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第三章 函數
第10講 一次函數的圖像與性質
（思維導圖+3考點+3命題點16種題型（含2種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 一次函數的基礎
考點二 一次函數的圖像與性質
考點三 一次函數與方程（組）、不等式
04題型精研·考向洞悉
命題點一 一次函數的圖像與性質
題型01 一次函數的定義
題型02 判斷一次函數的圖像
題型03 正比例函數的性質
題型04 探究一次函數經過的象限與系數之間的關系
題型05 探究一次函數的增減性與系數之間的關系
題型06 求一次函數解析式
題型07 一次函數與坐標軸交點問題
題型08 與一次函數有關的規律探究問題
題型09 與一次函數有關的新定義問題
題型10 以開放性試題的形式考查一次函數
命題點二 一次函數與方程，不等式
題型01 求兩直線與坐標軸圍成的圖形面積
題型02 探究一次函數與方程、不等式的關系
命題點三 一次函數與幾何綜合
題型01 一次函數、反比例函數、二次函數圖像綜合判定
題型02 與一次函數有關的圖形變化問題
題型03 與一次函數有關的動點問題
題型04 一次函數與三角形、四邊形、圓綜合
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
一次函數的圖像與性質 ★★ 理解正比例函數； 能畫一次函數的圖像，根據圖像和表達式y=kx+b(k≠0) 探索并理解k>0和k＜0時圖像的變化情況.
一次函數的增減性 ★★
一次函數的圖像變換 ★★
一次函數的解析式的確定 ★★ 會運用待定系數法確定一次函數的表達式.
一次函數與方程（組）結合 ★★ 體會一次函數與二元一次方程的關系.
一次函數與不等式（組）結合 ★★
【考情分析】一次函數是初中三大函數之一，一次函數的圖像是一條直線，直線的位置和傾斜角度由一次函數解析式中的系數確定，可以利用“待定系數法”確定函數解析式，因為兩點確定一條直線，所以已知兩點的坐標即可求出一次函數解析式，一次函數的圖像和性質是中考必考內容。 【命題預測】一次函數的圖像與性質是中考數學中比較重要的一個考點，也是知識點牽涉比較多的考點.各地對一次函數的圖像與性質的考察也主要集中在一次函數表達式與平移、圖像的性質、圖像與方程不等式的關系以及一次函數圖像與幾何圖形面積等五個方面，年年考查，總分值為10分左右，也因為一次函數是一個結合型比較強的知識點，所以其圖像和性質也是后續函數問題學習的一個基礎.故考生在復習這塊知識點時，需要特別熟記對應考點的方法規律. 【備考建議】在中考數學中，關于函數的基本知識的命題預測通常會涵蓋以下幾個方面：函數定義和性質、函數圖像、函數的應用等.針對這些可能的命題方向，給出以下建議：熟練掌握函數的基本概念和性質、學會繪制函數圖像、注重函數的應用.
002知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 一次函數的基礎
1.一次函數的基礎
正比例函數的定義：一般地，形如的函數，叫做正比例函數，其中k叫做比例系數.
一次函數的定義：一般地，形如的函數，叫做一次函數.
【補充】正比例函數是一次函數的特例（當b=0時），即正比例函數是一次函數，而一次函數不一定是正比例函數.
一次函數的一般形式：.
特征：1）k≠0；2）x的次數為1；3）常數b可以取任意實數.
【注意】一般地，一次函數中自變量x的取值范圍是任意實數，但在實際問題中x的取值范圍要根據具體問題的實際意義來確定.
2.待定系數法
待定系數法：先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知的系數，從而得出函數解析式的方法叫做待定系數法.
用待定系數法確定一次函數解析式的一般步驟：
1）設：設一次函數的解析式為；
2）列：將已知條件代入解析式，列出關于k、b的二元一次方程組；
3）解：解二元一次方程組，求出k、b；
4）代：將k、b的值代回所設的函數解析式中.
1．（2023·四川樂山·中考真題）下列各點在函數圖象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據一次函數圖象上點的坐標特征，將選項中的各點分別代入函數解析式，進行計算即可得到答案．
【詳解】解：一次函數圖象上的點都在函數圖象上，
函數圖象上的點都滿足函數解析式，
A.當時，，故本選項錯誤，不符合題意；
B.當時，，故本選項錯誤，不符合題意；
C.當時，，故本選項錯誤，不符合題意；
D.當時，，故本選項正確，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了一次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握一次函數圖象上的點都在函數圖象上，是解題的關鍵．
2．（2022·山東濟南·中考真題）某學校要建一塊矩形菜地供學生參加勞動實踐，菜地的一邊靠墻，另外三邊用木欄圍成，木欄總長為40m．如圖所示，設矩形一邊長為xm，另一邊長為ym，當x在一定范圍內變化時，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數關系是（ ）
A．正比例函數關系 B．一次函數關系
C．反比例函數關系 D．二次函數關系
【答案】B
【分析】根據矩形周長找出關于x和y的等量關系即可解答．
【詳解】解：根據題意得：
，
∴，
∴y與x滿足的函數關系是一次函數；
故選：B．
【點睛】本題通過矩形的周長考查一次函數的定義，解題的關鍵是理清實際問題中的等量關系準確地列式．
3．（2020·安徽·中考真題）已知一次函數的圖象經過點，且隨的增大而減小，則點的坐標可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據一次函數的增減性判斷出k的符號，再將各項坐標代入解析式進行逐一判斷即可．
【詳解】∵一次函數的函數值隨的增大而減小，
∴k﹤0，
A．當x=-1，y=2時，-k+3=2，解得k=1﹥0，此選項不符合題意；
B．當x=1，y=-2時，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此選項符合題意；
C．當x=2，y=3時，2k+3=3，解得k=0，此選項不符合題意；
D．當x=3，y=4時，3k+3=4，解得k=﹥0，此選項不符合題意，
故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數的性質、待定系數法，熟練掌握一次函數圖象上點的坐標特征是解答的關鍵．
4．（2025·甘肅蘭州·模擬預測）若函數是正比例函數，且圖象經過第一、三象限，則（　?。?br/>A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】本題考查正比例函數的定義和性質，根據形如的函數是正比例函數，以及當時，正比例函數的圖象經過第一、三象限求解即可．
【詳解】解：∵函數是正比例函數，且圖象經過第一、三象限，
∴，且，
解得，且，
∴，
故選：A．
5．（2023·湖北鄂州·中考真題）象棋起源于中國，中國象棋文化歷史悠久．如圖所示是某次對弈的殘圖，如果建立平面直角坐標系，使棋子“帥”位于點的位置，則在同一坐標系下，經過棋子“帥”和“馬”所在的點的一次函數解析式為（　?。?br/>
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用待定系數法求解一次函數即可得解．
【詳解】解：如圖，建立平面直角坐標系，可得“馬”所在的點，

設經過棋子“帥”和“馬”所在的點的一次函數解析式為，
∵過點和，
∴，
解得，
∴經過棋子“帥”和“馬”所在的點的一次函數解析式為，
故選A．
【點睛】本題主要考查了待定系數法求一次函數解析式，熟練掌握待定系數法式解題的關鍵．
考點二 一次函數的圖像與性質
1.正比例函數的圖像與性質
正比例函數的圖像：正比例函數的圖像是經過原點（0，0）的一條直線.
正比例函數的性質：
k的符號 圖像 圖像的位置 增減性
k＞0 圖像經過原點 和第一、三象限 y隨x增大而增大
k＜0 圖像經過原點 和第二、四象限 y隨x增大而減小
【補充】正比例函數必過點（0,0）、（1，k）.
2.一次函數的圖像與性質
一次函數的圖像：一次函數的圖像是一條直線，通常也稱直線.
一次函數的性質：
一次函數
k、b 的符號 k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
圖像
趨勢 從左向右看圖像呈上升趨勢 從左向右看圖像呈下降趨勢
增減性 y隨x增大而增大 y隨x增大而減小
與y軸交點的位置 正半軸 原點 負半軸 正半軸 原點 負半軸
經過 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限
【補充說明】
1）一次函數的位置由k、b共同決定，k的符號決定一次函數的增減性，b的符號決定一次函數與y軸的交點位置.
2）
的三角形面積為.
3.k，b的符號與直線的關系
在直線中，令y=0，則x=，即直線與x軸交于
1）當時，即k，b異號時，直線與x軸交于正半軸．
2）當，即b=0時，直線經過原點．
3）當，即k，b同號時，直線與x軸交于負半軸．
4.正比例函數與一次函數圖像的關系
圖像關系：正比例函數的圖像是經過原點的一條直線，一次函數的圖像可由正比例函數的圖像平移|b|個單位長度得到.（當b＞0時，向上平移；當b＜0時，向下平移）
常見的變換方式：
平移變換 平移方式（m＞0） 函數解析式
向上平移m個單位
向下平移m個單位
向左平移m個單位
向右平移m個單位
平移口訣：左加有減（只改變x），上加下減（只改變y）.
對稱變換 變換方式 變換后
關于x軸對稱
關于y軸對稱
關于原點對稱
對稱口訣：關于誰對稱誰不變，關于原點對稱都改變.
1．（2024·四川德陽·中考真題）正比例函數的圖象如圖所示，則的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了正比例函數的性質：當，圖象經過第一、第三象限，在每一象限內y隨x的增大而增大；當，圖象經過第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而減?。谜壤瘮档男再|得到，然后在此范圍內進行判斷即可．
【詳解】解：∵正比例函數圖象經過第一、第三象限，
∴，
∴選項A符合題意．
故選：A．
2．（2024·湖南長沙·中考真題）對于一次函數，下列結論正確的是（ ）
A．它的圖象與y軸交于點 B．y隨x的增大而減小
C．當時， D．它的圖象經過第一、二、三象限
【答案】A
【分析】本題考查一次函數的性質，根據一次函數的性質逐個判斷即可得到答案．
【詳解】解：A.當時，，即一次函數的圖象與y軸交于點，說法正確；
B.一次函數圖象y隨x的增大而增大，原說法錯誤；
C.當時，，原說法錯誤；
D.一次函數的圖象經過第一、三、四象限，原說法錯誤；
故選A．
3．（2024·西藏·中考真題）將正比例函數的圖象向上平移3個單位長度后得到函數圖象的解析式為 ．
【答案】
【分析】本題考查了一次函數的性質-平移，根據一次函數平移的特點求解即可，掌握一次函數平移的特點是解題的關鍵．
【詳解】解：正比例函數的圖象向上平移3個單位長度后得到函數圖象的解析式為：
，
故答案為：．
4．（2024·江蘇鎮江·中考真題）點、在一次函數的圖像上，則 （用“”、“”或“”填空）．
【答案】<
【分析】本題主要考查了一次函數圖象的性質，根據，可知一次函數值y隨著x的增大而增大，再比較x值的大小，可得答案．
【詳解】∵一次函數中，，
∴一次函數值y隨著x的增大而增大．
∵，
∴．
故答案為：．
5．（2024·上海·中考真題）若正比例函數的圖像經過點，則y的值隨x的增大而 ．（選填“增大”或“減小”）
【答案】減小
【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征以及正比例函數的性質，牢記“當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小”是解題的關鍵．利用一次函數圖象上點的坐標特征，可求出，結合正比例函數的性質，即可得出的值隨的增大而減?。?br/>【詳解】解：正比例函數的圖象經過點，
，
解得：，
又，
的值隨的增大而減小．
故答案為：減小．
考點三 一次函數與方程（組）、不等式
1.一次函數與一元一次方程
從“數”上看：方程的解 函數中，y=0時對應的x的值
從“形”上看：方程的解 函數的圖像與x軸交點的橫坐標.
【補充】對于一次函數，已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值時，就是把問題轉化為關于y或x的一元一次方程來求解.
2.一次函數與二元一次方程組
從“數”的角度看：解二元一次方程組相當于考慮自變量為何值時，兩個函數的值相等，以及這兩個函數值是何值；
從“形”的角度看：解二元一次方程組相當于確定兩條直線的交點坐標，一般地，如果一個二元一次方程組有唯一解，那么這個解就是方程組對應的兩條直線的交點坐標.
【補充】
1）二元一次方程組的圖像解法：畫出兩個一次函數的圖像，找出它們的交點坐標，即得相應的二元一次方程組的解.
2）確定兩條直線交點坐標的方法：聯立兩個一次函數的解析式，構建二元一次方程組，通過解方程組，即可確定兩條直線的交點坐標.
3.一次函數與一元一次不等式
從“數”的角度看：解一元一次不等式就是尋求使一次函數的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；
從“形”的角度看：就是確定直線在x軸上（或下）方部分的點的橫坐標滿足的條件.
利用解一元一次不等式可確定相應的函數值對應的自變量的取值范圍，具體的對應關系如下：
1）不等式的解集直線在x軸上方的部分所對應的x的取值范圍；
2）不等式的解集直線在x軸下方的部分所對應的x的取值范圍；
3）不等式的解集直線在直線上方的部分所對應的x的取值范圍；
4）不等式的解集直線在直線下方的部分所對應的x的取值范圍.
【補充】不解不等式而直接寫出不等式解集的方法：
1）根據圖像，求出兩直線的交點的橫坐標;
2）交點是分水嶺，交點左右，哪個圖像在上方哪個圖像就大，反之亦然.
1．（2024·廣東·中考真題）已知不等式的解集是，則一次函數的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查一次函數與一元一次不等式，解不等式的方法：從函數的角度看，就是尋求使一次函數的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍．找到當函數圖象位于x軸的下方的圖象即可．
【詳解】解∶∵不等式的解集是，
∴當時，，
觀察各個選項，只有選項B符合題意，
故選：B．
2．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）點在直線上，坐標是二元一次方程的解，則點的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本題考查了一次函數圖象上點的特征，解二元一次方程組等知識，聯立方程組 ，求出點P的坐標即可判斷．
【詳解】解∶ 聯立方程組，
解得，
∴P的坐標為，
∴點P在第四象限，
故選∶D．
3．（2023·寧夏·中考真題）在同一平面直角坐標系中，一次函數與的圖象如圖所示，則下列結論錯誤的是（ ）
A．隨的增大而增大
B．
C．當時，
D．關于，的方程組的解為
【答案】C
【分析】結合圖象，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：A、隨的增大而增大，故選項A正確；
B、由圖象可知，一次函數的圖象與軸的交點在的圖象與軸的交點的下方，即，故選項B正確；
C、由圖象可知：當時，，故選項C錯誤；
D、由圖象可知，兩條直線的交點為，
∴關于，的方程組的解為；
故選項D正確；
故選C．
【點睛】本題考查一次函數的圖象和性質，一次函數與二元一次方程組，一次函數與一元一次不等式．從函數圖象中有效的獲取信息，熟練掌握圖象法解方程組和不等式，是解題的關鍵．
4．（2023·內蒙古·中考真題）如圖，直線與雙曲線交于點和點，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【分析】利用數形相結合，借助圖象求出不等式的解集即可．
【詳解】解：∵把 ，直線與雙曲線交于點和點，
∴當時，直線在雙曲線的下方且直線在x軸的上方，
∴不等式的解集是：，
故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，反比例函數圖象上點的坐標特征，利用數形相結合的思想是解此題的關鍵．
5．（2022·貴州貴陽·中考真題）在同一平面直角坐標系中，一次函數與的圖象如圖所示，小星根據圖象得到如下結論：
①在一次函數的圖象中，的值隨著值的增大而增大；
②方程組的解為；
③方程的解為；
④當時，．
其中結論正確的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由函數圖象經過的象限可判斷①，由兩個一次函數的交點坐標可判斷②，由一次函數與坐標軸的交點坐標可判斷③④，從而可得答案．
【詳解】解：由一次函數的圖象過一，二，四象限，的值隨著值的增大而減?。?br/>故①不符合題意；
由圖象可得方程組的解為，即方程組的解為；
故②符合題意；
由一次函數的圖象過 則方程的解為；故③符合題意；
由一次函數的圖象過 則當時，．故④不符合題意；
綜上：符合題意的有②③，
故選B
【點睛】本題考查的是一次函數的性質，一次函數的圖象的交點坐標與二元一次方程組的解，一次函數與坐標軸的交點問題，熟練的運用數形結合的方法解題是關鍵．
04題型精研·考向洞悉
命題點一 一次函數的圖像與性質
題型01 一次函數的定義
1．（2024·廣東·模擬預測）下列函數中，y是x的一次函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查一次函數的定義，一般地，形如（k，b為常數，且）的函數稱為一次函數，據此逐項判斷即可．
【詳解】解：A、是一次函數，符合題意；
B、不是一次函數，不符合題意；
C、不是一次函數，不符合題意；
D、不是一次函數，不符合題意．
故選：A
2（2024·四川南充·三模）若是y關于x的一次函數，則其圖象不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本題考查根據一次函數的定義求參數，判斷直線經過的象限，根據是y關于x的一次函數，得到，求出的值，進而判斷直線經過的象限即可．
【詳解】解：由題意，得：，
解得：，
∴直線解析式為：，
∴直線經過一、二、四象限，不經過第三象限；
故選C．
3．（2020·江蘇泰州·中考真題）點在函數的圖像上，則代數式的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把代入函數解析式得，化簡得，化簡所求代數式即可得到結果；
【詳解】把代入函數解析式得：，
化簡得到：，
∴．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了通過函數解析式與已知點的坐標得到式子的值，求未知式子的值，準確化簡式子是解題的關鍵．
4．（2024·廣西·模擬預測）點在函數的圖象上，則 ．
【答案】0
【分析】本題考查的是一次函數的性質，解一元一次方程，先根據點在函數的圖象上，即可得出，然后解一元一次方程即可得出m的值．
【詳解】解：∵點在函數的圖象上，
∴，
解得：，
故答案為：0．
題型02 判斷一次函數的圖像
1．（2024·河北·中考真題）扇文化是中華優秀傳統文化的組成部分，在我國有著深厚的底蘊．如圖，某折扇張開的角度為時，扇面面積為、該折扇張開的角度為時，扇面面積為，若，則與關系的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查正比例函數的應用，扇形的面積，設該扇面所在圓的半徑為，根據扇形的面積公式表示出，進一步得出，再代入即可得出結論．掌握扇形的面積公式是解題的關鍵．
【詳解】解：設該扇面所在圓的半徑為，
，
∴，
∵該折扇張開的角度為時，扇面面積為，
∴，
∴，
∴是的正比例函數，
∵，
∴它的圖像是過原點的一條射線．
故選：C．
2．（2024·河北·模擬預測）下圖表示光從空氣進入水中的入水前與入水后的光路圖，若按如圖所示的方式建立平面直角坐標系，并設入水前與入水后光線所在直線的函數解析式分別為，，則關于與的關系，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了正比例函數的圖像與性質，解題關鍵是熟練掌握正比例函數的圖像與性質．根據函數圖像的增減性，判斷選項A、B；利用兩個函數圖像的位置關系，取橫坐標相同的點和，利用縱坐標的大小列出不等式，即可判斷選項C、D．
【詳解】解：由圖像可知，隨的增大而減小，隨的增大而減小，
所以，故選項A、B錯誤，不符合題意；
如下圖，在兩個圖像上分別取橫坐標為的兩個點和（），
則，，
∵，即
∴，
又∵，
∴，，故選項C錯誤，不符合題意，而選項D正確，符合題意．
故選：D
3．（2024·陜西西安·三模）若為常數且，則一次函數的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一次函數圖象的性質，熟練掌握一次函數圖象的相關性質是解題的關鍵．
根據一次函數圖象的性質進行分析即可得到答案．
【詳解】解：∵，
，
∴一次函數的圖象在第一、二，四象限．
故選：B．
4．（2024·安徽·模擬預測）已知與是一次函數．若，那么如圖所示的個圖中正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查一次函數的圖象，其圖象是直線，要求學生掌握通過函數的解析式，判斷直線的位置及與坐標軸的交點．
聯立方程，得出兩直線的交點為，依次分析選項可得答案．
【詳解】解：聯立方程，可解得，故兩直線的交點為，
選項中交點縱坐標是0，即，但根據圖象可得，故選項不符合題意；
而選項中交點橫坐標是負數，故選項不符合題意；
選項中交點橫坐標是負數，選項不符合題意；
選項中交點橫坐標是正數，縱坐標是正數，即，根據圖象可得，故選項符合題意；
故選：．
題型03 正比例函數的性質
1．（2024·陜西西安·模擬預測）正比例函數的圖像經過點和點，則的值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】本題考查了正比例函數的定義，待定系數法求得解析式是解題的關鍵．
設正比例函數表達式為，將點代入正比例函數表達式為，得出，則，再將點代入，即可求解．
【詳解】解：設正比例函數表達式為，將點代入，
解得，則，
將點代入，
得，解得．
故選：B．
2．（2024·陜西西安·三模）已知正比例函數的圖象經過第二、四象限，則（　?。?br/>A．y隨x的增大而減小
B．y隨x的增大而增大
C．當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小
D．無論x如何變化，y不變
【答案】A
【分析】本題主要考查了正比函數的圖象和性質，根據正比例函數的圖象和性質即可求解．
【詳解】∵正比例函數的圖象經過第二、四象限，
∴
∴y隨x的增大而減?。?br/>故選：A．
3．（2024·廣東陽江·二模）先從，，0，6四個數中任取一個數記為，再從余下的三個數中任取一個數記為．若，則正比例函數的圖象經過第一、三象限的概率是 ．
【答案】
【分析】本題考查了正比例函數的性質，列表法求概率，掌握列表法求概率是解題的關鍵．
根據題意列表表示出所有可能得情況，然后根據正比例函數的圖象經過第一、三象限則，據此求解即可．
【詳解】解：列表如下：
0 6
0
0
0 0 0 0
6 0
共有12種等可能結果，其中滿足的有2種，
則正比例函數的圖象經過第一、三象限的概率是．
故答案為：．
4．（2024·湖南岳陽·模擬預測）若正比例函數的圖象經過點，則這個圖象必經過點（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了正比例函數的圖象和性質，先求出該正比例函數解析式，再逐個判斷即可．
【詳解】解：設正比例函數解析式為，
將代入得：，
∴正比例函數解析式為，
當時，，故不在該正比例函數圖象上，不符合題意；
當時，，故不在該正比例函數圖象上，不符合題意；
當時，，故不在該正比例函數圖象上，不符合題意；
當時，，故在該正比例函數圖象上，符合題意；
故選：D．
題型04 探究一次函數經過的象限與系數之間的關系
1．（2023·山東臨沂·中考真題）對于某個一次函數，根據兩位同學的對話得出的結論，錯誤的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根據一次函數的性質確定k，b的符號，再確定一次函數系數的符號，判斷出函數圖象所經過的象限．
【詳解】解：∵一次函數的圖象不經過第二象限，
∴，故選項A正確，不符合題意；
∴，故選項B正確，不符合題意；
∵一次函數的圖象經過點，
∴，則，
∴，故選項C錯誤，符合題意；
∵，
∴，故選項D正確，不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查一次函數圖象與系數的關系，解決此類題目的關鍵是確定k、b的正負．
2．（23-24八年級下·江西南昌·期末）在平面直角坐標系中，若一次函數的圖象經過第二象限，則一次函一定不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本題考查一次函數的圖像，掌握根據k，b的符號正確判斷一次函數圖象經過的象限是解題的關鍵．根據一次函數的圖象經過第二象限，可以得到，從而可以得到a的取值范圍，然后即可得到一次函數經過哪幾個象限，不經過哪個象限．
【詳解】解：∵一次函數的圖象經過第二象限，
∴，
解得，
∴，
∴一次函數的圖象經過第一、三、四象限，不經過第二象限，
故選：B．
3．（2024·陜西西安·二模）在平面直角坐標系中，若將一次函數的圖像向右平移2個單位長度后經過原點，則一次函數的圖像不經過第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【分析】本題考查一次函數圖像的平移、一次函數的性質，根據函數圖像平移規則“左加右減”得到平移后的函數解析式，再將原點坐標代入求的m值，根據一次函數性質求解即可．
【詳解】解：根據題意，將一次函數的圖像向右平移2個單位長度后的函數解析式為，
∵平移后的函數圖像經過原點，
∴，則，
∴一次函數的圖像經過第一、三、四，不經過第二象限，
故選：B．
4．（2024·四川南充·模擬預測）直線經過點，但不經過第一象限，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了一次函數的性質，求不等式組的解集，根據一次函數的性質列出關于a的不等式組是解答本題的關鍵．由直線經過點得，由直線不經過第一象限得，得出，進而可求出的最大值．
【詳解】解：∵直線經過點，
∴，
∴，
∴，
∵直線不經過第一象限，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值為．
故答案為：．
題型05 探究一次函數的增減性與系數之間的關系
1．（2024·陜西咸陽·模擬預測）在正比例函數中，隨的增大而減小，則一次函數的圖象不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本題考查了一次函數的圖象和性質，根據題意可得，得到，進而得到，，再根據一次函數的性質即可求解，掌握一次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵正比例函數中，隨的增大而減小，
∴，
∴，
∴，，
∴一次函數的圖象經過一、二、四象限，不經過第三象限，
故選：．
2．（2024·四川南充·中考真題）當時，一次函數有最大值6，則實數m的值為（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
【答案】A
【分析】本題主要考查了一次函數的性質，以及解一元二次方程，分兩種情況，當時和當，根據一次函數性質列出關于m的一元二次方程，求解即可得出答案．
【詳解】解：當即時，一次函數y隨x的增大而增大，
∴當時，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
當即時，一次函數y隨x的增大而減小，
∴當時，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
綜上，或，
故選：A
3．（2024·安徽六安·模擬預測）已知一次函數和，無論x取何值，始終有，則a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】本題考查一次函數的圖象及性質，根據，列出不等式，求解即可．
【詳解】解：
，
，
故答案為：．
4．（2024·山東濰坊·模擬預測）如圖是y關于x的一個函數圖象，根據圖象，下列說法不正確的是（　　）

A．該函數的最大值為6 B．當時，y隨x的增大而增大
C．當時，對應的函數值 D．當和時，對應的函數值相等
【答案】C
【分析】本題考查了一次函數的應用，觀察函數圖象獲得有效信息是解題關鍵．根據函數圖象的相應點坐標以及增減性，可得答案．
【詳解】解：由圖象可知：
A．該函數的最大值為6，原說法正確，故本選項不合題意；
B．當時，隨的增大而增大，原說法正確，故本選項不合題意；
C．設時，，則，
解得，
，
當時，對應的函數值，原說法錯誤，故本選項符合題意；
D．設時，，則，
解得，
，
當時，；
設時，，
則，
解得，
，
當時，，
當和時，對應的函數值都等于4，
當和時，對應的函數值相等，說法正確，故本選項不符合題意．
故選：C
題型06 求一次函數解析式
1）【解答題】可利用待定系數法求解，因為兩點確定一條直線，將已知兩點的坐標代入解析式，得，求解關于k，b的方程組，就可以求出解析式.簡稱：一設二代三求解.
2）【選擇、填空題】根據兩點坐標快速求k
將已知兩點的坐標代入解析式，得，將兩式相減，得，可化為，進而求出b，就可以求出解析式.
3）【選擇、填空題】根據兩點坐標快速求b
一次函數圖像與y軸交點的縱坐標即為b值.
1．（2023·寧夏·中考真題）如圖是某種桿秤．在秤桿的點處固定提紐，點處掛秤盤，點為0刻度點．當秤盤不放物品時，提起提紐，秤砣所掛位置移動到點，秤桿處于平衡．秤盤放入克物品后移動秤砣，當秤砣所掛位置與提扭的距離為毫米時秤桿處于平衡．測得與的幾組對應數據如下表：
/克 0 2 4 6 10
/毫米 10 14 18 22 30
由表中數據的規律可知，當克時， 毫米．

【答案】50
【分析】根據表格可得y與x的函數關系式，再將代入求解即可．
【詳解】解：由表格可得，物品每增加2克，秤砣所掛位置與提扭的距離增加4毫米，則物品每增加1克，秤砣所掛位置與提扭的距離增加2毫米，
當不掛重物時，秤砣所掛位置與提扭的距離為10毫米，
∴y與x的函數關系式為，
當時，，
故答案為：50．
【點睛】本題考查由表格得函數關系式以及求函數值，通過表格得出函數關系式是解題的關鍵．
2．（2024·山東東營·中考真題）在彈性限度內，彈簧的長度是所掛物體質量的一次函數．一根彈簧不掛物體時長12.5cm，當所掛物體的質量為2kg時，彈簧長13.5cm．當所掛物體的質量為5kg時，彈簧的長度為 cm，
【答案】
【分析】本題考查了用待定系數法求一次函數的解析式、由自變量求函數值的知識點，解答時求出函數的解析式是關鍵．設與的函數關系式為，由待定系數法求出解析式，并把代入解析式求出對應的值即可．
【詳解】解：設與的函數關系式為，
由題意，得，
解得：，
故與之間的關系式為：，
當時，．
故答案為：．
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）小華在畫一次函數的圖象時列出了如下表格：
x … 0 1 2
y … 4 1 …
小勤看到后說有一個函數值求錯了，這個錯誤的函數值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了待定系數法求出一次函數解析式以及一次函數圖象上點的坐標特征，根據點的坐標（任取兩個），利用待定系數法求出一次函數解析式，再逐一驗證其它三點坐標即可得出結論．
【詳解】解：設該一次函數的解析式為（），
將，代入得，，
解得：，
∴一次函數的解析式為．
當時，；
當時，；
當時，．
故選：B．
4．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，已知點、在反比例函數的圖象上，過點的一次函數的圖象與軸交于點．
(1)求、的值和一次函數的表達式；
(2)連接，求點到線段的距離．
【答案】(1)，，
(2)點到線段的距離為
【分析】（1）根據點、在反比例函數圖象上，代入即可求得、的值；根據一次函數過點，，代入求得，，即可得到表達式；
（2）連接，過點作，垂足為點，過點作，垂足為點，可推出 軸，、、的長度，然后利用勾股定理計算出的長度，最后根據，計算得的長度，即為點到線段的距離．
【詳解】（1）點、在反比例函數圖象上
，
又一次函數過點，
解得：
一次函數表達式為：；
（2）如圖，連接，過點作，垂足為點，過點作，垂足為點，
，
軸，
點，，
點，，
在中，
又
即
∴，即點C到線段的距離為．
【點睛】本題考查了求反比例函數值，待定系數法求一次函數表達式，勾股定理，與三角形高有關的計算，熟練掌握以上知識點并作出適當的輔助線是解題的關鍵．
題型07 一次函數與坐標軸交點問題
1．（2024·江蘇揚州·二模）已知直線與x軸、y軸分別交于點A，B，將直線m繞點B順時針旋轉得到新的直線m，則直線n與x軸的交點坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查一次函數圖象與幾何變換．設直線交軸于，，，可得出，根據將直線繞點逆時針旋轉得到新的直線，即可得，故，可得．
【詳解】解：設直線交軸于，如圖：
在中，令得，令得，
，；
，，
，
將直線繞點逆時針旋轉得到新的直線，
，
，
，
，
，
，
，
，
直線與軸的交點坐標為；
故選：B．
2．（2024·陜西西安·模擬預測）在平面直角坐標系中，直線與直線關于軸對稱，則直線與軸的交點坐標為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了待定系數法求一次函數，一次函數與坐標軸交點問題，先得出直線與軸交于點，，根據軸對稱的性質得出直線過點，，待定系數法的求得解析式，進而即可求解．
【詳解】∵直線、關于軸對稱，直線與軸交于點，
∴直線過點，
設直線的解析式為，
∴將點，代入中得，
解得，
∴，
令，解得，
∴與軸的交點坐標為．
故選：C．
3．（2024·天津·三模）已知直線向下平移5個單位后經過點，平移后的直線與x 軸的交點坐標為 ．
【答案】
【分析】本題考查的是一次函數的圖象的平移，一次函數的圖象上點的坐標特征，求一次函數與x軸的交點坐標，熟知函數圖象平移的法則是解答此題的關鍵．
直接根據“上加下減”的原則得到平移后的直線的解析式（用k表示），再把點代入求出k值，從而得出平移后的直線解析式，然后把代入所得的解析式解答即可．
【詳解】解：直線向下平移5個單位后，得
，
把點代入，得
解得：
∴
令，則
解得：，
∴平移后的直線與x 軸的交點坐標為．
4（2022·四川德陽·中考真題）如圖，已知點，，直線經過點．試探究：直線與線段有交點時的變化情況，猜想的取值范圍是 ．
【答案】或/或
【分析】根據題意，畫出圖象，可得當x=2時，y≥1，當x=-2時，y≥3，即可求解．
【詳解】解：如圖，
觀察圖象得：當x=2時，y≥1，
即，解得：，
當x=-2時，y≥3，
即，解得：，
∴的取值范圍是或．
故答案為：或
【點睛】本題主要考查了一次函數的圖象和性質，利用數形結合思想解答是解題的關鍵．
題型08 與一次函數有關的規律探究問題
1．（2024·四川內江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，軸，垂足為點，將繞點逆時針旋轉到的位置，使點的對應點落在直線上，再將繞點逆時針旋轉到的位置，使點的對應點也落在直線上，如此下去，……，若點的坐標為，則點的坐標為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平面直角坐標系、一次函數、旋轉的性質、勾股定理等知識點．找出點的坐標規律以及旋轉過程中線段長度的關系是解題的關鍵．
通過求出點的坐標，、、的長度，再根據旋轉的特點逐步推導出后續點的位置和坐標，然后結合圖形求解即可．
【詳解】 軸，點的坐標為，
，則點的縱坐標為3，代入，
得：，則點的坐標為．
，，
，
由旋轉可知，，，，
，，
，
．
設點的坐標為，
則，
解得或（舍去），則，
點的坐標為．
故選C．
2．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，函數和的圖象分別為直線，，過點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，，依次進行下去，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查一次函數圖象上點的特點；能夠根據作圖特點，發現坐標的規律是解題的關鍵．寫出一部分點的坐標，探索得到規律，，，，(是正整數)，，即可求解．
【詳解】解：依題意，當時，，則，
當時，，則，
當時，，則，
當時，，則，
依次得： ，，，，
由此發現規律：，，，，(是正整數)，
，
∴，即：，
故選：D．
3．（2024·山東東營·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知直線的表達式為，點的坐標為，以為圓心，為半徑畫弧，交直線于點，過點作直線的垂線交軸于點；以為圓心，為半徑畫弧，交直線于點，過點作直線的垂線交軸于點；以為圓心，為半徑畫弧，交直線于點，過點作直線的垂線交軸于點；……按照這樣的規律進行下去，點的橫坐標是 ．
【答案】
【分析】本題考查的是一次函數性質應用，等腰直角三角形的判定與性質及點的坐標規律問題，作軸于點H，依次求出，找出規律即可解決．
【詳解】解：作軸于點H，
均在直線上，
，
，
，，
，
，
，
，
，
同理，，
，
同理，
，
即點的橫坐標是，
故答案為：．
4．（2023·浙江臺州·一模）如圖，分別過點作x軸的垂線，交的圖象于點，交直線于點．則的值為 ．
【答案】
【分析】根據題意分別將，…代入解析式，求得與的坐標，的長，分別表示出所求式子的各項，拆項后抵消即可得到結果．
【詳解】解：根據題意得：把代入；中，
得到，，
∴，
∴，
同理，把代入，中，
得到，，
∴，
∴，
…
代入；中
得到，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】此題考查了二次函數和一次函數的點的坐標求法及數字型的規律探索，屬于規律型試題，找出題中的規律是解本題的關鍵．
5．（20-21八年級下·浙江臺州·階段練習）在軸正半軸上有個連續的整數點，它們的橫坐標依次為1，2，3，…，，分別過這些點作軸的垂線與三條直線，，相交，其中，則圖中陰影部分的面積總和是 ．
【答案】
【分析】分別把，，，...，代入解析式，求出梯形或三角形的邊長，根據面積公式求出即可．
【詳解】解：把分別代入，，得，
，，
∴，
同理，，， ，，...，
， ， ，，...，
∴圖中陰影部分的面積是：
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了一次函數和三角形的面積公式，會根據點的坐標求出所需要的線段的長度，靈活運用面積公式求解是關鍵．
題型09 與一次函數有關的新定義問題
1．（2020·山東濰坊·中考真題）若定義一種新運算：例如：；．則函數的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據，可得當時，，分兩種情況當時和當時，分別求出一次函數的關系式，然后判斷即可．
【詳解】解：當時，，
∴當時，，
即：，
當時，，
即：，∴，
∴當時，，函數圖像向上，隨的增大而增大，
綜上所述，A選項符合題意，
故選：A．
【點睛】本題考查了一次函數的圖象，能在新定義下，求出函數關系式是解題的關鍵
2．（2024·江蘇蘇州·一模）現定義一種新的距離：對于平面直角坐標系內的點，，將稱作P、Q兩點間的“拐距”，記作，即，已知點，動點B在直線上，橫坐標為，當取得最小值時，應滿足的條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了新定義，用到了一次函數的性質、一元一次不等式的應用等知識，先求出，根據m的取值范圍分三種情況進行討論即可得到答案.
【詳解】解：∵動點B在直線上，橫坐標為m，
∴點B的坐標為，
∵點A的坐標為
∴，
當時，，
當時，，
當時，，
∴當取得最小值時，應滿足的條件是，
故選：C
3．（2024·河南商丘·模擬預測）定義：若一個函數圖象上存在橫坐標是縱坐標2倍的點，則稱該點為這個函數圖象的“倍值點”．下列函數圖象上不存在“倍值點”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了新概念，函數圖象上點的坐標特征，解方程等知識，理解新概念“倍值點”是關鍵．根據題意，存在“倍值點”的函數圖象上點滿足，即為；把此點坐標分別代入四個選項中的函數式中，若方程無解則函數圖象上不存在“倍值點”，即可求解．
【詳解】解：根據題意，存在“倍值點”的函數圖象上點滿足．
把點代入，得，此方程無解；
把點代入，得，解得或；
把點代入，得，解得或；
把點代入，得，等式恒成立，可為任意值，
故選A．
4．（2024·四川成都·模擬預測）定義：在平面直角坐標系中，若點滿足，則稱點為“積和點”．例如：，就是“積和點”．若直線上所有的點中只有唯一一個“積和點”，則 ．
【答案】0或4
【分析】本題考查了一次函數圖象上點的特征和一元二次方程根的判別式，設直線上所有的點中唯一一個“積和點”為點，根據“積和點”定義可得，再由唯一一個“積和點”可知關于a的方程只有一個解，一元二次方程的根判別式等于0即可求解．
【詳解】解：設直線上所有的點中唯一一個“積和點”為點，依題意得：，
代入得：，
整理得：，
由點是唯一一個“積和點”可知：，解得：，．
故答案為：0或4．
題型10 以開放性試題的形式考查一次函數
1．（2023·山東·中考真題）一個函數過點，且隨增大而增大，請寫出一個符合上述條件的函數解析式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據題意及函數的性質可進行求解．
【詳解】解：由一個函數過點，且隨增大而增大，可知該函數可以為（答案不唯一）；
故答案為（答案不唯一）．
【點睛】本題主要考查正比例函數的性質，熟練掌握正比例函數的性質是解題的關鍵．
2．（2024·內蒙古包頭·中考真題）在平面直角坐標系中，若一次函數的圖象經過第一、二、三象限，請寫出一個符合該條件的一次函數的表達式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查的是一次函數的性質，能根據題意判斷出k、b的符號是解答此題的關鍵．先根據一次函數的圖象經過一、二、三象限判斷出函數k及b的符號，再寫出符合條件的一次函數解析式即可．
【詳解】解：設一次函數的解析式為，
∵一次函數的圖象經過一、二、三象限，
∴，
∴符合該條件的一個一次函數的表達式是：（答案不唯一）．
故答案為：（答案不唯一）．
3．（2024·山東濰坊·中考真題）請寫出同時滿足以下兩個條件的一個函數： ．
①隨著的增大而減??；②函數圖象與軸正半軸相交．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查了一次函數的圖象和性質，一次函數中的隨著的增大而減小可得，再根據函數圖象與軸正半軸相交可得，據此即可求解，掌握一次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵隨著的增大而減小，
∴一次函數的比例系數，
又∵函數圖象與軸正半軸相交，
∴，
∴同時滿足以下兩個條件的一次函數可以是，
故答案為：（答案不唯一）．
4．（2024·四川自貢·中考真題）一次函數的值隨的增大而增大，請寫出一個滿足條件的的值 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查了一次函數的性質，根據一次函數)的值隨的增大而增大，得出，寫一個滿足條件的的值即可，根據的正負性判斷函數增減性是解題的關鍵．
【詳解】解：∵的值隨x的增大而增大，
∴，
∴，
∴的值可以為：，
故答案為：（答案不唯一）．
命題點二 一次函數與方程，不等式
題型01 求兩直線與坐標軸圍成的圖形面積
類型一 一直線與坐標軸圍成的面積
解題大招：一直線與坐標軸圍成的面積為
類型二 兩直線與一坐標軸圍成的面積
圖示：
解題方法：
1）求兩個一次函數的交點，聯立方程組，解方程組；
2）求直線和x軸或y軸的交點;
3）如圖一，若求與x軸圍成的圖形面積(即△ABD的面積)，則以在x軸上的線段AB為底，高即為D點到x軸的距離，然后利用面積公式求出面積;
4）如圖二，若求與y軸圍成的圖形面積(即△CDE的面積)，則以在y軸上的線段CE為底，高即為D點到y軸的距離，然后利用面積公式求出面積.
1．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，一次函數的圖象經過兩點，交軸于點，則的面積為 ．
【答案】9
【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求一次函數解析式以及三角形的面積．根據點A，B的坐標，利用待定系數法可求出直線的解析式，得出點C的坐標及的長，再利用三角形的面積公式即可求出的面積．
【詳解】解：將代入，得：，
解得：，
∴直線的解析式為．
當時，，解得：，
∴點C的坐標為，，
∴．
故答案為：9．
2．（2021·陜西西安·模擬預測）如圖，一次函數的圖象分別與軸、軸交于點、點，與正比例函數的圖象交于點，則與的面積比為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】利用一次函數的性質得到A，B，C的坐標，即可求解．
【詳解】解：∵一次函數的圖象分別與軸、軸交于點、點，
∴,，
∵一次函數與正比例函數的圖象交于點，
∴ 可得，
∴的面積為，的面積為，
∴與的面積比為，
故選：A．
【點睛】本題考查一次函數的圖象與性質，掌握一次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
3．（2024·江蘇南通·中考真題）平面直角坐標系中，已知，．直線（k，b為常數，且）經過點，并把分成兩部分，其中靠近原點部分的面積為，則k的值為 ．
【答案】/0.6
【分析】本題主要考查了一次函數的綜合問題，根據題意畫出圖形，求待定系數法求出的解析式，再根據直線經過點，求出，聯立兩直線求出點D的坐標，再根據靠近原點部分的面積為為等量關系列出關于k的等式，求解即可得出答案．
【詳解】解：根據題意畫出圖形如下，
設直線的解析式為：，
把，代入，
可得出：，
解得：，
∴直線的解析式為：，
∵直線經過點，
∴，
∴，
∴直線，
聯立兩直線方程：，
解得：，
∴
∵，，
∴，，
根據題意有：，
即，
，
解得：,
故答案為：．
4．（2023·浙江·模擬預測）一次函數與坐標軸圍成的三角形的面積為2，則k的值為 ．
【答案】或
【分析】
本題考查了一次函數圖像與坐標軸圍成的三角形面積問題，關鍵點在于一次函數與坐標軸交點的求解．
先求出與坐標軸交點，繼而得到直角三角形的底和高，然后列出含有k的絕對值方程，再求解即可．
【詳解】解：當時，與x軸交點為 ，
當時，與x軸交點為，
∴，
解得：．
故答案為：或．
5．（2024·廣東清遠·模擬預測） 與的圖象交于點M，設點M的坐標為，求邊長分別為 m、n的矩形面積．
【答案】8
【分析】本題考查了兩直線的交點，矩形的面積．熟練掌握兩直線的交點，矩形的面積是解題的關鍵．
聯立得，可求，則點M的坐標為，即，進而可求矩形的面積．
【詳解】解：聯立得，
解得，
∴點M的坐標為，即，
∴，
∴邊長分別為 m、n的矩形面積為8．
6．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線：與y軸交于點A，直線與y軸，x軸交于點B，點C，與交于點，連接，已知的長為4．
(1)求點D的坐標及直線的解析式；
(2)求的面積；
(3)若直線上有一點P使得的面積等于的面積，直接寫出點P的坐標．
【答案】(1)，直線的解析式為
(2)
(3)或
【分析】本題主要考查了一次函數的性質及三角形面積的計算，解題的關鍵是數形結合．
（1）把代入，即可求出坐標，再根據點和用待定系數法即可求出函數解析式；
（2）先求出，再根據圖象即可求解；
（3）設，根據或即可求解；
【詳解】（1）解：∵，
∴將點代入得，
∴；
∵的長為4，
∴，
設直線的解析式為，
將點和代入得：
，
解得：，
故直線的解析式為；
（2）解：令，得，
，
；
（3）解：根據題意得：，
設，
令，得，
，
如圖：
，
解得：，
或，
解得：，
故或．
題型02 探究一次函數與方程、不等式的關系
1．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知一次函數的圖象分別與x、y軸交于A、B兩點，若，，則關于x的方程的解為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了一次函數與一元一次方程之間的關系，難度不大，認真分析題意即可．
根據一次函數與軸交點坐標可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵一次函數的圖象與軸交于點，
∴當時，，即時，，
∴關于的方程的解是．
故答案為：．
2．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，函數與的圖象交于點.
(1)求，的值；
(2)當時，對于的每一個值，函數的值既大于函數的值，也大于函數的值，直接寫出的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了待定系數法求函數解析式，一次函數圖象平行的條件，利用數形結合的思想是解決本題的關鍵．
（1）將代入先求出k，再將和k的值代入即可求出b；
（2）根據數形結合的思想解決，將問題轉化為當時，對于的每一個值，直線的圖象在直線和直線的上方，畫出臨界狀態圖象分析即可．
【詳解】（1）解：由題意，將代入得：，
解得：，
將，，代入函數中，
得：，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴兩個一次函數的解析式分別為，
當時，對于的每一個值，函數的值既大于函數的值，也大于函數的值，
即當時，對于的每一個值，直線的圖象在直線和直線的上方，則畫出圖象為：
由圖象得：當直線與直線平行時符合題意或者當與x軸的夾角大于直線與直線平行時的夾角也符合題意，
∴當直線與直線平行時，，
∴當時，對于的每一個值，直線的圖象在直線和直線的上方時，，
∴m的取值范圍為．
3．（2022·湖北荊門·中考真題）已知關于x的不等式組（a＞﹣1）．
(1)當a＝時，解此不等式組；
(2)若不等式組的解集中恰含三個奇數，求a的取值范圍．
【答案】(1)﹣2＜x＜4
(2)0＜a≤1
【分析】（1）把a的值代入再求解；
（2）先解不等式組可得 2a 1＜x＜2a＋3，然后令b1＝ 2a 1，b2＝2a＋3，畫出函數圖象并求出臨界情況下a的值，然后結合題意得出a的取值范圍．
【詳解】（1）解：當a＝時，不等式組化為：，
解得： 2＜x＜4；
（2）解不等式組得： 2a 1＜x＜2a＋3，
令b1＝ 2a 1，b2＝2a＋3，
函數圖象如圖所示，
當a＝0時，b1＝3，b2＝－1，此時為有1個奇數解和3個奇數解的臨界情況，
當a＝1時，b1＝－3，b2＝5，此時為有3個奇數解和5個奇數解的臨界情況，
∵ 2a 1＜x＜2a＋3，且不等式組的解集中恰含三個奇數，
∴0＜a≤1．
【點睛】本題考查了不等式組的解法，利用一次函數圖象求不等式解集，靈活運用數形結合思想是解題的關鍵．
4．（2020·山東濱州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與直線相交于點P，并分別與x軸相交于點A、B．
（1）求交點P的坐標；
（2）求PAB的面積；
（3）請把圖象中直線在直線上方的部分描黑加粗，并寫出此時自變量x的取值范圍．
【答案】（1）；（2）3；（3）
【分析】（1）解析式聯立，解方程組即可求得交點P的坐標；
（2）求得A、B的坐標，然后根據三角形面積公式求得即可；
（3）根據圖象求得即可．
【詳解】解:根據題意，交點的橫、縱坐標是方程組的解
解這個方程組，得
交點的坐標為
直線與軸的交點的坐標為
直線與軸交點的坐標為
的面積為
在圖象中把直線在直線上方的部分
描黑加粗，圖示如下:
此時自變量的取值范圍為
【點睛】本題考查了兩條直線平行或相交問題，兩條直線的交點坐標是兩條直線的解析式構成的方程組的解．
命題點三 一次函數與幾何綜合
題型01 一次函數、反比例函數、二次函數圖像綜合判定
1．（2024·內蒙古·中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數和的圖象大致如圖所示，則函數的圖象大致為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了一次函數、反比例函數、二次函數的圖象，熟練掌握各函數的圖象特點是解題關鍵．先根據一次函數與反比例函數的圖象可得，，再根據二次函數的圖象特點即可得．
【詳解】解：∵一次函數的圖象經過第一、二、四象限，
∴，即，
∵反比例函數的圖象位于第二、四象限，
∴，即，
∴函數的開口向下，與軸的交點位于軸的正半軸，對稱軸為直線，
故選：D．
2．（2024·黑龍江大慶·中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數與的大致圖象為（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數圖象，根據一次函數與反比例函數的性質，逐項分析判斷，即可求解．
【詳解】解：∵
當時，一次函數經過第一、二、三象限，
當時，一次函數經過第一、三、四象限
A.一次函數中，則當時，函數圖象在第四象限，不合題意，
B.一次函數經過第二、三、四象限，不合題意，
一次函數中，則當時，函數圖象在第一象限，故C選項正確，D選項錯誤，
故選：C．
3．（2023·河南·中考真題）二次函數的圖象如圖所示，則一次函數的圖象一定不經過（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根據二次函數圖象的開口方向、對稱軸判斷出、的正負情況，再由一次函數的性質解答．
【詳解】解：由圖象開口向下可知，
由對稱軸，得．
∴一次函數的圖象經過第一、二、三象限，不經過第四象限．
故選：D．
【點睛】本題考查二次函數圖象和一次函數圖象的性質，解答本題的關鍵是求出、的正負情況，要掌握它們的性質才能靈活解題，此題難度不大．
題型02 與一次函數有關的圖形變化問題
1．（2023·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標系中．將函數的圖象繞坐標原點逆時針旋轉，再向上平移1個單位長度，所得直線的函數表達式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出函數的圖象繞坐標原點逆時針旋轉的函數解析式，再根據函數圖象的平移規律即可求出平移后的解析式．
【詳解】解：∵點是函數圖象上的點，
∴將繞原點逆時針旋轉，則旋轉后圖象經過原點和、
∴將函數的圖象繞坐標原點逆時針旋轉得到圖象的解析式為，
∴根據函數圖象的平移規律，再將其向上平移1個單位后的解析式為．
故選A．
【點睛】本題考查了繞坐標原點逆時針旋轉坐標變化的規律和一次函數平移的規律，解題關鍵是根據繞坐標原點逆時針的得到圖象函數解析式為．
2．（2021·陜西西安·模擬預測）在平面直角坐標系中，直線與關于直線對稱，若直線的表達式為，則直線與y軸的交點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求解與軸的交點坐標，再求解關于的對稱點的坐標即可得到答案．
【詳解】解：如圖， ，
令 令
作關于直線對稱的點
直線與關于直線對稱，即上圖中的直線與直線關于直線對稱，
所以直線與y軸的交點坐標為：
故選：
【點睛】本題考查的是求解一次函數與坐標軸的交點的坐標，坐標與圖形，軸對稱的坐標變化，掌握數形結合的方法是解題的關鍵．
3．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，直線與軸、軸分別相交于點，，將繞點逆時針方向旋轉得到，則點的坐標為 ．
【答案】
【分析】本題考查一次函數圖象與坐標軸的交點，旋轉的性質，正方形的判定和性質等，延長交y軸于點E，先求出點A和點B的坐標，再根據旋轉的性質證明四邊形是正方形，進而求出和的長度即可求解．
【詳解】解：如圖，延長交y軸于點E，
中，令，則，令，解得，
，，
，，
繞點逆時針方向旋轉得到，
，，，
四邊形是正方形．
，
，
點的坐標為．
故答案為：．
4．（2023·內蒙古通遼·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知點，點，以點P為中心，把點A按逆時針方向旋轉得到點B，在，，，四個點中，直線經過的點是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據含角的直角三角形的性質可得，利用待定系數法可得直線的解析式，依次將四個點的一個坐標代入中可解答．
【詳解】解：∵點，點，

∴軸，，
由旋轉得：，
如圖，過點B作軸于C，
∴，
∴，
∴），
設直線的解析式為：，
則，
∴，
∴直線的解析式為：，
當時，，
∴點不在直線上，
當時，，
∴在直線上，
當時，
∴不在直線上，
當時，，
∴不在直線上．
故選：B．
【點睛】本題考查的是圖形旋轉變換，待定系數法求一次函數的解析式，確定點B的坐標是解本題的關鍵．
題型03 與一次函數有關的動點問題
1．（2022·山東聊城·中考真題）如圖，一次函數的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，點是x軸上一點，點E，F分別為直線和y軸上的兩個動點，當周長最小時，點E，F的坐標分別為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】作C（2，0）關于y軸的對稱點G（2，0），作C（2，0）關于直線y=x+4的對稱點D，連接AD，連接DG交AB于E，交y軸于F，此時△CEF周長最小，由y=x+4得A（-4，0），B（0，4），∠BAC=45°，根據C、D關于AB對稱，可得D（-4，2），直線DG解析式為，即可得，由，得．
【詳解】解：作關于軸的對稱點，作關于直線的對稱點D，連接AD，連接DG交AB于E，交軸于F，如圖：
∴，，
∴，此時周長最小，
由得，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵C、D關于AB對稱，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由，可得直線DG解析式為，
在中，令得，
∴，
由，得，
∴，
∴的坐標為，的坐標為，
故選：C．
【點睛】本題考查與一次函數相關的最短路徑問題，解題的關鍵是掌握用對稱的方法確定△CEF周長最小時，E、F的位置．
2．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，的圓心為，半徑為，是直線上的一個動點，過點作的切線，切點為，則的最小值為
【答案】
【分析】記直線與x，y軸分別交于點A，K，連接；由直線解析式可求得點A、K的坐標，從而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，則當最小時，最小，點P與點K重合，此時最小值為，由勾股定理求得的最小值，從而求得結果．
【詳解】解：記直線與x，y軸分別交于點A，K，連接，
當，，當，即，
解得：，
即；
而，
∴，
∴均是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵與相切，
∴，
∴，
∵，
∴當最小時即最小，
∴當 時，取得最小值，
即點P與點K重合，此時最小值為，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴最小值為．
【點睛】本題考查了圓的切線的性質，勾股定理，一次函數與坐標軸的交點問題，垂線段最短，正確添加輔助線是解題的關鍵．
3．（2023·遼寧大連·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，直線與直線相交于點A．為線段上一動點（不與點B重合），過點P作軸交直線于點D，與的重疊面積為S，S關于t的函數圖象如圖2所示．

(1)的長為 ___________；的面積為 ___________；
(2)求S關于t的函數解析式，并直接寫出自變量t的取值范圍．
【答案】(1)4，
(2)
【分析】（1）由時，P與O重合，得，時，P與B重合，得；
（2）設，由，即，得到，則；分兩種情況：當時，設交于E，可得，得到，則；當時，求出直線AB解析式為，可得，由得，故．
【詳解】（1）解：當時，P與O重合，此時，
當時，，P與B重合，
∴，，
∴的長為4，的面積為，
故答案為：4，；
（2）∵A在直線上，
∴，
設，
∴，即，
∴，
∴；
當時，設交于E，如圖：

∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
當時，如圖：

設直線解析式為，把，代入得
，
解得，
∴直線解析式為，
當時，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
綜上所述，．
【點睛】本題考查動點問題的函數圖象，涉及銳角三角函數，待定系數法，等腰直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是從函數圖象中獲取有用的信息．
4．（2023·重慶·中考真題）如圖，是邊長為4的等邊三角形，動點E，F分別以每秒1個單位長度的速度同時從點A出發，點E沿折線方向運動，點F沿折線方向運動，當兩者相遇時停止運動．設運動時間為t秒，點E，F的距離為y．

(1)請直接寫出y關于t的函數表達式并注明自變量t的取值范圍；
(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數的圖象，并寫出該函數的一條性質；
(3)結合函數圖象，寫出點E，F相距3個單位長度時t的值．
【答案】(1)當時，；當時，；
(2)圖象見解析，當時，y隨x的增大而增大
(3)t的值為3或
【分析】（1）分兩種情況：當時，根據等邊三角形的性質解答；當時，利用周長減去即可；
（2）在直角坐標系中描點連線即可；
（3）利用分別求解即可．
【詳解】（1）解：當時，
連接，

由題意得，，
∴是等邊三角形，
∴；
當時，；

（2）函數圖象如圖：

當時，y隨t的增大而增大；
（3）當時，即；
當時，即，解得，
故t的值為3或．
【點睛】此題考查了動點問題，一次函數的圖象及性質，解一元一次方程，正確理解動點問題是解題的關鍵．
題型04 一次函數與三角形、四邊形、圓綜合
1．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點在軸負半軸上，頂點在直線上，若點的橫坐標是8，為點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過點B作軸，垂足為點D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性質得到軸，最后由平移即可求解．
【詳解】解：過點B作軸，垂足為點D，
∵頂點在直線上，點的橫坐標是8，
∴，即，
∴，
∵軸，
∴由勾股定理得：，
∵四邊形是菱形，
∴軸，
∴將點B向左平移10個單位得到點C，
∴點，
故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數的圖像，勾股定理，菱形的性質，點的坐標平移，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．
2．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，C、D是半徑為1的上兩動點，且，P為弦CD的中點．當C、D兩點在圓上運動時，面積的最大值是（ ）

A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【分析】根據一次函數與坐標軸的交點得出，確定，再由題意得出當的延長線恰好垂直時，垂足為點E，此時即為三角形的最大高，連接，利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：∵直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴當時，，當時，，
∴，
∴，
∴，
∵的底邊為定值，
∴使得底邊上的高最大時，面積最大，
點P為的中點，當的延長線恰好垂直時，垂足為點E，此時即為三角形的最大高，連接，

∵，的半徑為1，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
【點睛】題目主要考查一次函數的應用及勾股定理解三角形，垂徑定理的應用，理解題意，確定出高的最大值是解題關鍵．
3．（2024·四川廣安·中考真題）已知，直線與軸相交于點，以為邊作等邊三角形，點在第一象限內，過點作軸的平行線與直線交于點，與軸交于點，以為邊作等邊三角形（點在點的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形，等邊三角形，則點的橫坐標為 ．
【答案】
【分析】直線直線可知，點坐標為，可得，由于是等邊三角形，可得點，把代入直線解析式即可求得的橫坐標，可得，由于是等邊三角形，可得點；同理，，發現規律即可得解，準確發現坐標與字母的序號之間的規律是解題的關鍵．
【詳解】解：∵直線l：與x軸負半軸交于點，
∴點坐標為，
∴，
過，，作軸交x軸于點M，軸交于點D，交x軸于點N，

∵為等邊三角形，
∴
∴，
∴
∴，
當時，，解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴當時，，解得：，
∴；
而，
同理可得：的橫坐標為，
∴點的橫坐標為，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了一次函數圖象上點的坐標的特征，勾股定理的應用，等邊三角形的性質，特殊圖形點的坐標的規律，掌握探究的方法是解本題的關鍵.
4．（2023·浙江紹興·中考真題）如果兩點到一條直線的距離相等，則稱該直線為“兩點的等距線”．
(1) 如圖1，直線經過線段的中點P，試說明直線是點A，B的一條等距線．
(2)如圖2，是正方形網格中的三個格點，請在網格中作出所有的直線m，使直線m過點C且直線m是“兩點的等距線”．
(3)如圖3，中，，則在坐標軸上是否存在點P，使？若存在，試求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)存在，
【分析】本題是三角形綜合題，考查了點到直線的距離、全等三角形的判定與性質，待定系數法，一次函數解析式與坐標軸的交點等知識．
（1）分別作，，垂足為E，F，利用證明，得到即可證明直線是點A、B的一條等距線；
（2）根據兩點等距線的定義作圖，連接中點與組成的直線或者過作的平行線即可；
（3）由可得A、B兩點到直線的距離相等，再分兩類進行討論，由待定系數求出直線解析式即可求出點P的坐標．
【詳解】（1）證明：分別過A，B兩點作，垂足分別為E，F．
，
是的中點，
，
在和中，
，
，
即直線是點A，B的一條等距線；
（2）如圖，直線就是所有的直線，
（3）設直線的解析式為，
，
∴解得：
∴直線的解析式為．
，
兩點到直線的距離相等，
∴或過中點，
如圖，當時，可設直線的解析式為，代入得，解得，
∴直線的解析式為，
∴直線與坐標軸的交點為；
②當直線過中點時，
，
∴中點E的坐標為，
∴設直線的函數解析式為，
代入，得，解得：，
∴直線的函數解析式為，
∴直線與坐標軸的交點為．
綜上所述，滿足條件的點P的坐標為．
5．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸的正半軸交于點A，與y軸的負半軸交于點D，點B在x軸的正半軸上，四邊形是平行四邊形，線段的長是一元二次方程的一個根．請解答下列問題：
(1)求點D的坐標；
(2)若線段的垂直平分線交直線于點E，交x軸于點F，交于點G，點E在第一象限，，連接，求的值；
(3)在（2）的條件下，點M在直線上，在x軸上是否存在點N，使以E、M、N為頂點的三角形是直角邊比為1∶2的直角三角形？若存在，請直接寫出的個數和其中兩個點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，12個，
【分析】（1）先解方程求出，然后求出直線解析式即可求得點D的坐標；
（2）過點E作于點H，求出，然后證明，即可得到，然后求出得正切值即可；
（3）利用分類討論畫出圖形，利用勾股定理解題即可．
【詳解】（1）解：解方程得，，
∴，即點A的坐標為，
把代入得，
∴，點D的坐標為；
（2）解：過點E作于點H，
∵，
∴，，
∴，
又∵是平行四邊形，
∴，，
∵是的垂直平分線，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如圖，當時，有個，
解：∵，
∴，
由（2）得，，
∴，
∴點N得坐標為；
當時，有個，如圖，
當時，有個，如圖，
∵，
∴，
∴，
∴點與O重合，
故點得坐標為，
綜上所述，點的個數為個，和點N的坐標為或．
【點睛】本題考查解一元二次方程，直線的解析式，平行四邊形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，掌握等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．
6．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點B，C在x軸上，D在y軸上，，的長是方程的兩個根（）．請解答下列問題：
(1)求點B的坐標；
(2)若，直線分別交x軸、y軸、于點E，F，M，且M是的中點，直線交延長線于點N，求的值；
(3)在（2）的條件下，點P在y軸上，在直線EF上是否存在點Q，使是腰長為5的等腰三角形？若存在，請直接寫出等腰三角形的個數和其中兩個點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，等腰三角形的個數是8個，，， ，
【分析】（1）解方程得到，的長，從而得到點B的坐標；
（2）由，，得．由，是中點，得到點M的坐標，代入直線中，求得b的值，從而得到直線的解析式，進而求得點E，點F的坐標，由坐標特點可得．過點C作于H，過點N作于K．從而，，進而得到，易證，可得，因此，由可得，，，從而通過解直角三角形在中，得到，在中，，因此求得，最終可得結果；
（3）分，，三大類求解，共有8種情況．
【詳解】（1）解方程，得，．
，
，．
；
（2），
．
四邊形是平行四邊形，
，．
是中點，
．
．
將代入，得．
．
，．
．
過點C作于H，過點N作于K．
，．
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴，，
∴在中，
在中，
∴
∴
（3）解：由（2）知：直線解析式為，，
設，，
①當時，
，，
解得或，或，
∴，，，，
如圖，、、、都是以5為腰的等腰三角形，
；
②當時，
由①知：，，
∵，
∴不可能等于5，
如圖，，都是以5為腰的等腰三角形，
；
③當時，
由①知：，，
當時，，
解得（舍去），，
∴，
如圖，
當時，，
解得（舍去），，
∴，
如圖，
綜上，等腰三角形的個數是8個，
符合題意的Q坐標為，， ，
【點睛】本題考查了一次函數的圖像與性質，一次函數與平行四邊形，等腰三角形的綜合問題，數形結合思想是解題的關鍵．第三章 函數
第10講 一次函數的圖像與性質
（思維導圖+3考點+3命題點16種題型（含2種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 一次函數的基礎
考點二 一次函數的圖像與性質
考點三 一次函數與方程（組）、不等式
04題型精研·考向洞悉
命題點一 一次函數的圖像與性質
題型01 一次函數的定義
題型02 判斷一次函數的圖像
題型03 正比例函數的性質
題型04 探究一次函數經過的象限與系數之間的關系
題型05 探究一次函數的增減性與系數之間的關系
題型06 求一次函數解析式
題型07 一次函數與坐標軸交點問題
題型08 與一次函數有關的規律探究問題
題型09 與一次函數有關的新定義問題
題型10 以開放性試題的形式考查一次函數
命題點二 一次函數與方程，不等式
題型01 求兩直線與坐標軸圍成的圖形面積
題型02 探究一次函數與方程、不等式的關系
命題點三 一次函數與幾何綜合
題型01 一次函數、反比例函數、二次函數圖像綜合判定
題型02 與一次函數有關的圖形變化問題
題型03 與一次函數有關的動點問題
題型04 一次函數與三角形、四邊形、圓綜合
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
一次函數的圖像與性質 ★★ 理解正比例函數； 能畫一次函數的圖像，根據圖像和表達式y=kx+b(k≠0) 探索并理解k>0和k＜0時圖像的變化情況.
一次函數的增減性 ★★
一次函數的圖像變換 ★★
一次函數的解析式的確定 ★★ 會運用待定系數法確定一次函數的表達式.
一次函數與方程（組）結合 ★★ 體會一次函數與二元一次方程的關系.
一次函數與不等式（組）結合 ★★
【考情分析】一次函數是初中三大函數之一，一次函數的圖像是一條直線，直線的位置和傾斜角度由一次函數解析式中的系數確定，可以利用“待定系數法”確定函數解析式，因為兩點確定一條直線，所以已知兩點的坐標即可求出一次函數解析式，一次函數的圖像和性質是中考必考內容。 【命題預測】一次函數的圖像與性質是中考數學中比較重要的一個考點，也是知識點牽涉比較多的考點.各地對一次函數的圖像與性質的考察也主要集中在一次函數表達式與平移、圖像的性質、圖像與方程不等式的關系以及一次函數圖像與幾何圖形面積等五個方面，年年考查，總分值為10分左右，也因為一次函數是一個結合型比較強的知識點，所以其圖像和性質也是后續函數問題學習的一個基礎.故考生在復習這塊知識點時，需要特別熟記對應考點的方法規律. 【備考建議】在中考數學中，關于函數的基本知識的命題預測通常會涵蓋以下幾個方面：函數定義和性質、函數圖像、函數的應用等.針對這些可能的命題方向，給出以下建議：熟練掌握函數的基本概念和性質、學會繪制函數圖像、注重函數的應用.
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 一次函數的基礎
1.一次函數的基礎
正比例函數的定義：一般地，形如的函數，叫做正比例函數，其中k叫做比例系數.
一次函數的定義：一般地，形如的函數，叫做一次函數.
【補充】正比例函數是一次函數的特例（當b=0時），即正比例函數是一次函數，而一次函數不一定是正比例函數.
一次函數的一般形式：.
特征：1）k≠0；2）x的次數為1；3）常數b可以取任意實數.
【注意】一般地，一次函數中自變量x的取值范圍是任意實數，但在實際問題中x的取值范圍要根據具體問題的實際意義來確定.
2.待定系數法
待定系數法：先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知的系數，從而得出函數解析式的方法叫做待定系數法.
用待定系數法確定一次函數解析式的一般步驟：
1）設：設一次函數的解析式為；
2）列：將已知條件代入解析式，列出關于k、b的二元一次方程組；
3）解：解二元一次方程組，求出k、b；
4）代：將k、b的值代回所設的函數解析式中.
1．（2023·四川樂山·中考真題）下列各點在函數圖象上的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山東濟南·中考真題）某學校要建一塊矩形菜地供學生參加勞動實踐，菜地的一邊靠墻，另外三邊用木欄圍成，木欄總長為40m．如圖所示，設矩形一邊長為xm，另一邊長為ym，當x在一定范圍內變化時，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數關系是（ ）
A．正比例函數關系 B．一次函數關系
C．反比例函數關系 D．二次函數關系
3．（2020·安徽·中考真題）已知一次函數的圖象經過點，且隨的增大而減小，則點的坐標可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·甘肅蘭州·模擬預測）若函數是正比例函數，且圖象經過第一、三象限，則（　?。?br/>A．2 B． C． D．3
5．（2023·湖北鄂州·中考真題）象棋起源于中國，中國象棋文化歷史悠久．如圖所示是某次對弈的殘圖，如果建立平面直角坐標系，使棋子“帥”位于點的位置，則在同一坐標系下，經過棋子“帥”和“馬”所在的點的一次函數解析式為（　　）

A． B． C． D．
考點二 一次函數的圖像與性質
1.正比例函數的圖像與性質
正比例函數的圖像：正比例函數的圖像是經過原點（0，0）的一條直線.
正比例函數的性質：
k的符號 圖像 圖像的位置 增減性
k＞0 圖像經過原點 和第一、三象限 y隨x增大而增大
k＜0 圖像經過原點 和第二、四象限 y隨x增大而減小
【補充】正比例函數必過點（0,0）、（1，k）.
2.一次函數的圖像與性質
一次函數的圖像：一次函數的圖像是一條直線，通常也稱直線.
一次函數的性質：
一次函數
k、b 的符號 k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
圖像
趨勢 從左向右看圖像呈上升趨勢 從左向右看圖像呈下降趨勢
增減性 y隨x增大而增大 y隨x增大而減小
與y軸交點的位置 正半軸 原點 負半軸 正半軸 原點 負半軸
經過 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限
【補充說明】
1）一次函數的位置由k、b共同決定，k的符號決定一次函數的增減性，b的符號決定一次函數與y軸的交點位置.
2）
的三角形面積為.
3.k，b的符號與直線的關系
在直線中，令y=0，則x=，即直線與x軸交于
1）當時，即k，b異號時，直線與x軸交于正半軸．
2）當，即b=0時，直線經過原點．
3）當，即k，b同號時，直線與x軸交于負半軸．
4.正比例函數與一次函數圖像的關系
圖像關系：正比例函數的圖像是經過原點的一條直線，一次函數的圖像可由正比例函數的圖像平移|b|個單位長度得到.（當b＞0時，向上平移；當b＜0時，向下平移）
常見的變換方式：
平移變換 平移方式（m＞0） 函數解析式
向上平移m個單位
向下平移m個單位
向左平移m個單位
向右平移m個單位
平移口訣：左加有減（只改變x），上加下減（只改變y）.
對稱變換 變換方式 變換后
關于x軸對稱
關于y軸對稱
關于原點對稱
對稱口訣：關于誰對稱誰不變，關于原點對稱都改變.
1．（2024·四川德陽·中考真題）正比例函數的圖象如圖所示，則的值可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南長沙·中考真題）對于一次函數，下列結論正確的是（ ）
A．它的圖象與y軸交于點 B．y隨x的增大而減小
C．當時， D．它的圖象經過第一、二、三象限
3．（2024·西藏·中考真題）將正比例函數的圖象向上平移3個單位長度后得到函數圖象的解析式為 ．
4．（2024·江蘇鎮江·中考真題）點、在一次函數的圖像上，則 （用“”、“”或“”填空）．
5．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）若正比例函數的圖像經過點，則y的值隨x的增大而 ．（選填“增大”或“減小”）
考點三 一次函數與方程（組）、不等式
1.一次函數與一元一次方程
從“數”上看：方程的解 函數中，y=0時對應的x的值
從“形”上看：方程的解 函數的圖像與x軸交點的橫坐標.
【補充】對于一次函數，已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值時，就是把問題轉化為關于y或x的一元一次方程來求解.
2.一次函數與二元一次方程組
從“數”的角度看：解二元一次方程組相當于考慮自變量為何值時，兩個函數的值相等，以及這兩個函數值是何值；
從“形”的角度看：解二元一次方程組相當于確定兩條直線的交點坐標，一般地，如果一個二元一次方程組有唯一解，那么這個解就是方程組對應的兩條直線的交點坐標.
【補充】
1）二元一次方程組的圖像解法：畫出兩個一次函數的圖像，找出它們的交點坐標，即得相應的二元一次方程組的解.
2）確定兩條直線交點坐標的方法：聯立兩個一次函數的解析式，構建二元一次方程組，通過解方程組，即可確定兩條直線的交點坐標.
3.一次函數與一元一次不等式
從“數”的角度看：解一元一次不等式就是尋求使一次函數的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；
從“形”的角度看：就是確定直線在x軸上（或下）方部分的點的橫坐標滿足的條件.
利用解一元一次不等式可確定相應的函數值對應的自變量的取值范圍，具體的對應關系如下：
1）不等式的解集直線在x軸上方的部分所對應的x的取值范圍；
2）不等式的解集直線在x軸下方的部分所對應的x的取值范圍；
3）不等式的解集直線在直線上方的部分所對應的x的取值范圍；
4）不等式的解集直線在直線下方的部分所對應的x的取值范圍.
【補充】不解不等式而直接寫出不等式解集的方法：
1）根據圖像，求出兩直線的交點的橫坐標;
2）交點是分水嶺，交點左右，哪個圖像在上方哪個圖像就大，反之亦然.
1．（2024·廣東·中考真題）已知不等式的解集是，則一次函數的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）點在直線上，坐標是二元一次方程的解，則點的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023·寧夏·中考真題）在同一平面直角坐標系中，一次函數與的圖象如圖所示，則下列結論錯誤的是（ ）
A．隨的增大而增大
B．
C．當時，
D．關于，的方程組的解為
4．（2023·內蒙古·中考真題）如圖，直線與雙曲線交于點和點，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．（2022·貴州貴陽·中考真題）在同一平面直角坐標系中，一次函數與的圖象如圖所示，小星根據圖象得到如下結論：
①在一次函數的圖象中，的值隨著值的增大而增大；
②方程組的解為；
③方程的解為；
④當時，．
其中結論正確的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
04題型精研·考向洞悉
命題點一 一次函數的圖像與性質
題型01 一次函數的定義
1．（2024·廣東·模擬預測）下列函數中，y是x的一次函數的是（ ）
A． B． C． D．
2（2024·四川南充·三模）若是y關于x的一次函數，則其圖象不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2020·江蘇泰州·中考真題）點在函數的圖像上，則代數式的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·廣西·模擬預測）點在函數的圖象上，則 ．
題型02 判斷一次函數的圖像
1．（2024·河北·中考真題）扇文化是中華優秀傳統文化的組成部分，在我國有著深厚的底蘊．如圖，某折扇張開的角度為時，扇面面積為、該折扇張開的角度為時，扇面面積為，若，則與關系的圖象大致是（ ）
A．B． C．D．
2．（2024·河北·模擬預測）下圖表示光從空氣進入水中的入水前與入水后的光路圖，若按如圖所示的方式建立平面直角坐標系，并設入水前與入水后光線所在直線的函數解析式分別為，，則關于與的關系，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陜西西安·三模）若為常數且，則一次函數的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽·模擬預測）已知與是一次函數．若，那么如圖所示的個圖中正確的是（ ）
A．B．C．D．
題型03 正比例函數的性質
1．（2024·陜西西安·模擬預測）正比例函數的圖像經過點和點，則的值為（ ）
A． B． C． D．2
2．（2024·陜西西安·三模）已知正比例函數的圖象經過第二、四象限，則（　?。?br/>A．y隨x的增大而減小
B．y隨x的增大而增大
C．當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小
D．無論x如何變化，y不變
3．（2024·廣東陽江·二模）先從，，0，6四個數中任取一個數記為，再從余下的三個數中任取一個數記為．若，則正比例函數的圖象經過第一、三象限的概率是 ．
4．（2024·湖南岳陽·模擬預測）若正比例函數的圖象經過點，則這個圖象必經過點（ ）
A． B． C． D．
題型04 探究一次函數經過的象限與系數之間的關系
1．（2023·山東臨沂·中考真題）對于某個一次函數，根據兩位同學的對話得出的結論，錯誤的是（ ）

A． B． C． D．
2．（23-24八年級下·江西南昌·期末）在平面直角坐標系中，若一次函數的圖象經過第二象限，則一次函一定不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·陜西西安·二模）在平面直角坐標系中，若將一次函數的圖像向右平移2個單位長度后經過原點，則一次函數的圖像不經過第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
4．（2024·四川南充·模擬預測）直線經過點，但不經過第一象限，則的最大值為 ．
題型05 探究一次函數的增減性與系數之間的關系
1．（2024·陜西咸陽·模擬預測）在正比例函數中，隨的增大而減小，則一次函數的圖象不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·四川南充·中考真題）當時，一次函數有最大值6，則實數m的值為（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
3．（2024·安徽六安·模擬預測）已知一次函數和，無論x取何值，始終有，則a的取值范圍為 ．
4．（2024·山東濰坊·模擬預測）如圖是y關于x的一個函數圖象，根據圖象，下列說法不正確的是（　?。?br/>
A．該函數的最大值為6 B．當時，y隨x的增大而增大
C．當時，對應的函數值 D．當和時，對應的函數值相等
題型06 求一次函數解析式
1）【解答題】可利用待定系數法求解，因為兩點確定一條直線，將已知兩點的坐標代入解析式，得，求解關于k，b的方程組，就可以求出解析式.簡稱：一設二代三求解.
2）【選擇、填空題】根據兩點坐標快速求k
將已知兩點的坐標代入解析式，得，將兩式相減，得，可化為，進而求出b，就可以求出解析式.
3）【選擇、填空題】根據兩點坐標快速求b
一次函數圖像與y軸交點的縱坐標即為b值.
1．（2023·寧夏·中考真題）如圖是某種桿秤．在秤桿的點處固定提紐，點處掛秤盤，點為0刻度點．當秤盤不放物品時，提起提紐，秤砣所掛位置移動到點，秤桿處于平衡．秤盤放入克物品后移動秤砣，當秤砣所掛位置與提扭的距離為毫米時秤桿處于平衡．測得與的幾組對應數據如下表：
/克 0 2 4 6 10
/毫米 10 14 18 22 30
由表中數據的規律可知，當克時， 毫米．

2．（2024·山東東營·中考真題）在彈性限度內，彈簧的長度是所掛物體質量的一次函數．一根彈簧不掛物體時長12.5cm，當所掛物體的質量為2kg時，彈簧長13.5cm．當所掛物體的質量為5kg時，彈簧的長度為 cm，
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）小華在畫一次函數的圖象時列出了如下表格：
x … 0 1 2
y … 4 1 …
小勤看到后說有一個函數值求錯了，這個錯誤的函數值是（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，已知點、在反比例函數的圖象上，過點的一次函數的圖象與軸交于點．
(1)求、的值和一次函數的表達式；
(2)連接，求點到線段的距離．
題型07 一次函數與坐標軸交點問題
1．（2024·江蘇揚州·二模）已知直線與x軸、y軸分別交于點A，B，將直線m繞點B順時針旋轉得到新的直線m，則直線n與x軸的交點坐標是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陜西西安·模擬預測）在平面直角坐標系中，直線與直線關于軸對稱，則直線與軸的交點坐標為( )
A． B． C． D．
3．（2024·天津·三模）已知直線向下平移5個單位后經過點，平移后的直線與x 軸的交點坐標為 ．
4（2022·四川德陽·中考真題）如圖，已知點，，直線經過點．試探究：直線與線段有交點時的變化情況，猜想的取值范圍是 ．
題型08 與一次函數有關的規律探究問題
1．（2024·四川內江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，軸，垂足為點，將繞點逆時針旋轉到的位置，使點的對應點落在直線上，再將繞點逆時針旋轉到的位置，使點的對應點也落在直線上，如此下去，……，若點的坐標為，則點的坐標為（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，函數和的圖象分別為直線，，過點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，，依次進行下去，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山東東營·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知直線的表達式為，點的坐標為，以為圓心，為半徑畫弧，交直線于點，過點作直線的垂線交軸于點；以為圓心，為半徑畫弧，交直線于點，過點作直線的垂線交軸于點；以為圓心，為半徑畫弧，交直線于點，過點作直線的垂線交軸于點；……按照這樣的規律進行下去，點的橫坐標是 ．
4．（2023·浙江臺州·一模）如圖，分別過點作x軸的垂線，交的圖象于點，交直線于點．則的值為 ．
5．（20-21八年級下·浙江臺州·階段練習）在軸正半軸上有個連續的整數點，它們的橫坐標依次為1，2，3，…，，分別過這些點作軸的垂線與三條直線，，相交，其中，則圖中陰影部分的面積總和是 ．
題型09 與一次函數有關的新定義問題
1．（2020·山東濰坊·中考真題）若定義一種新運算：例如：；．則函數的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江蘇蘇州·一模）現定義一種新的距離：對于平面直角坐標系內的點，，將稱作P、Q兩點間的“拐距”，記作，即，已知點，動點B在直線上，橫坐標為，當取得最小值時，應滿足的條件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南商丘·模擬預測）定義：若一個函數圖象上存在橫坐標是縱坐標2倍的點，則稱該點為這個函數圖象的“倍值點”．下列函數圖象上不存在“倍值點”的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·模擬預測）定義：在平面直角坐標系中，若點滿足，則稱點為“積和點”．例如：，就是“積和點”．若直線上所有的點中只有唯一一個“積和點”，則 ．
題型10 以開放性試題的形式考查一次函數
1．（2023·山東·中考真題）一個函數過點，且隨增大而增大，請寫出一個符合上述條件的函數解析式 ．
2．（2024·內蒙古包頭·中考真題）在平面直角坐標系中，若一次函數的圖象經過第一、二、三象限，請寫出一個符合該條件的一次函數的表達式 ．
3．（2024·山東濰坊·中考真題）請寫出同時滿足以下兩個條件的一個函數： ．
①隨著的增大而減??；②函數圖象與軸正半軸相交．
4．（2024·四川自貢·中考真題）一次函數的值隨的增大而增大，請寫出一個滿足條件的的值 ．
命題點二 一次函數與方程，不等式
題型01 求兩直線與坐標軸圍成的圖形面積
類型一 一直線與坐標軸圍成的面積
解題大招：一直線與坐標軸圍成的面積為
類型二 兩直線與一坐標軸圍成的面積
圖示：
解題方法：
1）求兩個一次函數的交點，聯立方程組，解方程組；
2）求直線和x軸或y軸的交點;
3）如圖一，若求與x軸圍成的圖形面積(即△ABD的面積)，則以在x軸上的線段AB為底，高即為D點到x軸的距離，然后利用面積公式求出面積;
4）如圖二，若求與y軸圍成的圖形面積(即△CDE的面積)，則以在y軸上的線段CE為底，高即為D點到y軸的距離，然后利用面積公式求出面積.
1．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，一次函數的圖象經過兩點，交軸于點，則的面積為 ．
2．（2021·陜西西安·模擬預測）如圖，一次函數的圖象分別與軸、軸交于點、點，與正比例函數的圖象交于點，則與的面積比為（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2024·江蘇南通·中考真題）平面直角坐標系中，已知，．直線（k，b為常數，且）經過點，并把分成兩部分，其中靠近原點部分的面積為，則k的值為 ．
4．（2023·浙江·模擬預測）一次函數與坐標軸圍成的三角形的面積為2，則k的值為 ．
5．（2024·廣東清遠·模擬預測） 與的圖象交于點M，設點M的坐標為，求邊長分別為 m、n的矩形面積．
6．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線：與y軸交于點A，直線與y軸，x軸交于點B，點C，與交于點，連接，已知的長為4．
(1)求點D的坐標及直線的解析式；
(2)求的面積；
(3)若直線上有一點P使得的面積等于的面積，直接寫出點P的坐標．
題型02 探究一次函數與方程、不等式的關系
1．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知一次函數的圖象分別與x、y軸交于A、B兩點，若，，則關于x的方程的解為 ．
2．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，函數與的圖象交于點.
(1)求，的值；
(2)當時，對于的每一個值，函數的值既大于函數的值，也大于函數的值，直接寫出的取值范圍.
3．（2022·湖北荊門·中考真題）已知關于x的不等式組（a＞﹣1）．
(1)當a＝時，解此不等式組；
(2)若不等式組的解集中恰含三個奇數，求a的取值范圍．
4．（2020·山東濱州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與直線相交于點P，并分別與x軸相交于點A、B．
（1）求交點P的坐標；
（2）求PAB的面積；
（3）請把圖象中直線在直線上方的部分描黑加粗，并寫出此時自變量x的取值范圍．
命題點三 一次函數與幾何綜合
題型01 一次函數、反比例函數、二次函數圖像綜合判定
1．（2024·內蒙古·中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數和的圖象大致如圖所示，則函數的圖象大致為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·黑龍江大慶·中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數與的大致圖象為（ ）
A．B．C． D．
3．（2023·河南·中考真題）二次函數的圖象如圖所示，則一次函數的圖象一定不經過（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
題型02 與一次函數有關的圖形變化問題
1．（2023·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標系中．將函數的圖象繞坐標原點逆時針旋轉，再向上平移1個單位長度，所得直線的函數表達式為（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·陜西西安·模擬預測）在平面直角坐標系中，直線與關于直線對稱，若直線的表達式為，則直線與y軸的交點坐標為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，直線與軸、軸分別相交于點，，將繞點逆時針方向旋轉得到，則點的坐標為 ．
4．（2023·內蒙古通遼·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知點，點，以點P為中心，把點A按逆時針方向旋轉得到點B，在，，，四個點中，直線經過的點是（ ）

A． B． C． D．
題型03 與一次函數有關的動點問題
1．（2022·山東聊城·中考真題）如圖，一次函數的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，點是x軸上一點，點E，F分別為直線和y軸上的兩個動點，當周長最小時，點E，F的坐標分別為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，的圓心為，半徑為，是直線上的一個動點，過點作的切線，切點為，則的最小值為
3．（2023·遼寧大連·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，直線與直線相交于點A．為線段上一動點（不與點B重合），過點P作軸交直線于點D，與的重疊面積為S，S關于t的函數圖象如圖2所示．

(1)的長為 ___________；的面積為 ___________；
(2)求S關于t的函數解析式，并直接寫出自變量t的取值范圍．
4．（2023·重慶·中考真題）如圖，是邊長為4的等邊三角形，動點E，F分別以每秒1個單位長度的速度同時從點A出發，點E沿折線方向運動，點F沿折線方向運動，當兩者相遇時停止運動．設運動時間為t秒，點E，F的距離為y．

(1)請直接寫出y關于t的函數表達式并注明自變量t的取值范圍；
(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數的圖象，并寫出該函數的一條性質；
(3)結合函數圖象，寫出點E，F相距3個單位長度時t的值．
題型04 一次函數與三角形、四邊形、圓綜合
1．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點在軸負半軸上，頂點在直線上，若點的橫坐標是8，為點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，C、D是半徑為1的上兩動點，且，P為弦CD的中點．當C、D兩點在圓上運動時，面積的最大值是（ ）

A．8 B．6 C．4 D．3
3．（2024·四川廣安·中考真題）已知，直線與軸相交于點，以為邊作等邊三角形，點在第一象限內，過點作軸的平行線與直線交于點，與軸交于點，以為邊作等邊三角形（點在點的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形，等邊三角形，則點的橫坐標為 ．
4．（2023·浙江紹興·中考真題）如果兩點到一條直線的距離相等，則稱該直線為“兩點的等距線”．
(1) 如圖1，直線經過線段的中點P，試說明直線是點A，B的一條等距線．
(2)如圖2，是正方形網格中的三個格點，請在網格中作出所有的直線m，使直線m過點C且直線m是“兩點的等距線”．
(3)如圖3，中，，則在坐標軸上是否存在點P，使？若存在，試求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
5．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸的正半軸交于點A，與y軸的負半軸交于點D，點B在x軸的正半軸上，四邊形是平行四邊形，線段的長是一元二次方程的一個根．請解答下列問題：
(1)求點D的坐標；
(2)若線段的垂直平分線交直線于點E，交x軸于點F，交于點G，點E在第一象限，，連接，求的值；
(3)在（2）的條件下，點M在直線上，在x軸上是否存在點N，使以E、M、N為頂點的三角形是直角邊比為1∶2的直角三角形？若存在，請直接寫出的個數和其中兩個點N的坐標；若不存在，請說明理由．
6．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點B，C在x軸上，D在y軸上，，的長是方程的兩個根（）．請解答下列問題：
(1)求點B的坐標；
(2)若，直線分別交x軸、y軸、于點E，F，M，且M是的中點，直線交延長線于點N，求的值；
(3)在（2）的條件下，點P在y軸上，在直線EF上是否存在點Q，使是腰長為5的等腰三角形？若存在，請直接寫出等腰三角形的個數和其中兩個點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

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