資源簡介

第三章 函數
第11講 一次函數的應用
（思維導圖+考點+15種題型）
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
04題型精研·考向洞悉
題型01 最優方案問題
題型02 最值問題
題型03 行程問題
題型04 工程問題
題型05 分配問題
題型06 分段計費問題
題型07 調運問題
題型08 計時問題
題型09 體積問題
題型10 幾何問題
題型11 新考法：新情景問題
題型12 新考法：與現實有關的熱考問題
題型13 新考法：新考法問題
題型14 新考法：跨學科問題
題型15 新考法：中考預測題
01考情透視·目標導航
中考考點【常見類型】 考查頻率 新課標要求
一次函數的實際應用--最優方案問題 ★★ 結合具體情境體會一次函數的意義，能根據已知條件確定一次函數的解析式； 能用一次函數解決簡單實際問題.
一次函數的實際應用--最值問題 ★★
一次函數的實際應用--行程問題 ★★
【考情分析】 應用一次函數解決實際問題，包含兩大類：1)利用函數圖像解決運動問題； 2)利用函數性質解決最大利潤、最小費用等最值問題. 考查內容包含利用待定系數法求函數解析式，利用函數的增減性求最值等，試題形式以解答題為主，難度中等. 【命題預測】一次函數的應用在中考中多考察一次函數圖像的理解和信息提取，通常以最優方案、最值問題與行程類問題為主。出題時也多和方程、不等式結合，一次函數的實際應用的題目在中考中難度不大，關鍵在于函數關系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，從文字、圖像和圖表中獲取信息，建立函數關系式是解題的關鍵.
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
用一次函數解決實際問題：應用一次函數解決實際問題時，首先，要判斷問題中的兩個變量之間是否是一次函數關系；其次，當確定是一次函數關系時，可先求出一次函數解析式，再應用一次函數的相關知識去解決與其相關的實際問題.
1.判斷兩個變量之間是不是一次函數關系的步驟：
1）通過實驗、測量獲得數量足夠多的兩個變量的對應值；
2）建立適當的平面直角坐標系，畫出圖像；
3）觀察圖像特征，判斷函數的類型.
2.建立一次函數解析式的常用方法
1）根據基本的量之間存在的關系列函數解析式；
2）若題目中已明確給出兩個變量的函數關系，則可用待定系數法求出函數解析式；
3.一次函數應用問題的求解思路：
1）建立一次函數模型→求出一次函數解析式→結合函數解析式、函數性質求解；
2）在實際生活問題中，如何應用函數知識解題，關鍵是建立函數模型，即列出符合題意的函數解析式，然后根據函數的性質綜合方程（組）、不等式（組）及圖像求解.要注意結合實際，確定自變量的取值范圍，這是應用中的難點，也是中考的熱門考點；
3）分析問題的實際背景中包含的變量及對應關系，結合一次函數的解析式及圖像，通過比較函數值的大小等，尋求解決問題的最佳方案，體會函數作為一種數學模型在分析解決實際問題中的重要作用.
4.利用一次函數的圖像解決實際問題的一般步驟：
1）觀察圖像，獲取有效信息；
2）對獲取的信息進行加工、處理，理清各數量之間的關系；
3）選擇適當的數學工具(如函數、方程、不等式等)，通過建模解決問題.
【提示】時刻注意根據實際情況確定變量的取值范圍.
5.求最值的本質為求最優方案，解法有兩種：
1）可將所有求得的方案的值計算出來，再進行比較；
2）直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數關系式求解，由一次函數的增減性可直接確定最優方案及最值；若為分段函數，則應分類討論，先計算出每個分段函數的取值，再進行比較．
【提示】一次函數本身并沒有最值，但在實際問題中，自變量的取值往往有一定的限制，其圖像為射線或線段.涉及最值問題的一般思路：確定函數解析式→確定函數增減性→根據自變量的取值范圍確定最值．
04題型精研·考向洞悉
題型01 最優方案問題
1．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）某超市從某水果種植基地購進甲、乙兩種優質水果，經調查，這兩種水果的進價和售價如表所示：
水果種類 進價（元/千克） 售價（元/千克）
甲 22
乙 25
該超市購進甲種水果18千克和乙種水果6千克需366元：購進甲種水果30千克和乙種水果15千克需705元．
(1)求的值；
(2)該超市決定每天購進甲、乙兩種水果共150千克進行銷售，其中甲種水果的數量不少于50千克，且不大于120千克．實際銷售時，若甲種水果超過80千克，則超過部分按每千克降價5元銷售．求超市當天銷售完這兩種水果獲得的利潤（元）與購進甲種水果的數量（千克）之間的函數關系式（寫出自變量的取值范圍），并求出在獲得最大利潤時，超市的進貨方案以及最大利潤．
【答案】(1)，
(2)，購進甲種水果80千克，乙種水果70千克，最大利潤為1060元
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一次函數的應用，解題的關鍵是∶
（1）根據“購進甲種水果18千克和乙種水果6千克需366元：購進甲種水果30千克和乙種水果15千克需705元”列方程求解即可；
（2）分，兩種情況討論，根據總利潤等于甲的利潤與乙的利潤列出函數關系式，然后利用一次函數的性質求解即可．
【詳解】（1）解：根據題意，得，
解得；
（2）解：當時，
根據題意，得，
∵，
∴隨的增大而增大，
∴當時，有最大值，最大值為，
即購進甲種水果80千克，乙種水果70千克，最大利潤為1060元；
當時，
根據題意，得，
∵，
∴隨的增大而減小，
∴時，有最大值，最大值為，
即購進甲種水果80千克，乙種水果70千克，最大利潤為1060元；
綜上，，購進甲種水果80千克，乙種水果70千克，最大利潤為1060元．
2．（2024·江蘇南通·中考真題）某快遞企業為提高工作效率，擬購買A、B兩種型號智能機器人進行快遞分揀．
相關信息如下：
信息一
A型機器人臺數 B型機器人臺數 總費用（單位：萬元）
1 3 260
3 2 360
信息二
(1)求A、B兩種型號智能機器人的單價；
(2)現該企業準備用不超過700萬元購買A、B兩種型號智能機器人共10臺．則該企業選擇哪種購買方案，能使每天分揀快遞的件數最多
【答案】(1)A型智能機器人的單價為80萬元，B型智能機器人的單價為60萬元
(2)選擇購買A型智能機器人5臺，購買B型智能機器人5臺
【分析】本題考查了一元一次不等式的應用，二元一次方程組的應用，掌握二元一次方程組，一元一次不等式的應用是解題的關鍵．
（1）設A型智能機器人的單價為x萬元，B型智能機器人的單價為y萬元，根據題意列出方程組，計算結果即可；
（2）設購買A型智能機器人a臺，則購買B型智能機器人臺，先求出a的取值范圍，再得出每天分揀快遞的件數當a取得最大值時，每天分揀快遞的件數最多．
【詳解】（1）解：設A型智能機器人的單價為x萬元，B型智能機器人的單價為y萬元，
解得，
答：A型智能機器人的單價為80萬元，B型智能機器人的單價為60萬元；
（2）解：設購買A型智能機器人a臺，則購買B型智能機器人臺，
∴，
∴，
∵每天分揀快遞的件數，
∴當時，每天分揀快遞的件數最多為萬件，
∴選擇購買A型智能機器人5臺，購買B型智能機器人5臺．
3．（2024·內蒙古通遼·中考真題）某中學為加強新時代中學生勞動教育，開辟了勞動教育實踐基地．在基地建設過程中，需要采購煎蛋器和三明治機．經過調查，購買2臺煎蛋器和1臺三明治機需240元，購買1臺煎蛋器和3臺三明治機需395元．
(1)求煎蛋器和三明治機每臺價格各是多少元；
(2)學校準備采購這兩種機器共50臺，其中要求三明治機的臺數不少于煎蛋器臺數的一半，請你給出最節省費用的購買方案．
【答案】(1)煎蛋器單價為65元/臺，三明治機單價為110元/臺；
(2)購買方案為：購買煎蛋器33臺，三明治機17臺．
【分析】（1）設煎蛋器每臺x元，三明治機每臺y元，根據購頭2臺煎蛋器和1臺三明治機需240元，購買1臺煎蛋器和3臺三明治機需395元，列出方程組，解方程組即可；
（2）設煎蛋器采購a臺，則三明治機采購臺，根據三明治機的臺數不少于煎蛋器臺數的一半，列出不等式，可得的范圍，設總的購買費用為元，再結合一次函數的性質可得答案．
【詳解】（1）解：設煎蛋器每臺x元，三明治機每臺y元．
由題意得：，
解得：，
答：煎蛋器單價為65元/臺，三明治機單價為110元/臺；
（2）解：設煎蛋器采購a臺，則三明治機采購臺，
由題意得：，
解得：，
∵a只能取正整數，
∴a的最大值為33，
設總的購買費用為元，
∴
，
∵，
∴當時，費用最低，
此時的購買方案為：購買煎蛋器33臺，三明治機17臺；
答：購買方案為：購買煎蛋器33臺，三明治機17臺．
【點睛】本題考查的是二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用，確定相等關系與不等關系是解本題的關鍵.
4．（2024·四川廣元·中考真題）近年來，中國傳統服飾備受大家的青睞，走上國際時裝周舞臺，大放異彩．某服裝店直接從工廠購進長、短兩款傳統服飾進行銷售，進貨價和銷售價如下表：
價格/類別 短款 長款
進貨價（元/件） 80 90
銷售價（元/件） 100 120
(1)該服裝店第一次用4300元購進長、短兩款服裝共50件，求兩款服裝分別購進的件數；
(2)第一次購進的兩款服裝售完后，該服裝店計劃再次購進長、短兩款服裝共200件（進貨價和銷售價都不變），且第二次進貨總價不高于16800元．服裝店這次應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？
【答案】(1)長款服裝購進30件，短款服裝購進20件；
(2)當購進120件短款服裝，80件長款服裝時有最大利潤，最大利潤是4800元．
【分析】本題考查了二元一次方程組的實際應用，一元一次不等式的實際應用，列出正確的等量關系和不等關系是解題的關鍵．
（1）設購進服裝x件，購進長款服裝y件，根據“用4300元購進長、短兩款服裝共50件，”列二元一次方程組計算求解；
（2）設第二次購進m件短款服裝，則購進件長款服裝，根據“第二次進貨總價不高于16800元”列不等式計算求解，然后結合一次函數的性質分析求最值．
【詳解】（1）解：設購進短款服裝x件，購進長款服裝y件，
由題意可得，
解得，
答：長款服裝購進30件，短款服裝購進20件．
（2）解：設第二次購進m件短款服裝，則購進件長款服裝，
由題意可得，
解得：，
設利潤為w元，則，
∵，
∴w隨m的增大而減小，
∴當時，
∴（元）．
答：當購進120件短款服裝，80件長款服裝時有最大利潤，最大利潤是4800元．
題型02 最值問題
5．（2024·云南·中考真題）、兩種型號的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜歡．
某超市銷售、兩種型號的吉祥物，有關信息見下表：
成本（單位：元/個） 銷售價格（單位：元/個）
型號 35 a
型號 42
若顧客在該超市購買8個種型號吉祥物和7個種型號吉祥物，則一共需要670元；購買4個種型號吉祥物和5個種型號吉祥物，則一共需要410元．
(1)求、的值；
(2)若某公司計劃從該超市購買、兩種型號的吉祥物共90個，且購買種型號吉祥物的數量（單位：個）不少于種型號吉祥物數量的，又不超過種型號吉祥物數量的2倍．設該超市銷售這90個吉祥物獲得的總利潤為元，求的最大值．
注：該超市銷售每個吉祥物獲得的利潤等于每個吉祥物的銷售價格與每個吉祥物的成本的差．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了一次函數、一元一次不等式、二元一次方程組的應用，根據題意正確列出方程和函數解析式是解題的關鍵．
（1）根據“購買8個種型號吉祥物和7個種型號吉祥物，則一共需要670元；購買4個種型號吉祥物和5個種型號吉祥物，則一共需要410元”建立二元一次方程組求解，即可解題；
（2）根據“且購買種型號吉祥物的數量（單位：個）不少于種型號吉祥物數量的，又不超過種型號吉祥物數量的2倍．”建立不等式求解，得到，再根據總利潤 種型號吉祥物利潤 種型號吉祥物利潤建立關系式，最后根據一次函數的性質即可得到的最大值．
【詳解】（1）解：由題知，，
解得；
（2）解：購買種型號吉祥物的數量個，
則購買種型號吉祥物的數量個，
且購買種型號吉祥物的數量（單位：個）不少于種型號吉祥物數量的，
，
解得，
種型號吉祥物的數量又不超過種型號吉祥物數量的2倍．
，
解得，
即，
由題知，，
整理得，
隨的增大而減小，
當時，的最大值為．
6．（2022·湖北十堰·中考真題）某商戶購進一批童裝，40天銷售完畢．根據所記錄的數據發現，日銷售量（件）與銷售時間（天）之間的關系式是 ，銷售單價（元/件）與銷售時間（天）之間的函數關系如圖所示．
(1)第15天的日銷售量為_________件；
(2)當時，求日銷售額的最大值；
(3)在銷售過程中，若日銷售量不低于48件的時間段為“火熱銷售期”，則“火熱銷售期”共有多少天？
【答案】(1)30
(2)2100元
(3)9天
【分析】（1）將直接代入表達式即可求出銷售量；
（2）設銷售額為元，分類討論，當時，由圖可知，銷售單價；當時，有圖可知，p是x的一次函數，用待定系數法求出p的表達式；分別列出函數表達式，在自變量取值范圍內求取最大值即可；
（3）分類討論，當和時列出不等式，解不等式，即可得出結果．
【詳解】（1）解：當時，銷售量；
故答案為30；
（2）設銷售額為元，
①當時，由圖可知，銷售單價，
此時銷售額
∵，
∴隨的增大而增大
當時，取最大值
此時
②當時，有圖可知，p是x的一次函數，且過點（20，40）、（40，30）
設銷售單價，
將（20，40）、（40，30）代入得：
解得
∴
∴
∵，
∴當時，隨的增大而增大
當時，取最大值
此時
∵
∴的最大值為2100，
∴當時，日銷售額的最大值為2100元；
（3）當時，
解得
∴
當，
解得
∴
∴，共9天
∴日銷售量不低于48件的時間段有9天．
【點睛】本題考查一元一次方程、一次函數、一元一次不等式、二次函數，是初中數學應用題的綜合題型，解題的關鍵在于利用題目中的等量關系、不等關系列出方程、不等式，求出函數表達式，其中自變量取值范圍是易錯點、難點．
7．（2022·山東濟寧·中考真題）某運輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性將328噸的物資運往A，B兩地，兩種貨車載重量及到A，B兩地的運輸成本如下表：
貨車類型 載重量（噸/輛） 運往A地的成本（元/輛） 運往B地的成本（元/輛）
甲種 16 1200 900
乙種 12 1000 750
(1)求甲、乙兩種貨車各用了多少輛；
(2)如果前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運物資不少于160噸，其余貨車將剩余物資運往B地．設甲、乙兩種貨車到A，B兩地的總運輸成本為w元，前往A地的甲種貨車為t輛．
①寫出w與t之間的函數解析式；
②當t為何值時，w最?。孔钚≈凳嵌嗌?？
【答案】(1)甲種貨車用10輛，則乙種貨車用14輛
(2)①；②t＝4時，w最?。?2 700元
【分析】（1）設甲種貨車用x輛，則乙種貨車用（24－x）輛．根據題意列一元一次方程即可求解；
（2）①根據表格信息列出w與t之間的函數解析式；
②根據所運物資不少于160噸列出不等式，求得的范圍，然后根據一次函數的性質求得最小值即可．
【詳解】（1）（1）設甲種貨車用x輛，則乙種貨車用（24－x）輛．根據題意，得
16x＋12（24－x）＝328．
解得x＝10．
∴24－x＝24－10＝14．
答：甲種貨車用10輛，則乙種貨車用14輛．
（2）①．
②
∵50>0，
∴w隨t的減小而減?。?br/>∴當t＝4時，w最?。?0×4＋22500＝22700（元）．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用，根據題意列出方程，不等式與一次函數關系式是解題的關鍵．
8．（2021·貴州貴陽·中考真題）為慶?！爸袊伯a黨的百年華誕”，某校請廣告公司為其制作“童心向黨”文藝活動的展板、宣傳冊和橫幅，其中制作宣傳冊的數量是展板數量的5倍，廣告公司制作每件產品所需時間和利潤如下表：
產品 展板 宣傳冊 橫幅
制作一件產品所需時間（小時） 1
制作一件產品所獲利潤（元） 20 3 10
（1）若制作三種產品共計需要25小時，所獲利潤為450元，求制作展板、宣傳冊和橫幅的數量；
（2）若廣告公司所獲利潤為700元，且三種產品均有制作．求制作三種產品總量的最小值．
【答案】（1）制作展板、宣傳冊和橫幅的數量分別是：10，50，10；（2）制作三種產品總量的最小值為75．
【分析】（1）設展板數量為x，則宣傳冊數量為5x，橫幅數量為y，根據等量關系，列出二元一次方程組，即可求解；
（2）設展板數量為x，則宣傳冊數量為5x，橫幅數量為y，可得，結合x，y取正整數，可得制作三種產品總量的最小值．
【詳解】（1）解：設展板數量為x，則宣傳冊數量為5x，橫幅數量為y，
根據題意得：，解得：，
5×10=50，
答：制作展板、宣傳冊和橫幅的數量分別是：10，50，10；
（2）設展板數量為x，則宣傳冊數量為5x，橫幅數量為y，制作三種產品總量為w，
由題意得：，即：，
∴，
∴w=，
∵x，y取正整數，
∴x可取的最小整數為2，
∴w=的最小值=55，即：制作三種產品總量的最小值為75．
【點睛】本題主要考查二元一次方程組以及一次函數的實際應用，根據數量關系，列出方程組以及一次函數的解析式，是解題的關鍵．
題型03 行程問題
9．（2024·吉林長春·中考真題）區間測速是指在某一路段前后設置兩個監控點，根據車輛通過兩個監控點的時間來計算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經過一段長度為20千米的區間測速路段，從該路段起點開始，他先勻速行駛小時，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時間忽略不計），當他到達該路段終點時，測速裝置測得該輛汽車在整個路段行駛的平均速度為100千米/時．汽車在區間測速路段行駛的路程（千米）與在此路段行駛的時間（時）之間的函數圖象如圖所示．
(1)的值為________；
(2)當時，求與之間的函數關系式；
(3)通過計算說明在此區間測速路段內，該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時）
【答案】(1)
(2)
(3)沒有超速
【分析】本題考查了一次函數的應用、一次函數的圖像、求函數解析式等知識點，掌握待定系數法求函數關系式是解題的關鍵．
（1）由題意可得：當以平均時速為行駛時，小時路程為千米，據此即可解答；
（2）利用待定系數法求解即可；
（3）求出先勻速行駛小時的速度，據此即可解答．
【詳解】（1）解：由題意可得：，解得：．
故答案為：．
（2）解：設當時，y與x之間的函數關系式為，
則：，解得：，
∴．
（3）解：當時，，
∴先勻速行駛小時的速度為：，
∵，
∴輛汽車減速前沒有超速．
10．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）一條公路上依次有A、B、C三地，甲車從A地出發，沿公路經B地到C地，乙車從C地出發，沿公路駛向B地．甲、乙兩車同時出發，勻速行駛，乙車比甲車早小時到達目的地．甲、乙兩車之間的路程與兩車行駛時間的函數關系如圖所示，請結合圖象信息，解答下列問題：
(1)甲車行駛的速度是_____，并在圖中括號內填上正確的數；
(2)求圖中線段所在直線的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
(3)請直接寫出兩車出發多少小時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．
【答案】(1)70，300
(2)
(3)或
【分析】本題考查一次函數的實際應用，一元一次方程的實際應用，求出A、B、C兩兩之間的距離是解題的關鍵．
（1）利用時間、速度、路程之間的關系求解；
（2）利用待定系數法求解；
（3）先求出A、B、C兩兩之間的距離和乙車的速度，設兩車出發x小時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后兩種情況，列一元一次方程分別求解即可．
【詳解】（1）解：由圖可知，甲車小時行駛的路程為，
甲車行駛的速度是，
∴A、C兩地的距離為：，
故答案為：70；300；
（2）解：由圖可知E，F的坐標分別為，，
設線段所在直線的函數解析式為，
則，
解得，
線段所在直線的函數解析式為；
（3）解：由題意知，A、C兩地的距離為：，
乙車行駛的速度為：，
C、B兩地的距離為：，
A、B兩地的距離為：，
設兩車出發x小時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍，
分兩種情況，當甲乙相遇前時：
，
解得；
當甲乙相遇后時：
，
解得；
綜上可知，兩車出發或時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．
11．（2023·浙江紹興·中考真題）一條筆直的路上依次有三地，其中兩地相距1000米．甲、乙兩機器人分別從兩地同時出發，去目的地，勻速而行．圖中分別表示甲、乙機器人離地的距離（米）與行走時間（分鐘）的函數關系圖象．

(1)求所在直線的表達式．
(2)出發后甲機器人行走多少時間，與乙機器人相遇？
(3)甲機器人到地后，再經過1分鐘乙機器人也到地，求兩地間的距離．
【答案】(1)
(2)出發后甲機器人行走分鐘，與乙機器人相遇
(3)兩地間的距離為600米
【分析】（1）利用待定系數法即可求解；
（2）利用待定系數法求出所在直線的表達式，再列方程組求出交點坐標，即可；
（3）列出方程即可解決．
【詳解】（1）∵，
∴所在直線的表達式為．
（2）設所在直線的表達式為，
∵，
∴解得
∴．
甲、乙機器人相遇時，即，解得，
∴出發后甲機器人行走分鐘，與乙機器人相遇．
（3）設甲機器人行走分鐘時到地，地與地距離，
則乙機器人分鐘后到地，地與地距離，
由，得．
∴．
答：兩地間的距離為600米．
【點睛】本題考查了一次函數的圖象與性質，用待定系數法可求出函數表達式，要利用方程組的解，求出兩個函數的交點坐標，充分應用數形結合思想是解題的關鍵．
12．（2024·陜西西安·模擬預測）某科技活動小組制作了兩款小型機器人，在同一賽道上進行試驗運行．甲機器人離點的距離與出發時間滿足一次函數關系，部分數據如下表．乙機器人在離點米處出發，以米/秒的速度勻速前進，兩個機器人同時同向（遠離點）出發并保持前進的狀態．
出發時間（單位：秒）
甲機器人離點距離（單位：米）
(1)設甲、乙兩機器人離點的距離分別為、，求它們與出發時間之間的函數關系式；
(2)甲機器人出發時距離點多遠？兩機器人出發多長時間時相遇？
【答案】(1)；
(2)甲機器人出發時距離點米遠；兩機器人出發秒相遇；
【分析】本題考查了一次函數的應用，掌握待定系數法求函數解析式是解題的關鍵．
（1）根據待定系數法求解即可；
（2）令，求出的值即可；聯立方程組，求出的值即可知道兩機器人出發多長時間相遇即可得解．
【詳解】（1）解：設甲機器人離點的距離與出發時間之間的函數關系式，
∵當，；當時，，
，
解得，
∴甲機器人離點的距離與出發時間之間的函數關系式為：
∵乙機器人在離點米處出發，以米/秒的速度勻速前進，
∴乙機器人離點的距離與出發時間之間的函數關系式：，
（2）解：∵對于，
當時，，
甲機器人出發時距離點米遠，
聯立方程組
解得：，
兩機器人出發秒時相遇．
題型04 工程問題
13．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）一段高速公路需要修復，現有甲、乙兩個工程隊參與施工，已知乙隊平均每天修復公路比甲隊平均每天修復公路多3千米，且甲隊單獨修復60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復90千米公路所需要的時間相等．
(1)求甲、乙兩隊平均每天修復公路分別是多少千米；
(2)為了保證交通安全，兩隊不能同時施工，要求甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍，那么15天的工期，兩隊最多能修復公路多少千米？
【答案】(1)甲隊平均每天修復公路6千米，則乙隊平均每天修復公路9千米；
(2)15天的工期，兩隊最多能修復公路千米．
【分析】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用．
（1）設甲隊平均每天修復公路千米，則乙隊平均每天修復公路千米，根據“甲隊單獨修復60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復90千米公路所需要的時間相等”列分式方程求解即可；
（2）設甲隊的工作時間為天，則乙隊的工作時間為天，15天的工期，兩隊能修復公路千米，求得關于的一次函數，再利用“甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍”求得的范圍，利用一次函數的性質求解即可．
【詳解】（1）解：設甲隊平均每天修復公路千米，則乙隊平均每天修復公路千米，
由題意得，
解得，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
，
答：甲隊平均每天修復公路6千米，則乙隊平均每天修復公路9千米；
（2）解：設甲隊的工作時間為天，則乙隊的工作時間為天，15天的工期，兩隊能修復公路千米，
由題意得，
，
解得，
∵，
∴隨的增加而減少，
∴當時，有最大值，最大值為，
答：15天的工期，兩隊最多能修復公路千米．
14．（2023·吉林·中考真題）甲、乙兩個工程組同時挖掘沈白高鐵某段隧道，兩組每天挖掘長度均保持不變，合作一段時間后，乙組因維修設備而停工，甲組單獨完成了剩下的任務，甲、乙兩組挖掘的長度之和與甲組挖掘時間x（天）之間的關系如圖所示．

(1)甲組比乙組多挖掘了__________天．
(2)求乙組停工后y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．
(3)當甲組挖掘的總長度與乙組挖掘的總長度相等時，直接寫出乙組已停工的天數．
【答案】(1)30
(2)
(3)10天
【分析】（1）由圖可知，前30天甲乙兩組合作，30天以后甲組單獨做，據此計算即可；
（2）設乙組停工后y關于x的函數解析式為，用待定系數法求解，再結合圖象即可得到自變量x的取值范圍；
（3）先計算甲乙兩組每天各挖掘多少千米，再計算乙組挖掘的總長度，設乙組已停工的天數為a，根據甲組挖掘的總長度與乙組挖掘的總長度相等列方程計算即可．
【詳解】（1）解：由圖可知，前30天甲乙兩組合作，30天以后甲組單獨做，
∴甲組挖掘了60天，乙組挖掘了30天，
（天）
∴甲組比乙組多挖掘了30天，
故答案為：30；
（2）解：設乙組停工后y關于x的函數解析式為，
將和兩個點代入，可得，
解得，
∴
（3）解：甲組每天挖（米）
甲乙合作每天挖（米）
∴乙組每天挖（米），乙組挖掘的總長度為（米）
設乙組己停工的天數為a，
則，
解得，
答：乙組已停工的天數為10天．
【點睛】本題考查了一次函數的應用，待定系數法求函數的解析式，理解題意觀察圖象得到有用信息是解題的關鍵．
15．（2023·江蘇南通·中考真題）為推進全民健身設施建設，某體育中心準備改擴建一塊運動場地．現有甲、乙兩個工程隊參與施工，具體信息如下：
信息—
工程隊 每天施工面積（單位：） 每天施工費用（單位：元）
甲 3600
乙 x 2200
信息二
甲工程隊施工所需天數與乙工程隊施工所需天數相等．
(1)求x的值；
(2)該工程計劃先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續施工，兩隊共施工22天，且完成的施工面積不少于．該段時間內體育中心至少需要支付多少施工費用
【答案】(1)x的值為600
(2)該段時間內體育中心至少需要支付施工費用56800元
【分析】（1）根據題意甲工程隊施工所需天數與乙工程隊施工所需天數相等列出分式方程解方程即可；
（2）設甲工程隊先單獨施工天，體育中心共支付施工費用元，根據先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續施工，兩隊共施工22天，且完成的施工面積不少于列出不等式即可得到答案．
【詳解】（1）解：由題意列方程，得．
方程兩邊乘，得．
解得．
檢驗：當時，．
所以，原分式方程的解為．
答：x的值為600．
（2）解：設甲工程隊先單獨施工天，體育中心共支付施工費用元．
則．
，
．
1400>0，
隨的增大而增大．
當時，取得最小值，最小值為56800．
答：該段時間內體育中心至少需要支付施工費用56800元．
【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
16．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）在某市雙城同創的工作中，某社區計劃對的區域進行綠化，經投標，由甲、乙兩個施工隊來完成，已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化面積的2倍，并且在獨立完成面積為區域的綠化時，甲隊比乙隊少用3天．
(1)甲、乙兩施工隊每天分別能完成綠化的面積是多少？
(2)若甲隊每天綠化費用為0.4萬元，乙隊每天綠化費用為0.15萬元，且甲、乙兩隊施工的總天數不超過14天，使施工費用最少？并求出最少費用．
【答案】(1)甲、乙兩施工隊每天分別能完成綠化的面積是，
(2)安排甲隊工作10天，乙隊工作4天，最少費用為4.6萬元
【分析】此題是一次函數綜合題，主要考查了分式方程及其解法，不等式及其解法，極值的確定，解本題的關鍵是求出甲乙對每天的工作量．
（1）設乙工程隊每天能完成綠化的面積是，根據在獨立完成面積為區域的綠化時，甲隊比乙隊少用3天，列方程求解；
（2）設應甲隊的工作天，則乙隊工作天，得到，用a的代數式表示b，由得，即可得到費用關于a的關系式，再求解．
【詳解】（1）解：設乙工程隊每天能完成綠化的面積為，
根據題意得，
解得：，
經檢驗是原分式方程的解，
∴，
答：甲、乙兩施工隊每天分別能完成綠化的面積是，；
（2）設安排甲隊工作a天，乙隊工作b天，
由題意得：，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
費用，
當時，最少萬元．
答：安排甲隊工作10天，乙隊工作4天，最少費用為4.6萬元．
題型05 分配問題
17．（2024·山東東營·中考真題）隨著新能源汽車的發展，東營市某公交公司計劃用新能源公交車淘汰“冒黑煙”較嚴重的燃油公交車．新能源公交車有型和型兩種車型，若購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元；若購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元．
(1)求購買型和型新能源公交車每輛各需多少萬元？
(2)經調研，某條線路上的型和型新能源公交車每輛年均載客量分別為萬人次和萬人次．公司準備購買輛型、型兩種新能源公交車，總費用不超過萬元．為保障該線路的年均載客總量最大，請設計購買方案，并求出年均載客總量的最大值．
【答案】(1)購買型新能源公交車每輛需萬元，購買型新能源公交車每輛需萬元；
(2)方案為購買型公交車輛，型公交車輛時．線路的年均載客總量最大，最大在客量為萬人．
【分析】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式及一次函數的應用，注意理解題意，找出題目蘊含的數量關系，列出方程組及一次函數是解題的關鍵．
（1）設購買型公交車每輛需萬元，購買型公交車每輛需萬元，根據“購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元；若購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元”列出方程組解決問題即可；
（2）設購買型公交車輛，則型公交車輛，由“公司準備購買輛型、型兩種新能源公交車，總費用不超過萬元”列出不等式求得的取值，再求出線路的年均載客總量為與的關系式，根據一次函數的性質求解即可．
【詳解】（1）解：設購買型新能源公交車每輛需萬元，購買型新能源公交車每輛需萬元，
由題意得：，
解得，
答：購買型新能源公交車每輛需萬元，購買型新能源公交車每輛需萬元；
（2）解：設購買型公交車輛，則型公交車輛，該線路的年均載客總量為萬人，
由題意得，
解得：，
∵，
∴，
∵是整數，
∴，，；
∴線路的年均載客總量為與的關系式為，
∵，
∴隨的增大而減小，
∴當時，線路的年均載客總量最大，最大載客量為（萬人次）
∴（輛）
∴購買方案為購買型公交車輛，則型公交車輛，此時線路的年均載客總量最大時，且為760萬人次，
18．（2024·湖南長沙·模擬預測）為響應國家關于推動各級各類生產設備、服務設備更新和技術改造的號召，某公司計劃將辦公電腦全部更新為國產某品牌，市場調研發現，品牌的電腦單價比品牌電腦的單價少元，通過預算得知，用萬元購買品牌電腦比購買品牌電腦多臺．
(1)試求，兩種品牌電腦的單價分別是多少元；
(2)該公司計劃購買，兩種品牌的電腦一共臺，且購買品牌電腦的數量不少于品牌電腦的，試求出該公司費用最少的購買方案．
【答案】(1)品牌電腦的單價是元，品牌電腦的單價是元；
(2)該公司費用最少的購買方案為購買臺電腦，購買臺電腦，最少需要元．
【分析】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（）根據各數量之間的關系，找出關于的函數關系式．
（1）設品牌電腦的單價是萬元，則品牌電腦的單價是萬元，利用數量總價單價，結合“用萬元購買品牌電腦比購買品牌電腦多臺”，可列出關于的分式方程，解之檢驗后，可得出品牌電腦的單價，再將其代入即可求出品牌電腦的單價；
（2）設購買臺品牌電腦，則購買臺品牌電腦，根據買品牌電腦的數量不少于品牌電腦的，可列出關于的一元一次不等式，解之可得出的取值范圍，設學校購買這些電腦需要元，利用總價單價數量，可找出關于的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可解決最值問題．
【詳解】（1）解：設品牌電腦的單價是萬元，則品牌電腦的單價是萬元，根據題意得：，
化簡得
解得：，（舍去），
經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
∴品牌電腦的單價是萬元元，則品牌電腦的單價是萬元即元．
答：品牌電腦的單價是元，品牌電腦的單價是元；
（2）解：設購買臺品牌電腦，則購買臺品牌電腦，
根據題意得：，
解得：．
設學校購買這些電腦需要元，則，
即，
，
隨的增大而減小，
當時，取得最小值，最小值為（元）．此時，
∴該公司費用最少的購買方案為購買臺電腦，購買臺電腦，最少需要元．
19．（2024·河南周口·三模）春和景明，草長鶯飛的四月和五月，全家最適合周末去附近的公園里踏青或爬山，并且進行野餐，某便民商店計劃在春天踏春之際購進，兩種不同型號的野餐墊共個，已知購進型號的野餐墊個和型號的野餐墊個需要元，購進型號的野餐墊個和型號的野餐墊個需要元．
(1)求該商店購進每個型號和型號的野餐墊的價格；
(2)該商店在調查后根據實際需求，現在決定購進型號的野餐墊不超過型號野餐墊數量的，為使購進野餐墊的總費用最低，應購進型號野餐墊和型號的野餐墊各多少個 購進野餐墊的總費用最低為多少元
【答案】(1)購進每個型號野餐墊的價格為元，購進每個型號的野餐墊的價格為元
(2)為使購進野餐墊的總費用最低，應購進型號的野餐墊個，型號的野餐墊個，購進野餐墊的總費用最低為元
【分析】本題考查了二元一次方程組、一次函數和不等式的應用，解題的關鍵是理解題意，正確列出等量關系式．
（1）設購進每個型號野餐墊的價格為元，購進每個型號野餐墊的價格為元，根據題意列出二元一次方程組即可求解；
（2）設該商店購進型號野餐墊個，總費用為元，則購進型號野餐墊個，根據題意得出，，再根據一次函數的性質即可求解．
【詳解】（1）解：設購進每個型號野餐墊的價格為元，購進每個型號野餐墊的價格為元，
根據題意可得：，
解得：，
答：購進每個型號野餐墊的價格為元，購進每個型號的野餐墊的價格為元；
（2）設該商店購進型號野餐墊個，總費用為元，則購進型號野餐墊個，
由題意可得：
，
其中，
解得：，
，
隨的增大而減小，
當時，最小，最小值為元，
答：為使購進野餐墊的總費用最低，應購進型號的野餐墊個，型號的野餐墊個，購進野餐墊的總費用最低為元．
20．（2024·河南周口·二模）為加強中華優秀傳統文化的弘揚與傳承，提升學生的文化自信，引導學生在經典詩歌中啟智潤心、培根鑄魂，某校決定舉辦中華經典詩歌朗讀比賽．為鼓勵同學們積極參與，大賽設置一等獎、二等獎、三等獎，對應的獎品如下表所示．已知購買一本《詩經》的價格是元，購買1個筆記本和2支筆的價格是元，購買2個筆記本和3支筆的價格是元．
一等獎 二等獎 三等獎
獎品 1 本《詩經》 2個筆記本、1支筆 1 本《詩經》 2支筆 1 個筆記本2支筆
(1)請計算購買 1 個筆記本和1支筆的價格分別是多少
(2)據統計，共有名同學參加比賽，若要求每位參賽同學都能獲得一個獎，且一等獎共設置5名，二等獎的數量不少于三等獎數量的 ，則最少需要多少費用來購買獎品 并寫出此時二等獎和三等獎各設置多少名．
【答案】(1)購買一個筆記本的價格為元，購買一支筆的價格為4元
(2)最少需要元來購買獎品，此時設置二等獎名，三等獎名
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用．熟練掌握二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用是解題的關鍵．
（1）設購買一個筆記本的價格為元，購買一支筆的價格為元，依題意得，，計算求解即可；
（2）設共設置二等獎個，則設置三等獎個，購買獎品的費用為元，由題意知，，可得，依題意得， ，然后求解作答即可．
【詳解】（1）解：設購買一個筆記本的價格為元，購買一支筆的價格為元，
依題意得，，
解得，
∴購買一個筆記本的價格為元，購買一支筆的價格為4元；
（2）解：設共設置二等獎個，則設置三等獎個，購買獎品的費用為元，
由題意知，，
解得，，
依題意得， ，
∵，
∴當時，，
∴，
∴最少需要元來購買獎品，此時設置二等獎名，三等獎名．
題型06 分段計費問題
21．（2024·浙江衢州·一模）我市“一戶一表、抄表到戶”居民生活用水實行階梯水價，三級收費標準如下表，每戶每年應繳水費（元）與用水量關系如圖．
分類 用水量 單價（元/）
第1級 不超過300
第2級 超過300不超過480的部分
第3級 超過480的部分
根據圖表信息，解答下列問題：
(1)小南家2022年用水量為，共繳水費1168元．求，及線段的函數表達式．
(2)小南家2023年用水量增加，共繳水費元，求2023年小南家用水量．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題主要考查了一次函數的實際應用，一元一次方程的實際應用：
（1）根據函數圖象即可求出a的值，進而求出k的值，再求出點B的坐標，即可利用待定系數法求出對應的函數解析式；
（2）先推出，進而根據共繳水費元列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：由圖表可知：，
∴；
∴當用水量為時，每年應繳水費為元
∴
設，把，代入，得
，
解得
∴線段的函數表達式為．
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得．
∴2023年小南家用水量為．
22．（2023·陜西西安·二模）某市出租車計費方法為：當行駛里程不超過時，計價器保持在元；當行駛里程超過時，計價器開始變化，行駛里程x（）與車費y（元）之間的關系如圖所示．
(1)當行駛里程超過時，求y與x之間的函數關系式；
(2)若某乘客有一次乘出租車的車費為元，求這位乘客乘車的里程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系數法解答，即可求解；
（2）把代入（1）中解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：由圖象得出租車的起步價是元．
當時，設y與x之間的函數關系式為，
由函數圖象過點，
得解得
故當行駛里程超過時，y與x之間的函數關系式為．
（2）解：，
令，即，解得．
答：這位乘客乘車的里程是．
【點睛】本題主要考查了一次函數的實際應用，明確題意，準確列出函數關系式是解題的關鍵．
23．（2023·上海浦東新·二模）某市全面實施居民“階梯水價”．當累計水量超過年度階梯水量分檔基數臨界點后，即開始實施階梯價格計價，分檔水量和單價見下表：
分檔 戶年用水量 （立方米） 自來水單價 （元/立方米） 污水處理單價 （元/立方米）
第一階梯 0~220（含220） 2.25 1.8
第二階梯 220~300（含300） 4
第三階梯 300以上 6.99
注：應繳的水費＝戶年用水量×（自來水單價＋污水處理單價）
仔細閱讀上述材料，請解答下面的問題：
(1)如果小葉家全年用水量是220立方米，那么她家全年應繳納水費多少元？
(2)居民應繳納水費y（元）關于戶年用水量x（立方米）的函數關系如圖所示，求第二階梯（線段）的表達式；
(3)如果小明家全年繳納的水費共計1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？
【答案】(1)她家全年應繳納水費891元
(2)
(3)他家全年用水量是270立方米
【分析】（1）根據題意列出算式計算即可；
（2）利用待定系數法求出函數解析式即可；
（3）根據繳納的水費1181元得出用水量在第二階梯范圍內，然后將代入（2）中求出的函數解析式進行解答即可．
【詳解】（1）解：根據題意得：（元），
答：她家全年應繳納水費891元．
（2）解：設線段的表達式為，把，代入得：
，
解得：，
∴線段的表達式為．
（3）解：∵，
∴小明家全年用水量處于第二階梯，
把代入得：，
解得：，
答：他家全年用水量是270立方米．
【點睛】本題主要考查了一次函數的實際應用，解題的關鍵是理解題意，熟練掌握待定系數法，數形結合．
24．（2023·四川·中考真題）某移動公司推出A，B兩種電話計費方式．
計費方式 月使用費/元 主叫限定時間/min 主叫超時費/（元/min） 被叫
A 免費
B 免費
(1)設一個月內用移動電話主叫時間為tmin，根據上表，分別寫出在不同時間范圍內，方式A，方式B的計費金額關于t的函數解析式；
(2)若你預計每月主叫時間為350min，你將選擇A，B哪種計費方式，并說明理由；
(3)請你根據月主叫時間t的不同范圍，直接寫出最省錢的計費方式．
【答案】(1)見解析；
(2)選方式B計費，理由見解析；
(3)見解析．
【分析】（1）根據題意，設兩種計費金額分別為、，分別計算 三個不同范圍內的A、B兩種方式的計費金額即可；
（2）令，根據（1）中范圍求出對應兩種計費金額，選擇費用低的方案即可；
（3）令，求出此時的值，當主叫時間時，方式A省錢；當主叫時間時，方式A和B一樣；當主叫時間時，方式B省錢；
【詳解】（1）解：根據題意，設兩種計費金額分別為、
當時，方式A的計費金額為元，方式B的計費金額為108元；
方式A的計費金額，方式B的計費金額為108元；
當時，方式A的計費金額為，方式B的計費金額為
總結如下表：
主叫時間/分鐘 方式A計費() 方式B計費()
78 108
108
（2）解：當時，
，故選方式B計費．
（3）解：令，有解得
∴當時，方式A更省錢；
當時，方式A和B金額一樣；
當時，方式B更省錢．
【點睛】本題考查了一次函數在電話計費中的應用，根據題意分段討論是求解的關鍵．
題型07 調運問題
25．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）城有肥料，城有肥料．現要把這些肥料全部運往，兩鄉．從城往，兩鄉運肥料的費用分別為20元和25元；從城往，兩鄉運肥料的費用分別為15元和24元．現鄉需要肥料，鄉需要肥料．
(1)設從城往鄉運肥料噸，則從城往鄉運肥料多少噸（用含x的式子表示，并化簡結果）？
(2)設調運的總運費元，請寫出關于的函數關系式以及的取值范圍；
(3)怎樣調運可使總運費最少，并求出最少運費．
【答案】(1)噸肥料
(2)
(3)從A城運往C鄉0噸，運往D鄉200噸；從B城運往C鄉240噸，運往D鄉60噸，此時總運費最少，最少的運輸費用是元
【分析】考查了一次函數的應用和列代數式，根據題意正確列出代數式和和一次函數是解題的關鍵．
（1）由題意可得：設從A城往C鄉運x噸肥料，則從A城往D鄉運噸肥料，B城往C鄉運噸肥料，即可得到答案；
（2）設調運的總運費元，根據（1）中的代數式列出一次函數即可；
（3）根據一次函數的性質解答即可．
【詳解】（1）解：由題意可得：設從A城往C鄉運x噸肥料，則從A城往D鄉運噸肥料，B城往C鄉運噸肥料，
所以，從B城往D鄉運噸肥料；
（2）由題意可得：
，
，
解得：；
（3）
∵，y隨x的增大而增大，，
∴當時，，
∴從A城運往C鄉0噸，運往D鄉200噸；從B城運往C鄉240噸，運往D鄉60噸，此時總運費最少，最少的運輸費用是元．
26．（2023·湖北武漢·二模）計劃將甲、乙兩廠的生產設備運往A，B兩地，甲廠設備有60臺，乙廠設備有40臺，A地需70臺，B地需30臺，每臺設備的運輸費（單位：百元）如表格所示，設從甲廠運往A地的有x臺設備（x為整數）．
A地 B地
甲廠 7 10
乙廠 10 15
(1)用含x的式子直接填空：甲廠運往B地__________臺，乙廠運往A地__________臺，乙廠運往B地__________臺．
(2)請你設計一種調運的運輸方案，使總費用最低，并求出最低費用為多少？
(3)因客觀原因，從甲到A的運輸費用每臺增加了m百元，從乙到B的運輸費用每臺減小了2m百元，其它不變，且，請你探究總費用的最小值．
【答案】(1)，，
(2)當甲廠運往A地30臺，B地30臺，乙廠將40臺都運往A地時，費用最低，最低費用為9萬1千元
(3)見解析
【分析】（1）根據題目中的數量關系填空即可；
（2）根據（1）列出運輸總費用函數關系式，再確定自變量的取值范圍，利用一次函數增減性求解即可；
（3）列出總費用函數關系式，對m的值進行分類討論，利用一次函數增減性求解即可．
【詳解】（1）解：從甲廠運往A地的有x臺設備，則甲廠運往B地臺；乙廠運往A地臺；乙廠運往B地臺；
故答案為：，，
（2）解：設運輸費為y百元，依題意得
，
∵，
∴y隨x的增大而增大，當x最小時，y最小，
；；
∴．
∴當時，y有最小值910．
∴當甲廠運往A地30臺，B地30臺，乙廠將40臺都運往A地時，費用最低，最低費用為9萬1千元．
（3）解：
．
當時，無論怎么安排，運費都是9萬7千元；
當時，，y隨x的增加而增加，當時，運費最低（百元）；
當時，，y隨x增加而減小，當時，運費最低=9萬7千元．
【點睛】本題考查一次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，根據已知列出函數關系式，掌握并能運用一次函數的性質．
27．（2022·黑龍江·中考真題）為抗擊疫情，支援B市，A市某蔬菜公司緊急調運兩車蔬菜運往B市．甲、乙兩輛貨車從A市出發前往B市，乙車行駛途中發生故障原地維修，此時甲車剛好到達B市．甲車卸載蔬菜后立即原路原速返回接應乙車，把乙車的蔬菜裝上甲車后立即原路原速又運往B市．乙車維修完畢后立即返回A市．兩車離A市的距離y（km）與乙車所用時間x（h）之間的函數圖象如圖所示．
(1)甲車速度是_______km/h，乙車出發時速度是_______km/h；
(2)求乙車返回過程中，乙車離A市的距離y（km）與乙車所用時間x（h）的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
(3)乙車出發多少小時，兩車之間的距離是120km？請直接寫出答案．
【答案】(1)100 60
(2)
(3)3，6.3，9.1
【分析】（1）根據圖象分別得出甲車5h的路程為500km，乙車5h的路程為300km，即可確定各自的速度；
（2）設，由圖象可得經過點（9，300），（12，0）點，利用待定系數法即可確定函數解析式；
（3）乙出發的時間為t時，相距120km，根據圖象分多個時間段進行分析，利用速度與路程、時間的關系求解即可．
【詳解】（1）解：根據圖象可得，甲車5h的路程為500km，
∴甲的速度為：500÷5=100km/h；
乙車5h的路程為300km，
∴乙的速度為：300÷5=60km/h；
故答案為：100；60；
（2）設，由圖象可得經過點（9，300），（12，0）點，
代入得，
解得
∴y與x的函數解析式為；
（3）解：設乙出發的時間為t時，相距120km，
根據圖象可得，
當0100t-60t=120，
解得：t=3；
當5當5.5500-100（t-5.5）-300=120，
解得：t=6.3；
當8100（t-8）=120，
解得：t=9.2，不符合題意，舍去；
當9100×（9-8）+100（t-9）+100（t-9）=120，
解得：t=9.1；
綜上可得：乙車出發3h、6.3h與9.1h時，兩車之間的距離為120km．
【點睛】題目主要考查根據函數圖象獲取相關信息，一次函數的應用，一元一次方程的應用等，理解題意，根據函數圖象得出相關信息是解題關鍵．
28．（2024·山東青島·一模）某運輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性將328噸的物資運往兩地，兩種貨車載重量及到兩地的運輸成本如下表：
貨車類型 載重量（噸/輛） 運往A地的成本（元/輛） 運往B地的成本（元/輛）
甲種 16 1200 900
乙種 12 1000 750
(1)求甲、乙兩種貨車各用了多少輛；
(2)如果前往地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運物資不少于160噸，其余貨車將剩余物資運往地．設甲、乙兩種貨車到兩地的總運輸成本為元，前往地的甲種貨車為輛．求當為何值時，最?。孔钚≈凳嵌嗌伲?br/>【答案】(1)甲種貨車用10輛，則乙種貨車用14輛
(2)當時，w最小，最小值為22700元
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用，根據題意列出方程，不等式與一次函數關系式是解題的關鍵．
（1）設甲種貨車用x輛，則乙種貨車用輛．根據題意列一元一次方程即可求解；
（2）先根據表格信息列出w與t之間的函數解析式，根據所運物資不少于160噸列出不等式，求得t的范圍，然后根據一次函數的性質求得最小值即可．
【詳解】（1）解：設甲種貨車用x輛，則乙種貨車用輛，
根據題意，得，
解得，
∴，
答：甲種貨車用10輛，則乙種貨車用14輛；
（2）解：根據題意，得
，
∵
∴
∵，
∴w隨t的減小而減?。?br/>∴當時，w最小，最小值為（元）．
題型08 計時問題
29．（2023·浙江臺州·中考真題）【問題背景】
“刻漏”是我國古代的一種利用水流計時的工具．綜合實踐小組準備用甲、乙兩個透明的豎直放置的容器和一根帶節流閥（控制水的流速大小）的軟管制作簡易計時裝置．
【實驗操作】
綜合實踐小組設計了如下的實驗：先在甲容器里加滿水，此時水面高度為30cm，開始放水后每隔10min觀察一次甲容器中的水面高度，獲得的數據如下表：
流水時間t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（觀察值） 30 29 28.1 27 25.8
任務1 分別計算表中每隔10min水面高度觀察值的變化量．
【建立模型】
小組討論發現：“，”是初始狀態下的準確數據，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數近似地刻畫水面高度h與流水時間t的關系．

任務2 利用時，；時，這兩組數據求水面高度h與流水時間t的函數解析式．
【反思優化】
經檢驗，發現有兩組表中觀察值不滿足任務2中求出的函數解析式，存在偏差．小組決定優化函數解析式，減少偏差．通過查閱資料后知道：t為表中數據時，根據解析式求出所對應的函數值，計算這些函數值與對應h的觀察值之差的平方和，記為w；w越小，偏差越?。?br/>任務3 （1）計算任務2得到的函數解析式的w值．
（2）請確定經過的一次函數解析式，使得w的值最小．
【設計刻度】
得到優化的函數解析式后，綜合實踐小組決定在甲容器外壁設計刻度，通過刻度直接讀取時間．
任務4 請你簡要寫出時間刻度的設計方案．
【答案】任務1：見解析；任務2：；任務3：（1），（2）；任務4：見解析
【分析】任務1：根據表格每隔10min水面高度數據計算即可；
任務2：根據每隔10min水面高度觀察值的變化量大約相等，得出水面高度h與流水時間t的是一次函數關系，由待定系數法求解；
任務3：（1）先求出對應時間的水面高度，再按要求求w值；
（2）設，然后根據表格中數據求出此時w的值是關于k的二次函數解析式；由此求出w的值最小時k值即可；
任務4：根據高度隨時間變化規律，以相同時間刻畫不同高度即可，類似如數軸三要素，有原點、正方向與單位長度．最大量程約為294min可以代替單位長度要素．
【詳解】解：任務1：變化量分別為，；；
；；
任務2：設，
∵時，，時，；
∴
∴水面高度h與流水時間t的函數解析式為．
任務3：（1）當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
∴
．
（2）設，則
．
當時，w最?。?br/>∴優化后的函數解析式為．
任務4：時間刻度方案要點：
①時間刻度的0刻度在水位最高處；
②刻度從上向下均勻變大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示時間約為9.8min）．
【點睛】本題主要考查一次函數和二次函數的應用、方差的計算，熟練掌握待定系數法求解析式及一次函數的函數值、二次函數的最值是解題的關鍵．
30．（2024·廣東·模擬預測）漏刻是我國古代的一種計時工具．小軒依據漏刻的原理制作了一個簡單的漏刻計時工具模型，研究中發現其水位與時間之間成一次函數關系．小軒通過多次計時并測量水位的高度，得到如下表數據：
… 1 2 3 5 …
… …
(1)求關于的函數關系式；
(2)若小軒開始測量的時間為早上，當水位讀數為時，求此時的時間．
【答案】(1)
(2)當水位讀數為時，此時的時間為
【分析】本題主要考查了一次函數的實際應用；
（1）設出函數解析式，再根據表格中的數據利用待定系數法求解即可；
（2）根據（1）所求求出當時，t的值即可得到答案．
【詳解】（1）解：設關于的函數關系式為，
將代入中，得，
解得，
關于的函數關系式為；
（2）解：將代入得，解得，
開始測量的時間為早上，
當水位讀數為時，此時的時間為．
31．（2023·江西南昌·一模）沙漏又稱“沙鐘”，是我國古代一種計量時間的裝置．它是根據均勻的沙粒從一玻璃球漏到另一個玻璃球的數量來計量時間．其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球后立即將沙漏倒置（倒置時間忽略不計），重新進行計時，周而復始．某課外數學小組觀察發現：該沙漏上面玻璃球沙粒剩余量粒與流入時間秒成一次函數關系（不考慮其他因素），當流入時間在第秒時，上面玻璃球剩余沙粒粒，當流入時間在第秒時，上面玻璃球剩余沙粒粒．
(1)求出上面玻璃球沙粒余量粒與流入時間（秒）之間的函數關系式；
(2)求沙漏恰好完成第一次倒置所需時間．
【答案】(1)
(2)秒
【分析】（1）設一次函數的解析式，待定系數法求解析式即可求解；
（2）根據題意，沙漏恰好完成第一次倒置，令，即可求解．
【詳解】（1）解：設一次函數的解析式．
將和分別代入．得
解得．
∴．
（2）解：∵沙漏恰好完成第一次倒置，
∴．
即，解得．
∴沙漏恰好完成第一次倒置的時間是60秒．
【點睛】本題考查了一次函數的應用，根據題意列出一次函數關系式是解題的關鍵．
32．（2022·廣東深圳·二模）某學校STEAM社團在進行項目化學習時，根據古代的沙漏模型（圖1）制作了一套“沙漏計時裝置”，該裝置由沙漏和精密電子秤組成，電子秤上放置盛沙容器．沙子緩慢勻速地從沙漏孔漏到精密電子稱上的容器內，可以通過讀取電子秤的讀數計算時間（假設沙子足夠）．該實驗小組從函數角度進行了如下實驗探究：實驗觀察：實驗小組通過觀察，每兩小時記錄一次電子秤讀數，得到表1．
表1
沉沙時間 0 2 4 6 8
電子秤讀數y（克） 6 18 30 42 54
探索發現：
(1)建立平面直角坐標系，如圖2，橫軸表示漏沙時間x，縱坐標表示精密電子稱的讀數y，描出以表1中的數據為坐標的各點．
(2)觀察上述各點的分布規律，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上，請你建立適當的函數模型，并求出函數表達式，如果不在同一條直線上，請說明理由．結論應用：應用上述發現的規律估算：
(3)若漏沙時間為9小時，精密電子稱的讀數為多少？
(4)若本次實驗開始記錄的時間是上午7:30，當精密電子秤的讀數為72克時是幾點鐘？
【答案】(1)作圖見解析
(2)在同一直線上．函數表達式為：
(3)漏沙時間為9小時，精密電子稱的讀數為60克
(4)下午6:30
【分析】（1）根據表中各點對應橫、縱坐標，描點即可．
（2）通過連線可知這些點大致分布在同一直線上，滿足一次函數表達式，所以可假設一次函數表達式，利用待定系數法求解函數表達式．
（3）根據（2）中的表達式可求出當時，精密電子秤的讀數．
（4）根據（2）中的表達式可求出當時，漏沙的時間，然后根據起始時間可求出讀數為72克的時間．
【詳解】（1）解：如圖所示
（2）
解：如圖所示，連線可得，這些點在同一線上，并且符合一次函數圖像．
設一次函數表達式為：
將點，代入解析式中可得
解得
函數表達式為：
（3）解：由（2）可知函數表達式為：
當時，
漏沙時間為9小時，精密電子稱的讀數為60克．
（4）解：由（2）可知函數表達式為：
當時，
起始時間是上午7:30
經過11小時的漏沙時間為下午6:30．
【點睛】本題考查一次函數的實際應用，要求掌握描點法畫函數圖象，待定系數法求解析式，會求函數自變量或函數值是解決本題的關鍵．
33．（2024·湖南長沙·模擬預測）“刻漏”是我國古代的一種利用水流計時的工具．綜合實踐小組準備用甲、乙兩個透明的豎直放置的容器和一根帶節流閥（控制水的流速大?。┑能浌苤谱骱喴子嫊r裝置．
(1)綜合實踐小組設計了如下的實驗：先在甲容器里加滿水，此時水面高度為，開始放水后每隔觀察一次甲容器中的水面高度，獲得的數據如下表所示，請分別計算表中每隔水面高度觀察值的變化量．
流水時間 0 10 20 30 40
水面高度（觀察值） 30 29 28.1 27 25.8
水面高度的變化量
(2)小組討論發現：“，”是初始狀態下的準確數據，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數近似地刻畫水面高度與流水時間的關系．試利用時，；時，這兩組數據求水面高度與流水時間的函數解析式；
(3)經檢驗，發現有兩組表中觀察值不滿足任務2中求出的函數解析式，存在偏差，小組決定優化函數解析式，減少偏差．通過查閱資料后知道：為表中數據時，根據解析式求出所對應的函數值，計算這些函數值與對應的觀察值之差的平方和，記為；越小，偏差越小．
①計算任務2得到的函數解析式的值；
②請確定經過的一次函數解析式，使得的值最?。?br/>【答案】(1)，，，.
(2)；
(3)①；②
【分析】（1）依表計算即可；
（2）根據待定系法確定關系式即可；
（3）（1）根據題意計算即可；（2）設，代入w計算化簡，利用一二次函數性質求w的最小值即可.
【詳解】（1）解：變化量分別為：；；；，
∴每隔水面高度觀察值的變化量為：，，，.
故答案為：，，，．
（2）解：設水面高度h與流水時間t的函數解析式為，
∵時，；時，；
∴，
解得：，
∴水面高度h與流水時間t的函數解析式為．
（3）解：①.
②解： ，
∴當時，w的最小值為.
∴．
【點睛】本題主要考查一次函數和二次函數的應用、方差的計算，熟練掌握待定系數法求解析式及一次函數的函數值、二次函數的最值是解題的關鍵．
題型09 體積問題
34．（2020·浙江紹興·模擬預測）實驗室里，水平桌面上有甲、乙、丙三個高都為10cm圓柱形容器（甲、丙的底面積相同），用兩個相同的管子在容器的6cm高度處連通（即管子底離容器底6cm，管子的體積忽略不計）．現三個容器中，只有甲中有水，水位高2cm，如圖①所示．若每分鐘同時向乙、丙容器中注入相同量的水，到三個容器都注滿水停止，乙、丙容器中的水位h（cm）與注水時間t（min）的圖象如圖②所示．若乙比甲的水位高2cm時，注水時間m分鐘，則m的值為（　?。?br/>A．3或5 B．4或6 C．3或 D．5或9
【答案】C
【分析】確定、的值，再分乙容器的水位達到時、甲容器的水位達到時兩種情況，分別求解．
【詳解】解：2分鐘時，丙的水量達到6cm，而此時乙的水量為2cm，故乙、丙兩容器的底面積之比為3：1，
∵乙、丙兩容器的底面積之比為3：1，丙容器注入2分鐘到達6cm，
∴乙容器的水位達到6cm所需時間為：a＝2+2＝4（min），
b＝（10﹣2+10×3+10）÷6＝8（min）．
①當2≤x≤4時，設乙容器水位高度h與時間t的函數關系式為h＝kt+b（k≠0），
∵圖象經過（2，2）、（4，6）兩點，則，解得：，
∴h＝2t﹣2（2≤x≤4）．
當h＝4時，則2t﹣2＝4，解得t＝3；
②設t分鐘后，甲容器水位為4cm，根據題意得：2+6（t﹣4）＝4，
解得：t＝．
故選：C．
【點睛】本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數的性質和數形結合的思想解答．
35．（2023·河北保定·一模）如圖1，一個正方體鐵塊放置在高為的圓柱形容器內，現以一定的速度往容器內注水，注滿容器為止．容器頂部離水面的距離與注水時間之間的函數圖象如圖2所示．
(1)求直線的解析式，并求出容器注滿水所需的時間．
(2)求正方體鐵塊的體積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）待定系數法求出得解析式即可，令時，求出值；
（2）根據圖像確定出正方形的高即可求解．
【詳解】（1）解：設直線的解析式為，
將點和代入中，
得，解得，
∴直線的解析式為．
令，即，解得，
故容器注滿水所需的時間為．
（2）解：由圖像段可知正方體的高為，
即正方體的邊長為，
故正方體的體積為．
【點睛】本題考查了一次函數的實際應用，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法求解析式．
36．（2022·山東濟寧·三模）如圖1，在底面積為，高為20cm的長方體水槽內放入一個圓柱形燒杯，以恒定不變的速度先向燒杯中注水，注滿燒杯后，繼續注水，直至注滿水槽為止，此過程中，燒杯本身的質量、體積忽略不計，燒杯在大水槽中的位置始終不變，水槽中水面上升的高度h與注水時間t之間的函數關系如圖2，則燒杯的底面積是
【答案】20
【分析】設燒杯的底面積為cm ，高為cm，注水速度為cm3/s，根據當注水時間為18s時，燒杯剛好注滿；當注水時間為90s時，水槽內的水面高度恰好與燒杯中的水面齊平，列出方程組，即可求出燒杯的底面積．
【詳解】解：設燒杯的底面積為cm ，高為cm，注水速度為cm3/s
由圖1、圖2分析可得：當注水時間為18s時，燒杯剛好注滿；當注水時間為90s時，水槽內的水面高度恰好與燒杯中的水面齊平．
由此可得：
∵
∴
∴
故答案為：20．
【點睛】本題主要考查了一次函數的應用，解答本題的關鍵是讀懂函數圖象中每個拐點的實際意義．
37．（2021·河北石家莊·一模）如圖，、兩個長方體水箱放置在同一水平桌面上，開始時水箱中沒有水，水箱中盛滿水．現以的流量從水箱中抽水注入水箱中，直至水箱注滿水為止．設注水，水箱的水位高度為，水箱中的水位高度為，根據圖中數據解答下列問題（抽水水管的體積忽略不計）
（1）水箱的容積為______；（提示：容積底面積高）
（2）分別寫出、與之間的函數表達式；
（3）當水箱與水箱中的水的體積相等時，求出此時兩水箱中水位的高度差．
【答案】（1）；（2），；（3）水位高度差為．
【分析】（1）根據長方體的體積公式計算即可．
（2）根據“水箱A的水位高度＝注入水的體積÷水箱A的底面積”得出yA與t之間的函數表達式；“水箱B中的水位高度＝6﹣流出水的體積÷水箱B的底面積”得出yB與t之間的函數表達式；
（3）當水箱A與水箱B中的水的體積相等時，即水箱B中的水還剩下一半，根據（2）的結論可以分別求出兩水箱中水位的高度即可解答．
【詳解】解:(1)水箱A的容積為：3×2×6＝36dm3．
故答案為：36dm3．
（2）根據題意得：；
；
（3）當水箱A與水箱B中的水的體積相等時，，
即﹣0.6t+6＝3，解得t＝5；
當t＝5時，yA＝t＝5．
∴yA﹣yB＝5﹣3＝2．
答：當水箱A與水箱B中的水的體積相等時，兩水箱中水位的高度差為2dm．
【點睛】此題考查了一次函數的應用，熟練掌握注水速度＝注水體積÷注水時間，圓柱體積＝圓柱的底面積×圓柱的高，這兩個公式為解題關鍵．
38．（23-24九年級上·湖南長沙·期末）一透明的敞口正方體容器 裝有一些液體，棱始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為（，如圖所示）．
探究：如圖1，液面剛好過棱，并與棱交于點Q，此時液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如圖②．解決問題：
(1)與的位置關系是 ，的長是 ， °（注：，）
(2)求液體的體積；（參考算法：直棱柱體積V液底面積高）
(3)在圖1的基礎上，以棱為軸將容器向左或向右旋轉，但不能使液體溢出．圖3或圖4是其正面示意圖，若液面與棱或交于點P、點Q始終在棱上，設，，分別就圖3和圖4求y與x的函數關系式，并寫出相應的的范圍．
【答案】(1)，3，
(2)
(3)時，， ，
【分析】（1）本題根據水面與水平面平行可以得到與平行，利用勾股定理即可求得的長；
（2）本題根據液體正好是一個以是底面的直棱柱，利用直棱柱體積等于底面積乘高，即可求得液體的體積；
（3）本題根據以棱為軸將容器向左或向右旋轉，分情況分析，利用液體體積不變，建立y與x的聯系，即可解題．
【詳解】（1）解：液體的形狀為直三棱柱，
，
由題知，,,
根據勾股定理得．；
在中， ，
．
故答案為：，3，．
（2）解：（）．
（3）解：當容器向左旋轉時，，
液體體積不變，
，
．
當液面恰好到達容器口沿，即點Q與點重合時，如圖5，
，且，
，
，
．
．
此時；
當容器向右旋轉時，，
液體體積不變，
，
；
綜上所述，圖3中y與x的函數關系式為，相應的的范圍是，
圖4中y與x的函數關系式為，相應的的范圍是．
【點睛】本題考查了幾何變換、三視圖、直棱柱體積、勾股定理、以及求函數解析式，解題的關鍵在于掌握直棱柱體積求法，利用液體體積不變，建立y與x的聯系，從而得到函數關系式．
39．（2024連云港市模擬）如圖1是甲、乙兩個圓柱形水槽的橫截面示意圖，乙槽中有一圓柱形鐵塊立放其中（圓柱形鐵塊的下底面完全落在水槽底面上），現將甲槽中的水勻速注入乙槽，甲、乙兩個水槽中水的深度（厘米）與注水時間（分鐘）之間的關系如圖2所示，根據圖象提供的信息，解答下列問題：
(1)圖2中折線表示 槽中水的深度與注水時間之間的關系，線段表示 槽中水的深度與注水時間之間的關系；（以上兩空選填“甲”或“乙”）
(2)點的縱坐標表示的實際意義是 ；
(3)注水多長時間時，甲、乙兩個水槽中的水的深度相同？
(4)若乙槽底面積為36平方厘米（壁厚不計），求乙槽中鐵塊的體積．
【答案】(1)乙，甲；
(2)乙槽中鐵塊的高度為14厘米；
(3)注水2分鐘；
(4)84立方厘米．
【分析】本題考查的是用一次函數解決實際問題．解題時注意應用一次函數的性質，理解圖象的實際意義．
（1）根據題目中甲槽向乙槽注水可以得到折線是乙槽中水的深度與注水時間之間的關系，相應的線段表示表示的意義可求；
（2）點B表示的實際意義是乙槽內液面恰好與圓柱形鐵塊頂端相平；
（3）分別求出兩個水槽中y與x的函數關系式，令y相等即可得到水位相等的時間；
（4）用水槽的體積減去水槽中水的體積即可得到鐵塊的體積．
【詳解】（1）圖2中折線表示乙槽中水的深度與注水時間之間的關系，線段表示甲槽中水的深度與注水時間之間的關系．
故答案為：乙，甲；
（2）由圖象可知，水面上升到與鐵塊上面重合后，水面上升的速度發生變化，故到點B的縱坐標表示的實際意義是乙槽中鐵塊的高度為14厘米．
故答案為：乙槽中鐵塊的高度為14厘米；
（3）設線段、的解析式分別為： ， ，
∵經過點和，DE經過和
，解得，
，解得，
∴解析式為，解析式為，
令，
解得，
∴注水2分鐘時，甲、乙兩個水槽中水的深度相同；
（4）若乙槽中沒有鐵塊，則乙槽水位上升高度為厘米，
∴乙槽中鐵塊體積為立方厘米．
40．（2021·浙江紹興·一模）將一塊的長方體鐵塊（圖1）平放在一個長方體水槽底部（圖2），現向水槽內勻速注水，直至注滿水槽為止，因鐵塊在水槽內有3種不同的放置方式，所以水槽內的水深h與注水時間t的函數關系用圖象來反映，其全過程有三種不同的圖象（圖3，圖4，圖5）（注：長度單位：厘米；時間單位：秒）
（1）判斷t1與t2的大小關系：t1_________________t2；
（2）水槽深度為_________________厘米；a=_________________厘米，b=_________________厘米；
（3）求鐵塊的體積．
【答案】（1）=；（2）10，6，9；（3）810
【分析】（1）根據注水的速度相同且在槽內，得到注水總量相同，得到時間相等；
（2）分析圖3與圖4，當注水21s以后，水深6cm，當注水45s以后，水深9cm，當注水62s以后，水深10cm，由a×b×c(a（3）根據注入水的體積與水槽的容積以及長方形的體積之間的關系，得到等量關系，算出結果．
【詳解】解：（1）∵注水的速度相同且在槽內，
∴注水總量相同，
∴，
（2）從三個圖形來看，h的最大值為10，所以水槽的深度為10cm，
由圖3看，當注水21s以后，水深6cm，此時水面與鐵塊的上表面在同一平面內或者水面剛好淹至鐵塊的上表面，所以a、b、c中有一個為6cm，
由圖4看，當注水45s以后，水深9cm，此時水面與鐵塊的上表面在同一平面內或者水面剛好淹至鐵塊的上表面，所以a、b、c中有一個為b=9cm，
由圖5看，當注水62s以后，水深10cm，水面未淹鐵塊，所以a、b、c中有一個不小于10cm，
又因為，所以a=6，b=9，c≥10，
（3）設槽底面積為S，由圖3可知，
令注完時間為t，
∴，，
由圖3，當t=21s時，，
由圖4，當t=45s時，，
∴， ，
解得：t=53s，c=15cm，
∴6×9×15=810．
【點睛】本題主要考查了一次函數的應用，關鍵在于仔細觀察圖形，明確注入水的體積與水槽的體積以及長方體的體積之間的關系，然后根據注入水的速度，利用圖3、圖4列出方程求出水槽的底面積與c的關系式．
題型10 幾何問題
41．（2024·山東濟南·模擬預測）如圖， 四邊形四個頂點的坐標分別是，，，，在該平面內找一點 P，使它到四個頂點的距離之和最小， 則P點坐標為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了線段最短，一次函數的實際應用．連接、，交于點P，由兩點之間線段最短，可得出的最小值就是線段的長，的最小值就是線段的長，到四個頂點的距離之最小的點就是點P，分別求出和的解析式，并求出其交點坐標即可得出答案．
【詳解】解：連接、，交于點P，如圖所示，
∵兩點之間線段最短，
∴的最小值就是線段的長，的最小值就是線段的長，
∴到四個頂點的距離之和最小的點就是點P，
設所在直線的解析式為，
∵點在直線上，
∴，
解得：
∴所在直線的解析式為
設所在直線的解析式為
點，在直線上，
∴
解得：
∴所在直線的解析式為
聯立兩直線
解得：，
∴點P的坐標為：．
故答案為：．
42．（2024·山東德州·一模）在平面直角坐標系中，，點是軸上的動點．當取得最小值時， ．
【答案】
【分析】本題考查待定系數法，軸對稱-最短路線問題，掌握待定系數法，將軍飲馬模型是解題的關鍵．
確定點關于軸的對稱點的坐標，利用待定系數法求出直線的解析式，利用解析式即可求出當取得最小值時的值．
【詳解】解：取關于軸的對稱點，連接交軸于點，如圖，
當取得最小值時，
設直線的解析式為：，將代入，
得，
解得，
∴直線的解析式為：，
當時，，
解得，
故答案為：．
43．（2024·廣西河池·二模）如圖，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，將直線繞點B順時針旋轉與x軸交于點C，則直線的解析式為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了一次函數與幾何綜合，旋轉的性質，全等三角形的性質與判定，等腰直角三角形的性質與判定，先求出A、B的坐標，得到；過點A作交于D，過點D作軸于E，通過證明，求出，進而利用待定系數法求出對應的解析式即可．
【詳解】解：在中，當時，，當時，，
∴，
∴，
如圖所示，過點A作交于D，過點D作軸于E，
由旋轉的性質可得，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
故答案為：．
44．（2023·江蘇泰州·二模）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點、分別是直線與坐標軸的交點，點，點是邊上的一點，，垂足為，點在邊上，且、兩點關于軸上某點成中心對稱，連接、．線段長度的最小值為 ．

【答案】
【分析】過點F，D分別作垂直于y軸，垂足分別為G，H，證明，由全等三角形的性質得出，可求出，根據勾股定理得出，由二次函數的性質可得出答案；
【詳解】過點F，D分別作垂直于y軸，垂足分別為G，H，

則，
記交y軸于點K，
∵D點與F點關于y軸上的K點成中心對稱，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直線的解析式為，
∴時，，
∴，
又∵，
設直線的解析式為
∴，
解得=，
∴直線的解析式為，
過點F作軸于點R，
∵D點的橫坐標為m,
∴，
∴，
∵，
∴，
令，得，
∴．
∴當時，l的最小值為8，
∴的最小值為．
【點睛】待定系數法，全等三角形的判定與性質，坐標與圖形的性質，二次函數的性質，勾股定理，中心對稱的性質，直角三角形的性質等知識．
45．（2023·江蘇鹽城·三模）如圖，菱形的頂點、在軸上，，點在邊上且橫坐標為8，點為邊上一動點，軸上有一點．當點到所在直線的距離取得最大值時，點的坐標為 ．

【答案】
【分析】依據直線過定點，則定點到直線的最大距離就是長，利用直線的解析式求出直線的解析式，則點坐標可求出來．
【詳解】解：如圖，，
，
，，
點在邊上且橫坐標為8，
，，，
直線過定點，
時，點到所在直線的距離取得最大值．
，，
設解析式為，代入點坐標得，
，即．
此刻直線的值為：，
設直線解析式為：，代入點坐標得：，
，
直線的解析式為：，
令，則，解得．
此刻點的坐標為：．
故答案為：．

【點睛】本題考查了坐標與圖形性質以及菱形的性質，本題的關鍵就是能看到點到直線的最大距離就是到定點的長．
題型11 新考法：新情景問題
46．（2024·內蒙古·中考真題）2024年春晚吉祥物“龍辰辰”，以十二生肖龍的專屬漢字“辰”為名．某廠家生產大小兩種型號的“龍辰辰”，大號“龍辰辰”單價比小號“龍辰辰”單價貴15元，且用2400元購進小號“龍辰辰”的數量是用2200元購進大號“龍辰辰”數量的1.5倍，則大號“龍辰辰”的單價為 元．某網店在該廠家購進了兩種型號的“龍辰辰”共60個，且大號“龍辰辰”的個數不超過小號“龍辰辰”個數的一半，小號“龍辰辰”售價為60元，大號“龍辰辰”的售價比小號“龍辰辰”的售價多30%．若兩種型號的“龍辰辰”全部售出，則該網店所獲最大利潤為 元．
【答案】 55 1260
【分析】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式組的應用、一次函數的應用，熟練掌握一次函數的性質是解題關鍵．設大號“龍辰辰”的單價為元，則小號“龍辰辰”的單價為元，根據題意建立分式方程，解方程即可得；設購進小號“龍辰辰”的數量為個，則購進大號“龍辰辰”的數量為個，先求出的取值范圍，再設該網店所獲利潤為元，建立關于的函數關系式，利用一次函數的性質求解即可得．
【詳解】解：設大號“龍辰辰”的單價為元，則小號“龍辰辰”的單價為元，
由題意得：，
解得，
經檢驗，是所列分式方程的解，
所以大號“龍辰辰”的單價為55元，小號“龍辰辰”的單價為40元．
設購進小號“龍辰辰”的數量為個，則購進大號“龍辰辰”的數量為個，
由題意得：，
解得，
設該網店所獲利潤為元，
則，
由一次函數的性質可知，在內，隨的增大而減小，
則當時，取得最大值，最大值為，
即該網店所獲最大利潤為1260元，
故答案為：55；1260．
47．（2024·山東日照·中考真題）【問題背景】2024年4月23日是第18個“世界讀書日”，為給師生提供更加良好的閱讀環境，學校決定擴大圖書館面積，增加藏書數量，現需購進20個書架用于擺放書籍．
【素材呈現】
素材一：有兩種書架可供選擇，A種書架的單價比B種書架單價高；
素材二：用18000元購買A種書架的數量比用9000元購買B種書架的數量多6個；
素材三：A種書架數量不少于B種書架數量的．
【問題解決】
(1)問題一：求出兩種書架的單價；
(2)問題二：設購買a個A種書架，購買總費用為w元，求w與a的函數關系式，并求出費用最少時的購買方案；
(3)問題三：實際購買時，商家調整了書架價格，A種書架每個降價m元，B種書架每個漲價元，按問題二的購買方案需花費21120元，求m的值．
【答案】(1)1200元；1000元
(2)；購買A種書架8個，B種書架12個
(3)120
【分析】本題考查運用分式方程，一次函數，一元一次方程解決實際問題．
（1）設B種書架的單價為x元，則A種書架的單價為元，用18000元購買A種書架個，用9000元購買B種書架個，根據素材二即可列出方程，求解并檢驗即可解答；
（2）根據總費用＝A種書架的總費用＋B種書架的總費用即可列出函數，根據資料三求出自變量a的取值范圍，再根據一次函數的增減性即可求出總費用的最小值；
（3）根據總費用＝A種書架的總費用＋B種書架的總費用列出一元一次方程，求解即可解答．
【詳解】（1）解：設B種書架的單價為x元，則A種書架的單價為元．
由題意得，
解得，
經檢驗，是分式方程的解，且符合題意，
．
答：兩種書架的單價分別為1200元，1000元．
（2）解：購買a個A種書架時，購買總費用，
即，
由題意得，a應滿足：，解得．
，
∴w隨著a的增大而增大，
當時，w的值最小，最小值為，
費用最少時購買A種書架8個，B種書架12個．
（3）解：由題意得
，
解得．
48．（2024·黑龍江大慶·中考真題）“爾濱”火了，帶動了黑龍江省的經濟發展，農副產品也隨之暢銷全國．某村民在網上直播推銷某種農副產品，在試銷售的天中，第天且為整數)的售價為(元千克)．當時，；當時，．銷量(千克)與的函數關系式為，已知該產品第天的售價為元千克，第天的售價為元千克，設第天的銷售額為(元)．
(1) ，_____；
(2)寫出第天的銷售額與之間的函數關系式；
(3)求在試銷售的天中，共有多少天銷售額超過元？
【答案】(1)，
(2)
(3)在試銷售的天中，共有天銷售額超過元
【分析】本題考查了一次函數與二次函數的綜合應用；
（1）待定系數法求解析式，即可求解；
（2）根據銷售額等于銷量乘以售價，分段列出函數關系式，即可求解；
（3）根據題意，根據，列出方程，解方程，即可求解．
【詳解】（1）解：依題意，將，代入，
∴
解得：
∴
故答案為：，．
（2）解：依題意，
當時，
當時，
∴
（3）解：依題意，當時，
當時，
解得：
為正整數，
∴第天至第天，銷售額超過元
（天）
答：在試銷售的天中，共有天銷售額超過元
49．（2024·四川南充·中考真題）2024年“五一”假期期間，閬中古城景區某特產店銷售A，B兩類特產．A類特產進價50元/件，B類特產進價60元/件．已知購買1件A類特產和1件B類特產需132元，購買3件A類特產和5件B類特產需540元．
(1)求A類特產和B類特產每件的售價各是多少元？
(2)A類特產供貨充足，按原價銷售每天可售出60件．市場調查反映，若每降價1元，每天可多售出10件（每件售價不低于進價）．設每件A類特產降價x元，每天的銷售量為y件，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．
(3)在（2）的條件下，由于B類特產供貨緊張，每天只能購進100件且能按原價售完．設該店每天銷售這兩類特產的總利潤為w元，求w與x的函數關系式，并求出每件A類特產降價多少元時總利潤w最大，最大利潤是多少元？（利潤＝售價－進價）
【答案】(1)A類特產的售價為60元/件，B類特產的售價為72元/件
(2)（）
(3)A類特產每件售價降價2元時，每天銷售利潤最犬，最大利潤為1840元
【分析】本題主要考查一元一次方程的應用、函數關系式和二次函數的性質，
根據題意設每件A類特產的售價為x元，則每件B類特產的售價為元，進一步得到關于x的一元一次方程求解即可；
根據降價1元，每天可多售出10件列出函數關系式，結合進價與售價，且每件售價不低于進價得到x得取值范圍；
結合（2）中A類特產降價x元與每天的銷售量y件，得到A類特產的利潤，同時求得B類特產的利潤，整理得到關于x的二次函數，利用二次函數的性質求解即可．
【詳解】（1）解：設每件A類特產的售價為x元，則每件B類特產的售價為元．
根據題意得．
解得．
則每件B類特產的售價（元）．
答：A類特產的售價為60元/件，B類特產的售價為72元/件．
（2）由題意得
∵A類特產進價50元/件，售價為60元/件，且每件售價不低于進價
∴．
答：（）．
（3）
．
∴當時，w有最大值1840．
答：A類特產每件售價降價2元時，每天銷售利潤最大，最大利潤為1840元．
50．（2024·山西·模擬預測）2024年4月底，神舟十七號載人飛船返回艙順利返回東風著陸場，神舟十七號任務取得圓滿成功．某飛箭航模店看準商機，購進了“神舟”和“天宮”模型．已知每個“神舟”模型的進價比“天宮”模型多5元，同樣花費200元，購進“天宮”模型的數量比“神舟”模型多2個．

(1)“神舟”和“天宮”模型的進價各是多少元？
(2)該飛箭航模店計劃購進兩種模型共100個，且每個“神舟”模型的售價為35元，每個“天宮”模型的售價為28元．設購進“神舟”模型a個，銷售這批模型的利潤為w元．若購進“神舟”模型的數量不超過“天宮”模型數量的，則購進“神舟”模型多少個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？
【答案】(1)天宮模型的進價為每個20元，神舟模型的進價為每個25元
(2)購進神舟模型20個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤，最大利潤為840元
【分析】本題主要考查了一次函數的應用，一元一次不等式的應用，分式方程的應用，
對于（1），先設設“天宮”模型進價為每個x元，可表示“神舟”模型進價，再根據200元購進的模型的個數之差為2列出分式方程，求出解并檢驗即可；
對于（2），先設購進“神舟”模型a個，表示購進“天宮”模型的個數，用含有a的關系式表示總利潤w，然后根據購進“神舟”模型的數量不超過“天宮”模型數量的得出不等式，求出a的取值范圍，最后根據一次函數的性質得出最大值．
【詳解】（1）解：設“天宮”模型進價為每個x元，則“神舟”模型進價為每個元，
依題意得，
解得．
經檢驗，是原分式方程的解.．
答：“天宮”模型的進價為每個20元，“神舟”模型的進價為每個25元．
（2）∵購進“神舟”模型a個，則購進“天宮”模型個，
．
∵購進“神舟”模型的數量不超過“天宮”模型數量的．
，
解得：．
，．
∴當時，（元），
即購進“神舟”模型20個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤，最大利潤為840元．
題型12 新考法：與現實有關的熱考問題
51．（2024·陜西·中考真題）我國新能源汽車快速健康發展，續航里程不斷提升，王師傅駕駛一輛純電動汽車從A市前往B市，他駕車從A市一高速公路入口駛入時，該車的剩余電量是，行駛了后，從B市一高速公路出口駛出，已知該車在高速公路上行駛的過程中，剩余電量與行駛路程之間的關系如圖所示．
(1)求y與x之間的關系式；
(2)已知這輛車的“滿電量”為，求王師傅駕車從B市這一高速公路出口駛出時，該車的剩余電量占“滿電量”的百分之多少．
【答案】(1)y與x之間的關系式為；
(2)該車的剩余電量占“滿電量”的．
【分析】本題考查了一次函數的應用，正確理解題意、求出函數關系式是解題的關鍵．
（1）利用待定系數法求解即可；
（2）先求得當時，y的值，再計算即可求解．
【詳解】（1）解：設y與x之間的關系式為，
將，代入得，
解得，
∴y與x之間的關系式為；
（2）解：當時，，
，
答：該車的剩余電量占“滿電量”的．
52．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）領航無人機表演團隊進行無人機表演訓練，甲無人機以a米/秒的速度從地面起飛，乙無人機從距離地面20米高的樓頂起飛，甲、乙兩架無人機同時勻速上升，6秒時甲無人機到達訓練計劃指定的高度停止上升開始表演，完成表演動作后，按原速繼續飛行上升，當甲、乙無人機按照訓練計劃準時到達距離地面的高度為96米時，進行了時長為t秒的聯合表演，表演完成后以相同的速度大小同時返回地面．甲、乙兩架無人機所在的位置距離地面的高度y(米)與無人機飛行的時間x(秒)之間的函數關系如圖所示．請結合圖象解答下列問題：
(1) ______米/秒， ______秒；
(2)求線段所在直線的函數解析式；
(3)兩架無人機表演訓練到多少秒時，它們距離地面的高度差為12米？(直接寫出答案即可)
【答案】(1)8，20
(2)；
(3)2秒或10秒或16秒．
【分析】本題主要考查求一次函數的應用，熟練掌握待定系數法求一次函數的解析式是解題的關鍵．
（1）根據圖形計算即可求解；
（2）先求得甲無人機單獨表演所用時間為秒，得到，利用待定系數法即可求解；
（3）利用待定系數法分別求得線段、線段、線段所在直線的函數解析式，再分三種情況討論，列式計算即可求解
【詳解】（1）解：由題意得甲無人機的速度為米/秒，
，
故答案為：8，20；
（2）解：由圖象知，，
∵甲無人機的速度為8米/秒，
甲無人機勻速從0米到96米所用時間為秒，
甲無人機單獨表演所用時間為秒，
∴秒，
∴，
設線段所在直線的函數解析式為，
將，代入得，
解得，
∴線段所在直線的函數解析式為；
（3）解：由題意，，
同理線段所在直線的函數解析式為，
線段所在直線的函數解析式為，
線段所在直線的函數解析式為，
當時，由題意得，
解得或（舍去），
當時，由題意得，
解得或（舍去第三章 函數
第11講 一次函數的應用
（思維導圖+考點+15種題型）
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
04題型精研·考向洞悉
題型01 最優方案問題
題型02 最值問題
題型03 行程問題
題型04 工程問題
題型05 分配問題
題型06 分段計費問題
題型07 調運問題
題型08 計時問題
題型09 體積問題
題型10 幾何問題
題型11 新考法：新情景問題
題型12 新考法：與現實有關的熱考問題
題型13 新考法：新考法問題
題型14 新考法：跨學科問題
題型15 新考法：中考預測題
01考情透視·目標導航
中考考點【常見類型】 考查頻率 新課標要求
一次函數的實際應用--最優方案問題 ★★ 結合具體情境體會一次函數的意義，能根據已知條件確定一次函數的解析式； 能用一次函數解決簡單實際問題.
一次函數的實際應用--最值問題 ★★
一次函數的實際應用--行程問題 ★★
【考情分析】 應用一次函數解決實際問題，包含兩大類：1)利用函數圖像解決運動問題； 2)利用函數性質解決最大利潤、最小費用等最值問題. 考查內容包含利用待定系數法求函數解析式，利用函數的增減性求最值等，試題形式以解答題為主，難度中等. 【命題預測】一次函數的應用在中考中多考察一次函數圖像的理解和信息提取，通常以最優方案、最值問題與行程類問題為主。出題時也多和方程、不等式結合，一次函數的實際應用的題目在中考中難度不大，關鍵在于函數關系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，從文字、圖像和圖表中獲取信息，建立函數關系式是解題的關鍵.
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
用一次函數解決實際問題：應用一次函數解決實際問題時，首先，要判斷問題中的兩個變量之間是否是一次函數關系；其次，當確定是一次函數關系時，可先求出一次函數解析式，再應用一次函數的相關知識去解決與其相關的實際問題.
1.判斷兩個變量之間是不是一次函數關系的步驟：
1）通過實驗、測量獲得數量足夠多的兩個變量的對應值；
2）建立適當的平面直角坐標系，畫出圖像；
3）觀察圖像特征，判斷函數的類型.
2.建立一次函數解析式的常用方法
1）根據基本的量之間存在的關系列函數解析式；
2）若題目中已明確給出兩個變量的函數關系，則可用待定系數法求出函數解析式；
3.一次函數應用問題的求解思路：
1）建立一次函數模型→求出一次函數解析式→結合函數解析式、函數性質求解；
2）在實際生活問題中，如何應用函數知識解題，關鍵是建立函數模型，即列出符合題意的函數解析式，然后根據函數的性質綜合方程（組）、不等式（組）及圖像求解.要注意結合實際，確定自變量的取值范圍，這是應用中的難點，也是中考的熱門考點；
3）分析問題的實際背景中包含的變量及對應關系，結合一次函數的解析式及圖像，通過比較函數值的大小等，尋求解決問題的最佳方案，體會函數作為一種數學模型在分析解決實際問題中的重要作用.
4.利用一次函數的圖像解決實際問題的一般步驟：
1）觀察圖像，獲取有效信息；
2）對獲取的信息進行加工、處理，理清各數量之間的關系；
3）選擇適當的數學工具(如函數、方程、不等式等)，通過建模解決問題.
【提示】時刻注意根據實際情況確定變量的取值范圍.
5.求最值的本質為求最優方案，解法有兩種：
1）可將所有求得的方案的值計算出來，再進行比較；
2）直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數關系式求解，由一次函數的增減性可直接確定最優方案及最值；若為分段函數，則應分類討論，先計算出每個分段函數的取值，再進行比較．
【提示】一次函數本身并沒有最值，但在實際問題中，自變量的取值往往有一定的限制，其圖像為射線或線段.涉及最值問題的一般思路：確定函數解析式→確定函數增減性→根據自變量的取值范圍確定最值．
04題型精研·考向洞悉
題型01 最優方案問題
1．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）某超市從某水果種植基地購進甲、乙兩種優質水果，經調查，這兩種水果的進價和售價如表所示：
水果種類 進價（元/千克） 售價（元/千克）
甲 22
乙 25
該超市購進甲種水果18千克和乙種水果6千克需366元：購進甲種水果30千克和乙種水果15千克需705元．
(1)求的值；
(2)該超市決定每天購進甲、乙兩種水果共150千克進行銷售，其中甲種水果的數量不少于50千克，且不大于120千克．實際銷售時，若甲種水果超過80千克，則超過部分按每千克降價5元銷售．求超市當天銷售完這兩種水果獲得的利潤（元）與購進甲種水果的數量（千克）之間的函數關系式（寫出自變量的取值范圍），并求出在獲得最大利潤時，超市的進貨方案以及最大利潤．
2．（2024·江蘇南通·中考真題）某快遞企業為提高工作效率，擬購買A、B兩種型號智能機器人進行快遞分揀．
相關信息如下：
信息一
A型機器人臺數 B型機器人臺數 總費用（單位：萬元）
1 3 260
3 2 360
信息二
(1)求A、B兩種型號智能機器人的單價；
(2)現該企業準備用不超過700萬元購買A、B兩種型號智能機器人共10臺．則該企業選擇哪種購買方案，能使每天分揀快遞的件數最多
3．（2024·內蒙古通遼·中考真題）某中學為加強新時代中學生勞動教育，開辟了勞動教育實踐基地．在基地建設過程中，需要采購煎蛋器和三明治機．經過調查，購買2臺煎蛋器和1臺三明治機需240元，購買1臺煎蛋器和3臺三明治機需395元．
(1)求煎蛋器和三明治機每臺價格各是多少元；
(2)學校準備采購這兩種機器共50臺，其中要求三明治機的臺數不少于煎蛋器臺數的一半，請你給出最節省費用的購買方案．
4．（2024·四川廣元·中考真題）近年來，中國傳統服飾備受大家的青睞，走上國際時裝周舞臺，大放異彩．某服裝店直接從工廠購進長、短兩款傳統服飾進行銷售，進貨價和銷售價如下表：
價格/類別 短款 長款
進貨價（元/件） 80 90
銷售價（元/件） 100 120
(1)該服裝店第一次用4300元購進長、短兩款服裝共50件，求兩款服裝分別購進的件數；
(2)第一次購進的兩款服裝售完后，該服裝店計劃再次購進長、短兩款服裝共200件（進貨價和銷售價都不變），且第二次進貨總價不高于16800元．服裝店這次應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？
題型02 最值問題
5．（2024·云南·中考真題）、兩種型號的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜歡．
某超市銷售、兩種型號的吉祥物，有關信息見下表：
成本（單位：元/個） 銷售價格（單位：元/個）
型號 35 a
型號 42
若顧客在該超市購買8個種型號吉祥物和7個種型號吉祥物，則一共需要670元；購買4個種型號吉祥物和5個種型號吉祥物，則一共需要410元．
(1)求、的值；
(2)若某公司計劃從該超市購買、兩種型號的吉祥物共90個，且購買種型號吉祥物的數量（單位：個）不少于種型號吉祥物數量的，又不超過種型號吉祥物數量的2倍．設該超市銷售這90個吉祥物獲得的總利潤為元，求的最大值．
注：該超市銷售每個吉祥物獲得的利潤等于每個吉祥物的銷售價格與每個吉祥物的成本的差．
6．（2022·湖北十堰·中考真題）某商戶購進一批童裝，40天銷售完畢．根據所記錄的數據發現，日銷售量（件）與銷售時間（天）之間的關系式是 ，銷售單價（元/件）與銷售時間（天）之間的函數關系如圖所示．
(1)第15天的日銷售量為_________件；
(2)當時，求日銷售額的最大值；
(3)在銷售過程中，若日銷售量不低于48件的時間段為“火熱銷售期”，則“火熱銷售期”共有多少天？
7．（2022·山東濟寧·中考真題）某運輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性將328噸的物資運往A，B兩地，兩種貨車載重量及到A，B兩地的運輸成本如下表：
貨車類型 載重量（噸/輛） 運往A地的成本（元/輛） 運往B地的成本（元/輛）
甲種 16 1200 900
乙種 12 1000 750
(1)求甲、乙兩種貨車各用了多少輛；
(2)如果前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運物資不少于160噸，其余貨車將剩余物資運往B地．設甲、乙兩種貨車到A，B兩地的總運輸成本為w元，前往A地的甲種貨車為t輛．
①寫出w與t之間的函數解析式；
②當t為何值時，w最??？最小值是多少？
8．（2021·貴州貴陽·中考真題）為慶?！爸袊伯a黨的百年華誕”，某校請廣告公司為其制作“童心向黨”文藝活動的展板、宣傳冊和橫幅，其中制作宣傳冊的數量是展板數量的5倍，廣告公司制作每件產品所需時間和利潤如下表：
產品 展板 宣傳冊 橫幅
制作一件產品所需時間（小時） 1
制作一件產品所獲利潤（元） 20 3 10
（1）若制作三種產品共計需要25小時，所獲利潤為450元，求制作展板、宣傳冊和橫幅的數量；
（2）若廣告公司所獲利潤為700元，且三種產品均有制作．求制作三種產品總量的最小值．
題型03 行程問題
9．（2024·吉林長春·中考真題）區間測速是指在某一路段前后設置兩個監控點，根據車輛通過兩個監控點的時間來計算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經過一段長度為20千米的區間測速路段，從該路段起點開始，他先勻速行駛小時，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時間忽略不計），當他到達該路段終點時，測速裝置測得該輛汽車在整個路段行駛的平均速度為100千米/時．汽車在區間測速路段行駛的路程（千米）與在此路段行駛的時間（時）之間的函數圖象如圖所示．
(1)的值為________；
(2)當時，求與之間的函數關系式；
(3)通過計算說明在此區間測速路段內，該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時）
10．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）一條公路上依次有A、B、C三地，甲車從A地出發，沿公路經B地到C地，乙車從C地出發，沿公路駛向B地．甲、乙兩車同時出發，勻速行駛，乙車比甲車早小時到達目的地．甲、乙兩車之間的路程與兩車行駛時間的函數關系如圖所示，請結合圖象信息，解答下列問題：
(1)甲車行駛的速度是_____，并在圖中括號內填上正確的數；
(2)求圖中線段所在直線的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
(3)請直接寫出兩車出發多少小時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．
11．（2023·浙江紹興·中考真題）一條筆直的路上依次有三地，其中兩地相距1000米．甲、乙兩機器人分別從兩地同時出發，去目的地，勻速而行．圖中分別表示甲、乙機器人離地的距離（米）與行走時間（分鐘）的函數關系圖象．

(1)求所在直線的表達式．
(2)出發后甲機器人行走多少時間，與乙機器人相遇？
(3)甲機器人到地后，再經過1分鐘乙機器人也到地，求兩地間的距離．
12．（2024·陜西西安·模擬預測）某科技活動小組制作了兩款小型機器人，在同一賽道上進行試驗運行．甲機器人離點的距離與出發時間滿足一次函數關系，部分數據如下表．乙機器人在離點米處出發，以米/秒的速度勻速前進，兩個機器人同時同向（遠離點）出發并保持前進的狀態．
出發時間（單位：秒）
甲機器人離點距離（單位：米）
(1)設甲、乙兩機器人離點的距離分別為、，求它們與出發時間之間的函數關系式；
(2)甲機器人出發時距離點多遠？兩機器人出發多長時間時相遇？
題型04 工程問題
13．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）一段高速公路需要修復，現有甲、乙兩個工程隊參與施工，已知乙隊平均每天修復公路比甲隊平均每天修復公路多3千米，且甲隊單獨修復60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復90千米公路所需要的時間相等．
(1)求甲、乙兩隊平均每天修復公路分別是多少千米；
(2)為了保證交通安全，兩隊不能同時施工，要求甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍，那么15天的工期，兩隊最多能修復公路多少千米？
14．（2023·吉林·中考真題）甲、乙兩個工程組同時挖掘沈白高鐵某段隧道，兩組每天挖掘長度均保持不變，合作一段時間后，乙組因維修設備而停工，甲組單獨完成了剩下的任務，甲、乙兩組挖掘的長度之和與甲組挖掘時間x（天）之間的關系如圖所示
(1)甲組比乙組多挖掘了__________天．
(2)求乙組停工后y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．
(3)當甲組挖掘的總長度與乙組挖掘的總長度相等時，直接寫出乙組已停工的天數．
15．（2023·江蘇南通·中考真題）為推進全民健身設施建設，某體育中心準備改擴建一塊運動場地．現有甲、乙兩個工程隊參與施工，具體信息如下：
信息—
工程隊 每天施工面積（單位：） 每天施工費用（單位：元）
甲 3600
乙 x 2200
信息二
甲工程隊施工所需天數與乙工程隊施工所需天數相等．
(1)求x的值；
(2)該工程計劃先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續施工，兩隊共施工22天，且完成的施工面積不少于．該段時間內體育中心至少需要支付多少施工費用
16．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）在某市雙城同創的工作中，某社區計劃對的區域進行綠化，經投標，由甲、乙兩個施工隊來完成，已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化面積的2倍，并且在獨立完成面積為區域的綠化時，甲隊比乙隊少用3天．
(1)甲、乙兩施工隊每天分別能完成綠化的面積是多少？
(2)若甲隊每天綠化費用為0.4萬元，乙隊每天綠化費用為0.15萬元，且甲、乙兩隊施工的總天數不超過14天，使施工費用最少？并求出最少費用．
題型05 分配問題
17．（2024·山東東營·中考真題）隨著新能源汽車的發展，東營市某公交公司計劃用新能源公交車淘汰“冒黑煙”較嚴重的燃油公交車．新能源公交車有型和型兩種車型，若購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元；若購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元．
(1)求購買型和型新能源公交車每輛各需多少萬元？
(2)經調研，某條線路上的型和型新能源公交車每輛年均載客量分別為萬人次和萬人次．公司準備購買輛型、型兩種新能源公交車，總費用不超過萬元．為保障該線路的年均載客總量最大，請設計購買方案，并求出年均載客總量的最大值．
18．（2024·湖南長沙·模擬預測）為響應國家關于推動各級各類生產設備、服務設備更新和技術改造的號召，某公司計劃將辦公電腦全部更新為國產某品牌，市場調研發現，品牌的電腦單價比品牌電腦的單價少元，通過預算得知，用萬元購買品牌電腦比購買品牌電腦多臺．
(1)試求，兩種品牌電腦的單價分別是多少元；
(2)該公司計劃購買，兩種品牌的電腦一共臺，且購買品牌電腦的數量不少于品牌電腦的，試求出該公司費用最少的購買方案．
19．（2024·河南周口·三模）春和景明，草長鶯飛的四月和五月，全家最適合周末去附近的公園里踏青或爬山，并且進行野餐，某便民商店計劃在春天踏春之際購進，兩種不同型號的野餐墊共個，已知購進型號的野餐墊個和型號的野餐墊個需要元，購進型號的野餐墊個和型號的野餐墊個需要元．
(1)求該商店購進每個型號和型號的野餐墊的價格；
(2)該商店在調查后根據實際需求，現在決定購進型號的野餐墊不超過型號野餐墊數量的，為使購進野餐墊的總費用最低，應購進型號野餐墊和型號的野餐墊各多少個 購進野餐墊的總費用最低為多少元
20．（2024·河南周口·二模）為加強中華優秀傳統文化的弘揚與傳承，提升學生的文化自信，引導學生在經典詩歌中啟智潤心、培根鑄魂，某校決定舉辦中華經典詩歌朗讀比賽．為鼓勵同學們積極參與，大賽設置一等獎、二等獎、三等獎，對應的獎品如下表所示．已知購買一本《詩經》的價格是元，購買1個筆記本和2支筆的價格是元，購買2個筆記本和3支筆的價格是元．
一等獎 二等獎 三等獎
獎品 1 本《詩經》 2個筆記本、1支筆 1 本《詩經》 2支筆 1 個筆記本2支筆
(1)請計算購買 1 個筆記本和1支筆的價格分別是多少
(2)據統計，共有名同學參加比賽，若要求每位參賽同學都能獲得一個獎，且一等獎共設置5名，二等獎的數量不少于三等獎數量的 ，則最少需要多少費用來購買獎品 并寫出此時二等獎和三等獎各設置多少名．
題型06 分段計費問題
21．（2024·浙江衢州·一模）我市“一戶一表、抄表到戶”居民生活用水實行階梯水價，三級收費標準如下表，每戶每年應繳水費（元）與用水量關系如圖．
分類 用水量 單價（元/）
第1級 不超過300
第2級 超過300不超過480的部分
第3級 超過480的部分
根據圖表信息，解答下列問題：
(1)小南家2022年用水量為，共繳水費1168元．求，及線段的函數表達式．
(2)小南家2023年用水量增加，共繳水費元，求2023年小南家用水量．
22．（2023·陜西西安·二模）某市出租車計費方法為：當行駛里程不超過時，計價器保持在元；當行駛里程超過時，計價器開始變化，行駛里程x（）與車費y（元）之間的關系如圖所示．
(1)當行駛里程超過時，求y與x之間的函數關系式；
(2)若某乘客有一次乘出租車的車費為元，求這位乘客乘車的里程．
23．（2023·上海浦東新·二模）某市全面實施居民“階梯水價”．當累計水量超過年度階梯水量分檔基數臨界點后，即開始實施階梯價格計價，分檔水量和單價見下表：
分檔 戶年用水量 （立方米） 自來水單價 （元/立方米） 污水處理單價 （元/立方米）
第一階梯 0~220（含220） 2.25 1.8
第二階梯 220~300（含300） 4
第三階梯 300以上 6.99
注：應繳的水費＝戶年用水量×（自來水單價＋污水處理單價）
仔細閱讀上述材料，請解答下面的問題：
(1)如果小葉家全年用水量是220立方米，那么她家全年應繳納水費多少元？
(2)居民應繳納水費y（元）關于戶年用水量x（立方米）的函數關系如圖所示，求第二階梯（線段）的表達式；
(3)如果小明家全年繳納的水費共計1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？
24．（2023·四川·中考真題）某移動公司推出A，B兩種電話計費方式．
計費方式 月使用費/元 主叫限定時間/min 主叫超時費/（元/min） 被叫
A 免費
B 免費
(1)設一個月內用移動電話主叫時間為tmin，根據上表，分別寫出在不同時間范圍內，方式A，方式B的計費金額關于t的函數解析式；
(2)若你預計每月主叫時間為350min，你將選擇A，B哪種計費方式，并說明理由；
(3)請你根據月主叫時間t的不同范圍，直接寫出最省錢的計費方式．
題型07 調運問題
25．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）城有肥料，城有肥料．現要把這些肥料全部運往，兩鄉．從城往，兩鄉運肥料的費用分別為20元和25元；從城往，兩鄉運肥料的費用分別為15元和24元．現鄉需要肥料，鄉需要肥料．
(1)設從城往鄉運肥料噸，則從城往鄉運肥料多少噸（用含x的式子表示，并化簡結果）？
(2)設調運的總運費元，請寫出關于的函數關系式以及的取值范圍；
(3)怎樣調運可使總運費最少，并求出最少運費．
26．（2023·湖北武漢·二模）計劃將甲、乙兩廠的生產設備運往A，B兩地，甲廠設備有60臺，乙廠設備有40臺，A地需70臺，B地需30臺，每臺設備的運輸費（單位：百元）如表格所示，設從甲廠運往A地的有x臺設備（x為整數）．
A地 B地
甲廠 7 10
乙廠 10 15
(1)用含x的式子直接填空：甲廠運往B地__________臺，乙廠運往A地__________臺，乙廠運往B地__________臺．
(2)請你設計一種調運的運輸方案，使總費用最低，并求出最低費用為多少？
(3)因客觀原因，從甲到A的運輸費用每臺增加了m百元，從乙到B的運輸費用每臺減小了2m百元，其它不變，且，請你探究總費用的最小值．
27．（2022·黑龍江·中考真題）為抗擊疫情，支援B市，A市某蔬菜公司緊急調運兩車蔬菜運往B市．甲、乙兩輛貨車從A市出發前往B市，乙車行駛途中發生故障原地維修，此時甲車剛好到達B市．甲車卸載蔬菜后立即原路原速返回接應乙車，把乙車的蔬菜裝上甲車后立即原路原速又運往B市．乙車維修完畢后立即返回A市．兩車離A市的距離y（km）與乙車所用時間x（h）之間的函數圖象如圖所示．
(1)甲車速度是_______km/h，乙車出發時速度是_______km/h；
(2)求乙車返回過程中，乙車離A市的距離y（km）與乙車所用時間x（h）的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
(3)乙車出發多少小時，兩車之間的距離是120km？請直接寫出答案．
28．（2024·山東青島·一模）某運輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性將328噸的物資運往兩地，兩種貨車載重量及到兩地的運輸成本如下表：
貨車類型 載重量（噸/輛） 運往A地的成本（元/輛） 運往B地的成本（元/輛）
甲種 16 1200 900
乙種 12 1000 750
(1)求甲、乙兩種貨車各用了多少輛；
(2)如果前往地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運物資不少于160噸，其余貨車將剩余物資運往地．設甲、乙兩種貨車到兩地的總運輸成本為元，前往地的甲種貨車為輛．求當為何值時，最小？最小值是多少．
題型08 計時問題
29．（2023·浙江臺州·中考真題）【問題背景】
“刻漏”是我國古代的一種利用水流計時的工具．綜合實踐小組準備用甲、乙兩個透明的豎直放置的容器和一根帶節流閥（控制水的流速大?。┑能浌苤谱骱喴子嫊r裝置．
【實驗操作】
綜合實踐小組設計了如下的實驗：先在甲容器里加滿水，此時水面高度為30cm，開始放水后每隔10min觀察一次甲容器中的水面高度，獲得的數據如下表：
流水時間t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（觀察值） 30 29 28.1 27 25.8
任務1 分別計算表中每隔10min水面高度觀察值的變化量．
【建立模型】
小組討論發現：“，”是初始狀態下的準確數據，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數近似地刻畫水面高度h與流水時間t的關系．

任務2 利用時，；時，這兩組數據求水面高度h與流水時間t的函數解析式．
【反思優化】
經檢驗，發現有兩組表中觀察值不滿足任務2中求出的函數解析式，存在偏差．小組決定優化函數解析式，減少偏差．通過查閱資料后知道：t為表中數據時，根據解析式求出所對應的函數值，計算這些函數值與對應h的觀察值之差的平方和，記為w；w越小，偏差越?。?br/>任務3 （1）計算任務2得到的函數解析式的w值．
（2）請確定經過的一次函數解析式，使得w的值最小．
【設計刻度】
得到優化的函數解析式后，綜合實踐小組決定在甲容器外壁設計刻度，通過刻度直接讀取時間．
任務4 請你簡要寫出時間刻度的設計方案．
30．（2024·廣東·模擬預測）漏刻是我國古代的一種計時工具．小軒依據漏刻的原理制作了一個簡單的漏刻計時工具模型，研究中發現其水位與時間之間成一次函數關系．小軒通過多次計時并測量水位的高度，得到如下表數據：
… 1 2 3 5 …
… …
(1)求關于的函數關系式；
(2)若小軒開始測量的時間為早上，當水位讀數為時，求此時的時間．
31．（2023·江西南昌·一模）沙漏又稱“沙鐘”，是我國古代一種計量時間的裝置．它是根據均勻的沙粒從一玻璃球漏到另一個玻璃球的數量來計量時間．其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球后立即將沙漏倒置（倒置時間忽略不計），重新進行計時，周而復始．某課外數學小組觀察發現：該沙漏上面玻璃球沙粒剩余量粒與流入時間秒成一次函數關系（不考慮其他因素），當流入時間在第秒時，上面玻璃球剩余沙粒粒，當流入時間在第秒時，上面玻璃球剩余沙粒粒．
(1)求出上面玻璃球沙粒余量粒與流入時間（秒）之間的函數關系式；
(2)求沙漏恰好完成第一次倒置所需時間．
32．（2022·廣東深圳·二模）某學校STEAM社團在進行項目化學習時，根據古代的沙漏模型（圖1）制作了一套“沙漏計時裝置”，該裝置由沙漏和精密電子秤組成，電子秤上放置盛沙容器．沙子緩慢勻速地從沙漏孔漏到精密電子稱上的容器內，可以通過讀取電子秤的讀數計算時間（假設沙子足夠）．該實驗小組從函數角度進行了如下實驗探究：實驗觀察：實驗小組通過觀察，每兩小時記錄一次電子秤讀數，得到表1．
表1
沉沙時間 0 2 4 6 8
電子秤讀數y（克） 6 18 30 42 54
探索發現：
(1)建立平面直角坐標系，如圖2，橫軸表示漏沙時間x，縱坐標表示精密電子稱的讀數y，描出以表1中的數據為坐標的各點．
(2)觀察上述各點的分布規律，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上，請你建立適當的函數模型，并求出函數表達式，如果不在同一條直線上，請說明理由．結論應用：應用上述發現的規律估算：
(3)若漏沙時間為9小時，精密電子稱的讀數為多少？
(4)若本次實驗開始記錄的時間是上午7:30，當精密電子秤的讀數為72克時是幾點鐘？
33．（2024·湖南長沙·模擬預測）“刻漏”是我國古代的一種利用水流計時的工具．綜合實踐小組準備用甲、乙兩個透明的豎直放置的容器和一根帶節流閥（控制水的流速大小）的軟管制作簡易計時裝置．
(1)綜合實踐小組設計了如下的實驗：先在甲容器里加滿水，此時水面高度為，開始放水后每隔觀察一次甲容器中的水面高度，獲得的數據如下表所示，請分別計算表中每隔水面高度觀察值的變化量．
流水時間 0 10 20 30 40
水面高度（觀察值） 30 29 28.1 27 25.8
水面高度的變化量
(2)小組討論發現：“，”是初始狀態下的準確數據，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數近似地刻畫水面高度與流水時間的關系．試利用時，；時，這兩組數據求水面高度與流水時間的函數解析式；
(3)經檢驗，發現有兩組表中觀察值不滿足任務2中求出的函數解析式，存在偏差，小組決定優化函數解析式，減少偏差．通過查閱資料后知道：為表中數據時，根據解析式求出所對應的函數值，計算這些函數值與對應的觀察值之差的平方和，記為；越小，偏差越?。?br/>①計算任務2得到的函數解析式的值；
②請確定經過的一次函數解析式，使得的值最??；
題型09 體積問題
34．（2020·浙江紹興·模擬預測）實驗室里，水平桌面上有甲、乙、丙三個高都為10cm圓柱形容器（甲、丙的底面積相同），用兩個相同的管子在容器的6cm高度處連通（即管子底離容器底6cm，管子的體積忽略不計）．現三個容器中，只有甲中有水，水位高2cm，如圖①所示．若每分鐘同時向乙、丙容器中注入相同量的水，到三個容器都注滿水停止，乙、丙容器中的水位h（cm）與注水時間t（min）的圖象如圖②所示．若乙比甲的水位高2cm時，注水時間m分鐘，則m的值為（　?。?br/>A．3或5 B．4或6 C．3或 D．5或9
35．（2023·河北保定·一模）如圖1，一個正方體鐵塊放置在高為的圓柱形容器內，現以一定的速度往容器內注水，注滿容器為止．容器頂部離水面的距離與注水時間之間的函數圖象如圖2所示．
(1)求直線的解析式，并求出容器注滿水所需的時間．
(2)求正方體鐵塊的體積．
36．（2022·山東濟寧·三模）如圖1，在底面積為，高為20cm的長方體水槽內放入一個圓柱形燒杯，以恒定不變的速度先向燒杯中注水，注滿燒杯后，繼續注水，直至注滿水槽為止，此過程中，燒杯本身的質量、體積忽略不計，燒杯在大水槽中的位置始終不變，水槽中水面上升的高度h與注水時間t之間的函數關系如圖2，則燒杯的底面積是
37．（2021·河北石家莊·一模）如圖，、兩個長方體水箱放置在同一水平桌面上，開始時水箱中沒有水，水箱中盛滿水．現以的流量從水箱中抽水注入水箱中，直至水箱注滿水為止．設注水，水箱的水位高度為，水箱中的水位高度為，根據圖中數據解答下列問題（抽水水管的體積忽略不計）
（1）水箱的容積為______；（提示：容積底面積高）
（2）分別寫出、與之間的函數表達式；
（3）當水箱與水箱中的水的體積相等時，求出此時兩水箱中水位的高度差．
38．（23-24九年級上·湖南長沙·期末）一透明的敞口正方體容器 裝有一些液體，棱始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為（，如圖所示）．
探究：如圖1，液面剛好過棱，并與棱交于點Q，此時液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如圖②．解決問題：
(1)與的位置關系是 ，的長是 ， °（注：，）
(2)求液體的體積；（參考算法：直棱柱體積V液底面積高）
(3)在圖1的基礎上，以棱為軸將容器向左或向右旋轉，但不能使液體溢出．圖3或圖4是其正面示意圖，若液面與棱或交于點P、點Q始終在棱上，設，，分別就圖3和圖4求y與x的函數關系式，并寫出相應的的范圍．
39．（2024連云港市模擬）如圖1是甲、乙兩個圓柱形水槽的橫截面示意圖，乙槽中有一圓柱形鐵塊立放其中（圓柱形鐵塊的下底面完全落在水槽底面上），現將甲槽中的水勻速注入乙槽，甲、乙兩個水槽中水的深度（厘米）與注水時間（分鐘）之間的關系如圖2所示，根據圖象提供的信息，解答下列問題：
(1)圖2中折線表示 槽中水的深度與注水時間之間的關系，線段表示 槽中水的深度與注水時間之間的關系；（以上兩空選填“甲”或“乙”）
(2)點的縱坐標表示的實際意義是 ；
(3)注水多長時間時，甲、乙兩個水槽中的水的深度相同？
(4)若乙槽底面積為36平方厘米（壁厚不計），求乙槽中鐵塊的體積．
40．（2021·浙江紹興·一模）將一塊的長方體鐵塊（圖1）平放在一個長方體水槽底部（圖2），現向水槽內勻速注水，直至注滿水槽為止，因鐵塊在水槽內有3種不同的放置方式，所以水槽內的水深h與注水時間t的函數關系用圖象來反映，其全過程有三種不同的圖象（圖3，圖4，圖5）（注：長度單位：厘米；時間單位：秒）
（1）判斷t1與t2的大小關系：t1_________________t2；
（2）水槽深度為_________________厘米；a=_________________厘米，b=_________________厘米；
（3）求鐵塊的體積．
題型10 幾何問題
41．（2024·山東濟南·模擬預測）如圖， 四邊形四個頂點的坐標分別是，，，，在該平面內找一點 P，使它到四個頂點的距離之和最小， 則P點坐標為 ．
42．（2024·山東德州·一模）在平面直角坐標系中，，點是軸上的動點．當取得最小值時， ．
43．（2024·廣西河池·二模）如圖，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，將直線繞點B順時針旋轉與x軸交于點C，則直線的解析式為 ．
44．（2023·江蘇泰州·二模）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點、分別是直線與坐標軸的交點，點，點是邊上的一點，，垂足為，點在邊上，且、兩點關于軸上某點成中心對稱，連接、．線段長度的最小值為 ．

45．（2023·江蘇鹽城·三模）如圖，菱形的頂點、在軸上，，點在邊上且橫坐標為8，點為邊上一動點，軸上有一點．當點到所在直線的距離取得最大值時，點的坐標為 ．

題型11 新考法：新情景問題
46．（2024·內蒙古·中考真題）2024年春晚吉祥物“龍辰辰”，以十二生肖龍的專屬漢字“辰”為名．某廠家生產大小兩種型號的“龍辰辰”，大號“龍辰辰”單價比小號“龍辰辰”單價貴15元，且用2400元購進小號“龍辰辰”的數量是用2200元購進大號“龍辰辰”數量的1.5倍，則大號“龍辰辰”的單價為 元．某網店在該廠家購進了兩種型號的“龍辰辰”共60個，且大號“龍辰辰”的個數不超過小號“龍辰辰”個數的一半，小號“龍辰辰”售價為60元，大號“龍辰辰”的售價比小號“龍辰辰”的售價多30%．若兩種型號的“龍辰辰”全部售出，則該網店所獲最大利潤為 元．
47．（2024·山東日照·中考真題）【問題背景】2024年4月23日是第18個“世界讀書日”，為給師生提供更加良好的閱讀環境，學校決定擴大圖書館面積，增加藏書數量，現需購進20個書架用于擺放書籍．
【素材呈現】
素材一：有兩種書架可供選擇，A種書架的單價比B種書架單價高；
素材二：用18000元購買A種書架的數量比用9000元購買B種書架的數量多6個；
素材三：A種書架數量不少于B種書架數量的．
【問題解決】
(1)問題一：求出兩種書架的單價；
(2)問題二：設購買a個A種書架，購買總費用為w元，求w與a的函數關系式，并求出費用最少時的購買方案；
(3)問題三：實際購買時，商家調整了書架價格，A種書架每個降價m元，B種書架每個漲價元，按問題二的購買方案需花費21120元，求m的值．
48．（2024·黑龍江大慶·中考真題）“爾濱”火了，帶動了黑龍江省的經濟發展，農副產品也隨之暢銷全國．某村民在網上直播推銷某種農副產品，在試銷售的天中，第天且為整數)的售價為(元千克)．當時，；當時，．銷量(千克)與的函數關系式為，已知該產品第天的售價為元千克，第天的售價為元千克，設第天的銷售額為(元)．
(1) ，_____；
(2)寫出第天的銷售額與之間的函數關系式；
(3)求在試銷售的天中，共有多少天銷售額超過元？
49．（2024·四川南充·中考真題）2024年“五一”假期期間，閬中古城景區某特產店銷售A，B兩類特產．A類特產進價50元/件，B類特產進價60元/件．已知購買1件A類特產和1件B類特產需132元，購買3件A類特產和5件B類特產需540元．
(1)求A類特產和B類特產每件的售價各是多少元？
(2)A類特產供貨充足，按原價銷售每天可售出60件．市場調查反映，若每降價1元，每天可多售出10件（每件售價不低于進價）．設每件A類特產降價x元，每天的銷售量為y件，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．
(3)在（2）的條件下，由于B類特產供貨緊張，每天只能購進100件且能按原價售完．設該店每天銷售這兩類特產的總利潤為w元，求w與x的函數關系式，并求出每件A類特產降價多少元時總利潤w最大，最大利潤是多少元？（利潤＝售價－進價）
50．（2024·山西·模擬預測）2024年4月底，神舟十七號載人飛船返回艙順利返回東風著陸場，神舟十七號任務取得圓滿成功．某飛箭航模店看準商機，購進了“神舟”和“天宮”模型．已知每個“神舟”模型的進價比“天宮”模型多5元，同樣花費200元，購進“天宮”模型的數量比“神舟”模型多2個．
(1)“神舟”和“天宮”模型的進價各是多少元？
(2)該飛箭航模店計劃購進兩種模型共100個，且每個“神舟”模型的售價為35元，每個“天宮”模型的售價為28元．設購進“神舟”模型a個，銷售這批模型的利潤為w元．若購進“神舟”模型的數量不超過“天宮”模型數量的，則購進“神舟”模型多少個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？
題型12 新考法：與現實有關的熱考問題
51．（2024·陜西·中考真題）我國新能源汽車快速健康發展，續航里程不斷提升，王師傅駕駛一輛純電動汽車從A市前往B市，他駕車從A市一高速公路入口駛入時，該車的剩余電量是，行駛了后，從B市一高速公路出口駛出，已知該車在高速公路上行駛的過程中，剩余電量與行駛路程之間的關系如圖所示．
(1)求y與x之間的關系式；
(2)已知這輛車的“滿電量”為，求王師傅駕車從B市這一高速公路出口駛出時，該車的剩余電量占“滿電量”的百分之多少．
52．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）領航無人機表演團隊進行無人機表演訓練，甲無人機以a米/秒的速度從地面起飛，乙無人機從距離地面20米高的樓頂起飛，甲、乙兩架無人機同時勻速上升，6秒時甲無人機到達訓練計劃指定的高度停止上升開始表演，完成表演動作后，按原速繼續飛行上升，當甲、乙無人機按照訓練計劃準時到達距離地面的高度為96米時，進行了時長為t秒的聯合表演，表演完成后以相同的速度大小同時返回地面．甲、乙兩架無人機所在的位置距離地面的高度y(米)與無人機飛行的時間x(秒)之間的函數關系如圖所示．請結合圖象解答下列問題：
(1) ______米/秒， ______秒；
(2)求線段所在直線的函數解析式；
(3)兩架無人機表演訓練到多少秒時，它們距離地面的高度差為12米？(直接寫出答案即可)
53．（2024·黑龍江綏化·中考真題）為了響應國家提倡的“節能環?！碧栒?，某共享電動車公司準備投入資金購買、兩種電動車．若購買種電動車輛、種電動車輛，需投入資金萬元；若購買種電動車輛、種電動車輛，需投入資金萬元．已知這兩種電動車的單價不變．
(1)求、兩種電動車的單價分別是多少元？
(2)為適應共享電動車出行市場需求，該公司計劃購買、兩種電動車輛，其中種電動車的數量不多于種電動車數量的一半．當購買種電動車多少輛時，所需的總費用最少，最少費用是多少元？
(3)該公司將購買的、兩種電動車投放到出行市場后，發現消費者支付費用元與騎行時間之間的對應關系如圖．其中種電動車支付費用對應的函數為；種電動車支付費用是之內，起步價元，對應的函數為．請根據函數圖象信息解決下列問題．

①小劉每天早上需要騎行種電動車或種電動車去公司上班．已知兩種電動車的平均行駛速度均為3（每次騎行均按平均速度行駛，其它因素忽略不計），小劉家到公司的距離為，那么小劉選擇______種電動車更省錢（填寫或）．
②直接寫出兩種電動車支付費用相差元時，的值______．
54．（2024·河南·中考真題）為響應“全民植樹增綠，共建美麗中國”的號召，學校組織學生到郊外參加義務植樹活動，并準備了A，B兩種食品作為午餐．這兩種食品每包質量均為，營養成分表如下．

(1)若要從這兩種食品中攝入熱量和蛋白質，應選用A，B兩種食品各多少包？
(2)運動量大的人或青少年對蛋白質的攝入量應更多．若每份午餐選用這兩種食品共7包，要使每份午餐中的蛋白質含量不低于，且熱量最低，應如何選用這兩種食品？
55．（2024·陜西西安·模擬預測）年是習近平總書記提出總體國家安全觀周年．為了增強市民國家安全意識，某校組織學生到附近的社區開展了以“國家安全·全民共守”為主題的國家安全教育宣傳活動，并分一等獎、二等獎和三等獎三種獎項來激勵此次活動中表現優異的同學，已知一等獎獲得者共人，一等獎獎品的成本為元；二等獎獲得者共人，二等獎獎品的成本為元人；三等獎獲得者的人數每增加1人；這三種獎項的總成本就增加元．設三等獎獲得者的人數為人，這三種獎項的總成本為元．
(1)求與之間的函數關系式；
(2)若三等獎的獲得者不少于人，求這三種獎項的總成本最少為多少元？
(3)若這三種獎項的總成本不超過元，則三等獎的獲得者最多為多少人？
題型13 新考法：新考法問題
56．（2024·廣東廣州·中考真題）一個人的腳印信息往往對應著這個人某些方面的基本特征．某數學興趣小組收集了大量不同人群的身高和腳長數據，通過對數據的整理和分析，發現身高和腳長之間近似存在一個函數關系，部分數據如下表：
腳長 … …
身高 … …
(1)在圖1中描出表中數據對應的點；
(2)根據表中數據，從和中選擇一個函數模型，使它能近似地反映身高和腳長的函數關系，并求出這個函數的解析式（不要求寫出的取值范圍）；
(3)如圖2，某場所發現了一個人的腳印，腳長約為，請根據（2）中求出的函數解析式，估計這個人的身高．
57．（2024·內蒙古包頭·中考真題）圖是1個碗和4個整齊疊放成一摞的碗的示意圖，碗的規格都是相同的．小亮嘗試結合學習函數的經驗，探究整齊疊放成一摞的這種規格的碗的總高度（單位：）隨著碗的數量（單位：個）的變化規律．下表是小亮經過測量得到的與之間的對應數據：
個 1 2 3 4
6 8.4 10.8 13.2
(1)依據小亮測量的數據，寫出與之間的函數表達式，并說明理由；
(2)若整齊疊放成一摞的這種規格的碗的總高度不超過，求此時碗的數量最多為多少個？
58．（2024·吉林·中考真題）綜合與實踐
某班同學分三個小組進行“板凳中的數學”的項目式學習研究，第一小組負責調查板凳的歷史及結構特點；第二小組負責研究板凳中蘊含的數學知識：第三小組負責匯報和交流，下面是第三小組匯報的部分內容，請你閱讀相關信息，并解答“建立模型”中的問題．
【背景調查】
圖①中的板凳又叫“四腳八叉凳”，是中國傳統家具，其榫卯結構體現了古人含蓄內斂的審美觀．榫眼的設計很有講究，木工一般用鉛筆畫出凳面的對稱軸，以對稱軸為基準向兩邊各取相同的長度，確定榫眼的位置，如圖②所示．板凳的結構設計體現了數學的對稱美．
【收集數據】
小組收集了一些板凳并進行了測量．設以對稱軸為基準向兩邊各取相同的長度為，凳面的寬度為，記錄如下：
以對稱軸為基準向兩邊各取相同的長度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
凳面的寬度 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析數據】
如圖③，小組根據表中x，y的數值，在平面直角坐標系中描出了各點．
【建立模型】
請你幫助小組解決下列問題：
(1)觀察上述各點的分布規律，它們是否在同一條直線上？如果在同一條直線上，求出這條直線所對應的函數解析式；如果不在同一條直線上，說明理由．
(2)當凳面寬度為時，以對稱軸為基準向兩邊各取相同的長度是多少？
59．（2024·浙江杭州·二模）概念闡述：
在邊長為1的小正方形組成的方格紙中，若多邊形的各頂點都在方格紙的格點（橫豎格子線的交錯點）上，這樣的多邊形稱為格點多邊形．記格點多邊形內的格點數為a，邊界上的格點數為b，格點多邊形的面積為S．
(1)定量研究：
填表：觀察圖①~④，當我們規定多邊形內的格點數a為4時，統計各多邊形邊界上的格點數為b和格點多邊形的面積為S．
圖 ① ② ③ ④
b（個） 6 7 11
S（平方單位） 7.5 8.5
(2)描點：建立平面直角坐標系，將表格中所得數據畫在坐標系中，判斷S關于b的函數類型，并求出表達式．
(3)結論應用：
結合你所得到的結論，探索是否存在面積最小的多邊形，滿足多邊形內的格點數，若存在，請畫出圖形；若不存在，請說明理由．
題型14 新考法：跨學科問題
60．（2024·陜西咸陽·模擬預測）物理課上，王老師讓同學們做這樣的實驗：在放水的盆中放入質地均勻的木塊B，再在其上方放置不同質量的鐵塊A．已知木塊B全程保持漂浮狀態，通過測量木塊B漏出水面的高度與鐵塊A的質量，可得它們之間滿足一次函數關系，記錄數據如下，據此可知當鐵塊A的質量為時，木塊B漏出水面的高度h為（ ）
實驗次數 一 二 三
鐵塊A的質量 25 50 75
高度 45 40 35
A． B． C． D．
61．（2023·廣西·中考真題）【綜合與實踐】
有言道：“桿秤一頭稱起人間生計，一頭稱起天地良心”．某興趣小組將利用物理學中杠桿原理制作簡易桿秤.小組先設計方案，然后動手制作，再結合實際進行調試，請完成下列方案設計中的任務．
【知識背景】如圖，稱重物時，移動秤砣可使桿秤平衡，根據杠桿原理推導得：.其中秤盤質量克，重物質量m克，秤砣質量M克，秤紐與秤盤的水平距離為l厘米，秤紐與零刻線的水平距離為a厘米，秤砣與零刻線的水平距離為y厘米．

【方案設計】
目標：設計簡易桿秤．設定，，最大可稱重物質量為1000克，零刻線與末刻線的距離定為50厘米．
任務一：確定l和a的值．
(1)當秤盤不放重物，秤砣在零刻線時，桿秤平衡，請列出關于l，a的方程；
(2)當秤盤放入質量為1000克的重物，秤砣從零刻線移至末刻線時，桿秤平衡，請列出關于l，a的方程；
(3)根據（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任務二：確定刻線的位置．
(4)根據任務一，求y關于m的函數解析式；
(5)從零刻線開始，每隔100克在秤桿上找到對應刻線，請寫出相鄰刻線間的距離．
62．（2023·江蘇南京·中考真題）如圖，某校的飲水機有溫水、開水兩個按鈕，溫水和開水共用一個出水口．溫水的溫度為，流速為；開水的溫度為，流速為．某學生先接了一會兒溫水，又接了一會兒開水，得到一杯溫度為的水（不計熱損失），求該學生分別接溫水和開水的時間．
物理常識
開水和溫水混合時會發生熱傳遞，開水放出的熱量等于溫水吸收的熱量，可以轉化為開水的體積×開水降低的溫度=溫水的體積×溫水升高的溫度．
63．（2024·江蘇南京·模擬預測）小明同學在物理課上做彈簧測力實驗，他將力的大小與彈簧伸長長度整理為如下表格：
（）__________；__________．
小剛同學使用不同的彈簧也做了相同實驗，他的表格如下：
（）求出小剛使用的彈簧力與的函數表達式．
（）若小剛的彈簧最長伸長長度為，則他最多可以測多少個的物體？
64．（2021·浙江臺州·中考真題）電子體重科讀數直觀又便于攜帶，為人們帶來了方便．某綜合實踐活動小組設計了簡易電子體重秤：制作一個裝有踏板（踏板質量忽略不計）的可變電阻R1， R1與踏板上人的質量m之間的函數關系式為R1＝km＋b（其中k，b為常數，0≤m≤120），其圖象如圖1所示；圖2的電路中，電源電壓恒為8伏，定值電阻R0的阻值為30歐，接通開關，人站上踏板，電壓表顯示的讀數為U0 ，該讀數可以換算為人的質量m，
溫馨提示：
①導體兩端的電壓U，導體的電阻R，通過導體的電流I，滿足關系式I＝；
②串聯電路中電流處處相等，各電阻兩端的電壓之和等于總電壓．
（1）求k，b的值；
（2）求R1關于U0的函數解析式；
（3）用含U0的代數式表示m；
（4）若電壓表量程為0~6伏，為保護電壓表，請確定該電子體重秤可稱的最大質量．
65．（2023·江蘇蘇州·中考真題）某動力科學研究院實驗基地內裝有一段筆直的軌道，長度為的金屬滑塊在上面做往返滑動．如圖，滑塊首先沿方向從左向右勻速滑動，滑動速度為，滑動開始前滑塊左端與點重合，當滑塊右端到達點時，滑塊停頓，然后再以小于的速度勻速返回，直到滑塊的左端與點重合，滑動停止．設時間為時，滑塊左端離點的距離為，右端離點的距離為，記與具有函數關系．已知滑塊在從左向右滑動過程中，當和時，與之對應的的兩個值互為相反數；滑塊從點出發到最后返回點，整個過程總用時（含停頓時間）．請你根據所給條件解決下列問題：

(1)滑塊從點到點的滑動過程中，的值________________；（填“由負到正”或“由正到負”）
(2)滑塊從點到點的滑動過程中，求與的函數表達式；
(3)在整個往返過程中，若，求的值．
66．（2024·山西陽泉·模擬預測）閱讀與思考
物理現象中的一次函數
實驗結果：浸在液體中的物體會受到向上的浮力，浮力的大小等于它排開的液體所受的重力，即，g是一個常數，近似取值為，表示液體的密度，表示排開液體的體積．當液體的密度不變時，物體在液體中所受浮力F是它浸沒在液體中的體積V的函數，且物體浸在液體中的體積越大，浮力就越大．
例如：現有一個長方體物品，當它浸在水中時受到的浮力，水的密度為，若該長方體物品的底面積為，那么該物品浸入水中的深度為多少米？
解：設該物品浸入水中的深度為．
由題意，得．解得．
該物品浸入水中的深度為．
實驗探究：某興趣小組想測一測一個空食品盒在水中漂浮時的裝載質量．他們將一個底面積為的圓柱形平底空食品盒放入裝水的桶中，桶中水足夠深，食品盒下表面始終與水面平行，如圖①所示．該興趣小組將裝載質量與食品盒浸入水中的深度的關系繪制成了圖②所示的函數關系圖，實驗發現當裝載質量為0時，食品盒浸入水中的深度為．
(1)請結合實驗現象，觀察圖②，解釋點A的實際意義：__________；
(2)根據以上材料，當裝載質量不超過時，裝載質量與食品盒浸入水中的深度成一次函數關系，若裝載質量為時，食品盒浸入水中的深度是．請你幫助該小組求出這個一次函數的解析式；
(3)若這個食品盒的高度是，最大裝載質量為，請求出a的值．
題型15 新考法：中考預測題
67．（2024·湖南益陽·模擬預測）桿稱是一種傳統的稱重工具，稱盤里沒有物體時，提起稱紐保持平衡后，稱砣拉線位于零刻度位置（如圖1）；當把物體放到稱盤里稱重時，提起稱紐，向右移動稱砣保持平衡，稱砣拉線所在的刻度對應物體的重量．設稱盤里物體重量為時，平衡后稱砣拉線位置距稱紐的距離為 （如圖2），則下圖能反映y與x之間的函數關系的大致圖象是（ ）
A．B．C．D．
68．（2024·貴州黔東南·一模）如圖①所示，甲、乙兩個相同容器中分別裝有相同體積的，兩種液體，現用相同的電加熱器同時加熱，忽略熱損失，得到如圖②所示的液體溫度與加熱時間之間的對應關系．下列說法正確的是（ ）
A．，兩種液體的溫度均隨著加熱時間的增加而降低
B．當加熱時間為6時，的溫度比的溫度低
C．當加熱時間為0時，，的溫度都低于
D．當加熱時間為3時，，的溫度相等
69．（2024·江西南昌·模擬預測）剪紙是一種鏤空藝術，在視覺上給人以透空的感覺和藝術享受，剪紙內容多，寓意廣，生活氣息濃厚．某商家在春節前夕購進甲、乙兩種剪紙裝飾套裝共60套進行銷售，已知購進一套甲種剪紙比購進一套乙種剪紙多10元，購進2套甲種剪紙和3套乙種剪紙共需220元．
(1)求這兩種剪紙購進時的單價分別為多少元？
(2)設購進甲種剪紙裝飾x套()，購買甲、乙兩種剪紙裝飾共花費y元，求y與x之間的函數關系式；
(3)若甲種剪紙的售價為65元/套，乙種剪紙的售價為50元/套，該商家計劃購進這批剪紙裝飾所花的總費用不超過2800元，要使這批剪紙裝飾全部售完時商家能獲得最大利潤，請你幫助商家設計購進方案，并求出最大利潤．
70．（2024·四川成都·模擬預測）近年來，盲盒備受潮玩商家關注．某潮玩商家推出2024年生肖龍公仔，并將類毛絨玩具和類毛絨掛件放在一起采用盲盒模式銷售，一個盲盒內隨機裝一個類毛絨玩具和一個類毛絨掛件（不同盲盒內所裝的玩具與掛件僅顏色不同），已知一個盲盒成本為22元/個．該商家銷售該盲盒一段時間后，發現該盲盒的周銷售量（個）和盲盒單價（元）滿足一次函數關系的圖象如圖所示．
(1)求該盲盒周銷售量（個）和盲盒單價（元）的函數表達式；
(2)該商家應如何定價才能使盲盒的周銷售利潤最大？并求出此時的最大利潤．
71．（2023·云南·中考真題）藍天白云下，青山綠水間，支一頂帳篷，邀親朋好友，聽蟬鳴，聞清風，話家常，好不愜意．某景區為響應文化和旅游部《關于推動露營旅游休閑健康有序發展的指導意見》精神，需要購買兩種型號的帳篷．若購買種型號帳篷2頂和種型號帳篷4頂，則需5200元；若購買種型號帳篷3頂和種型號帳篷1頂，則需2800元．
(1)求每頂種型號帳篷和每頂種型號帳篷的價格；
(2)若該景區需要購買兩種型號的帳篷共20頂（兩種型號的帳篷均需購買），購買種型號帳篷數量不超過購買種型號帳篷數量的，為使購買帳篷的總費用最低，應購買種型號帳篷和種型號帳篷各多少頂？購買帳篷的總費用最低為多少元？
72．（2023·四川瀘州·中考真題）端午節是中國傳統節日，人們有吃粽子的習俗．今年端午節來臨之際，某商場預測A粽子能夠暢銷．根據預測，每千克A粽子節前的進價比節后多2元，節前用240元購進A粽子的數量比節后用相同金額購進的數量少4千克．根據以上信息，解答下列問題：
(1)該商場節后每千克A粽子的進價是多少元？
(2)如果該商場在節前和節后共購進A粽子400千克，且總費用不超過4600元，并按照節前每千克20元，節后每千克16元全部售出，那么該商場節前購進多少千克A粽子獲得利潤最大？最大利潤是多少？
73．（2022·四川德陽·中考真題）習近平總書記對實施鄉村振興戰略作出重要指示強調：實施鄉村振興戰略，是黨的十九大作出的重大決策部署，是新時代做好“三農”工作的總抓手．為了發展特色產業，紅旗村花費4000元集中采購了種樹苗500株，種樹苗400株，已知種樹苗單價是種樹苗單價的1.25倍．
(1)求、兩種樹苗的單價分別是多少元？
(2)紅旗村決定再購買同樣的樹苗100株用于補充栽種，其中種樹苗不多于25株，在單價不變，總費用不超過480元的情況下，共有幾種購買方案？哪種方案費用最低？最低費用是多少元？
74．（2023·山東日照·中考真題）要制作200個A，B兩種規格的頂部無蓋木盒，A種規格是長、寬、高都為的正方體無蓋木盒，B種規格是長、寬、高各為，，的長方體無蓋木盒，如圖1．現有200張規格為的木板材，對該種木板材有甲、乙兩種切割方式，如圖2．切割、拼接等板材損耗忽略不計．

(1)設制作A種木盒x個，則制作B種木盒__________個；若使用甲種方式切割的木板材y張，則使用乙種方式切割的木板材__________張；
(2)該200張木板材恰好能做成200個A和B兩種規格的無蓋木盒，請分別求出A，B木盒的個數和使用甲，乙兩種方式切割的木板材張數；
(3)包括材質等成本在內，用甲種切割方式的木板材每張成本5元，用乙種切割方式的木板材每張成本8元．根據市場調研，A種木盒的銷售單價定為a元，B種木盒的銷售單價定為元，兩種木盒的銷售單價均不能低于7元，不超過18元．在（2）的條件下，兩種木盒的銷售單價分別定為多少元時，這批木盒的銷售利潤最大，并求出最大利潤．

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