面頂端滾到底端后，繼續在水平地面上滾動，速度每秒減少，求鋼球靜止時在水平地面上滾動的路程．
11．（2024·廣西柳州·三模）每年的12月2日為“全國交通安全日”，考慮將數字“122”作為我國道路交通事故報警電話，不僅群眾對此認知度高，而且方便記憶和宣傳，遇車減速是行車安全常識，公路上正在行駛的甲車發現前方處沿同一方向行駛的乙車后，開始減速，減速后甲車行駛的路程s（單位：m）、速度v（單位：）與時間t（單位：s）的關系分別可以用二次函數（如圖1）和一次函數（如圖2）表示．
(1)直接寫出s關于t的函數表達式和v關于t的函數表達式．（不要求寫出t的取值范圍）
(2)當甲車減速至時，它行駛的路程是多少？
(3)若乙車以的速度勻速行駛，兩車何時相距最近，最近距離是多少？
12．（2024·浙江嘉興·一模）汽車剎車后，還會繼續向前滑行一段距離，這段距離稱為“剎車距離”．剎車距離與剎車時間的速度有以下關系式：（a，b為常數，且）．某車輛測試結果如下：當車速為時，剎車距離y為；當車速為，剎車距離y為．
(1)求出a，b的值；
(2)行車記錄儀記錄了該車行駛一段路程的過程，汽車在剎車前勻速行駛了，然后剎車直至停下．測得剎車距離為，問：記錄儀中汽車行駛路程為多少米？
題型04 拱橋問題
利用二次函數解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法： 先建立適當的平面直角坐標系，一般選擇拋物線形建筑物的底(頂)部所在的水平線為x軸，對稱軸為y軸，或直接選取最高(低)點為坐標原點建立直角坐標系來解決問題，再根據題意找出已知點的坐標，并求出拋物線解析式，最后根據圖像信息解決實際問題.
13．（2024·陜西·中考真題）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索與纜索均呈拋物線型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以O為原點，以直線為x軸，以橋塔所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．

已知：纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關于y軸對稱，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點P到的距離（橋塔的粗細忽略不計）
(1)求纜索所在拋物線的函數表達式；
(2)點E在纜索上，，且，，求的長．
14．（2023·陜西·中考真題）某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型門，并要求所設計的拱門的跨度與拱高之積為，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設計部門按要求價出了兩個設計方案，現把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖所示：
方案一，拋物線型拱門的跨度，拱高其中，點在軸上，，．
方案二，拋物線型拱門的跨度，拱高其中，點在軸上，，．
要在拱門中設置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計），方案一中，矩形框架的面積記為，點、在拋物線上，邊在上；方案二中，矩形框架的面積記為，點，在拋物線上，邊在上，現知，小華已正確求出方案二中，當時，，請你根據以上提供的相關信息，解答下列問題：

(1)求方案一中拋物線的函數表達式；
(2)在方案一中，當時，求矩形框架的面積并比較，的大小．
15．（2024·貴州黔南·模擬預測）貴州都勻是一座以河為伴、山水交融的“山水橋城”，大大小小的橋梁隨處可見，被譽為“橋梁博物館”．都勻市某石拱橋如圖1，拱橋截面可視為拋物線的一部分，若拱頂到水面的距離為，水面寬度為，以水面與橋截面左側的交點為原點，水面為橫軸建立平面直角坐標系（如圖2）．
(1)求橋拱所在拋物線的函數解析式．
(2)若水位下降，有一只寬為，高為的清潔船能否順利通過該石拱橋？請說明理由．
(3)某相關部門要對石拱橋進行維護，為了安全，現將一塊三角形形狀的安全圍布通過平移后遮住橋體（如圖3）．已知，，且，．若安全圍布向橋拱所在拋物線方向平移個單位長度后，橋體全部在安全圍布內部（不包括邊界），求的取值范圍．
16．（2024九年級上·全國·專題練習）大棚經濟“金鑰匙”，激活鄉村產業振興新引擎．劉叔叔計劃在自家菜地修建一個蔬菜大棚，圖是其橫截面的示意圖，其中，為兩段垂直于地面的墻體，兩段墻體之間的水平距離為米，大棚的頂部用拋物線形鋁合金骨架作支撐．已知骨架的一端固定在離地面米的墻體處，另一端固定在墻體處，骨架最高點到墻體的水平距離為米，且點離地面的高度為米．
數學建模
(1)在圖中，以為原點，水平直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系．設大棚頂部骨架上某處離地面的高度為（米），該處離墻體的水平距離為（米），求與之間的函數關系式；
問題解決
(2)為了大棚頂部更加穩固，劉叔叔計劃在棚頂安裝“丁”字形鋁合金支架，如圖2所示，支架可以看成是由線段，組成，其中點，在頂棚拋物線形骨架上，于點．為不影響耕作，將點E到地面的距離定為米．
點的坐標為______，的長為______；
請你計算做一個“丁”字形支架所需鋁合金材料的最大長度．（結果精確到米．參考數據：）
題型05 隧道通車問題
17．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖①，是某高速公路正在修建的隧道．圖②是其中一個隧道截面示意圖，由矩形和拋物線的一部分構成，矩形的邊，，拋物線的最高點離地面．
(1)以點為原點、所在直線為軸，建立平面直角坐標系．求拋物線的表達式；
(2)為了行駛安全，現要在隧道洞口處貼上黃黑立面標記．已知將該拋物線向上平移所掃過的區域即為貼黃黑立面標記的區域，則貼黃黑立面標記的區域的面積為 ；
(3)該隧道為單向雙車道，且規定車輛必須在距離隧道邊緣大于等于范圍內行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于的空隙，請利用二次函數的知識確定該隧道車輛的限制高度．
18．（2024·湖北荊州·二模）施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其最高點P距離地面高度為8米，寬度為16米．現以點O為原點，所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖1所示）．
(1)求出這條拋物線的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
(2)隧道下的公路是單向雙車道，車輛并行時，安全平行間距為2米，該雙車道能否同時并行兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛？請通過計算說明；
(3)施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”，使點在拋物線上．點在地面線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需測算“腳手架”三根鋼桿的長度之和的最大值是多少，請你幫施工隊計算一下．
19．（2024·河南平頂山·三模）小明發現有一處隧道的截面由拋物線的一部分和矩形構成，他對此展開研究：測得矩形的寬為，長為，最高處點P到地面的距離為，建立如圖所示的平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為 ，其中表示拋物線上任一點到地面的高度，表示拋物線上任一點到隧道一邊的距離．
(1)求拋物線的解析式．
(2)為了保障貨車在道路上的通行能力及行車安全，根據我國交通運輸部的相關規定，普通貨車的寬度應在之間，高度應在之間，小明發現隧道為單行道，一貨車沿隧道中線行駛，寬為，貨車的最高處與隧道上部的豎直距離約為，通過計算，判斷這輛貨車的高度是否符合規定．
20．（2024·河南周口·二模）如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，其中長方形的長，寬．按照圖中所示的平面直角坐標系，拋物線可以用表示，且拋物線上的點C到墻面的水平距離為時，到地面的距離為．為安全起見，隧道正中間有寬為的隔離帶．
(1)求b，c的值，并計算出拱頂D到地面的距離．
(2)一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為，寬為，如果隧道內設雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？
(3)在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，且它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？
21．（2023·廣東深圳·模擬預測）按要求解答
(1)某市計劃修建一條隧道，已知隧道全長2400米，一工程隊在修了1400米后，加快了工作進度，每天比原計劃多修5米，結果提前10天完成，求原計劃每天修多長？
(2)隧道建成后的截面圖如圖所示，它可以抽象成如圖所示的拋物線．已知兩個車道寬度米，人行道地基AC，BD寬均為2米，拱高米．建立如圖所示的直角坐標系．
①此拋物線的函數表達式為________．（函數表達式用一般式表示）
②按規定，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少0.5米，則此隧道限高________米．
③已知人行道臺階高均為0.3米，按照國家標準，人行道寬度不得低于1.25米，該隧道的人行道寬度設計是否達標？說明理由．
+
題型06 噴水問題
22．（2023·山東·中考真題）城建部門計劃修建一條噴泉步行通道．圖1是項目俯視示意圖．步行通道的一側是一排垂直于路面的柱形噴水裝置，另一側是方形水池．圖2是主視示意圖．噴水裝置的高度是2米，水流從噴頭A處噴出后呈拋物線路徑落入水池內，當水流在與噴頭水平距離為2米時達到最高點B，此時距路面的最大高度為3.6米．為避免濺起的水霧影響通道上的行人，計劃安裝一個透明的傾斜防水罩，防水罩的一端固定在噴水裝置上的點處，另一端與路面的垂直高度為1.8米，且與噴泉水流的水平距離為0.3米．點到水池外壁的水平距離米，求步行通道的寬．（結果精確到0.1米）參考數據：

23．（2022·浙江臺州·中考真題）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口離地豎直高度為（單位：）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度為的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為，高出噴水口，灌溉車到的距離為（單位：）．
(1)若，；
①求上邊緣拋物線的函數解析式，并求噴出水的最大射程；
②求下邊緣拋物線與軸的正半軸交點的坐標；
③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求的取值范圍；
(2)若．要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，請直接寫出的最小值．
24．（2022·河南·中考真題）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求拋物線的表達式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．
25．（2024·廣西南寧·三模）美麗邕城四季常青，這與南寧市重視城市綠化密不可分，市區很多公園廣場都安裝有綠地噴淋系統．現準備在某草坪上安裝一個自動噴水裝置，其示意圖如圖1，噴水裝置噴射出來的水流可以近似的看成拋物線，點A、M在拋物線上，A為出水口，M為水流與地面的交點．如圖2，若水流距離地面的高度y（單位m）與水流距離出水口的水平距離x（單位m）之間具有函數關系：．
(1)自動噴水裝置噴水口距離地面的高度_____m；
(2)如圖1，該自動噴水裝置能旋轉，它的噴灌區域是一個扇形，求它能噴灌的草坪面積（結果保留π）；
(3)如圖3，若噴水口正后方1米處有一條人行步道l，為行人安全，水流不能噴濺到步道上，請通過計算說明噴水裝置安裝位置是否合理？
26．（2024·湖北武漢·二模）某廣場建了一座圓形音樂噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，安裝在水管頂端A處的圓形噴頭向四周噴水，且各個方向噴出的拋物線形水柱形狀相同．如圖1，以池中心O點為坐標原點，水平方向為x軸，所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．x軸上的點C，D為水柱的落水點，若落地直徑，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達到最高．
(1)求圖1中右邊拋物線的解析式；
(2)計劃在圖1中的線段上的點B處豎立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，請求出線段的取值范圍；
(3)圓形水池的直徑為，噴水造型會隨著音樂節奏起伏而變化，從而產生一組不同的拋物線（如圖2），若右側拋物線頂點始終在直線上，當噴出的拋物線水柱最大高度為時，水柱會噴到圓形水池之外嗎？請說明理由．
題型07 投球問題
27．（2024·青海·中考真題）在如圖所示的平面直角坐標系中，有一斜坡，從點O處拋出一個小球，落到點處．小球在空中所經過的路線是拋物線的一部分．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求拋物線最高點的坐標；
(3)斜坡上點B處有一棵樹，點B是的三等分點，小球恰好越過樹的頂端C，求這棵樹的高度．
28．（2024·江西·中考真題）如圖，一小球從斜坡O點以一定的方向彈出球的飛行路線可以用二次函數刻畫，斜坡可以用一次函數刻畫，小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①______，______；
②小球的落點是A，求點A的坐標．
(2)小球飛行高度y（米）與飛行時間t（秒）滿足關系．
①小球飛行的最大高度為______米；
②求v的值．
29．（2023·浙江溫州·中考真題）一次足球訓練中，小明從球門正前方的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當球飛行的水平距離為時，球達到最高點，此時球離地面．已知球門高為2.44m，現以O為原點建立如圖所示直角坐標系．

(1)求拋物線的函數表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）．
(2)對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經過點O正上方2.25m處？
30．（2023·河南·中考真題）小林同學不僅是一名羽毛球運動愛好者，還喜歡運用數學知識對羽毛球比賽進行技術分析，下面是他對擊球線路的分析．
如圖，在平面直角坐標系中，點A，C在x軸上，球網與y軸的水平距離，，擊球點P在y軸上．若選擇扣球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足一次函數關系；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足二次函數關系．

(1)求點P的坐標和a的值．
(2)小林分析發現，上面兩種擊球方式均能使球過網．要使球的落地點到C點的距離更近，請通過計算判斷應選擇哪種擊球方式．
31．（2024·遼寧撫順·模擬預測）擲實心球是某市中考體育考試的選考項目．小強為了解自己實心球的訓練情況，他嘗試利用數學模型來研究實心球的運動情況，建立了如圖所示的平面直角坐標系，在一次投擲中，實心球從軸上的點處出手，運動路徑可看作拋物線的一部分，實心球在最高點的坐標為，落在軸上的點處．
(1)求拋物線的解析式；
(2)某市男子實心球的得分標準如表：
得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10
擲遠（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0
請你求出小強在這次訓練中的成績，并根據得分標準給小強打分；
(3)小強在練習實心球時，他的正前方距離投擲點9米處有一個身高1.2米的小朋友在玩耍，問該小朋友是否有危險（如果實心球在小孩頭頂上方飛出為平安，否則視為危險），請說明理由．
32．（2024·貴州貴陽·一模）小明和小亮參加了一次籃球比賽，籃球傳出后的運動路線為如圖所示的拋物線，以小明站立的位置為原點O建立平面直角坐標系，籃球在O點正上方的點 P處出手，籃球的高度與水平距離之間滿足函數表達式．
(1)求c的值；
(2)求籃球在運動過程中離地面的最大高度；
(3)小明傳球給小亮，小亮手舉過頭頂在對方球員后方接球，已知小亮跳起后，手離地面的最大高度為，則球在下落過程中，若小亮要想順利接住球，求他至少距離小明多遠的距離．
題型08 利用圖像構建函數模型解決問題
33．（2023·內蒙古赤峰·中考真題）乒乓球被譽為中國國球．2023年的世界乒乓球標賽中，中國隊包攬了五個項目的冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓練和精準的技術分析是分不開的．如圖，是乒乓球臺的截面示意圖，一位運動員從球臺邊緣正上方以擊球高度為 的高度，將乒乓球向正前方擊打到對面球臺，乒乓球的運行路線近似是拋物線的一部分．
乒乓球到球臺的豎直高度記為（單位：），乒乓球運行的水平距離記為（單位：）．測得如下數據：
水平距離x/
豎直高度y/
(1)在平面直角坐標系中，描出表格中各組數值所對應的點，并畫出表示乒乓球運行軌跡形狀的大致圖象；

(2)①當乒乓球到達最高點時，與球臺之間的距離是__________，當乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是__________；
②求滿足條件的拋物線解析式；
(3)技術分析：如果只上下調整擊球高度，乒乓球的運行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過網，又能落在對面球臺上，需要計算出的取值范圍，以利于有針對性的訓練．如圖②．乒乓球臺長為274，球網高為15.25．現在已經計算出乒乓球恰好過網的擊球高度的值約為1.27．請你計算出乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值（乒乓球大小忽略不計）．
34．（2024·湖北宜昌·二模）一架飛機在跑道起點處著陸后滑行的相關數據如下表：
滑行時間 0 1 2 3 4
滑行速度 60 57 54 51 48
已知該飛機在跑道起點處著陸后的滑行速度y（單位：）與滑行時間t（單位：s）之間滿足一次函數關系．而滑行距離平均速度時間t，，其中是初始速度，是t秒時的速度．
(1)直接寫出y關于t的函數解析式和自變量的取值范圍；
(2)求飛機滑行的最遠距離；
(3)當飛機在跑道起點處著陸后滑行了，求此時飛機的滑行速度；
(4)若飛機在跑道起點處開始滑行時，發現前方有一輛通勤車正以的速度勻速同向行駛，試問飛機滑行過程中是否有碰撞通勤車的危險？
35．（2024·貴州黔東南·二模）據統計，每年因汽車追尾而造成的交通事故占交通事故總數的70%以上．注意車速，保持車距是行車安全中必須遵守的．某公路上正在行駛的甲車，發現前方道路有一輛乙車并開始減速，減速后甲車行駛的路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關系如表所示．
時間t（單位：s） 0 1 2 3 4 …
行駛的路程s（單位：m） 0 15 28 n 48 …
(1)根據所得數據中甲車行駛的路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的變化規律，利用初中所學函數知識求出s與t之間的函數關系式，并寫出n的值；
(2)若乙車因事故拋錨在距甲車50米處，甲車是否會追尾拋錨的車輛？試說明理由；
(3)乙車以的速度勻速行駛，若要避免發生追尾事故，甲車至少在距離乙車多少米處開始剎車？
36．（2024·浙江杭州·二模）綜合與實踐：根據以下素材，探索完成任務．
生活中的數學：如何確定汽車行駛的安全距離
背景 現代社會汽車大量增加，發生交通事故的一個原因是遇到意外不能立即停車．駕駛員從發現前方道路有異常情況到立即操縱制動器需要一段時間，這段時間叫反應時間，在這段時間里汽車通過的距離叫做反應距離；從操縱制動器制動，到汽車靜止，汽車又前進一段距離，這段距離叫制動距離．
素材 《駕駛員守則》中駕駛員在不同車速時所對應的正常反應距離的表格： 車速（千米/時）反應距離（米）
注意：千米/時米/秒 （1）已知反應時間，則駕駛員正常的反應時間為 秒．
素材 制動距離（俗稱：剎車距離）與汽車速度有關．下表為測試某種型號汽車的剎車性能，工程師進行了大量模擬測試，測得汽車的數據如下表： 剎車時車速x（千米/時）剎車距離y（米）
素材 相關法規：《道路安全交通法》第七十八條：高速公路上行駛的小型載客汽車最高車速不得超過每小時公里．
任務 （2）請根據素材回答：測量必然存在誤差，請利用平面直角坐標系（如圖），以所測得數據剎車時車速為橫坐標，剎車距離為縱坐標，描出所表示的點，并用光滑的曲線連接，畫出函數大致圖象，并求出一個大致滿足這些數據的函數表達式；
任務2 （3）請根據素材和相應的結論回答：在測試中，該型號的汽車在高速公路上發生了一次交通事故，現場測得剎車距離為米，請推測汽車是否超速行駛；
任務3 （4）請根據以上所有的素材回答問題：測試汽車在行人較多城市道路的機動車道正常行駛中，某時突然有一人騎自行車橫穿機動車道，此時自行車前輪行至非機動車道與機動車道交界處的點時與轎車的距離米（見圖）．測試汽車看到行人后立即剎車，若汽車在沒有越過自行車路線前停車（見圖），汽車剎車前的最大速度不能超過多少？（注意：停車距離=反應距離+制動距離）
37．（2024·貴州·模擬預測）數學建模社團的同學們想要研究植物園某圓形草坪自動澆水裝置的噴灑范圍，他們發現：自動澆水裝置豎直立于草坪中心處，且噴出的水流的最上層呈拋物線形，此時草坪邊緣處恰好能噴灑到水．他們將水流最上層各點到澆水裝置的水平距離記為，到地面的豎直高度記為，得到部分數據如下：
0 0.5 1 1.5 2 …
1 1.15 1.2 1.5 1 …
根據以上數據，完成下列問題．
(1)測量數據中，哪一組是錯誤的？
A．B．C．
D．E．
(2)以草坪的中心為原點，澆水裝置所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．
①以表格中的各組數據為坐標的點已在圖中標出，請將錯誤數據對應的點改正過來重新在圖上標出，并用平滑的曲線畫出函數圖象；
②求圖象所在拋物線的函數表達式．
(3)經調查，該自動澆水裝置的推力不變（拋物線的形狀不變），噴水口可以從現有位置向上移動，移動范圍是．若植物園計劃在圓形草坪外圍種一圈寬度相等的花卉，請對花卉的寬度提出合理建議．
38．（2023·浙江溫州·三模）根據以下素材，探索完成任務．
如何設置“綠波帶”？
素材1：某市為新路段設置“綠波帶”，車輛駛入綠波帶后，若以一定速度行駛，到達下個路口時會遇到綠燈，可節約能源．如圖，，兩路口停車線之間距離為米，兩個交通信號燈的綠燈持續時間均為秒，處綠燈亮起秒后處綠燈第一次亮起．

素材2：第1輛車的車頭與停車線平齊，后面相鄰兩車的車頭相距米，綠燈亮起時第一輛車立即啟動，后面每一輛車在前一輛車啟動秒后再啟動．車輛啟動后，先加速，到一定速度后勻速行駛．在加速階段，汽車的速度與時間的關系如下表所示，行駛路程與速度、時間的關系滿足．
（秒） 0 1 2 3 4 …
（米/秒） 0 3 6 9 12 …
素材3：路口車流量顯示：綠燈持續時間應少于秒（為整數），每一次綠燈一個車道內能通過的等候車輛數為輛（車頭超過停車線即為通過），且每輛車加速通過路口．
任務1：用含的代數式表示，并求關于的函數表達式：
任務2：求第輛車從啟動到車頭到達停車線的時間以及綠燈持續時間的值．
任務3：路口綠燈亮起后，第一輛車的勻速車速處于什么范圍時，可在路口綠燈第一次亮起期間通過停車線？
題型09 圖形最大面積問題
利用二次函數解決面積最值的方法：求最大面積類問題可以利用二次函數的圖像和性質進行解答,也就是把圖形面積的最值問題轉化為二次函數的最值問題，依據圖形的面積公式列出函數解析式.
【注意】在求解幾何圖形的最大面積時,應注意自變量的取值范圍,一定要注意題目中隱含的每一個幾何量的取值范圍,一般有以下幾種情況: 邊長,周長,面積大于0,三角形中任意兩邊之和大于第三邊.
39．（2024·湖北·中考真題）如圖，某校勞動實踐基地用總長為80m的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩形實驗田，墻長為42m．柵欄在安裝過程中不重疊、無損耗，設矩形實驗田與墻垂直的一邊長為x(單位：m)，與墻平行的一邊長為y(單位：m)，面積為S(單位：)．
(1)直接寫出y與x，S與x之間的函數解析式(不要求寫x的取值范圍)；
(2)矩形實驗田的面積S能達到嗎？如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．
(3)當x的值是多少時，矩形實驗田的面積S最大？最大面積是多少？
40．（2023·山東濰坊·中考真題）工匠師傅準備從六邊形的鐵皮中，裁出一塊矩形鐵皮制作工件，如圖所示．經測量，，與之間的距離為2米，米，米，，．，，是工匠師傅畫出的裁剪虛線．當的長度為多少時，矩形鐵皮的面積最大，最大面積是多少？

41．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，正方形紙片的邊長為4，將它剪去4個全等的直角三角形，得到四邊形．設的長為，四邊形的面積為．

(1)求關于的函數表達式；
(2)當取何值時，四邊形的面積為10？
(3)四邊形的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．
42．（2024·河南商丘·模擬預測）如圖①，是一塊銳角三角形材料，邊，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個定點分別在，上，這個正方形零件的邊長是多少？
（1）解這個題目，求出這個正方形零件的邊長是多少？
變式訓練：
（2）如果要加工成一個矩形零件，如圖②，這樣，此矩形零件的兩邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長是多少？
（3）如圖③，在中，，正方形的邊長是8，且四個頂點都在的各邊上，．求的值．
題型10 圖形問題
43．（2024·天津·中考真題）將一個平行四邊形紙片放置在平面直角坐標系中，點，點，點在第一象限，且．
(1)填空：如圖①，點的坐標為______，點的坐標為______；
(2)若為軸的正半軸上一動點，過點作直線軸，沿直線折疊該紙片，折疊后點的對應點落在軸的正半軸上，點的對應點為．設．
①如圖②，若直線與邊相交于點，當折疊后四邊形與重疊部分為五邊形時，與相交于點．試用含有的式子表示線段的長，并直接寫出的取值范圍；
②設折疊后重疊部分的面積為，當時，求的取值范圍（直接寫出結果即可）．
44．（2024·四川內江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過、兩點，在第一象限的拋物線上取一點，過點作軸于點，交于點．
(1)求這條拋物線所對應的函數表達式；
(2)是否存在點，使得和相似？若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由；
(3)是第一象限內拋物線上的動點（不與點重合），過點作軸的垂線交于點，連接，當四邊形為菱形時，求點的橫坐標．
45．（2023·廣西·中考真題）如圖，是邊長為4的等邊三角形，點D，E，F分別在邊，，上運動，滿足．

(1)求證：；
(2)設的長為x，的面積為y，求y關于x的函數解析式；
(3)結合（2）所得的函數，描述的面積隨的增大如何變化．
46．（2023·山東煙臺·中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．拋物線的對稱軸與經過點的直線交于點，與軸交于點．

(1)求直線及拋物線的表達式；
(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形 若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．
47．（2022·青海西寧·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點B，點C在直線AB上，過點C作軸于點，將沿CD所在直線翻折，使點A恰好落在拋物線上的點E處．
(1)求拋物線解析式；
(2)連接BE，求的面積；
(3)拋物線上是否存在一點P，使？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．
題型11 圖形運動問題
利用二次函數解決運動型幾何問題的方法：對于運動型幾何問題中的函數應用問題，解題時應深入理解運動圖形所在的條件與環境，用運動的眼光去觀察和研究問題，挖掘運動、變化的全過程，并特別關注運動過程中的不變量、不變關系和特殊關系，然后化“動態”為“靜態”、化“變化”為“不變”，通過分析找出題中各圖形的結合點，借助函數的性質予以解決.當圖形(或某一事物)在運動的過程中某一量取到最大值或最小值時，其位置必定在一個特殊的位置,這是普遍規律.
48．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，中，，，，，反比例函數的圖象與交于點，與交于點E．

(1)求m，k的值；
(2)點P為反比例函數圖象上一動點（點P在D，E之間運動，不與D，E重合），過點P作，交y軸于點M，過點P作軸，交于點N，連接，求面積的最大值，并求出此時點P的坐標．
49．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在矩形中，，點E是邊上的動點，連結，以為邊作矩形（點D，G在的同側），且，連結．
(1)如圖1，當點E為邊的中點時，點B，E，F在同一直線上，求的長．
(2)如圖2，若，設與交于點K．求證：．
(3)在點E的運動過程中，的長是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，請說明理由．
50．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，在矩形中，，，是上一點，，是上的動點，連接，是上一點，且（為常數，），分別過點、作、的垂線相交于點，設的長為，的長為．
(1)若，，則的值為________；
(2)求與之間的函數表達式；
(3)在點從點到點的整個運動過程中，若線段上存在點，則的值應滿足什么條件？直接寫出的取值范圍．
51．（2022·江蘇蘇州·二模）圖1，在中，，．點以的速度從點出發沿勻速運動到；同時，點以（）的速度從點出發沿勻速運動到．兩點同時開始運動，到達各自終點后停止，設運動時間為，的面積為．當點在上運動時，與的函數圖象如圖2所示．
(1)______，______，補全函數圖象；
(2)求出當時間在什么范圍內變化時，的面積為的值不小于；
(3)連接，交于點，求平分時的值．
52．（2024·江西南昌·模擬預測）如圖1，是等邊三角形，動點D以每秒1個單位長度的速度從點A出發，在三角形邊上沿A→B→C→A勻速運動，回到出發點A時停止運動，過點D作，垂足為E，設點D的運動時間為t（s），的面積為S．圖2是點D從點A運動到點B時的S關于t的函數圖象，點M的坐標為．
(1)①等邊三角形的邊長為 ，點N的坐標為 ；
②求圖2中函數圖象所對應的解析式．
(2)圖3是動點D走完全程，S與t的函數圖象，請你根據圖象，回答下列問題：
①表示的實際意義是 ；
②連接，求S與t的函數圖象和線段圍成的圖形的面積．
53．（2024·廣西南寧·模擬預測）如圖，在矩形中，，．動點，分別從點，出發，同時以的速度沿折線和分別向終點，運動．設運動時間為，直線，，，所圍成的圖形的面積為．
(1)當點與點重合時，的長為 　　　　；
(2)求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
(3)當為直角三角形時，直接寫出x的值．第三章 函數
第14講 二次函數的應用
（思維導圖+考點+11種題型（含4種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
04題型精研·考向洞悉
題型01 最大利潤問題
題型02 方案選擇問題
題型03 行程問題
題型04 拱橋問題
題型05 隧道通車問題
題型06 噴水問題
題型07 投球問題
題型08 利用圖像構建函數模型解決問題
題型09 圖形最大面積問題
題型10 圖形問題
題型11 圖形運動問題
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
二次函數的實際應用-圖形面積問題 ★★ 通過對實際問題的分析，體會二次函數的意義； 能解決相應的實際問題.
二次函數的實際應用-利潤最值問題 ★★
二次函數的實際應用-其他問題 ★★
【考情分析】二次函數的實際應用多以解答題形式出現，難度中等，考查類型包括銷售問題，拱橋、投籃等拋物線型問題. 一般需要根據題目條件列出二次函數關系式，再利用其性質確定最大利潤/最大面積等.
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
1. 用二次函數解決實際問題的一般步驟：
1）審：仔細審題，理清題意；
2）設：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析，設出適當的未知數；
3）列：用二次函數表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數模型，寫出二次函數的解析式；
4）解：依據已知條件，借助二次函數的解析式、圖像和性質等求解實際問題；
5）檢：檢驗結果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結論.
【注意】二次函數在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內，一定要注意是否包含頂點坐標，如果頂點坐標不在取值范圍內，應按照對稱軸一側的增減性探討問題結論．
2. 利用二次函數解決實際問題的常見類型
常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等，對此類問題要正確地建立模型，選擇合理的位置建立平面直角坐標系是解決此類問題的關鍵，然后用待定系數法求出函數表達式，利用函數性質解決問題.
04題型精研·考向洞悉
題型01 最大利潤問題
利用二次函數解決利潤最值的方法：利潤問題主要涉及兩個等量關系:利潤=售價-進價，總利潤=單件商品的利潤x銷售量，在解答此類問題時，應建立二次函數模型，轉化為函數的最值問題，然后列出相應的函數解析式，從而解決問題.
1．（2024·貴州·中考真題）某超市購入一批進價為10元/盒的糖果進行銷售，經市場調查發現：銷售單價不低于進價時，日銷售量y（盒）與銷售單價x（元）是一次函數關系，下表是y與x的幾組對應值．
銷售單價x/元 … 12 14 16 18 20 …
銷售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y與x的函數表達式；
(2)糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？
(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈送一件價值為m元的禮品，贈送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，求m的值．
【答案】(1)
(2)糖果銷售單價定為25元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元
(3)2
【分析】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是：
（1）利用待定系數法求解即可；
（2）設日銷售利潤為w元，根據利潤=單件利潤×銷售量求出w關于x的函數表達式，然后利用二次函數的性質求解即可；
（3）設日銷售利潤為w元，根據利潤=單件利潤×銷售量-m×銷售量求出w關于x的函數表達式，然后利用二次函數的性質求解即可．
【詳解】（1）解∶設y與x的函數表達式為，
把，；，代入，得，
解得，
∴y與x的函數表達式為；
（2）解：設日銷售利潤為w元，
根據題意，得
，
∴當時，有最大值為450，
∴糖果銷售單價定為25元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元；
（3）解：設日銷售利潤為w元，
根據題意，得
，
∴當時，有最大值為，
∵糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，
∴，
化簡得
解得，
當時，,
則每盒的利潤為：,舍去，
∴m的值為2．
2．（2024·山東煙臺·中考真題）每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”，康寧公司新研發了一批便攜式輪椅計劃在該月銷售，根據市場調查，每輛輪椅盈利200元時，每天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元，設每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為y元．
(1)求y與x的函數關系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？
(2)全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？
【答案】(1)，每輛輪椅降價20元時，每天的利潤最大，為元
(2)這天售出了64輛輪椅
【分析】本題考查二次函數的實際應用，正確的列出函數關系式，是解題的關鍵：
（1）根據總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出二次函數關系式，再根據二次函數的性質求最值即可；
（2）令，得到關于的一元二次方程，進行求解即可．
【詳解】（1）解：由題意，得：；
∵每輛輪椅的利潤不低于180元，
∴，
∴，
∵，
∴當時，隨的增大而增大，
∴當時，每天的利潤最大，為元；
答：每輛輪椅降價20元時，每天的利潤最大，為元；
（2）當時，，
解得：（不合題意，舍去）；
∴（輛）；
答：這天售出了64輛輪椅．
3．（2024·四川遂寧·中考真題）某酒店有兩種客房、其中種間，種間．若全部入住，一天營業額為元；若兩種客房均有間入住，一天營業額為元．
(1)求兩種客房每間定價分別是多少元？
(2)酒店對種客房調研發現：如果客房不調價，房間可全部住滿；如果每個房間定價每增加元，就會有一個房間空閑；當種客房每間定價為多少元時，種客房一天的營業額最大，最大營業額為多少元？
【答案】(1)種客房每間定價為元，種客房每間定價為為元；
(2)當種客房每間定價為元時，種客房一天的營業額最大，最大營業額為元．
【分析】（）設種客房每間定價為元，種客房每間定價為為元，根據題意，列出方程組即可求解；
（）設種客房每間定價為元，根據題意，列出與的二次函數解析式，根據二次函數的性質即可求解；
本題考查了二元一次方程組的應用，二次函數的應用，根據題意，正確列出二元一次方程組和二次函數解析式是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：設種客房每間定價為元，種客房每間定價為為元，
由題意可得，，
解得，
答：種客房每間定價為元，種客房每間定價為為元；
（2）解：設種客房每間定價為元，
則，
∵，
∴當時，取最大值，元，
答：當種客房每間定價為元時，種客房一天的營業額最大，最大營業額為元．
4．（2023·遼寧營口·中考真題）某大型超市購進一款熱銷的消毒洗衣液，由于原材料價格上漲，今年每瓶洗衣液的進價比去年每瓶洗衣液的進價上漲4元，今年用1440元購進這款洗衣液的數量與去年用1200元購進這款洗衣液的數量相同．當每瓶洗衣液的現售價為36元時，每周可賣出600瓶，為了能薄利多銷．該超市決定降價銷售，經市場調查發現，這種洗衣液的售價每降價1元，每周的銷量可增加100瓶，規定這種消毒洗衣液每瓶的售價不低于進價．
(1)求今年這款消毒洗衣液每瓶進價是多少元；
(2)當這款消毒洗衣液每瓶的售價定為多少元時，這款洗衣液每周的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
【答案】(1)今年這款消毒洗衣液每瓶進價是24元；
(2)當這款消毒洗衣液每瓶的售價定為33元時，這款洗衣液每周的銷售利潤最大，最大利潤是8100元．
【分析】（1）設今年這款消毒洗衣液每瓶進價是x元，則去年這款消毒洗衣液每瓶進價是元，根據題意列出分式方程，解方程即可；
（2）設這款消毒洗衣液每瓶的售價定為m元時，這款洗衣液每周的銷售利潤w最大，根據題意得出：，根據二次函數的性質可得出答案．
【詳解】（1）解：設今年這款消毒洗衣液每瓶進價是x元，則去年這款消毒洗衣液每瓶進價是元，
根據題意可得：，
解得：，
經檢驗：是方程的解，
元，
答：今年這款消毒洗衣液每瓶進價是24元.
（2）解：設這款消毒洗衣液每瓶的售價定為m元時，這款洗衣液每周的銷售利潤w最大，
根據題意得出：，
整理得：，
根據二次函數的性質得出：當時，利潤最大，
最大利潤為：，
答：當這款消毒洗衣液每瓶的售價定為33元時，這款洗衣液每周的銷售利潤最大，最大利潤是8100元．
【點睛】本題考查分式方程的應用，二次函數的應用，正確理解題意列出關系式是解題關鍵．
題型02 方案選擇問題
5．（2024·江蘇鹽城·中考真題）請根據以下素材，完成探究任務．
制定加工方案
生產背景 背景1 ◆某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風”“雅”“正”三種樣式． ◆因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風”服裝2件，或“雅”服裝1件，或“正”服裝1件． ◆要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件，“正”服裝總件數和“風”服裝相等.
背景2 每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的獲利情況為： ①“風”服裝：24元/件； ②“正”服裝：48元/件； ③“雅”服裝：當每天加工10件時，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件獲利將減少2元．
信息整理 現安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風”服裝，列表如下： 服裝種類加工人數（人）每人每天加工量（件）平均每件獲利（元）風y224雅x1正148
探究任務 任務1 探尋變量關系 求x、y之間的數量關系．
任務2 建立數學模型 設該工廠每天的總利潤為w元，求w關于x的函數表達式．
任務3 擬定加工方案 制定使每天總利潤最大的加工方案．
【答案】任務1：；任務2：；任務3：安排19名工人加工“雅”服裝，17名工人加工“風”服裝，34名工人加工“正”服裝，即可獲得最大利潤
【分析】題目主要考查一次函數及二次函數的應用，理解題意，根據二次函數的性質求解是解題關鍵．
任務1：根據題意安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風”服裝，得出加工“正”服裝的有人，然后利用“正”服裝總件數和“風”服裝相等，得出關系式即可得出結果；
任務2：根據題意得：“雅”服裝每天獲利為：，然后將2種服裝的獲利求和即可得出結果；
任務3：根據任務2結果化為頂點式，然后結合題意，求解即可．
【詳解】解：任務1：根據題意安排70名工人加工一批夏季服裝，
∵安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風”服裝，
∴加工“正”服裝的有人，
∵“正”服裝總件數和“風”服裝相等，
∴，
整理得：；
任務2：根據題意得：“雅”服裝每天獲利為：，
∴，
整理得：
∴
任務3：由任務2得，
∴當時，獲得最大利潤，
，
∴，
∵開口向下，
∴取或，
當時，，不符合題意；
當時，，符合題意；
∴，
綜上：安排19名工人加工“雅”服裝，17名工人加工“風”服裝，34名工人加工“正”服裝，即可獲得最大利潤．
6．（2022·湖南湘潭·中考真題）為落實國家《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長）和長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數學興趣小組設計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據設計方案回答下列問題：
(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區中留一個寬度的水池且需保證總種植面積為，試分別確定、的長；
(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問應設計為多長？此時最大面積為多少？
【答案】(1)CG長為8m，DG長為4m
(2)當BC=m時，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=m2
【分析】（1）兩塊籬笆墻的長為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設CG為am，DG為(12-a)m，再由矩形面積公式求解；
（2）設兩塊矩形總種植面積為y， BC長為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=BC×DC，代入有關數據再把二次函數化成頂點式即可 .
【詳解】（1）解：兩塊籬笆墻的長為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
設CG為am，DG為(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：設兩塊矩形總種植面積為ym2，BC長為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，
兩塊矩形總種植面積=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x-)2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴當BC=m時，y最大=m2．
【點睛】此題考查了二次函數的實際應用，解題的關鍵是正確理解題意找到等量關系列出方程．
7．（2024·浙江寧波·模擬預測）請閱讀信息，并解決問題：
優化產品分配方案
素材1 某工廠每月生產800件產品，每件產品成本100元．這個工廠將這800件產品分配給線下直營店和線上旗艦店兩個渠道一起銷售，每月都能售完．
素材2 線下直營店的產品按照定價190元出售，并進行促銷活動：月銷售量不超過400件的部分，每件產品贈送成本為60元的禮品，可全部售完；超過400件的部分，因禮品已送完，則需要再一次性投入成本為5000元的廣告進行宣傳，也可全部售完．線上旗艦店的產品售價y（元）與月銷售量x（件）滿足關系：．
素材3 優秀方案月總利潤元（銷售利潤銷售收入成本）良好方案44000元月總利潤元合格方案40000元月總利潤元
任務1 ①線下直營店的月銷售量為m件． 若，則這m件產品的銷售利潤為________元． 若，則這m件產品的銷售利潤為________元． ②線上旗艦店的月銷售量為n件，則這n件產品的銷售利潤為________元．
任務2 ①若平均分配給兩個渠道銷售，求這800件產品的銷售總利潤． ②請設計一種與①不同的分配方案，并判斷方案類型．（設計優秀方案得3分，良好方案得2分，合格方案得1分．）
【答案】任務一：①；；②；任務二：①；②線上160件，線下640件為優秀方案．線下不在優秀方案區間內，但在508（含）-772（含）為良好方案；線下不在優秀和良好方案區間內，但在222（含）-800（含）為合格方案
【分析】本題考查二次函數的應用，得到超過400件的線下銷售的銷售利潤是解決本題的難點；
任務一：①，這件產品的銷售利潤（定價成本禮品價格）；
，這件產品的銷售利潤為（定價成本禮品價格）（定價成本）超過400的件數；
②件產品的銷售利潤（銷售價格成本）銷售量；
任務二：①800件產品的銷售總利潤線下銷售400件的利潤線上銷售400件的利潤；
②設線上銷售件，則線下銷售件，根據線下銷售的件數不超過400和超過400兩種情況得到相應的二次函數，求得最大的值可設計出相應的方案．
【詳解】解：任務一：①，這件產品的銷售利潤為：元，
，這件產品的銷售利潤為：元．
故答案為：，；
②線上旗艦店的月銷售量為件，則這件產品的銷售利潤為：；
故答案為：；
任務二：①設銷售總利潤為元．
元．
答：這800件產品的銷售總利潤為44000元；
②設線上銷售件，則線下銷售件．
Ⅰ、．
．
時，利潤最大，為44000元，不符合題意．
Ⅱ、．
．
當時，利潤最大，為46200．
設計的方案為：線上銷售160件，線下銷售640件，為優秀方案．
線上在120件（含）-200件（含），線下在600（含）-680（含）為優秀方案；
線下不在優秀方案區間內，但在508（含）-772（含）為良好方案；
線下不在優秀和良好方案區間內，但在222（含）-800（含）為合格方案．
8．（2024·湖北宜昌·模擬預測）某商場計劃用5400元購買一批商品，若將進價降低10%，則可以多購買該商品30件．市場調查反映：售價為每件25元時，每天可賣出250件．如果調整價格，一件商品每漲價1元，每天要少賣出10件．
(1)求該商品原來的進價；
(2)在進價沒有改變的條件下，若每天所得的銷售利潤為2000元，且銷售量盡可能大時，該商品的售價是多少元/件？
(3)在進價沒有改變的條件下，商場的營銷部在調控價格方面，提出了A，B兩種營銷方案．
方案A：每件商品漲價不超過5元；
方案B：每件商品的利潤至少為16元．
請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由．
【答案】(1)該商品原來的進價為20元；
(2)商品的售價是每件30元；
(3)綜上所述，方案最大利潤更高．
【分析】此題主要考查了二次函數的應用，根據題意利用函數性質得出最值是解題關鍵．
（1）利用銷量每件利潤總利潤，進而求出即可；
（2）利用二次函數的性質得出銷售單價；
（3）分別求出兩種方案的最值進而比較得出答案．
【詳解】（1）解：設該商品原來的進價為元．
由題意：，解得，
經檢驗，是原方程的解，
答：該商品原來的進價為20元；
（2）解：設提價元，
根據題意得：，
解得或5，
銷量盡可能大，
，
商品的售價是每件30元；
（3）解：；
，
拋物線對稱軸是直線，開口向下，對稱軸左側隨的增大而增大，對稱軸右側隨的增大而減小，
方案：根據題意得，，則，
當時，利潤最大，
最大利潤為（元，
方案：根據題意得，，
解得：，
則，
故當時，利潤最大，
最大利潤為（元，
，
綜上所述，方案最大利潤更高．
題型03 行程問題
9．（2023·浙江衢州·中考真題）某龍舟隊進行500米直道訓練，全程分為啟航，途中和沖刺三個階段．圖1，圖2分別表示啟航階段和途中階段龍舟劃行總路程與時間的近似函數圖象．啟航階段的函數表達式為；途中階段勻速劃行，函數圖象為線段；在沖刺階段，龍舟先加速后勻速劃行，加速期龍舟劃行總路程與時間的函數表達式為．

(1)求出啟航階段關于的函數表達式（寫出自變量的取值范圍），
(2)已知途中階段龍舟速度為5m/s．
①當時，求出此時龍舟劃行的總路程，
②在距離終點125米處設置計時點，龍舟到達時，視為達標，請說明該龍舟隊能否達標；
(3)沖刺階段，加速期龍舟用時1s將速度從5m/s提高到5.25m/s，之后保持勻速劃行至終點.求該龍舟隊完成訓練所需時間（精確到0.01s）．
【答案】(1)
(2)①龍舟劃行的總路程為；②該龍舟隊能達標．
(3)該龍舟隊完成訓練所需時間為
【分析】（1）把代入 得出的值，則可得出答案；
（2）①設，把代入，得出，求得，當時，求出，則可得出答案；
②把代入，求得，則可得出答案；
（3）由（1）可知，把代入，求得．求出，則可得出答案．
【詳解】（1）把代入 得，
解得，
啟航階段總路程關于時間的函數表達式為；
（2）①設，把代入，得，
解得，
．
當時，．
當時，龍舟劃行的總路程為．
②，
把代入，
得．
，
該龍舟隊能達標．
（3）加速期：由（1）可知，
把代入，
得．
函數表達式為，
把代入，
解得．
，
．
答：該龍舟隊完成訓練所需時間為．
【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了二次函數的應用，一次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法，根據條件準確得到表達式是解題關鍵．
10．（2024·廣西南寧·三模）根據物理學知識可知，物體勻加（減）速運動時的路程平均速度時間t．，其中是開始時的速度，是t秒時的速度．如圖，鋼球從斜面頂端由靜止開始沿斜面滾下，速度每秒增加．
(1)直接寫出鋼球在斜面滾動t秒時的速度．
(2)求鋼球在斜面滾動的距離s（單位：m）關于滾動的時間t（單位：s）的函數解析式．
(3)如果斜面的長是，鋼球從斜面頂端滾到底端用多長時間？
(4)在（3）的條件下，鋼球從斜面頂端滾到底端后，繼續在水平地面上滾動，速度每秒減少，求鋼球靜止時在水平地面上滾動的路程．
【答案】(1)
(2)
(3)鋼球從斜面頂端滾到底端用時2秒
(4)
【分析】此題考查了二次函數和一次函數動點問題，解題的關鍵是正確列出表達式．
（1）根據速度每秒增加列式即可；
（2）首先求出平均速度，然后利用物體勻加（減）速運動時的路程平均速度時間t求解即可；
（3）把代入求解即可；
（4）首先表示出，然后求出平均速度，然后列式表示出，當時，即，解得，然后代入求解即可．
【詳解】（1）∵速度每秒增加
∴；
（2）∵
由題意得，
∴；
（3）把代入得．
解得，
∵，
∴
答：鋼球從斜面頂端滾到底端用時2秒；
（4）
當時，即
解得
將代入．
∴鋼球靜止時在水平地面上滾動的路程為．
11．（2024·廣西柳州·三模）每年的12月2日為“全國交通安全日”，考慮將數字“122”作為我國道路交通事故報警電話，不僅群眾對此認知度高，而且方便記憶和宣傳，遇車減速是行車安全常識，公路上正在行駛的甲車發現前方處沿同一方向行駛的乙車后，開始減速，減速后甲車行駛的路程s（單位：m）、速度v（單位：）與時間t（單位：s）的關系分別可以用二次函數（如圖1）和一次函數（如圖2）表示．
(1)直接寫出s關于t的函數表達式和v關于t的函數表達式．（不要求寫出t的取值范圍）
(2)當甲車減速至時，它行駛的路程是多少？
(3)若乙車以的速度勻速行駛，兩車何時相距最近，最近距離是多少？
【答案】(1)，；
(2)它行駛的路程是；
(3)4秒時，兩車相距最近，最近距離是．
【分析】本題考查了二次函數與一次函數的實際應用，理解題意，讀懂函數圖象，求出表達式是解題的基本前提．
（1）根據圖象，利用待定系數法分別求出一次函數和二次函數解析式即可；
（2）把代入一次函數解析式求出t，再把t的值代入二次函數解析式求出s即可；
（3）分析得出當時，兩車之間距離最小，代入計算即可．
【詳解】（1）由圖可知，二次函數的圖象經過原點．
設二次函數的表達式為，一次函數的表達式為．
二次函數經過點，
解得
二次函數表達式為，
一次函數經過點，
解得
一次函數的表達式為．
（2），
∴當時，，解得．
，
∴當時，，
∴當甲車減速至時，它行駛的路程是．
（3）當時，甲車的速度為，
當時，兩車之間的距離逐漸變小；
當時，兩車之間的距離逐漸變大，
∴當時，兩車之間的距離最小．
將代入，得；
將代入，得，
此時兩車之間的距離為．
答：4秒時，兩車相距最近，最近距離是．
12．（2024·浙江嘉興·一模）汽車剎車后，還會繼續向前滑行一段距離，這段距離稱為“剎車距離”．剎車距離與剎車時間的速度有以下關系式：（a，b為常數，且）．某車輛測試結果如下：當車速為時，剎車距離y為；當車速為，剎車距離y為．
(1)求出a，b的值；
(2)行車記錄儀記錄了該車行駛一段路程的過程，汽車在剎車前勻速行駛了，然后剎車直至停下．測得剎車距離為，問：記錄儀中汽車行駛路程為多少米？
【答案】(1)，
(2)記錄儀中汽車行駛路程為255米
【分析】本題考查二次函數的應用，理解題意，正確求得函數解析式是解答的關鍵．
（1）根據題意，利用待定系數法求解a、b值即可；
（2）先根據函數關系式求得剎車時的速度，再根據路程=時間×速度求解即可．
【詳解】（1）解：由題意，得，
解得，；
（2）解：由（1）得，
當時，由得，（舍去），
，
∴記錄儀中汽車行駛路程為255米．
題型04 拱橋問題
利用二次函數解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法： 先建立適當的平面直角坐標系，一般選擇拋物線形建筑物的底(頂)部所在的水平線為x軸，對稱軸為y軸，或直接選取最高(低)點為坐標原點建立直角坐標系來解決問題，再根據題意找出已知點的坐標，并求出拋物線解析式，最后根據圖像信息解決實際問題.
13．（2024·陜西·中考真題）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索與纜索均呈拋物線型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以O為原點，以直線為x軸，以橋塔所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．

已知：纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關于y軸對稱，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點P到的距離（橋塔的粗細忽略不計）
(1)求纜索所在拋物線的函數表達式；
(2)點E在纜索上，，且，，求的長．
【答案】(1)；
(2)的長為．
【分析】本題考查了二次函數的應用，待定系數法求二次函數解析式，根據題意求得函數解析式是解題的關鍵．
（1）根據題意設纜索所在拋物線的函數表達式為，把代入求解即可；
（2）根據軸對稱的性質得到纜索所在拋物線的函數表達式為，由，把代入求得，，據此求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得頂點P的坐標為，點A的坐標為，
設纜索所在拋物線的函數表達式為，
把代入得，
解得，
∴纜索所在拋物線的函數表達式為；
（2）解：∵纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關于y軸對稱，
∴纜索所在拋物線的函數表達式為，
∵，
∴把代入得，，
解得，，
∴或，
∵，
∴的長為．
14．（2023·陜西·中考真題）某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型門，并要求所設計的拱門的跨度與拱高之積為，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設計部門按要求價出了兩個設計方案，現把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖所示：
方案一，拋物線型拱門的跨度，拱高其中，點在軸上，，．
方案二，拋物線型拱門的跨度，拱高其中，點在軸上，，．
要在拱門中設置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計），方案一中，矩形框架的面積記為，點、在拋物線上，邊在上；方案二中，矩形框架的面積記為，點，在拋物線上，邊在上，現知，小華已正確求出方案二中，當時，，請你根據以上提供的相關信息，解答下列問題：

(1)求方案一中拋物線的函數表達式；
(2)在方案一中，當時，求矩形框架的面積并比較，的大小．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，求出函數關系式．
（1）由題意知拋物線的頂點，設頂點式用待定系數法可得方案一中拋物線的函數表達式；
（2）令可得或，故，；再比較，的大小即可．
【詳解】（1）解：由題意知，方案一中拋物線的頂點，
設拋物線的函數表達式為，
把代入得，
解得：，
，
方案一中拋物線的函數表達式為；
（2）在中，令得：；
解得或，
，
，
，
．
15．（2024·貴州黔南·模擬預測）貴州都勻是一座以河為伴、山水交融的“山水橋城”，大大小小的橋梁隨處可見，被譽為“橋梁博物館”．都勻市某石拱橋如圖1，拱橋截面可視為拋物線的一部分，若拱頂到水面的距離為，水面寬度為，以水面與橋截面左側的交點為原點，水面為橫軸建立平面直角坐標系（如圖2）．
(1)求橋拱所在拋物線的函數解析式．
(2)若水位下降，有一只寬為，高為的清潔船能否順利通過該石拱橋？請說明理由．
(3)某相關部門要對石拱橋進行維護，為了安全，現將一塊三角形形狀的安全圍布通過平移后遮住橋體（如圖3）．已知，，且，．若安全圍布向橋拱所在拋物線方向平移個單位長度后，橋體全部在安全圍布內部（不包括邊界），求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)能，理由見解析
(3)
【分析】（1）由待定系數法即可求解；
（2）當船從橋的正中間經過時，即，，當水面下降1米時，水面距離橋的距離為（米）米，即可求解；
（3）當向左平移個單位和拋物線相切時，則平移后的的表達式為：，聯立上式和拋物線的表達式為：，則，求出；同理可得：的表達式為：，當向左平移個單位和拋物線相切時，則平移后的的表達式為：，同理可得，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得：，
將代入上式得：，
則，
則拋物線的表達式為：；
（2）解：可以，理由：
當船從橋的正中間經過時，即，，
當水面下降1米時，水面距離橋的距離為（米）米，
故清潔船能順利通過該石拱橋；
（3）解：過點作于點，
在中，，．
故設，則，
則，則，
即，則，
如圖3，則點、的坐標分別為：、，
由點、的坐標得，直線的表達式為：，
當向左平移個單位和拋物線相切時，
則平移后的的表達式為：，
聯立上式和拋物線的表達式為：，
則，
解得：；
由點、的坐標得，
設的表達式為
把、，
的表達式為：，
當向左平移個單位和拋物線相切時，
則平移后的的表達式為：，
聯立上式和拋物線的表達式為：，
則，
解得：；
故．
【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，一次函數的實際應用，平移性質，涉及到解直角三角形、二次函數的應用，分類求解是解題的關鍵．
16．（2024九年級上·全國·專題練習）大棚經濟“金鑰匙”，激活鄉村產業振興新引擎．劉叔叔計劃在自家菜地修建一個蔬菜大棚，圖是其橫截面的示意圖，其中，為兩段垂直于地面的墻體，兩段墻體之間的水平距離為米，大棚的頂部用拋物線形鋁合金骨架作支撐．已知骨架的一端固定在離地面米的墻體處，另一端固定在墻體處，骨架最高點到墻體的水平距離為米，且點離地面的高度為米．
數學建模
(1)在圖中，以為原點，水平直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系．設大棚頂部骨架上某處離地面的高度為（米），該處離墻體的水平距離為（米），求與之間的函數關系式；
問題解決
(2)為了大棚頂部更加穩固，劉叔叔計劃在棚頂安裝“丁”字形鋁合金支架，如圖2所示，支架可以看成是由線段，組成，其中點，在頂棚拋物線形骨架上，于點．為不影響耕作，將點E到地面的距離定為米．
點的坐標為______，的長為______；
請你計算做一個“丁”字形支架所需鋁合金材料的最大長度．（結果精確到米．參考數據：）
【答案】(1)；
(2) ，；②米
【分析】本題考查了二次函數的圖象及性質，一次函數的圖象及性質，解直角三角形，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
（）根據題意得，拋物線的頂點的坐標為，設與之間的函數關系式為，然后用待定系數法即可求解；
（）當時，，解得：即可求出，再用兩點之間的距離公式求出；
②過點作于點，過點作于點，交于點，求出所在直線的函數表達式，設點的橫坐標為，則，當時，最大，再根據，得出，最后根據線段和差即可求解；
【詳解】（1）解：根據題意得，拋物線的頂點的坐標為，
設與之間的函數關系式為，
由題意得，點的坐標為，
將代入，
得，
解得：，
，
即與之間的函數關系式為，
（2）解：由（）得，
當時，，
解得：或（舍去），
∴，
∵，
∴，
故答案為：，；
②過點作于點，過點作于點，交于點，
設所在直線的函數表達式為，
將分別代入，
得，
解得，
∴所在直線的函數表達式為，
設點的橫坐標為，
點在拋物線的圖象上，
，，
，
，且，
有最大值，當時，最大，
軸，
，
又，，，
，
，
當時，有最大值，
當時，有最大值，
此時，米．
∴需要鋁合金材料的最大長度約為米．
題型05 隧道通車問題
17．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖①，是某高速公路正在修建的隧道．圖②是其中一個隧道截面示意圖，由矩形和拋物線的一部分構成，矩形的邊，，拋物線的最高點離地面．
(1)以點為原點、所在直線為軸，建立平面直角坐標系．求拋物線的表達式；
(2)為了行駛安全，現要在隧道洞口處貼上黃黑立面標記．已知將該拋物線向上平移所掃過的區域即為貼黃黑立面標記的區域，則貼黃黑立面標記的區域的面積為 ；
(3)該隧道為單向雙車道，且規定車輛必須在距離隧道邊緣大于等于范圍內行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于的空隙，請利用二次函數的知識確定該隧道車輛的限制高度．
【答案】(1)
(2)
(3)米
【分析】本題主要考查了二次函數的應用，
（1）根據題意得頂點，進而待定系數法求解析式，即可求解；
（2）根據平移的性質可得所求區域為邊長為矩形的面積，即可求解；
（3）依據題意，由車輛必須在距離隧道邊緣大于等于范圍內行駛，代入求得函數值，進而根據題意，即可求解．
【詳解】（1）解：又∵，
∴,，頂點
設拋物線解析式為
∴
解得：
∴拋物線解析式為：
（2）將該拋物線向上平移所掃過的區域即為貼黃黑立面標記的區域
∴貼黃黑立面標記的區域的面積為
（3）由題意，∵車輛必須在距離隧道邊緣大于等于2m范圍內行駛，
∴令x=2，則．
又（米），
∴該隧道車輛的限制高度為5米．
18．（2024·湖北荊州·二模）施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其最高點P距離地面高度為8米，寬度為16米．現以點O為原點，所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖1所示）．
(1)求出這條拋物線的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
(2)隧道下的公路是單向雙車道，車輛并行時，安全平行間距為2米，該雙車道能否同時并行兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛？請通過計算說明；
(3)施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”，使點在拋物線上．點在地面線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需測算“腳手架”三根鋼桿的長度之和的最大值是多少，請你幫施工隊計算一下．
【答案】(1)解析式，自變量x的取值范圍為：
(2)能，說明見解析
(3)20米
【分析】本題考查了二次函數的實際應用．
（1）根據題意，可得點及拋物線頂點的坐標，待定系數法求解析式即可求解；
（2）由題知，當時，，而，即可得出結論；
（3）設，則，根據矩形的性質得出，，設，進而表示出的長，根據二次函數的性質，即可求解．
【詳解】（1）解：依題意：拋物線形的公路隧道，其高度為米，寬度為米，現在點為原點，
∴點，頂點，
設拋物線的解析式為．
把點，點代入得：
解得
∴拋物線的解析式為
，，
自變量x的取值范圍為：；
（2）解：當時，，
能同時并行兩輛寬米、高5米的特種車輛．
（3）解：設，則，
∵四邊形是矩形，
∴，
設，則
∴
∵，
∴當時，l有最大值為．
答：三根木桿的長度和的最大值是米．
19．（2024·河南平頂山·三模）小明發現有一處隧道的截面由拋物線的一部分和矩形構成，他對此展開研究：測得矩形的寬為，長為，最高處點P到地面的距離為，建立如圖所示的平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為 ，其中表示拋物線上任一點到地面的高度，表示拋物線上任一點到隧道一邊的距離．
(1)求拋物線的解析式．
(2)為了保障貨車在道路上的通行能力及行車安全，根據我國交通運輸部的相關規定，普通貨車的寬度應在之間，高度應在之間，小明發現隧道為單行道，一貨車沿隧道中線行駛，寬為，貨車的最高處與隧道上部的豎直距離約為，通過計算，判斷這輛貨車的高度是否符合規定．
【答案】(1)
(2)這輛貨車的高度不否符合規定．
【分析】本題主要考查了求二次函數解析式、二次函數的應用等知識點，掌握數形結合思想成為解題的關鍵．
（1）有題意可得：， ，然后運用待定系數法即可解答；
（2）由題意可得：點，設D點坐標為，然后代入解析式求得d，即，再根據線段的和差求得，然后判斷是否符合規定即可．
【詳解】（1）解：由題意可得：，
設該拋物線的解析式為：
將代入可得： ，解得：，
所以拋物線的解析式為．
（2）解：由題意可得：點，
設D點坐標為，則，
∴，即，
∴，
∵，
∴這輛貨車的高度不否符合規定．
20．（2024·河南周口·二模）如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，其中長方形的長，寬．按照圖中所示的平面直角坐標系，拋物線可以用表示，且拋物線上的點C到墻面的水平距離為時，到地面的距離為．為安全起見，隧道正中間有寬為的隔離帶．
(1)求b，c的值，并計算出拱頂D到地面的距離．
(2)一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為，寬為，如果隧道內設雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？
(3)在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，且它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？
【答案】(1)，，拱頂D到地面的距離為
(2)這輛貨車能安全通過
(3)兩排燈的水平距離最小是．
【分析】本題考查了二次函數的應用：構建二次函數模型解決實際問題，利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實際問題中的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．
（1）先確定B點和C點坐標，然后利用待定系數法求出拋物線解析式，再利用配方法確定頂點D的坐標，從而得到點D到地面的距離；
（2）由于拋物線的對稱軸為直線，而隧道內設雙向行車道，車寬為，則貨運汽車最外側與地面OA的交點為或，然后計算自變量為或時的函數值，再把函數值與6進行大小比較即可判斷；
（3）拋物線開口向下，函數值越大，對稱點之間的距離越小，于是計算函數值為8所對應的自變量的值即可得到兩排燈的水平距離最小值．
【詳解】（1）解：根據題意得，，
把，代入得
解得
∴拋物線的解析式為，
∴，
∴拱頂D到地面的距離為．
（2）解：由題意得隧道中每側行車道的寬度為，
∴貨運汽車最外側與地面的交點為或，
當或時，，
∴這輛貨車能安全通過．
（3）解：令，
則，
解得，，
則，
∴兩排燈的水平距離最小是．
21．（2023·廣東深圳·模擬預測）按要求解答
(1)某市計劃修建一條隧道，已知隧道全長2400米，一工程隊在修了1400米后，加快了工作進度，每天比原計劃多修5米，結果提前10天完成，求原計劃每天修多長？
(2)隧道建成后的截面圖如圖所示，它可以抽象成如圖所示的拋物線．已知兩個車道寬度米，人行道地基AC，BD寬均為2米，拱高米．建立如圖所示的直角坐標系．
①此拋物線的函數表達式為________．（函數表達式用一般式表示）
②按規定，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少0.5米，則此隧道限高________米．
③已知人行道臺階高均為0.3米，按照國家標準，人行道寬度不得低于1.25米，該隧道的人行道寬度設計是否達標？說明理由．
+
【答案】(1)原計劃每天修20米
(2)①；②5.5米；③達標，理由見解析
【分析】（1）設原計劃每天修x米，然后根據題意列分式方程求解即可；
（2）①由題意可得，然后運用待定系數法解答即可；②車的寬度為4米，令時求得，然后再減去0.5即可解答；③如圖：由高均為0.3米，則點G的縱坐標為0.3，令可解答點G的橫坐標為，然后求出的長度即可解答．
【詳解】（1）解：設原計劃每天修x米
則根據題意可得：
解得：或
經檢驗，是分式方程的解．
答：原計劃每天修20米．
（2）解：①根據題意可得：
設拋物線的函數表達式為
由題意可得：，解得：
所以拋物線的函數表達式為
②∵車的寬度為4米，車從正中通過，
∴令時，，
∴貨車安全行駛裝貨的最大高度為（米）．
③如圖：由高均為0.3米，則點G的縱坐標為0.3，
令，則有：，解得：（舍棄負值）
∴人行道臺階的寬度為：
∴人行道寬度設計達標．
【點睛】本題主要考查了二次函數的應用、待定系數法求二次函數解析式，二次函數圖像上點的坐標特征等知識點，正確求得函數解析式是解答本題的關鍵．
題型06 噴水問題
22．（2023·山東·中考真題）城建部門計劃修建一條噴泉步行通道．圖1是項目俯視示意圖．步行通道的一側是一排垂直于路面的柱形噴水裝置，另一側是方形水池．圖2是主視示意圖．噴水裝置的高度是2米，水流從噴頭A處噴出后呈拋物線路徑落入水池內，當水流在與噴頭水平距離為2米時達到最高點B，此時距路面的最大高度為3.6米．為避免濺起的水霧影響通道上的行人，計劃安裝一個透明的傾斜防水罩，防水罩的一端固定在噴水裝置上的點處，另一端與路面的垂直高度為1.8米，且與噴泉水流的水平距離為0.3米．點到水池外壁的水平距離米，求步行通道的寬．（結果精確到0.1米）參考數據：

【答案】3.2米
【分析】先以點O為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則，，設設拋物線的解析式為，把代入，求得，即，再求出點D的坐標，即可求解．
【詳解】解：如圖，建立平面直角坐標系，

由題意知：，，
∵拋物線的最高點B，
∴設拋物線的解析式為，
把代入，得，
解得，
∴拋物線的解析式為，
令，則，
解得：，
∴，
∴ (米)，
答：步行通道的寬的長約為3.2米．
【點睛】本題考查拋物線的實際應用．熟練掌握用待定系數法求拋物線解析式和拋物線的圖象性質是解題的關鍵．
23．（2022·浙江臺州·中考真題）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口離地豎直高度為（單位：）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度為的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為，高出噴水口，灌溉車到的距離為（單位：）．
(1)若，；
①求上邊緣拋物線的函數解析式，并求噴出水的最大射程；
②求下邊緣拋物線與軸的正半軸交點的坐標；
③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求的取值范圍；
(2)若．要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，請直接寫出的最小值．
【答案】(1)①,；②；③
(2)
【分析】（1）①根據頂點式求上邊緣二次函數解析式即可；
②設根據對稱性求出平移規則，再根據平移規則由C點求出B點坐標；
③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，則上邊緣拋物線至少要經過F點，下邊緣拋物線，計算即可；
（2）當噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個綠化帶時，點，恰好分別在兩條拋物線上，設出D、F坐標計算即可．
【詳解】（1）（1）①如圖1，由題意得是上邊緣拋物線的頂點，
設．
又∵拋物線經過點，
∴，
∴．
∴上邊緣拋物線的函數解析式為．
當時，，
∴，（舍去）．
∴噴出水的最大射程為．
圖1
②∵對稱軸為直線，
∴點的對稱點的坐標為．
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，
即點是由點向左平移得到，則點的坐標為．
③如圖2，先看上邊緣拋物線，
∵，
∴點的縱坐標為0.5．
拋物線恰好經過點時，
．
解得，
∵，
∴．
當時，隨著的增大而減小，
∴當時，要使，
則．
∵當時，隨的增大而增大，且時，，
∴當時，要使，則．
∵，灌溉車噴出的水要澆灌到整個綠化帶，
∴的最大值為．
再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是，
∴的最小值為2．
綜上所述，的取值范圍是．
（2）的最小值為．
由題意得是上邊緣拋物線的頂點，
∴設上邊緣拋物線解析式為．
∵上邊緣拋物線過出水口（0，h）
∴
解得
∴上邊緣拋物線解析式為
∵對稱軸為直線，
∴點的對稱點的坐標為．
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，
∴下邊緣拋物線解析式為．
當噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個綠化帶時，點，恰好分別在兩條拋物線上，
∵DE=3
∴設點，，，
∵D在下邊緣拋物線上，
∴
∵EF=1
∴
∴ ，
解得，
代入，得．
所以的最小值為．
【點睛】本題考查二次函數的實際應用中的噴水問題，構造二次函數模型并把實際問題中的數據轉換成二次函數上的坐標是解題的關鍵．
24．（2022·河南·中考真題）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求拋物線的表達式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．
【答案】(1)
(2)2或6m
【分析】（1）根據頂點，設拋物線的表達式為，將點，代入即可求解；
（2）將代入（1）的解析式，求得的值，進而求與點的距離即可求解．
【詳解】（1）解：根據題意可知拋物線的頂點為，
設拋物線的解析式為，
將點代入，得，
解得，
拋物線的解析式為，
（2）由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，
當她的頭頂恰好接觸到水柱時，她與爸爸的水平距離為(m)，或(m)．
【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，掌握頂點式求二次函數解析式是解題的關鍵．
25．（2024·廣西南寧·三模）美麗邕城四季常青，這與南寧市重視城市綠化密不可分，市區很多公園廣場都安裝有綠地噴淋系統．現準備在某草坪上安裝一個自動噴水裝置，其示意圖如圖1，噴水裝置噴射出來的水流可以近似的看成拋物線，點A、M在拋物線上，A為出水口，M為水流與地面的交點．如圖2，若水流距離地面的高度y（單位m）與水流距離出水口的水平距離x（單位m）之間具有函數關系：．
(1)自動噴水裝置噴水口距離地面的高度_____m；
(2)如圖1，該自動噴水裝置能旋轉，它的噴灌區域是一個扇形，求它能噴灌的草坪面積（結果保留π）；
(3)如圖3，若噴水口正后方1米處有一條人行步道l，為行人安全，水流不能噴濺到步道上，請通過計算說明噴水裝置安裝位置是否合理？
【答案】(1)；
(2)它能噴灌的草坪面積為；
(3)噴水裝置安裝位置不合理，過程見解析．
【分析】本題考查解直角三角形的應用，二次函數的應用等．
（1）當時，求出y的值即可；
（2）令求出x的值，根據扇形的面積公式求解即可．
（3）連接，過O作于點D，求出，在中，解直角三角形即可求解．
【詳解】（1）解：當時，，
故答案為：；
（2）當時，，
解得：或（舍去），
∴，
答：它能噴灌的草坪面積為；
（3）連接，過O作于點D，
則， ，
在中，，
∴，
∴噴水裝置安裝位置不合理．
26．（2024·湖北武漢·二模）某廣場建了一座圓形音樂噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，安裝在水管頂端A處的圓形噴頭向四周噴水，且各個方向噴出的拋物線形水柱形狀相同．如圖1，以池中心O點為坐標原點，水平方向為x軸，所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．x軸上的點C，D為水柱的落水點，若落地直徑，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達到最高．
(1)求圖1中右邊拋物線的解析式；
(2)計劃在圖1中的線段上的點B處豎立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，請求出線段的取值范圍；
(3)圓形水池的直徑為，噴水造型會隨著音樂節奏起伏而變化，從而產生一組不同的拋物線（如圖2），若右側拋物線頂點始終在直線上，當噴出的拋物線水柱最大高度為時，水柱會噴到圓形水池之外嗎？請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)水柱會落在圓形水池外，理由見解析
【分析】本題考查的知識點是待定系數法求解析式、二次函數的實際應用，解題關鍵是理解題意求出正確的二次函數解析式．
（1）求出點和頂點坐標為，設頂點式，利用待定系數法解答即可；
（2）將代入即可求得線段的取值范圍；
（3）求出點坐標，由題意設右側噴出的最高拋物線解析式為，求出坐標解析式后可求拋物線噴出的最遠距離，即可判斷水柱是否會噴到圓形水池之外．
【詳解】（1）解： ，
，
，
∵噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達到最高．
∴頂點坐標為，
設右側拋物線的解析式為：，
把代入得到，，
解得，
∴圖1中右邊拋物線的解析式為；
（2）解：當時，，
解得（不合題意，舍去）
∴線段的取值范圍為；
（3）解：水柱會落在圓形水池外，理由如下：
當時，，
∴點A的坐標為，
把代入
，
，
當右側噴出的拋物線最大高度為時，
設拋物線的解析式為：，
又上述拋物線過點，則
則，
，
當時，，
，
，（舍去），
水柱會落在圓形水池之外．
題型07 投球問題
27．（2024·青海·中考真題）在如圖所示的平面直角坐標系中，有一斜坡，從點O處拋出一個小球，落到點處．小球在空中所經過的路線是拋物線的一部分．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求拋物線最高點的坐標；
(3)斜坡上點B處有一棵樹，點B是的三等分點，小球恰好越過樹的頂端C，求這棵樹的高度．
【答案】(1)
(2)
(3)這棵樹的高為2
【分析】本題考查了二次函數的應用，其中涉及到待定系數法求二次函數的解析式，二次函數頂點坐標的求解方法，相似三角形的判定和性質，難度適中利用數形結合與方程思想是解題的關鍵．
（1）利用待定系數法求解即可；
（2）配成頂點式，利用二次函數的性質即可求解；
（3）過點A、B分別作x軸的垂線，證明，利用相似三角形的性質求得，，據此求解即可．
【詳解】（1）解：∵點是拋物線上的一點，
把點代入中，得：，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：由（1）得：，
∴拋物線最高點對坐標為；
（3）解：過點A、B分別作x軸的垂線，垂足分別是點E、D，
∵，，
∴，
∴，
又∵點B是的三等分點，
∴，
∵，
∴，，
∴，
解得，
∴，
解得，
∴點C的橫坐標為1，
將代入中，，
∴點C的坐標為，
∴，
∴，
答：這棵樹的高為2．
28．（2024·江西·中考真題）如圖，一小球從斜坡O點以一定的方向彈出球的飛行路線可以用二次函數刻畫，斜坡可以用一次函數刻畫，小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①______，______；
②小球的落點是A，求點A的坐標．
(2)小球飛行高度y（米）與飛行時間t（秒）滿足關系．
①小球飛行的最大高度為______米；
②求v的值．
【答案】(1)①3，6；②；
(2)①8，②
【分析】本題主要考查二次函數的應用以及從圖象和表格中獲取數據，
（1）①由拋物線的頂點坐標為可建立過于a，b的二元一次方程組，求出a，b的值即可；②聯立兩函數解析式求解，可求出交點A的坐標；
（2）①根據第一問可知最大高度為8米；
②將小球飛行高度與飛行時間的函數關系式化簡為頂點式即可求得v值．
【詳解】（1）解：①根據小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規律表可知：拋物線頂點坐標為，
∴，
解得：，
∴二次函數解析式為，
當時，，
解得：或（舍去），
∴，
當時，，
故答案為：3，6．
②聯立得：，
解得：或 ，
∴點A的坐標是，
（2）①由題干可知小球飛行最大高度為8米，
故答案為：8；
②，
則，
解得（負值舍去）．
29．（2023·浙江溫州·中考真題）一次足球訓練中，小明從球門正前方的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當球飛行的水平距離為時，球達到最高點，此時球離地面．已知球門高為2.44m，現以O為原點建立如圖所示直角坐標系．

(1)求拋物線的函數表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）．
(2)對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經過點O正上方2.25m處？
【答案】(1)，球不能射進球門
(2)當時他應該帶球向正后方移動1米射門
【分析】（1）根據建立的平面直角三角坐標系設拋物線解析式為頂點式，代入A點坐標求出a的值即可得到函數表達式，再把代入函數解析式，求出函數值，與球門高度比較即可得到結論；
（2）根據二次函數平移的規律，設出平移后的解析式，然后將點代入即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得：拋物線的頂點坐標為，
設拋物線解析式為，
把點代入，得，
解得，
∴拋物線的函數表達式為，
當時，，
∴球不能射進球門；
（2）設小明帶球向正后方移動米，則移動后的拋物線為，
把點代入得，
解得（舍去），，
∴當時他應該帶球向正后方移動1米射門．
【點睛】此題考查了二次函數的應用，待定系數法求函數解析式、二次函數圖象的平移等知識，讀懂題意，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．
30．（2023·河南·中考真題）小林同學不僅是一名羽毛球運動愛好者，還喜歡運用數學知識對羽毛球比賽進行技術分析，下面是他對擊球線路的分析．
如圖，在平面直角坐標系中，點A，C在x軸上，球網與y軸的水平距離，，擊球點P在y軸上．若選擇扣球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足一次函數關系；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足二次函數關系．

(1)求點P的坐標和a的值．
(2)小林分析發現，上面兩種擊球方式均能使球過網．要使球的落地點到C點的距離更近，請通過計算判斷應選擇哪種擊球方式．
【答案】(1)，，
(2)選擇吊球，使球的落地點到C點的距離更近
【分析】（1）在一次函數上，令，可求得，再代入即可求得的值；
（2）由題意可知，令，分別求得，，即可求得落地點到點的距離，即可判斷誰更近．
【詳解】（1）解：在一次函數，
令時，，
∴，
將代入中，可得：，
解得：；
（2）∵，，
∴，
選擇扣球，則令，即：，解得：，
即：落地點距離點距離為，
∴落地點到C點的距離為，
選擇吊球，則令，即：，解得：（負值舍去），
即：落地點距離點距離為，
∴落地點到C點的距離為，
∵，
∴選擇吊球，使球的落地點到C點的距離更近．
【點睛】本題考查二次函數與一次函數的應用，理解題意，求得函數解析式是解決問題的關鍵．
31．（2024·遼寧撫順·模擬預測）擲實心球是某市中考體育考試的選考項目．小強為了解自己實心球的訓練情況，他嘗試利用數學模型來研究實心球的運動情況，建立了如圖所示的平面直角坐標系，在一次投擲中，實心球從軸上的點處出手，運動路徑可看作拋物線的一部分，實心球在最高點的坐標為，落在軸上的點處．
(1)求拋物線的解析式；
(2)某市男子實心球的得分標準如表：
得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10
擲遠（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0
請你求出小強在這次訓練中的成績，并根據得分標準給小強打分；
(3)小強在練習實心球時，他的正前方距離投擲點9米處有一個身高1.2米的小朋友在玩耍，問該小朋友是否有危險（如果實心球在小孩頭頂上方飛出為平安，否則視為危險），請說明理由．
【答案】(1)
(2)小強在這次訓練中的成績為分
(3)小朋友有危險，理由見詳解
【分析】本題主要考查二次函數的運用，
（1）根據題意，設二次函數解析式為頂點式，即為，把點代入，運用待定系數法即可求解；
（2）令時，求出點的坐標，進行比較即可求解；
（3）當時，代入計算即可求解．
【詳解】（1）解：根據題意，設二次函數解析式為，把點代入得，
，
解得，，
∴拋物線的解析式；
（2）解：由（1）可知拋物線的解析式，
令，則，整理得，
解得，，
∵點在軸的正半軸上，
∴小強擲的距離為米，
∵，
∴小強在這次訓練中的成績為分；
（3）解：小朋友有危險，理由如下，
當時，，
∵，
∴小朋友有危險．
32．（2024·貴州貴陽·一模）小明和小亮參加了一次籃球比賽，籃球傳出后的運動路線為如圖所示的拋物線，以小明站立的位置為原點O建立平面直角坐標系，籃球在O點正上方的點 P處出手，籃球的高度與水平距離之間滿足函數表達式．
(1)求c的值；
(2)求籃球在運動過程中離地面的最大高度；
(3)小明傳球給小亮，小亮手舉過頭頂在對方球員后方接球，已知小亮跳起后，手離地面的最大高度為，則球在下落過程中，若小亮要想順利接住球，求他至少距離小明多遠的距離．
【答案】(1)
(2)籃球在運動過程中離地面的最大高度為3．8m
(3)米
【分析】本題考查了二次函數的實際應用．
（1）將點P的坐標代入，即可求出c的值；
（2）先得出該拋物線的解析式，再將其化為頂點式，即可解答；
（3）求出時x的值，結合“在下落過程中接住球”，即可解答．
【詳解】（1）解：由題意得點P的坐標為，
將代入得．
（2）解：由（1）知，
，
∵，
∴當時，y有最大值，
∴籃球在運動過程中離地面的最大高度為．
（3）解：當時，，
解得：，
∵，且在下落過程中接球，
∴，
∴在球下落過程中小亮離小明的距離至少米才能順利接住球．
題型08 利用圖像構建函數模型解決問題
33．（2023·內蒙古赤峰·中考真題）乒乓球被譽為中國國球．2023年的世界乒乓球標賽中，中國隊包攬了五個項目的冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓練和精準的技術分析是分不開的．如圖，是乒乓球臺的截面示意圖，一位運動員從球臺邊緣正上方以擊球高度為 的高度，將乒乓球向正前方擊打到對面球臺，乒乓球的運行路線近似是拋物線的一部分．
乒乓球到球臺的豎直高度記為（單位：），乒乓球運行的水平距離記為（單位：）．測得如下數據：
水平距離x/
豎直高度y/
(1)在平面直角坐標系中，描出表格中各組數值所對應的點，并畫出表示乒乓球運行軌跡形狀的大致圖象；

(2)①當乒乓球到達最高點時，與球臺之間的距離是__________，當乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是__________；
②求滿足條件的拋物線解析式；
(3)技術分析：如果只上下調整擊球高度，乒乓球的運行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過網，又能落在對面球臺上，需要計算出的取值范圍，以利于有針對性的訓練．如圖②．乒乓球臺長為274，球網高為15.25．現在已經計算出乒乓球恰好過網的擊球高度的值約為1.27．請你計算出乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值（乒乓球大小忽略不計）．
【答案】(1)見解析
(2)①；；②
(3)乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值為
【分析】（1）根據描點法畫出函數圖象即可求解；
（2）①根據二次函數圖象的對稱性求得對稱軸以及頂點，根據表格數據，可得當時，；
②待定系數法求解析式即可求解；
（3）根據題意，設平移后的拋物線的解析式為，根據題意當時，，代入進行計算即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，

（2）①觀察表格數據，可知當和時，函數值相等，則對稱軸為直線，頂點坐標為，
又拋物線開口向下，可得最高點時，與球臺之間的距離是 ，
當時，，
∴乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是 ；
故答案為：；．
②設拋物線解析式為，將代入得，
，
解得：，
∴拋物線解析式為；
（3）∵當時，拋物線的解析式為，
設乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值為，則平移距離為 ，
∴平移后的拋物線的解析式為，
依題意，當時，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值為．
【點睛】本題考查了二次函數的應用，畫二次函數圖象，二次函數圖象的平移，熟練掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵．
34．（2024·湖北宜昌·二模）一架飛機在跑道起點處著陸后滑行的相關數據如下表：
滑行時間 0 1 2 3 4
滑行速度 60 57 54 51 48
已知該飛機在跑道起點處著陸后的滑行速度y（單位：）與滑行時間t（單位：s）之間滿足一次函數關系．而滑行距離平均速度時間t，，其中是初始速度，是t秒時的速度．
(1)直接寫出y關于t的函數解析式和自變量的取值范圍；
(2)求飛機滑行的最遠距離；
(3)當飛機在跑道起點處著陸后滑行了，求此時飛機的滑行速度；
(4)若飛機在跑道起點處開始滑行時，發現前方有一輛通勤車正以的速度勻速同向行駛，試問飛機滑行過程中是否有碰撞通勤車的危險？
【答案】(1)
(2)飛機滑行的最遠距離為
(3)此時飛機的滑行速度是
(4)飛機滑行過程中沒有碰撞通勤車的危險
【分析】本題考查待定系數法確定函數解析式，求函數值、求自變量值；理解函數與方程的聯系是解題的關鍵．
（1）設y關于t的函數解析式為，利用待定系數法求解，令，即可求出t的取值范圍即可；
（2）根據滑行距離平均速度時間t，，其中是初始速度，是t秒時的速度，代入數值計算即可求解；
（3）根據行距離平均速度時間t，，其中是初始速度，是t秒時的速度，即，建立關于t的一元二次方程即可求解；
（4）設飛機滑行的距離為，求出飛機滑行的距離與時間t的關系式，由飛機滑行的時間內，根據通勤車與飛機之間的距離，建立關于t的方程，在飛機滑行的時間內，看飛機能否追上通勤車即可得出結論．
【詳解】（1）解：設y關于t的函數解析式為，
將代入，得：，
解得：，
y關于t的函數解析式為，
當時，則，
解得，
y關于t的函數解析式；
（2）解：根據題意：飛機滑行的最遠距離為，
答：飛機滑行的最遠距離為；
（3）解：，，
，即，
解得：或（舍去），
答：此時飛機的滑行速度是；
（4）解：設飛機滑行的距離為，
則飛機滑行的距離與時間t的關系式為：，
通勤車與飛機之間的距離為：，
令通勤車與飛機之間的距離0，則，即，
，
方程無解，
在飛機滑行的時間內，飛機不會撞上通勤車，
飛機滑行過程中沒有碰撞通勤車的危險．
35．（2024·貴州黔東南·二模）據統計，每年因汽車追尾而造成的交通事故占交通事故總數的70%以上．注意車速，保持車距是行車安全中必須遵守的．某公路上正在行駛的甲車，發現前方道路有一輛乙車并開始減速，減速后甲車行駛的路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關系如表所示．
時間t（單位：s） 0 1 2 3 4 …
行駛的路程s（單位：m） 0 15 28 n 48 …
(1)根據所得數據中甲車行駛的路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的變化規律，利用初中所學函數知識求出s與t之間的函數關系式，并寫出n的值；
(2)若乙車因事故拋錨在距甲車50米處，甲車是否會追尾拋錨的車輛？試說明理由；
(3)乙車以的速度勻速行駛，若要避免發生追尾事故，甲車至少在距離乙車多少米處開始剎車？
【答案】(1)s與t之間的函數關系式為，．
(2)甲車會追尾拋錨的車輛．
(3)甲車至少在距離乙車36米處開始剎車
【分析】本題二次函數的性質和應用，
（1）利用待定系數法求得二次函數的解析式，同時將3代入求得n即可；
（2）利用二次函數的性質求得其最大值與相距的距離比較即可知是否發生碰撞；
（3）根據經過距離相等求得二次函數對應的最大值，即為至少得剎車距離．
【詳解】（1）解：由表格數據可知，s是t的二次函數，且其圖象經過原點．
設（a、b為常數，且）．
將，和，分別代入，
得，
解得，
∴；
當時，；
∴s與t之間的函數關系式為，．
（2）解：甲車會追尾拋錨的車輛．理由如下：
∵，
∴當時，s的最大值為64，此時甲車停止前進，
∵，
∴甲車會追尾拋錨的車輛．
（3）解：設甲車在距離乙車x米處開始剎車，經過甲車追上乙車．
當甲車追上乙車時，得，即，
∴當時，x取最大值，x的最大值為36，
∴甲車至少在距離乙車36米處開始剎車．
36．（2024·浙江杭州·二模）綜合與實踐：根據以下素材，探索完成任務．
生活中的數學：如何確定汽車行駛的安全距離
背景 現代社會汽車大量增加，發生交通事故的一個原因是遇到意外不能立即停車．駕駛員從發現前方道路有異常情況到立即操縱制動器需要一段時間，這段時間叫反應時間，在這段時間里汽車通過的距離叫做反應距離；從操縱制動器制動，到汽車靜止，汽車又前進一段距離，這段距離叫制動距離．
素材 《駕駛員守則》中駕駛員在不同車速時所對應的正常反應距離的表格： 車速（千米/時）反應距離（米）
注意：千米/時米/秒 （1）已知反應時間，則駕駛員正常的反應時間為 秒．
素材 制動距離（俗稱：剎車距離）與汽車速度有關．下表為測試某種型號汽車的剎車性能，工程師進行了大量模擬測試，測得汽車的數據如下表： 剎車時車速x（千米/時）剎車距離y（米）
素材 相關法規：《道路安全交通法》第七十八條：高速公路上行駛的小型載客汽車最高車速不得超過每小時公里．
任務 （2）請根據素材回答：測量必然存在誤差，請利用平面直角坐標系（如圖），以所測得數據剎車時車速為橫坐標，剎車距離為縱坐標，描出所表示的點，并用光滑的曲線連接，畫出函數大致圖象，并求出一個大致滿足這些數據的函數表達式；
任務2 （3）請根據素材和相應的結論回答：在測試中，該型號的汽車在高速公路上發生了一次交通事故，現場測得剎車距離為米，請推測汽車是否超速行駛；
任務3 （4）請根據以上所有的素材回答問題：測試汽車在行人較多城市道路的機動車道正常行駛中，某時突然有一人騎自行車橫穿機動車道，此時自行車前輪行至非機動車道與機動車道交界處的點時與轎車的距離米（見圖）．測試汽車看到行人后立即剎車，若汽車在沒有越過自行車路線前停車（見圖），汽車剎車前的最大速度不能超過多少？（注意：停車距離=反應距離+制動距離）
【答案】（1）；（2）圖象見解析，函數表達式為
（3）該車已超速行駛；（4）車剎車前的最大速度不能超過千米/小時
【分析】（1）根據反應時間=列式，注意轉換單位；
（2）秒點連線，用待定系數法求解析式即可；
（3）把帶入解析式求解，與比較即可；
（4）根據停車距離反應距離制動距離列不等式求解，舍去負值．
【詳解】（1）反應時間
所以駕駛員正常的反應時間為秒
（2）解：圖像如下：
由圖像大致可知函數圖象為二次函數，
因為圖象經過原點，設二次函數解析式為：，把，代入：
函數表達式為．
（3）把代入，
解得（舍）．
車速大于限速，
所以該車已超速行駛．
（4）設汽車剎車前的速度為千米/小時．
則根據停車距離反應距離制動距離，
可列：
整理得：，
取最大距離，則
解得（舍）
汽車剎車前的最大速度不能超過千米/小時．
【點睛】本題考查實際問題與二次函數，描點作圖、待定系數法求二次函數解析式、二次不等式，掌握相關知識點是解題的關鍵．
37．（2024·貴州·模擬預測）數學建模社團的同學們想要研究植物園某圓形草坪自動澆水裝置的噴灑范圍，他們發現：自動澆水裝置豎直立于草坪中心處，且噴出的水流的最上層呈拋物線形，此時草坪邊緣處恰好能噴灑到水．他們將水流最上層各點到澆水裝置的水平距離記為，到地面的豎直高度記為，得到部分數據如下：
0 0.5 1 1.5 2 …
1 1.15 1.2 1.5 1 …
根據以上數據，完成下列問題．
(1)測量數據中，哪一組是錯誤的？
A．B．C．
D．E．
(2)以草坪的中心為原點，澆水裝置所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．
①以表格中的各組數據為坐標的點已在圖中標出，請將錯誤數據對應的點改正過來重新在圖上標出，并用平滑的曲線畫出函數圖象；
②求圖象所在拋物線的函數表達式．
(3)經調查，該自動澆水裝置的推力不變（拋物線的形狀不變），噴水口可以從現有位置向上移動，移動范圍是．若植物園計劃在圓形草坪外圍種一圈寬度相等的花卉，請對花卉的寬度提出合理建議．
【答案】(1)D；
(2)①圖見解析；②；
(3)寬度應不超過．
【分析】本題考查了二次函數的應用，正確理解題意、熟練掌握二次函數的相關知識、靈活應用數形結合思想是解題的關鍵．
（1）由表格中的數據可得對稱軸為，當時，有最大值1.2，再進行判斷即可；
（2）①畫出圖形即可；②用待定系數法求解即可；
（3）當時，，求得草坪的半徑是，可得自動澆水裝置達到最大噴灑半徑時，對應的拋物線為．令，解得，此時自動澆水裝置的最大噴灑半徑是．所以為使花卉都能被澆水，其寬度應不超過．
【詳解】（1）由及可得對稱軸為，
可得當時，有最大值1.2，
所以是錯誤的，
故選：D；
（2）①如解圖；
②由表格數據可知此函數圖象的頂點坐標為，
設函數表達式為，
把代入，解得，
∴，
故圖象所在拋物線的函數表達式為；
（3）當時，，
解得，（舍去），
∴草坪的半徑是．
∵在向上平移的過程中拋物線的形狀不變，且向上移動的范圍是，
∴自動澆水裝置達到最大噴灑半徑時，
對應的拋物線為．
令，
解得（負值已舍去），此時自動澆水裝置的最大噴灑半徑是．
∵圓形草坪的半徑為，
，
∴為使花卉都能被澆水，其寬度應不超過．
38．（2023·浙江溫州·三模）根據以下素材，探索完成任務．
如何設置“綠波帶”？
素材1：某市為新路段設置“綠波帶”，車輛駛入綠波帶后，若以一定速度行駛，到達下個路口時會遇到綠燈，可節約能源．如圖，，兩路口停車線之間距離為米，兩個交通信號燈的綠燈持續時間均為秒，處綠燈亮起秒后處綠燈第一次亮起．

素材2：第1輛車的車頭與停車線平齊，后面相鄰兩車的車頭相距米，綠燈亮起時第一輛車立即啟動，后面每一輛車在前一輛車啟動秒后再啟動．車輛啟動后，先加速，到一定速度后勻速行駛．在加速階段，汽車的速度與時間的關系如下表所示，行駛路程與速度、時間的關系滿足．
（秒） 0 1 2 3 4 …
（米/秒） 0 3 6 9 12 …
素材3：路口車流量顯示：綠燈持續時間應少于秒（為整數），每一次綠燈一個車道內能通過的等候車輛數為輛（車頭超過停車線即為通過），且每輛車加速通過路口．
任務1：用含的代數式表示，并求關于的函數表達式：
任務2：求第輛車從啟動到車頭到達停車線的時間以及綠燈持續時間的值．
任務3：路口綠燈亮起后，第一輛車的勻速車速處于什么范圍時，可在路口綠燈第一次亮起期間通過停車線？
【答案】任務1：，；任務2：第輛車從啟動到車頭到達停車線的時間為秒，綠燈持續時間的值為24；任務3：當米/秒時，可在路口綠燈第一次亮起期間通過停車線
【分析】任務１：根據題意可知，代入進行計算即可；
任務2：，求出的值，再計算總時間即可；
任務3：設加速階段時用為秒，則勻速階段速度為米/秒，令，以及，分別求解即可求出．
【詳解】任務1：解：由表格可知，，
∴．
任務2：解：，
∴加速時間秒（），
∵為整數，，
∴總時間為秒秒，
∴，
∴第輛車從啟動到車頭到達停車線的時間為秒，綠燈持續時間的值為24．
任務3：解：由題意，第一輛車啟動至到達綠燈所需時間滿足秒
設加速階段用時為秒，則勻速階段速度為米/秒
令，
解得：（舍去），，
∴勻速階段速度為米/秒
令，
解得：（舍去），
∴勻速階段速度為米/秒
∴當米/秒時，可在路口綠燈第一次亮起期間通過停車線．
【點睛】本題考查了二次函數的應用，一元二次方程的求解，根據題意列出方程是解題的關鍵．
題型09 圖形最大面積問題
利用二次函數解決面積最值的方法：求最大面積類問題可以利用二次函數的圖像和性質進行解答,也就是把圖形面積的最值問題轉化為二次函數的最值問題，依據圖形的面積公式列出函數解析式.
【注意】在求解幾何圖形的最大面積時,應注意自變量的取值范圍,一定要注意題目中隱含的每一個幾何量的取值范圍,一般有以下幾種情況: 邊長,周長,面積大于0,三角形中任意兩邊之和大于第三邊.
39．（2024·湖北·中考真題）如圖，某校勞動實踐基地用總長為80m的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩形實驗田，墻長為42m．柵欄在安裝過程中不重疊、無損耗，設矩形實驗田與墻垂直的一邊長為x(單位：m)，與墻平行的一邊長為y(單位：m)，面積為S(單位：)．
(1)直接寫出y與x，S與x之間的函數解析式(不要求寫x的取值范圍)；
(2)矩形實驗田的面積S能達到嗎？如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．
(3)當x的值是多少時，矩形實驗田的面積S最大？最大面積是多少？
【答案】(1)，
(2)
(3)當時，實驗田的面積S最大，最大面積是
【分析】本題考查了矩形的性質，二次函數的實際應用，計算的取值范圍是解題的關鍵．
（1）根據，求出與的函數解析式，根據矩形面積公式求出與的函數解析式；
（2）先求出的取值范圍，再將代入函數中，求出的值；
（3）將與的函數配成頂點式，求出的最大值．
【詳解】（1）解：，
，
，
；
（2），
，
，
，
當時，，
，
，
，
當時，矩形實驗田的面積能達到；
（3），
當時，有最大值．
40．（2023·山東濰坊·中考真題）工匠師傅準備從六邊形的鐵皮中，裁出一塊矩形鐵皮制作工件，如圖所示．經測量，，與之間的距離為2米，米，米，，．，，是工匠師傅畫出的裁剪虛線．當的長度為多少時，矩形鐵皮的面積最大，最大面積是多少？

【答案】當的長度為米時，矩形鐵皮的面積最大，最大面積是平方米
【分析】連接，分別交于點，交于點，先判斷出四邊形是矩形，從而可得，再判斷出四邊形和四邊形都是矩形，從而可得米，，然后設矩形的面積為平方米，米，則米，米，利用矩形的面積公式可得關于的二次函數，最后利用二次函數的性質求解即可得．
【詳解】解：如圖，連接，分別交于點，交于點，
，
，
米，
四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是矩形，
，，
，
，
四邊形是矩形，
，
四邊形和四邊形都是矩形，
米，，
和都是等腰直角三角形，
，
，
設矩形的面積為平方米，米，則米，米，
米，
米，
，
又，與之間的距離為2米，米，
，
由二次函數的性質可知，當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小，
則當時，取得最大值，最大值為，
答：當的長度為米時，矩形鐵皮的面積最大，最大面積是平方米．
【點睛】本題考查了二次函數的幾何應用、矩形的判定與性質等知識點，熟練掌握二次函數的性質是解題關鍵．
41．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，正方形紙片的邊長為4，將它剪去4個全等的直角三角形，得到四邊形．設的長為，四邊形的面積為．

(1)求關于的函數表達式；
(2)當取何值時，四邊形的面積為10？
(3)四邊形的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)當取1或3時，四邊形的面積為10；
(3)存在，最小值為8．
【分析】（1）先證出四邊形為正方形，用未知數x表示其任一邊長，根據正方形面積公式即可解決問題；
（2）代入y值，解一元二次方程即可；
（3）把二次函數配方化為頂點式，結合其性質即可求出最小值．
【詳解】（1）解：在正方形紙片上剪去4個全等的直角三角形，
，
，四邊形為正方形，
在中，，
，
正方形的面積；
不能為負，
，
故關于的函數表達式為
（2）解：令，得，
整理，得，
解得，
故當取1或3時，四邊形的面積為10；
（3）解：存在．
正方形的面積；
當時，y有最小值8，即四邊形的面積最小為8．
【點睛】本題考查二次函數的應用．解題的關鍵是找準數量關系，對于第三問，只需把二次函數表達式配方化為頂點式，即可求解．
42．（2024·河南商丘·模擬預測）如圖①，是一塊銳角三角形材料，邊，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個定點分別在，上，這個正方形零件的邊長是多少？
（1）解這個題目，求出這個正方形零件的邊長是多少？
變式訓練：
（2）如果要加工成一個矩形零件，如圖②，這樣，此矩形零件的兩邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長是多少？
（3）如圖③，在中，，正方形的邊長是8，且四個頂點都在的各邊上，．求的值．
【答案】（1）；（2）當，時，此時矩形面積最大．（3）
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，二次函數的性質：
（1）設正方形零件的邊長為，根據，可得，即可求解；
（2）設，根據，可得，從而得到，即可求解；
（3）根據，可得，從而得到，再由，即可求解．
【詳解】解：（1）四邊形為正方形，
，
，
設正方形零件的邊長為 ，則 ，，，
，
即，
解得，
故這個正方形零件的邊長是．
（2）設 ，
四邊形為矩形，
，
，
，
，
，
矩形面積，
時，此時矩形面積最大．
即當，時，此時矩形面積最大．
（3）四邊形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
題型10 圖形問題
43．（2024·天津·中考真題）將一個平行四邊形紙片放置在平面直角坐標系中，點，點，點在第一象限，且．
(1)填空：如圖①，點的坐標為______，點的坐標為______；
(2)若為軸的正半軸上一動點，過點作直線軸，沿直線折疊該紙片，折疊后點的對應點落在軸的正半軸上，點的對應點為．設．
①如圖②，若直線與邊相交于點，當折疊后四邊形與重疊部分為五邊形時，與相交于點．試用含有的式子表示線段的長，并直接寫出的取值范圍；
②設折疊后重疊部分的面積為，當時，求的取值范圍（直接寫出結果即可）．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根據平行四邊形的性質，得出結合勾股定理，即可作答．
（2）①由折疊得，，再證明是等邊三角形，運用線段的和差關系列式化簡，，考慮當與點重合時，和當與點B重合時，分別作圖，得出的取值范圍，即可作答．
②根據①的結論，根據解直角三角形的性質得出，再分別以時，時，，分別作圖，運用數形結合思路列式計算，即可作答．
【詳解】（1）解：如圖：過點C作
∵四邊形是平行四邊形，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案為：，
（2）解：①∵過點作直線軸，沿直線折疊該紙片，折疊后點的對應點落在軸的正半軸上，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
∴是等邊三角形
∴
∵
∴
∴；
當與點重合時，
此時與的交點為E與A重合，
如圖：當與點B重合時，
此時與的交點為E與B重合，
∴的取值范圍為；
②如圖：過點C作
由（1）得出，
∴，
∴
當時，
∴，開口向上，對稱軸直線
∴在時，隨著的增大而增大
∴；
當時，如圖：
∴，隨著的增大而增大
∴在時；在時；
∴當時，
∵當時，過點E作，如圖：
∵由①得出是等邊三角形，
∴，
∴，
∴
∵
∴開口向下，在時，有最大值
∴
∴在時，
∴
則在時，；
當時，如圖，
∴，隨著的增大而減小
∴在時，則把分別代入
得出，
∴在時，
綜上：
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，解直角三角形的性質，折疊性質，二次函數的圖象性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
44．（2024·四川內江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過、兩點，在第一象限的拋物線上取一點，過點作軸于點，交于點．
(1)求這條拋物線所對應的函數表達式；
(2)是否存在點，使得和相似？若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由；
(3)是第一象限內拋物線上的動點（不與點重合），過點作軸的垂線交于點，連接，當四邊形為菱形時，求點的橫坐標．
【答案】(1)
(2)點的坐標為或
(3)
【分析】（1）先求出A、B的坐標，然后代入，求出b、c的值即可；
（2）由對頂角的性質性質知，若存在和相似，則有和兩種情況，然后分情況討論，利用相似三角形的性質求解即可；
（3）設點，，，，則，，根據菱形的性質得出，可求出，過點作于，可得，利用等角的余弦值相等得出，求出，根據菱形的性質得出，解方程求出m的值即可．
【詳解】（1）解：令，則，則；令，則
∴，
把，代入，得：
解得：
∴這條拋物線所對應的函數表達式為：；
（2）解：存在點，使得和相似．
設點，則，，
∴，，，，
∵和相似，
∴或
①如圖1，當時，
∴
∴點縱坐標為6
∴，解得：或
∴
②如圖2，當時，
過B作于H
∴
∴
∴
∴，解得：（舍去）或
∴
綜上所述，點的坐標為或．
（3）如圖3，∵四邊形為菱形
∴，，
設點，，，
∴，
∴，即
∵
∴，即或
∵，
∴，
∴
過點作于
∴
∴
∴，即
∴
∵
∴
∴
解得：（不合題意，舍去）或
故
答：點的橫坐標為
【點睛】本題是常見的中考數學壓軸題型，綜合性比較強，涉及到知識點較多；主要考查了待定系數法求二次函數的解析式，相似三角形的性質，菱形的性質；解題時要能夠靈活運用所學的數學知識，要會分類討論．
45．（2023·廣西·中考真題）如圖，是邊長為4的等邊三角形，點D，E，F分別在邊，，上運動，滿足．

(1)求證：；
(2)設的長為x，的面積為y，求y關于x的函數解析式；
(3)結合（2）所得的函數，描述的面積隨的增大如何變化．
【答案】(1)見詳解
(2)
(3)當時，的面積隨的增大而增大，當時，的面積隨的增大而減小
【分析】（1）由題意易得，，然后根據“”可進行求證；
（2）分別過點C、F作，，垂足分別為點H、G，根據題意可得，，然后可得，由（1）易得，則有，進而問題可求解；
（3）由（2）和二次函數的性質可進行求解．
【詳解】（1）證明：∵是邊長為4的等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：分別過點C、F作，，垂足分別為點H、G，如圖所示：

在等邊中，，，
∴，
∴，
設的長為x，則，，
∴，
∴，
同理（1）可知，
∴，
∵的面積為y，
∴；
（3）解：由（2）可知：，
∴，對稱軸為直線，
∴當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小；
即當時，的面積隨的增大而增大，當時，的面積隨的增大而減小．
【點睛】本題主要考查銳角三角函數、二次函數的綜合及等邊三角形的性質，熟練掌握銳角三角函數、二次函數的綜合及等邊三角形的性質是解題的關鍵．
46．（2023·山東煙臺·中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．拋物線的對稱軸與經過點的直線交于點，與軸交于點．

(1)求直線及拋物線的表達式；
(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形 若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．
【答案】(1)直線的解析式為；拋物線解析式為
(2)存在，點M的坐標為或 或
(3)
【分析】（1）根據對稱軸，，得到點A及B的坐標，再利用待定系數法求解析式即可；
（2）先求出點D的坐標，再分兩種情況：①當時，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點M的坐標；②當時，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點M的坐標；
（3）在上取點，使，連接，證得，又，得到，推出，進而得到當點C、P、F三點共線時，的值最小，即為線段的長，利用勾股定理求出即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸，，
∴，
將代入直線，得，
解得，
∴直線的解析式為；
將代入，得
，解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）存在點，
∵直線的解析式為，拋物線對稱軸與軸交于點．
∴當時，，
∴，
①當時，
設直線的解析式為，將點A坐標代入，
得，
解得，
∴直線的解析式為，
解方程組，
得或，
∴點M的坐標為；
②當時，
設直線的解析式為，將代入，
得，
解得，
∴直線的解析式為，
解方程組，
解得或，
∴點M的坐標為 或
綜上，點M的坐標為或 或；
（3）如圖，在上取點，使，連接，
∵，
∴，
∵，、
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴當點C、P、F三點共線時，的值最小，即為線段的長，
∵，
∴，
∴的最小值為．

【點睛】此題是一次函數，二次函數及圓的綜合題，掌握待定系數法求函數解析式，直角三角形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，求兩圖象的交點坐標，正確掌握各知識點是解題的關鍵．
47．（2022·青海西寧·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點B，點C在直線AB上，過點C作軸于點，將沿CD所在直線翻折，使點A恰好落在拋物線上的點E處．
(1)求拋物線解析式；
(2)連接BE，求的面積；
(3)拋物線上是否存在一點P，使？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)2
(3)存在，或
【分析】（1）先根據翻折得到E點坐標，然后結合 運用待定系數法求解即可；
（2）先確定點B的坐標，然后確定直線AB的解析式，進而確定、、，最后根據結合三角形的面積公式即可解答；
（3）先說明是等腰直角三角形，設點P的坐標為，然后分點P在x軸上方和下方兩種情況分別解答即可．
【詳解】（1）解：∵沿CD所在直線翻折，點A落在點E處
∴
把A，E兩點坐標代入得，解得
∴拋物線的解析式為．
（2）解：∵拋物線與y軸交于點B
∴令時，
∴
設直線AB的解析式為
把A，B兩點坐標代入得解得
∴直線AB的解析式為；
∴點C在直線AB上軸于點
當時
∴
∴
∴，，
∴
∴的面積是2．
（3）解：存在，理由如下：
∵，
∴
在中
∴是等腰直角三角形
∵點P在拋物線上
∴設點P的坐標為
①當點P在x軸上方時記為，過作軸于點M
在中∵∴
即解得 （舍去）
當時
∴
②當點P在x軸下方時記為，過作軸于點N
在中
∴
∴
∴解得 （舍去）
當時
∴
綜上，符合條件的P點坐標是或．
【點睛】本題屬于二次函數綜合題，涉及求二次函數的性質、二次函數解析式、二次函數與幾何圖形綜合等知識點，靈活運用二次函數的性質以及其與幾何知識的聯系是解答本題的關鍵．
題型11 圖形運動問題
利用二次函數解決運動型幾何問題的方法：對于運動型幾何問題中的函數應用問題，解題時應深入理解運動圖形所在的條件與環境，用運動的眼光去觀察和研究問題，挖掘運動、變化的全過程，并特別關注運動過程中的不變量、不變關系和特殊關系，然后化“動態”為“靜態”、化“變化”為“不變”，通過分析找出題中各圖形的結合點，借助函數的性質予以解決.當圖形(或某一事物)在運動的過程中某一量取到最大值或最小值時，其位置必定在一個特殊的位置,這是普遍規律.
48．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，中，，，，，反比例函數的圖象與交于點，與交于點E．

(1)求m，k的值；
(2)點P為反比例函數圖象上一動點（點P在D，E之間運動，不與D，E重合），過點P作，交y軸于點M，過點P作軸，交于點N，連接，求面積的最大值，并求出此時點P的坐標．
【答案】(1)，
(2)最大值是，此時
【分析】本題考查了二次函數，反比例函數，等腰三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是：
（1）先求出B的坐標，然后利用待定系數法求出直線的函數表達式，把D的坐標代入直線的函數表達式求出m，再把D的坐標代入反比例函數表達式求出k即可；
（2）延長交y軸于點Q，交于點L．利用等腰三角形的判定與性質可得出，設點P的坐標為，，則可求出，然后利

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