資源簡介

第四章 三角形
第20講 圖形的相似與位似
（思維導圖+3考點+3命題點17種題型（含6種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 比例線段及有關性質
考點二 平行線分線段成比例
考點三 位似圖形
04題型精研·考向洞悉
命題點一 比例的性質
題型01 利用比例的性質求解
題型02 黃金分割
命題點二 平行線分線段成比例
題型01 由平行線分線段成比例判斷式子正誤
題型02 平行線分線段成比例
題型03 平行線分線段成比例—A型
題型04 由平行線分線段成比例—X型
題型05 平行線分線段成比例與三角形中位線綜合
題型06 平行線分線段成比例常的輔助線—平行線
題型07 平行線分線段成比例常的輔助線—垂線
命題點三 位似圖形
題型01 位似圖形的識別
題型02 求兩個位似圖形的相似比
題型03 求位似圖形的對應坐標
題型04 已知位似圖形的相似比求線段長度
題型05 求位似圖形的周長
題型06 求位似圖形的面積
題型07 在坐標系中畫位似中心
題型08 在坐標系中畫位似圖形
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
比例的性質 ★ 了解比例的基本性質、線段的比、成比例的線段;通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割
平行線分線段成比例 ★★ 掌握基本事實:兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
位似 ★★ 了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小
【考情分析】在中考中，該模塊內容常出現在選擇題、填空題，較為簡單. 本專題內容是下一節相似三角形的基礎，需要學生在復習時加以重視.
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 比例線段及有關性質
1.兩條線段的比
定義：如果選用同一長度單位的兩條線段a，b的長分別是m和n，就說兩條線段的比是a：b=m：n，或寫成，和數的比一樣，兩條線段的比a:b中a叫做比的前項，b叫做比的后項.（兩條線段長度的比叫做這兩條線段的比）
【易錯點】
1）“線段的比”與“線段的比值”區別：線段的比是運算，線段的比值是一個結果，是一個數；
2）求兩條線段的比時，須統一成相同的單位，最終的比值與單位無關，比值沒有單位；
3）線段的比，最終要化成最簡整數比.
2.比例線段
比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段. 四條線段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做組成比例的項，線段a，d叫做比例外項，線段b，c叫做比例內項.
比例中項：如果比例線段的內項是兩條相同的線段，即，那么線段b叫做線段a，c的比例中項.
【補充】
1）若a：b=b：c，則b是a，c的比例中項，所以.
2）若線段a：線段b=線段b：線段c，則線段b是線段a，c的比例中項，所以.
3.比例的基本性質：
1）基本性質：
2）推論：
3）合比性質：，分比性質：
合分比性質：
4）等比性質：如果
5）黃金分割
定義：如圖，點B把線段AC分割成AB和BC兩部分（AB＞BC），滿足（此時線段AB是線段AC,BC的比例中項），那么稱點B為線段AC的黃金分割點，AB與AC（或BC與AB）的比成為黃金比，它們的比值為，近似值為0.618.
【補充】
1)黃金分割是以線段的比例中項來定義的；
2)，0.618又被稱為黃金分割數；
1．（2023·廣東·中考真題）我國著名數學家華羅庚曾為普及優選法作出重要貢獻，優選法中有一種0.618法應用了（ ）
A．黃金分割數 B．平均數 C．眾數 D．中位數
【答案】A
【分析】根據黃金分割比可進行求解．
【詳解】解：0.618為黃金分割比，所以優選法中有一種0.618法應用了黃金分割數；
故選A．
【點睛】本題主要考查黃金分割比，熟練掌握黃金分割比是解題的關鍵．
2．（2023·四川甘孜·中考真題）若，則 ．
【答案】1
【分析】根據比例的性質解答即可．
【詳解】解： ，
．
故答案為：1．
【點睛】本題考查了比例的性質，解決本題的關鍵是掌握比例的性質．
3．（2023·浙江·中考真題）小慧同學在學習了九年級上冊“4.1比例線段”3節課后，發現學習內容是一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當的數值，感受這種特殊化的學習過程．圖中橫線處應填：

【答案】
【分析】根據題意得出，進而即可求解．
【詳解】解：∵
∴
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．
4．（24-25九年級上·上海普陀·階段練習）在比例尺是的地圖上，如果某條道路長約為，那么它的實際長度約為 ．
【答案】12
【分析】本題主要考查了比例尺，根據，即可解答．
【詳解】因為比例尺為，且圖上距離是，
所以實際距離是．
故答案為：12．
5．（2022·江蘇鎮江·中考真題）《九章算術》中記載，戰國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是砝碼重量的 倍．
【答案】1.2
【分析】設被稱物的重量為，砝碼的重量為，根據圖中可圖列出方程即可求解．
【詳解】解：設被稱物的重量為，砝碼的重量為，依題意得，
，
解得，
故答案為：1.2．
【點睛】本題考查了比例的性質，掌握杠桿的原理是解題的關鍵．
考點二 平行線分線段成比例
定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.
1）示例：如圖，所得的對應線段成比例的有等等.
2）對應線段成比例可用語言形象表示：等等.
推論：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，截得的對應線段成比例．
如圖，若DE∥BC，則有
1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，點D為邊上任一點，交于點E，連接相交于點F，則下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據平行線分線段成比例定理即可判斷A，根據相似三角形的性質即可判斷B、C、D．
【詳解】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合題意；
∴，，故B不符合題意，C符合題意；
∴，故D不符合題意；
故選C．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，平行線分線段成比例定理，熟知相似三角形的性質與判定，平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．
2．（2023·江蘇·中考真題）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點：
畫法 圖形
1．以A為端點畫一條射線； 2．用圓規在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE； 3．過點C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點M、N，M、N就是線段AB的三等分點．
這一畫圖過程體現的數學依據是（ ）
A．兩直線平行，同位角相等
B．兩條平行線之間的距離處處相等
C．垂直于同一條直線的兩條直線平行
D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【答案】D
【分析】根據兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，即可求解．
【詳解】解：由步驟２可得：C、D為線段AE的三等分點
步驟３中過點C、D分別畫BE的平行線，由兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例得：
M、N就是線段AB的三等分點
故選：D
【點睛】本題考查兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．掌握相關結論即可．
3．（2023·北京·中考真題）如圖，直線AD，BC交于點O，.若，，.則的值為 ．

【答案】
【分析】由平行線分線段成比例可得，，，得出，，從而.
【詳解】， ，，
，
，
，
，
；
故答案為：.
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例的知識點，根據平行線分線段成比例找出線段之間的關系是解決本題的關鍵.
4．（2023·吉林·中考真題）如圖，在中，點D在邊上，過點D作，交于點E．若，則的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平行線分線段成比例定理的推論得出，即可求解．
【詳解】解：∵中，，
∴，
∵
∴，
故選：A．
【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，解題關鍵是牢記“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得對應線段成比例”．
5．（2022·四川巴中·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，為的邊上一點，，過作交于點，、兩點縱坐標分別為1、3，則點的縱坐標為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根據得出，根據，得出，根據、兩點縱坐標分別為1、3，得出，即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵、兩點縱坐標分別為1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴點的縱坐標為6，故C正確．
故答案為：6．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質，平面直角坐標系中點的坐標，根據題意得出，是解題的關鍵．
考點三 位似圖形
1.位似圖形
定義: 如果兩個圖形不僅是相似圖形，且對應點連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個交點叫做位似中心.
【概念混淆】位似圖形一定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形.
判斷位似圖形的方法：首先看這兩個圖形是否相似，再看對應點的連線是否經過位似中心.
2. 位似圖形的性質
1) 位似圖形的所有對應點的連線所在的直線相交與一點.
2）位似圖形的對應線段平行(或在同一條直線上)且比相等.
3) 位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.
4）位似圖形是相似圖形,具有相似圖形的一切性質.
5）一對對應邊與位似中心(不在同一直線上)形成的兩個三角形相似
3. 畫位似圖形的一般步驟：
1）確定位似中心.
2）連接位似中心和原圖的關鍵點并延長.
3）根據位似比，確定所作的位似圖形的關鍵點.
4）順次連接上述各點，得到放大或縮小后的圖形.
注意事項：
1）兩個位似圖形的位似中心，有一個.
2）兩個位似圖形的位似中心可能位于圖形的內部、外部或邊上.
3）兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的同側.（即畫位似圖形時，注意關于某點的位似圖形有兩個.）
4.位似變換的坐標特征
一般地，在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(x，y)對應的位似圖形上的點的坐標為(kx，ky)或(-kx，-ky).
【小結】以原點為位似中心的位似圖形的坐標符號變化：若兩個圖形在原點同側，則對應點的橫、縱坐標符號相同；若兩個圖形在原點異側，則對應點的橫、縱坐標符號相反.
1．（2022·寧夏·中考真題）如圖，將三角尺直立舉起靠近墻面，打開手機手電筒照射三角尺，在墻面上形成影子．則三角尺與影子之間屬于以下哪種圖形變換（ ）

A．平移 B．軸對稱 C．旋轉 D．位似
【答案】D
【分析】根據位似的定義，即可解決問題．
【詳解】根據位似的定義可知：三角尺與影子之間屬于位似．
故選：D．
【點睛】本題考查了生活中位似的現象，解決本題的關鍵是熟記位似的定義．
2．（2024綏化市一模）下列相似圖形不是位似圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查位似圖形的識別，注意：①兩個圖形必須是相似圖形；②對應點的連線都經過同一點；③對應邊平行（或共線）．據此逐項判斷即可求得答案，注意排除法在解選擇題中的應用．
【詳解】解：根據位似圖形的定義，選項A，B，C是位似圖形，位似中心是交點，不符合題意；
選項D中，對應邊、不平行，故不是位似圖形，符合題意．
故選：D．
3．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，矩形各頂點的坐標分別為，，，，以原點為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點在第一象限對應點的坐標是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了位似圖形的性質，根據題意橫縱的坐標乘以，即可求解．
【詳解】解：依題意，，以原點為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點在第一象限對應點的坐標是
故選：D．
4．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，一塊面積為的三角形硬紙板（記為）平行于投影面時，在點光源的照射下形成的投影是，若，則的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：∵一塊面積為的三角形硬紙板（記為）平行于投影面時，在點光源的照射下形成的投影是，，
∴，
∴位似圖形由三角形硬紙板與其燈光照射下的中心投影組成，相似比為，
∵三角形硬紙板的面積為，
∴，
∴的面積為．
故選：D．
5．（2024·寧夏銀川·三模）如圖，在平面直角坐標系內，頂點坐標分別為，，．
(1)畫出繞O點逆時針旋轉的；
(2)以為位似中心，在網格中畫出，使與位似且面積比為．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查了中心對稱作圖和位似作圖，解題的關鍵是作出對應點．
（1）根據旋轉的性質作出點A、B、C的對稱點、、，然后順次連接即可；
（2）以為位似中心，作出點A、B、C的位似點，然后順次連接即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求作的三角形．
；
（2）解：如圖，與即為所求作的三角形．
04題型精研·考向洞悉
命題點一 比例的性質
題型01 利用比例的性質求解
1．（2024·四川成都·中考真題）盒中有枚黑棋和枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別．從盒中隨機取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查簡單的概率計算、比例性質，根據隨機取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，可得，進而利用比例性質求解即可．
【詳解】解：∵隨機取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，
∴，則，
故答案為：．
2．（2021·黑龍江大慶·中考真題）已知，則
【答案】
【分析】設，再將分別用的代數式表示，再代入約去即可求解．
【詳解】解：設，
則，
故，
故答案為：．
【點睛】本題考查了比例的性質，正確用同一字母表示各數是解決此類題的關鍵．
3．（2024·江蘇揚州·三模）已知線段，，則a，b的比例中項線段等于 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了比例中項，根據比例中項的定義直接列式求值即可得出答案．
【詳解】解：設a，b的比例中項線段為，
∵線段，，
∴，
∴（負值舍去），
∴a，b的比例中項線段等于，
故答案為：．
4．（2024·湖南益陽·模擬預測）小明家鄉有一小山，他查閱資料得到該山“等高線示意圖”（如圖所示），山上有三處觀景臺A，B，C在同一直線上，將這三點標在“等高線示意圖”后，剛好都在相應的等高線上，設A、B兩地的實際直線距離為m，B、C兩地的實際直線距離為n，則的值為 ．
【答案】2
【分析】本題考查了比例線段．根據題意，得出、兩地的實際直線距離，、兩地的實際直線距離，然后求根據比例線段求值即可．
【詳解】解：由題意，得、兩地的實際直線距離為，、兩地的實際直線距離為，
，
即．
故答案為：2．
5．（2022·湖南衡陽·中考真題）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設計高度約是（ ）（結果精確到．參考數據：，，）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設雕像的下部高為x m，由黃金分割的定義得求解即可．
【詳解】解：設雕像的下部高為x m，則上部長為（2-x）m，
∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，
雷鋒雕像為2m，
∴
∴，
即該雕像的下部設計高度約是1.24m，
故選：B．
【點睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關鍵．
6．（2021·四川內江·中考真題）已知非負實數，，滿足，設的最大值為，最小值為，則的值為 ．
【答案】+/0.6875
【分析】設，則，，，可得；利用a，b，c為非負實數可得k的取值范圍，從而求得m，n的值，結論可求．
【詳解】解：設，則，，，
．
，，為非負實數，
，
解得：．
當時，取最大值，當時，取最小值．
，
．
．
故答案為：
【點睛】本題主要考查了比例的性質，解不等式組，非負數的應用等，設是解題的關鍵．
題型02 黃金分割
1．（2023·四川達州·中考真題）如圖，樂器的一根弦，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，即，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則兩個支撐點C，D之間的距離 ．（結果保留根號）
【答案】
【分析】本題考查了黃金分割，利用黃金分割的等積式得一元二次方程是解題的關鍵．設，則，由得，解方程求出的長，同理求出的長，進而可求出點C，D之間的距離．
【詳解】解：設，則，
，
，
解得（舍），
，
同理可求， ，
∴，
∴．
故答案為：．
2．（2024·山西·中考真題）黃金分割是漢字結構最基本的規律．借助如圖的正方形習字格書寫的漢字“晉”端莊穩重、舒展美觀．已知一條分割線的端點A，B分別在習字格的邊上，且，“晉”字的筆畫“、”的位置在的黃金分割點C處，且，若，則的長為 （結果保留根號）．
【答案】/
【分析】本題考查了黃金分割的定義，正方形的性質及矩形的判定與性質，先證明四邊形是矩形，根據黃金分割的定義可得，據此求解即可，熟記黃金比是解題的關鍵．
【詳解】∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴．
又∵，
∴，
故答案為：．
3．（2022·陜西·中考真題）在20世紀70年代，我國著名數學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優選法”，在全國大規模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做將矩形窗框分為上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點，即．已知為2米，則線段的長為 米．
【答案】/
【分析】根據點E是AB的黃金分割點，可得，代入數值得出答案．
【詳解】∵點E是AB的黃金分割點，
∴．
∵AB=2米，
∴米．
故答案為：（）．
【點睛】本題主要考查了黃金分割的應用，掌握黃金比是解題的關鍵．
4．（2024·湖南長沙·模擬預測）黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為．這個比例被公認為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割．如圖，樂器上的一根弦長，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C，D之間的距離為 ．（結果保留根號）
【答案】
【分析】本題主要考查了黃金分割的定義，根據黃金分割的定義分別求出，，再根據線段的和差關系進行計算即可解答．
【詳解】解：∵點C是靠近點B的黃金分割點，，
∴，
∵點D是靠近點A的黃金分割點，，
∴
∴，
∴支撐點C，D之間的距離為，
故答案為：．
5．（2020·四川瀘州·中考真題）古希臘數學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點G將一線段分為兩線段，，使得其中較長的一段是全長與較短的段的比例中項，即滿足，后人把這個數稱為“黃金分割”數，把點G稱為線段的“黃金分割”點．如圖，在中，已知，，若D，E是邊的兩個“黃金分割”點，則的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作AF⊥BC，根據等腰三角形ABC的性質求出AF的長，再根據黃金分割點的定義求出BE、CD的長度，得到中DE的長，利用三角形面積公式即可解題.
【詳解】解：過點A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt,AF=，
∵D是邊的兩個“黃金分割”點，
∴即，
解得CD=，
同理BE=，
∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，
∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，
故選：A.

【點睛】本題考查了“黃金分割比”的定義、等腰三角形的性質、勾股定理的應用以及三角形的面積公式，求出DE和AF的長是解題的關鍵。
6．（2023·寧夏銀川·一模）如圖①，點把線段分成兩部分，若，那么稱點為線段的黃金分割點．
類似的，可以定義“黃金分割線”：直線把一個面積為的圖形分成面積為和的兩部分，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線．
(1)如圖②，在中，若點是線段的黃金分割點，線段所在直線是的黃金分割線嗎？為什么？
(2)在（1）的條件下，如圖③，過點作一條直線交邊于點，過點作交的一邊于點，連接，交于點，回答問題．
①______（填“＞”“＜”或“”）．
②是的黃金分割線嗎？為什么？
【答案】(1)線段所在直線是的黃金分割線；理由見解析
(2)①；②是的黃金分割線，理由見解析
【分析】本題考查了相似形的綜合應用，解題關鍵在于讀懂題意，了解黃金分割線的定義．
（1）過點作于點，點是線段的黃金分割點，，根據定義即可求解．
（2）①，可知，，即可求解；
②由題意可知，，再結合（1）即可求解．
【詳解】（1）解：線段所在直線是的黃金分割線，
理由如下：如圖，過點作于點，
點是線段的黃金分割點，，
，
，
即，
線段所在直線是的黃金分割線；
（2）解：① ，
，
，
即，
故答案為：；
②是的黃金分割線，
理由：由題意可知，
，
，
，
同理，，
由（1）知，，
則有．
是的黃金分割線．
命題點二 平行線分線段成比例
題型01 由平行線分線段成比例判斷式子正誤
兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，對應線段成比例可用語言形象表示：等等.
1．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，在中，點D、E在邊上，點F、G在邊上，，點H為與的交點．則下列結論錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，根據，逐一判斷即可．
【詳解】解： ，
，故A選項正確，不符合題意；
，
，故B選項正確，不符合題意；
，
，故C選項正確，不符合題意；
，
∴相似于，
，故D選項錯誤，符合題意；
故選：D．
2．（2023·山西呂梁·一模）如圖，在中，，．則下列比例中錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平行線分線段成比例及相似三角形的判定和性質，即可得出結論．
【詳解】解： ，
，，
，
，
，
，
A選項錯誤，
故選：A．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質，平行線的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
3．（2023·北京海淀·三模）如圖，在平行四邊形中，是上一點，連接并延長交的延長線于點，則下列結論中錯誤的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據已知及平行線分線段成比例定理進行分析，可得，依據平行線成比例的性質即可得到答案．
【詳解】解：A、根據對頂角相等，此結論正確；
B、根據相似三角形的性質定理，得，所以此結論錯誤；
C、根據平行線分線段成比例定理得，此項正確；
D、根據平行四邊形的對邊相等，所以此項正確．
故選：B．
【點睛】此題綜合運用了平行四邊形的性質以及平行線分線段成比例定理，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理．
4．（2021·廣東·二模）如圖，在△ABC中，點D是AB邊上的一點．以B為圓心，以一定長度為半徑畫弧，分別交AB、BC于點F、G，以D為圓心，以相同的半徑畫弧，交AD于點M，以M為圓心，以FG的長度為半徑畫弧，交于點N，連接DN并延長交AC于點E．則下列式子中錯誤的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平行線分線段成比例可得，，由相似三角形的性質可得，即可求解．
【詳解】解：由題意可得：∠ABC＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴，，，故選項A，B，D不合題意，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故選項C符合題意，
故選：C．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．
題型02 平行線分線段成比例
1．（2021·四川甘孜·中考真題）如圖，直線，直線與分別交于點和點．若，，則的長是（　　）
A．4 B．6 C．7 D．12
【答案】B
【分析】根據平行線分線段成比例定理得出，再求出答案即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，
∴．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，能根據平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關鍵．
2．（2024·四川成都·一模）如圖，，則的長為 ．
【答案】18
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，平行線分線段成比例定理指的是兩條直線被一組平行線所截，截得的對應線段的長度成比例．根據平行線分線段成比例，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
故答案為：18．
題型03 平行線分線段成比例—A型
模型介紹 A 型 X型
圖示
幾何表達 ∵DE∥BC ∴ ∵DE∥BC ∴
1．（2024·吉林長春·三模）如圖，在中，點、為邊的三等分點，點、在邊上，，交于點．若，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了平行線的性質，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質，熟練掌握平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質是解題的關鍵．利用平行線的性質得到，利用相似三角形的性質求得的長度，利用平行線分線段成比例定理求得，再利用相似三角形的判定與性質解答即可得出結論．
【詳解】點，為邊的三等分點，
，
，
，
，
，
點，為邊的三等分點，，
點，為邊的三等分點，
，
，
，
，
．
故答案為：
2．（2022·山東臨沂·中考真題）如圖，在中，，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，，可得再建立方程即可．
【詳解】解： ，，
，
解得：經檢驗符合題意
故選C
【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例，證明“”是解本題的關鍵．
3．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，在中，分別交于點D，E，交于點F，，，則的長為（　　）

A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】先證得四邊形是平行四邊形，得到，再利用平行線截線段成比例列式求出即可．
【詳解】∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：A．
【點睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質，平行線截線段成比例，正確理解平行線截線段成比例是解題的關鍵．
4．（2023·湖南岳陽·中考真題）如圖，在中，為直徑，為弦，點為的中點，以點為切點的切線與的延長線交于點．

（1）若，則的長是 （結果保留）；
（2）若，則 ．
【答案】
【分析】（1）連接，根據點為的中點，根據已知條件得出，然后根據弧長公式即可求解；
（2）連接，根據垂徑定理的推論得出，是的切線，則,得出，根據平行線分線段成比例得出，設，則，勾股定理求得,J進而即可求解．
【詳解】解：（1）如圖，連接，

∵點為的中點，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
（2）解：如圖，連接，

∵點為的中點，
∴，
∴，
∵是的切線，
∴,
∴
∴，
∵，
∴，
設，則，，
∴，，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的性質，弧長公式，平行線分線段成比例定理等知識，綜合性較強，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵．
題型04 由平行線分線段成比例—X型
1．（2023·北京·中考真題）如圖，直線AD，BC交于點O，.若，，.則的值為 ．

【答案】
【分析】由平行線分線段成比例可得，，，得出，，從而.
【詳解】， ，，
，
，
，
，
；
故答案為：.
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例的知識點，根據平行線分線段成比例找出線段之間的關系是解決本題的關鍵.
2．（2022·北京·中考真題）如圖，在矩形中，若，則的長為 ．
【答案】1
【分析】根據勾股定理求出BC，以及平行線分線段成比例進行解答即可．
【詳解】解：在矩形中， ，，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：1．
【點睛】此題考查了勾股定理以及平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關鍵．
3．（2023·四川雅安·中考真題）如圖，在中，F是上一點，交于點E，的延長線交的延長線于點G，，，則的長為（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】由平行四邊形的性質可得，，設為x可得，解之即可．
【詳解】∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
∴，，
設為x，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
即，
得，
∴．
故選：C．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，平行線分線段成比例的性質，熟練掌握其性質是解題的關鍵．
4．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，在中，是邊上一點，過點作交于點，過點作的平行線交的延長線于點，連接交于點，設的面積為，的面積為，的面積為，若，則 ．
【答案】/0.75
【分析】本題考查了平行線等分線段定理，相似三角形的判定和性質，三角形的面積，比例的性質，分別利用平行線等分線段定理，相似三角形的判定和性質及三角形的面積得出，，再根據得，即可得，進而得到，據此即可求解，掌握平行線等分線段定理及相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵與是等高三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵與高相同，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
5．（2024·浙江·模擬預測）如圖1，在正方形中，E 為延長線上一點，連接交對角線于F， 交于G．
(1)若，求正方形的邊長．
(2)探索之間的數量關系．
(3)如圖2，連接，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據正方形性質以及平行線分線段成比例可得，設，，利用勾股定理求出，結合，求出x的值，進而得出結果；
（2）通過平行線分線段成比例即可得出結論；
（3）如圖，過點B作于點H，連接，證明，得到，得出點H在以為直徑的圓上運動，取的中點O為圓心，長為半徑畫圓，則H在上運動，連接交于點，設，則，當D，H，O三點共線時，即H與重合，得出的最小值為，從而得出結果．
【詳解】（1）解：四邊形為正方形，
，，
，
設，，
，
，
，
，
，
正方形的邊長為；
（2），理由如下：
，
∴，
，
，
∴
，
，
；
（3）如圖，過點B作于點H，連接，
則，
在正方形中，，，
，
，
，即，
，
，
又，
，
，即，
，
點H在以為直徑的圓上運動，
取的中點O為圓心，長為半徑畫圓，則H在上運動，連接交于點，
設，則，
當D，H，O三點共線時，即H與重合，
，
，，
的最小值為，
的最小值為，
的最小值為．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質，勾股定理，正方形的性質，圓周角定理，準確作出輔助線，得出當D，H，O三點共線時，即H與重合，，得出最小值是解題關鍵．
題型05 平行線分線段成比例與三角形中位線綜合
1．（2022·湖南湘西·模擬預測）如圖，在菱形中，對角線，相交于點O，，，交于點E，，則的長為 ．
【答案】6
【分析】本題主要考查了菱形的性質，勾股定理以及三角形中位線定理等知識，熟記各性質是解題的關鍵．由菱形的性質可得，，利用為的中位線求得，借助勾股定理求出，即可求解．
【詳解】解：菱形中，對角線，相交于點，
，，，
，
∴，
，
為的中位線，
，
在中，由勾股定理得：，
，
故答案為：．
2．（2023·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，在中，，，．點F是中點，連接，把線段沿射線方向平移到，點D在上．則線段在平移過程中掃過區域形成的四邊形的周長和面積分別是( )

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16
【答案】C
【分析】先論證四邊形是平行四邊形，再分別求出、、，繼而用平行四邊形的周長公式和面積公式求解即可．
【詳解】由平移的性質可知：，
∴四邊形是平行四邊形，
在中，，，，
∴
在中，，，點F是中點
∴
∵，點F是中點
∴，，
∴點D是的中點，
∴
∵D是的中點，點F是中點，
∴是的中位線，
∴
∴四邊形的周長為：，
四邊形的面積為：．
故選：C．
【點睛】本題考查平移的性質，平行四邊形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平行線分線段成比例，三角形中位線定理等知識，推導四邊形是平行四邊形和是的中位線是解題的關鍵．
3．（2020·陜西·中考真題）如圖，在 ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是邊BC的中點，F是 ABCD內一點，且∠BFC＝90°．連接AF并延長，交CD于點G．若EF∥AB，則DG的長為（　　）

A． B． C．3 D．2
【答案】D
【分析】連接AC，依據直角三角形斜邊上中線的性質，即可得到EF的長，再根據三角形中位線定理，即可得到CG的長，進而得出DG的長．
【詳解】連接AC，交EF于點H，如圖，

∵E是邊BC的中點，且∠BFC＝90°，
∴Rt△BCF中，EF＝BC＝4，
∵EF∥AB，AB∥CG，E是邊BC的中點，
∴
∴H是AC的中點，F是AG的中點，
∴EH是△ABC的中位線，FH是△ACG的中位線，
∴，，
而FH=EF-FH=4-，
∴CG=2FH=3，
又∵CD＝AB＝5，
∴DG＝5﹣3＝2，
故選：D．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、平行線分線段成比例定理、三角形中位線定理等，準確識圖，熟練掌握和靈活運用相關性質是解題的關鍵．
4．（2023·廣東佛山·模擬預測）如圖，點是矩形的對角線的中點，交于點，若，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查矩形的性質，勾股定理，平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理．先求出，后求，然后用勾股定理求即可．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，
，
，
，
為的中點，
，
是的中點，
是的中位線，
，
，
，
，
，
，
為的中點，
．
故答案為：．
題型06 平行線分線段成比例常的輔助線—平行線
當幾何圖形中所求線段的比與已知條件沒有明確的聯系時，可以過某一點作平行線，分離圖形，構造出“A 型”或“X型”，得出與已知和未知線段相關聯的成比例線段，從而解決問題.有效構建，準確識別是處理此類問題的關鍵.
1．（2023·安徽宿州·一模）如圖，在中，平分，過點A作交于點H，且H是的中點．若，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形的中位線，全等三角形的判定與性質，以及勾股定理等知識，作交于點K，由平行線分線段成比例定理可證，根據勾股定理求出的長，進而可求出的長．
【詳解】解：作交于點K，
∴，．
∵H是的中點，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
2．（2022·湖北襄陽·中考真題）如圖，在△ABC中，D是AC的中點，△ABC的角平分線AE交BD于點F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為 ．
【答案】
【分析】如圖，過點作于點，于點，過點作交于點．證明，設，證明，設，則，求出，可得結論．
【詳解】解：如圖，過點作于點，于點，過點作交于點．
平分，，，
，
，
，
設，則，
，，
，
，
設，則，
，
，
，
的周長，
故答案為：．
【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，角平分線的性質定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題．
3．（2023·安徽宿州·一模）如圖，在中，平分，過點A作交于點H，且H是的中點．若，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形的中位線，全等三角形的判定與性質，以及勾股定理等知識，作交于點K，由平行線分線段成比例定理可證，根據勾股定理求出的長，進而可求出的長．
【詳解】解：作交于點K，
∴，．
∵H是的中點，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
4．（2024·北京·三模）在中，，，點D為平面內一點．
(1)如圖1，若點D在線段上，且，求；
(2)如圖2，若點D為內部一點，且，連接，點E為的中點，連接，用等式表示線段，，的數量關系，并證明：
(3)若點D滿足，當時，請直接寫出的最值．
【答案】(1)
(2)，證明見詳解
(3)
【分析】（1）過點作 交的延長線于點，證明，根據平行線分線段成比例得出，進而根據勾股定理可得，進而根據正切的定義，即可求解；
（2）過點作 ，交的延長線于點，延長至，使得，連接，證明，，根據勾股定理以及全等三角形的性質，即可得出結論；
（3）以為斜邊向下作等腰直角三角形，，以為圓心，為半徑作圓，是優弧上的一點，根據題意得出在上，當在上時取得最小值，最小值為，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，過點作 交的延長線于點，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，設，則，
∴，
∴
（2），理由如下：
如圖所示，過點作 ，交的延長線于點，延長至，使得，連接，
∵，
∴，
，
是等腰三角形，
，，
點為中點，
，
在和中，
，
，
，，
，
設，則，，
，
，
，
在和中，
，
，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如圖所示，以為斜邊向下作等腰，，
以為圓心，為半徑作圓，是優弧上的一點，
∴，
∵，
∴在上，
∵等腰直角三角形，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴當在上時取得最小值，最小值為．
【點睛】本題是一道幾何綜合題，主要考查了等腰三角形的性質，圓周角定理，正切，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識，難點在第三問，作出合理的輔助線，找到隱圓是解答本題的關鍵．
題型07 平行線分線段成比例常的輔助線—垂線
1．（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】過點作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于、，根據題意得，然后利用平行線分線段成比例定理即可求解．
【詳解】解：過點作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于、，
根據題意得，
∵，
∴，
又∵，
∴
故選：C
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例的應用，作出適當的輔助線是解題的關鍵．
2．（2024·安徽蚌埠·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點，，將向右平移到位置，的對應點是，的對應點是．
（1）分別記矩形和的面積為，，則 填“”、“”或“”）；
（2）若函數的圖象經過點和的中點，則的值是 ．

【答案】
【分析】本題主要考查了矩形和平行四邊形面積公式的理解、矩形的判定與性質、中位線的定義與性質、平行線分線段成比例定理、反比例函數中的幾何意義等知識，正確作出輔助線構造矩形是解題的關鍵．
（1）根據矩形和平行四邊形面積公式的理解，得出答案即可；
（2）作軸，軸，軸，設，表示出四邊形的面積，利用證明，得出，根據平行線分線段成比例定理，推出是的中位線，再根據三角形中位線的性質得出，，即可表示出四邊形的面積，然后根據的幾何意義得出方程，求出，再求出的值即可．
【詳解】解：（1）∵矩形的面積，的底上的高等于，
∴的面積，
∴，
故答案為：；
（2）如圖，過點作軸，軸，軸，

∴，
∴四邊形、四邊形、四邊形都是矩形，
∴，
設，
∵點，，將向右平移到位置，的對應點是，的對應點是，
∴，，，
∴矩形的面積，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∵是的中點，軸，軸，
∴，，
∴，
∴，
∴是的中位線，
∴，，
∴矩形的面積，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案為：．
3．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，在中，，．正方形的邊長為，它的頂點D，E，G分別在的邊上，則的長為 ．
【答案】
【分析】過點作，易得為等腰直角三角形，設，得到，證明，得到，進而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根據平行線分線段成比例，求出的長即可．
【詳解】解：過點作，則：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
設，則：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，正方形的性質，平行線分線段成比例，解題的關鍵是添加輔助線構造特殊圖形和全等三角形．
4．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在中，，，D為上一點，且滿足，過D作交延長線于點E，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了解直角三角形、勾股定理，平行線分線段成比例，先設，根據，，得出再分別用勾股定理求出，故，再運用解直角三角形得出，，代入，化簡即可作答．
【詳解】解：如圖，過點A作垂足為H,
∵，，
設，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得
∴，，
∴，，
∴，
過點C作垂足為M，
∴，，
∵,，
∴，
∴，
故答案為：．
5．（2023·浙江寧波·中考真題）如圖，在中，，E為邊上一點，以為直徑的半圓O與相切于點D，連接，．P是邊上的動點，當為等腰三角形時，的長為 ．

【答案】或
【分析】連接，勾股定理求出半徑，平行線分線段成比例，求出的長，勾股定理求出和的長，分和兩種情況進行求解即可．
【詳解】解：連接，

∵以為直徑的半圓O與相切于點D，
∴，，
∴
設，則，
在中：，即：，
解得：，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵為等腰三角形，
當時，，
當時，
∵，
∴點與點重合，
∴，

不存在的情況；
綜上：的長為或．
故答案為：或．
【點睛】本題考查切線的性質，平行線分線段成比例，勾股定理，等腰三角形的定義．熟練掌握切線的性質，等腰三角形的定義，確定點的位置，是解題的關鍵．
6．（2020·四川綿陽·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分線BE交DF于點G，GH⊥DF，點E恰好為DH的中點，若AE＝3，CD＝2，則GH＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】過作，交于點N，可得，得到EM與 平行，再由為中點，得到，同時得到四邊形 為矩形，再由角平分線定理得到，進而求出的長，得到的長．
【詳解】解：過作，交于點，
，
，
，
，
為中點，
，
，即 ，
，
四邊形為矩形，
，
平分，， ，
，
，
則．
故選：B．
【點睛】本題考查了矩形的判定與性質，角平分線定理，以及平行線的性質，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．
7．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，等腰三角形中，，反比例函數的圖象經過點A、B及的中點M，軸，與y軸交于點N．則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查反比例函數的性質，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的性質等知識，找到坐標之間的關系是解題的關鍵．
作輔助線如圖，利用函數表達式設出、兩點的坐標，利用，是中點，找到坐標之間的關系，利用平行線分線段成比例定理即可求得結果．
【詳解】解：作過作的垂線垂足為，與軸交于點，如圖，
在等腰三角形ABC中，，是中點，
設，，
由中點為，，故等腰三角形中，
∴，
∴，
∵AC的中點為M，
∴，即，
由在反比例函數上得，
∴，
解得：，
由題可知，，
∴．
故選：B．
9．（2024·北京·模擬預測）如圖，在中，，以為直徑的交于點D，交于點G，過D作于點E，交的延長線于點F．
(1)求證：是的切線；
(2)當時，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由，根據等邊對等角得到一對角相等，再由，根據等邊對等角得到又一對角相等，等量代換可得一對同位角相等，根據同位角相等兩直線平行可得與平行，又垂直于，根據垂直于兩平行線中的一條，與另一條也垂直，得到與也垂直，可得為的切線；
（2）連接，證明，再證明是等邊三角形，則，由得到，則，即，由得到，即可得到．
【詳解】（1）證明：，
，
，
，
，
，
，
，且為的半徑，
是的切線；
（2）解：連接，
∵為直徑的交于點D，交于點G，
∴，
∴
∵，
∴是等邊三角形，，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
∵
∴
∴
【點睛】此題考查了圓周角定理、等邊三角形判定和性質、平行線分線段成比例定理、切線的判定等知識，熟練掌握圓周角定理和切線的判定是解題的關鍵．
命題點三 位似圖形
題型01 位似圖形的識別
識別兩個相似多邊形是不是位似圖形，關鍵是看兩個相似多邊形的對應頂點所在的直線是否相交于一點，相交于一點的就是位似圖形，交點就是位似中心；否則不是位似圖形.
1．（2020·河北·中考真題）在如圖所示的網格中，以點為位似中心，四邊形的位似圖形是（ ）
A．四邊形 B．四邊形 C．四邊形 D．四邊形
【答案】A
【分析】以O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形，根據圖像可判斷出答案．
【詳解】解：如圖所示，四邊形的位似圖形是四邊形．
故選：A
【點睛】此題考查了位似圖形的作法，畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心；②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；③根據相似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；順次連接上述各點，確定位似圖形．
2．（2024·貴州安順·二模）如圖，在正方形網格中，的位似圖形可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是位似圖形，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形．先證明與相似，再根據位似圖形的概念判斷．
【詳解】解：根據網格信息可知：的三邊長分別為1，2，，
的三邊長分別為2，4，，
與的三邊對應成比例，
∴與相似，
∵與對應點連線相交于一點，對應邊平行或在同一條直線上，
∴與是位似圖形，
故選∶D．
3．（2024·山西晉中·模擬預測）如圖，是幻燈機放映圖片的示意圖，在幻燈機放映圖片的過程中，這兩張圖片之間的關系是（ ）
A．對稱 B．平移 C．旋轉 D．位似
【答案】D
【分析】本題考查的是位似變換、對稱、平移和旋轉，掌握它們的概念是解題的關鍵．
根據位似變換、對稱、平移和旋轉的概念判斷即可．
【詳解】解：圖片可以看作圖片A按一定的比例放大得到的，
所以這兩張圖片之間的關系是位似，
故選：D．
題型02 求兩個位似圖形的相似比
1．（2023·廣西河池·模擬預測）如圖，以點為位似中心，將放大后得到，，則 ．
【答案】．
【分析】直接利用位似圖形的性質進而分析得出答案．
【詳解】解：∵以點為位似中心，將放大后得到，，
∴．
故答案為．
【點睛】此題主要考查了位似變換，正確得出對應邊的比值是解題關鍵．
2．（2024·貴州貴陽·一模）在平面直角坐標系中，與位似，位似中心是原點，點與點是對應頂點，，的坐標分別為，，則與的相似比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是位似變換，根據點、點的坐標求出、，然后求得位似比．掌握位似比的概念、相似三角形的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：，的坐標分別為，，則，．
．
與的相似比為，
故選：B．
3．（2024·重慶江津·模擬預測）如圖，與是以點O為位似中心的位似圖形，若與的面積比為，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是位似變換，熟記位似圖形的概念、相似三角形的性質是解題的關鍵．
根據位似圖形的概念得到，，得到，得到，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方計算，得到答案．
【詳解】解：與是以點為位似中心的位似圖形，
，，
，
，
與的面積比，
與的相似比，即，
，
故選：B．
4．（2024·四川成都·二模）如圖，和是以點O為位似中心的位似圖形．若和的周長之比為，則 ．
【答案】
【分析】本題考查的是位似變換、相似三角形的性質．根據位似圖形的概念得到，，得到，根據相似三角形的性質得到，根據相似三角形的周長比等于相似比求出，即可求解．
【詳解】解：∵和是以點O為位似中心的位似圖形，
∴，，
∴，
∴，
∵和的周長之比為，
∴，
∴，
故答案為：．
5．（2023·四川巴中·一模）在平面直角坐標系中，將一塊直角三角板如圖放置，直角頂點與原點重合，頂點、恰好分別落在函數，的圖象上，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據反比例函數的幾何意義，可得，的面積；根據題意又可知這兩個直角三角形相似，根據面積比等于相似比的平方，即可求解，
本題考查了，反比例函數的幾何意義，相似三角形的判定與性質性質，將面積比轉化為相似比，解題的關鍵是：熟練掌握反比例函數的幾何意義．
【詳解】解：過點、分別作軸，軸，垂足為、，
∴
∴
點在反比例函數上，點在上，
∴，，
又∵，
∴
，
，
∴，
∴，
故選：．
題型03 求位似圖形的對應坐標
一般地，在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(x，y)對應的位似圖形上的點的坐標為(kx，ky)或(-kx，-ky).
【小結】以原點為位似中心的位似圖形的坐標符號變化：若兩個圖形在原點同側，則對應點的橫、縱坐標符號相同；若兩個圖形在原點異側，則對應點的橫、縱坐標符號相反.
1．（2024·山西·中考真題）如圖，在平面直角坐標系的第一象限內，與關于原點O位似，相似比為，點A的坐標為，則點的坐標為 ．
【答案】
【分析】題目主要考查位似圖形的性質，根據位似圖形相似及相似比即可得出結果，熟練掌握位似圖形的性質是解題關鍵．
【詳解】解：根據題意，與關于原點位似，且相似比為，
則，
∵點A的坐標為，
則的坐標為
故答案為：．
2．（2024·浙江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，與是位似圖形，位似中心為點．若點的對應點為，則點的對應點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了位似變換，根據點的坐標可得到位似比，再根據位似比即可求解，掌握位似變換的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵與是位似圖形，點的對應點為，
∴與的位似比為，
∴點的對應點的坐標為，即，
故選：．
3．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，的頂點坐標是，，，以點O為位似中心，將縮小為原來的，得到，則點的坐標為 ．

【答案】或/或
【分析】根據位似變換的性質、坐標與圖形性質計算．
【詳解】解：以點O為位似中心，將縮小為原來的，得到，，
當在第一象限時，點的坐標為，即；
當在第三象限時，點的坐標為，即；
綜上可知，點的坐標為或，
故答案為：或．
【點睛】本題考查圖標與圖形、位似變換，解題的關鍵是掌握位似變換的性質，注意分情況計算．
4．（2023·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形的頂點坐標分別是，若四邊形與四邊形關于原點位似，且四邊形的面積是四邊形面積的4倍，則第一象限內點的坐標為 ．

【答案】
【分析】根據位似圖形的概念得到四邊形和四邊形相似，根據相似多邊形的面積比等于相似比的平方求出相似比，再根據位似變換的性質計算即可．
【詳解】解：∵四邊形的面積是四邊形面積的4倍，
∴四邊形和四邊形的相似比為，
∵，
∴第一象限內點 ，即，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質，掌握相似多邊形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．
5．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，與位似，原點O是位似中心，且．若，則點的坐標是 ．

【答案】
【分析】直接利用位似圖形的性質得出相似比進而得出對應線段的長．
【詳解】解∶設
∵與位似，原點是位似中心，且．若，
∴位似比為，
∴，
解得，，
∴
故答案為：
【點睛】此題主要考查了位似變換，正確得出相似比是解題關鍵．
題型04 已知位似圖形的相似比求線段長度
位似圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一個點，對應邊互相平行或共線，利用位似比求線段的長度與利用相似三角形的對應邊成比例求線段的長度一樣，要找準對應關系.
1．（2020·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別是，，，以原點為位似中心，在原點的同側畫，使與成位似圖形，且相似比為2：1，則線段DF的長度為（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】D
【分析】把A、C的橫縱坐標都乘以2得到D、F的坐標，然后利用兩點間的距離公式計算線段DF的長．
【詳解】解：∵以原點為位似中心，在原點的同側畫△DEF，使△DEF與△ABC成位似圖形，且相似比為2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝=，
故選：D．
【點睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或 k．
2．（2024·云南·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，與是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，若，且，則線段的長度為（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】本題考查坐標與位似，根據兩個位似三角形一定相似，且相似比等于位似比，進行求解即可．
【詳解】解：∵與是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，
∴，且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故選A．
3．（2024·河北·模擬預測）如圖，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一個可以探究小孔成像特點的物理實驗裝置，他在薯片筒的底部中央打上一個小圓孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像與蠟燭火焰位似，其位似中心為，其中薯片筒的長度為．蠟燭火焰高為，若像高為，則蠟燭到薯片筒打小孔的底部的距離為（ ）

A．cm B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查位似，相似的性質，熟練掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．連接，，過點作于點，于點，先判定，即可得對應高比之比等于相似比，即可得，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，，過點作于點，于點，

由像與蠟燭火焰位似，其位似中心為，
∴，
∴相似比為：，
∴對應高的比為：，
∴，
∴蠟燭到薯片筒打小孔的底部的距離為，
故選：C．
4．（2020·河北石家莊·模擬預測）如圖，有一斜坡OA，已知斜坡上一點A的坐標為，過點A作AB軸，垂足為點B，將△AOB以坐標原點0為位似中心縮小為原圖形的，得到△COD，則OC的長度是 ，此時斜坡OA的坡度為 ．
【答案】 2
【分析】根據位似圖形的性質結合A點坐標直接得出點C的坐標，再利用勾股定理及坡度的定義進行計算即可得出答案．
【詳解】∵點，AB⊥x軸，將以坐標原點O為位似中心縮小為原圖形的，得到，
∴，
∴，，
∴在中，，
斜坡OA的坡度為．
故答案為：2；．
【點睛】本題考查了坐標與位似變換，坡度的計算，熟練掌握變換規律及坡度的定義是解題的關鍵．
題型05 求位似圖形的周長
1．（2024·吉林長春·一模）如圖，六邊形和六邊形是以點．O為位似中心的位似圖形，．若六邊形的周長為，則六邊形的周長為 ．
【答案】21
【分析】本題考查了位似圖形的性質，根據位似的六邊形周長的比等于邊長比進行求解即可．
【詳解】解：由位似圖形的性質，可得，
六邊形的周長：六邊形的周長，
六邊形的周長為，
則
六邊形的周長為，
故答案為：21．
2．（2024·湖南衡陽·二模）如圖，與是位似圖形，位似中心為點O．若，的周長為9，則的周長為（ ）
A．18 B．27 C．32 D．36
【答案】D
【分析】本題考查位似變換，相似三角形的性質等知識，解題的關鍵是掌握位似變換的性質．利用位似圖形，相似三角形的性質求解．
【詳解】解：與是位似圖形，點是位似中心，
，，
，
，
，
，
的周長為9，
的周長為36．
故選：D
3．（2023·重慶南岸·一模）正方形ODEF與正方形OABC位似，點O為位似中心，，則正方形ODEF與正方形OABC的周長比為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k 或 ，得，再求正方形ODEF與正方形OABC的周長比．
【詳解】解：∵正方形ODEF與正方形OABC位似，，
∴，
正方形ODEF與正方形OABC的周長為，
故選：B．
【點睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為 k ，那么位似圖形對應點的坐標的比等于 k 或．
題型06 求位似圖形的面積
1．（2023·陜西西安·模擬預測）如圖，點A在反比例函數的圖象上，軸于點C，以O為位似中心把四邊形放大得到四邊形，且相似比為，則經過點的反比例函數表達式為 ．
【答案】
【分析】根據反比例函數系數k的幾何意義求出，根據位似變換的性質、相似三角形的性質求出，進而求出過點的反比例函數表達式．
【詳解】解：點A在反比例函數的圖象上，
∴，
∵以O為位似中心把四邊形放大得到四邊形，且相似比為，
∴，
∴，
∴過點的反比例函數表達式為：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了求反比例函數的解析式，涉及到位似，靈活運用所學知識是解題關鍵．
2．（2024·陜西渭南·二模）如圖，與是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，若點A、的坐標分別為、，的面積是6，則的面積為（ ）

A．18 B．12 C．24 D．9
【答案】C
【分析】本題考查了位似變換的性質，坐標與圖形的性質，由題意可知，與是位似比為的位似圖形，則根據面積比等于位似比的平方即可求解．
【詳解】解：∵與是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，點A、的坐標分別為、，
∴ 且相似比為，
∴的面積的面積，
∵的面積是6，，
∴的面積為24，
故選：C
3．（2023·廣東佛山·三模）如圖，以點為位似中心，作四邊形的位似圖形，已知，若四邊形的面積是2，則四邊形的面積是（ ）

A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】D
【分析】直接利用位似圖形的性質得出面積比進而得出答案．
【詳解】解：以點為位似中心，作四邊形的位似圖形，，
，
四邊形的面積是2，
四邊形的面積是18，
故選：D．
題型07 在坐標系中畫位似中心
1．（2023·四川遂寧·中考真題）在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．在如圖所示的平面直角坐標系中，格點成位似關系，則位似中心的坐標為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意確定直線的解析式為：，由位似圖形的性質得出所在直線與BE所在直線x軸的交點坐標即為位似中心，即可求解．
【詳解】解：由圖得：，
設直線的解析式為：，將點代入得：
，解得：，
∴直線的解析式為：，
所在直線與BE所在直線x軸的交點坐標即為位似中心，
∴當時，，
∴位似中心的坐標為，
故選：A．
【點睛】題目主要考查位似圖形的性質，求一次函數的解析式，理解題意，掌握位似圖形的特點是解題關鍵．
2．（2024·山西忻州·三模）在如圖所示的正方形網格中建立平面直角坐標系，已知每個小正方形的邊長都是1，與的頂點都在正方形網格的格點上，且與為位似圖形，則位似中心的坐標為 ．

【答案】
【分析】本題考查了作圖—位似變換，對應頂點所在直線相交于一點即為位似中心，確定位似中心是解題的關鍵．連接，并延長交于一點，交點即為所求．
【詳解】解：如圖，

連接，并延長交于一點，點即為所求．由網格圖形可知，點的坐標為．
故答案為：．
3．（2024·遼寧撫順·三模）如圖，正方形網格圖中的與是位似關系圖，則位似中心是點R、點P、點Q、點O四個點中的 ．
【答案】點O
【分析】本題主要考查了位似中心的確定，連接對應點，對應點連線的交點即為位似中心，作圖可得答案．
【詳解】如圖所示，位似中心是點O．
故答案為：點O．
題型08 在坐標系中畫位似圖形
1．（2021·黑龍江綏化·中考真題）如圖所示，在網格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，把小正方形的頂點叫做格點，為平面直角坐標系的原點，矩形的4個頂點均在格點上，連接對角線．
（1）在平面直角坐標系內，以原點為位似中心，把縮小，作出它的位似圖形，并且使所作的位似圖形與的相似比等于；
（2）將以為旋轉中心，逆時針旋轉，得到，作出，并求出線段旋轉過程中所形成扇形的周長．
【答案】（1）見詳解；（2）見詳解； 弧長是
【分析】（1）根據位似圖形的定義作圖即可；（定義：如果兩個圖形不僅相似，而且對應點的連線交于一點，這兩個圖形叫做位似圖形，交點叫做位似中心；）
（2）根據圖形旋轉的方法：將頂點與旋轉中心的連線旋轉即可得旋轉后的圖形；OB旋轉后扇形的半徑為OB長度，在坐標網格中，根據直角三角形勾股定理可得OB長度，然后代入扇形弧長公式,同時加上扇形兩半徑即可求出答案．
【詳解】（1）位似圖形如圖所示
（2）作出旋轉后圖形，
，
周長是．
【點睛】題目主要考查位似圖形的畫法、旋轉圖形畫法、勾股定理及弧長公式的計算，難點是對定義的理解及對公式的運用．
2．（2020·遼寧丹東·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，網格的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，點，，的坐標分別為，，，先以原點為位似中心在第三象限內畫一個，使它與位似，且相似比為2：1，然后再把繞原點逆時針旋轉90°得到．
（1）畫出，并直接寫出點的坐標；
（2）畫出，直接寫出在旋轉過程中，點到點所經過的路徑長．
【答案】（1）見解析，A1(-2，-4)；（2）見解析，．
【分析】（1）連接AO、BO、CO，并延長到2AO、2BO、2CO，長度找到各點的對應點，順次連接即可；
（2）根據網格結構找出點A、B、C繞點O逆時針旋轉90°后的對應點A2、B2、C2的位置，然后順次連接即可，再根據勾股定理列式求出OA，然后利用弧長公式列式計算即可得解．
【詳解】（1）如圖所示，A1(-2，-4)；
（2）如圖所示，
∵OA=
∴的長為：．
【點睛】本題考查了平移變換作圖和軸對稱圖形的作法及畫位似圖形．注意：畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心，②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；③根據相似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．
3．（2020·寧夏·中考真題）在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別是．
（1）畫出關于x軸成軸對稱的；
（2）畫出以點O為位似中心，位似比為1∶2的．
【答案】（1）如圖所示為所求；見解析； （2）如圖所示為所求；見解析．
【分析】（１）將的各個點關于x軸的對稱點描出，連接即可．
（２）在同側和對側分別找到2OA=OA2，2OB=OB2，2OC=OC2所對應的A2，B2，C2的坐標，連接即可．
【詳解】（1）由題意知：的三個頂點的坐標分別是A（1，3），B（4，1），C（1，1），
則關于x軸成軸對稱的的坐標為A1（1，-3），B1（4，-1），C1（1，-1），
連接A1C1，A1B1，B1C1
得到．
如圖所示為所求；
（2）由題意知：位似中心是原點，
則分兩種情況：
第一種，和在同一側
則A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），
連接各點，得．
第二種，在的對側
A2（－2，－6），B2（－8，－2），C2（－2，－2），
連接各點，得．
綜上所述：如圖所示為所求；
【點睛】本題主要考查了位似中心、位似比和軸對稱相關知識點，正確掌握位似中心、位似比的概念及應用是解題的關鍵．第四章 三角形
第20講 圖形的相似與位似
（思維導圖+3考點+3命題點17種題型（含6種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 比例線段及有關性質
考點二 平行線分線段成比例
考點三 位似圖形
04題型精研·考向洞悉
命題點一 比例的性質
題型01 利用比例的性質求解
題型02 黃金分割
命題點二 平行線分線段成比例
題型01 由平行線分線段成比例判斷式子正誤
題型02 平行線分線段成比例
題型03 平行線分線段成比例—A型
題型04 由平行線分線段成比例—X型
題型05 平行線分線段成比例與三角形中位線綜合
題型06 平行線分線段成比例常的輔助線—平行線
題型07 平行線分線段成比例常的輔助線—垂線
命題點三 位似圖形
題型01 位似圖形的識別
題型02 求兩個位似圖形的相似比
題型03 求位似圖形的對應坐標
題型04 已知位似圖形的相似比求線段長度
題型05 求位似圖形的周長
題型06 求位似圖形的面積
題型07 在坐標系中畫位似中心
題型08 在坐標系中畫位似圖形
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
比例的性質 ★ 了解比例的基本性質、線段的比、成比例的線段;通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割
平行線分線段成比例 ★★ 掌握基本事實:兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
位似 ★★ 了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小
【考情分析】在中考中，該模塊內容常出現在選擇題、填空題，較為簡單. 本專題內容是下一節相似三角形的基礎，需要學生在復習時加以重視.
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 比例線段及有關性質
1.兩條線段的比
定義：如果選用同一長度單位的兩條線段a，b的長分別是m和n，就說兩條線段的比是a：b=m：n，或寫成，和數的比一樣，兩條線段的比a:b中a叫做比的前項，b叫做比的后項.（兩條線段長度的比叫做這兩條線段的比）
【易錯點】
1）“線段的比”與“線段的比值”區別：線段的比是運算，線段的比值是一個結果，是一個數；
2）求兩條線段的比時，須統一成相同的單位，最終的比值與單位無關，比值沒有單位；
3）線段的比，最終要化成最簡整數比.
2.比例線段
比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段. 四條線段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做組成比例的項，線段a，d叫做比例外項，線段b，c叫做比例內項.
比例中項：如果比例線段的內項是兩條相同的線段，即，那么線段b叫做線段a，c的比例中項.
【補充】
1）若a：b=b：c，則b是a，c的比例中項，所以.
2）若線段a：線段b=線段b：線段c，則線段b是線段a，c的比例中項，所以.
3.比例的基本性質：
1）基本性質：
2）推論：
3）合比性質：，分比性質：
合分比性質：
4）等比性質：如果
5）黃金分割
定義：如圖，點B把線段AC分割成AB和BC兩部分（AB＞BC），滿足（此時線段AB是線段AC,BC的比例中項），那么稱點B為線段AC的黃金分割點，AB與AC（或BC與AB）的比成為黃金比，它們的比值為，近似值為0.618.
【補充】
1)黃金分割是以線段的比例中項來定義的；
2)，0.618又被稱為黃金分割數；
1．（2023·廣東·中考真題）我國著名數學家華羅庚曾為普及優選法作出重要貢獻，優選法中有一種0.618法應用了（ ）
A．黃金分割數 B．平均數 C．眾數 D．中位數
2．（2023·四川甘孜·中考真題）若，則 ．
3．（2023·浙江·中考真題）小慧同學在學習了九年級上冊“4.1比例線段”3節課后，發現學習內容是一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當的數值，感受這種特殊化的學習過程．圖中橫線處應填：

4．（24-25九年級上·上海普陀·階段練習）在比例尺是的地圖上，如果某條道路長約為，那么它的實際長度約為 ．
5．（2022·江蘇鎮江·中考真題）《九章算術》中記載，戰國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是砝碼重量的 倍．
考點二 平行線分線段成比例
定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.
1）示例：如圖，所得的對應線段成比例的有等等.
2）對應線段成比例可用語言形象表示：等等.
推論：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，截得的對應線段成比例．
如圖，若DE∥BC，則有
1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，點D為邊上任一點，交于點E，連接相交于點F，則下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江蘇·中考真題）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點：
畫法 圖形
1．以A為端點畫一條射線； 2．用圓規在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE； 3．過點C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點M、N，M、N就是線段AB的三等分點．
這一畫圖過程體現的數學依據是（ ）
A．兩直線平行，同位角相等
B．兩條平行線之間的距離處處相等
C．垂直于同一條直線的兩條直線平行
D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
3．（2023·北京·中考真題）如圖，直線AD，BC交于點O，.若，，.則的值為 ．

4．（2023·吉林·中考真題）如圖，在中，點D在邊上，過點D作，交于點E．若，則的值是（ ）

A． B． C． D．
5．（2022·四川巴中·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，為的邊上一點，，過作交于點，、兩點縱坐標分別為1、3，則點的縱坐標為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
考點三 位似圖形
1.位似圖形
定義: 如果兩個圖形不僅是相似圖形，且對應點連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個交點叫做位似中心.
【概念混淆】位似圖形一定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形.
判斷位似圖形的方法：首先看這兩個圖形是否相似，再看對應點的連線是否經過位似中心.
2. 位似圖形的性質
1) 位似圖形的所有對應點的連線所在的直線相交與一點.
2）位似圖形的對應線段平行(或在同一條直線上)且比相等.
3) 位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.
4）位似圖形是相似圖形,具有相似圖形的一切性質.
5）一對對應邊與位似中心(不在同一直線上)形成的兩個三角形相似
3. 畫位似圖形的一般步驟：
1）確定位似中心.
2）連接位似中心和原圖的關鍵點并延長.
3）根據位似比，確定所作的位似圖形的關鍵點.
4）順次連接上述各點，得到放大或縮小后的圖形.
注意事項：
1）兩個位似圖形的位似中心，有一個.
2）兩個位似圖形的位似中心可能位于圖形的內部、外部或邊上.
3）兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的同側.（即畫位似圖形時，注意關于某點的位似圖形有兩個.）
4.位似變換的坐標特征
一般地，在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(x，y)對應的位似圖形上的點的坐標為(kx，ky)或(-kx，-ky).
【小結】以原點為位似中心的位似圖形的坐標符號變化：若兩個圖形在原點同側，則對應點的橫、縱坐標符號相同；若兩個圖形在原點異側，則對應點的橫、縱坐標符號相反.
1．（2022·寧夏·中考真題）如圖，將三角尺直立舉起靠近墻面，打開手機手電筒照射三角尺，在墻面上形成影子．則三角尺與影子之間屬于以下哪種圖形變換（ ）

A．平移 B．軸對稱 C．旋轉 D．位似
2．（2024綏化市一模）下列相似圖形不是位似圖形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，矩形各頂點的坐標分別為，，，，以原點為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點在第一象限對應點的坐標是（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，一塊面積為的三角形硬紙板（記為）平行于投影面時，在點光源的照射下形成的投影是，若，則的面積是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·寧夏銀川·三模）如圖，在平面直角坐標系內，頂點坐標分別為，，．
(1)畫出繞O點逆時針旋轉的；
(2)以為位似中心，在網格中畫出，使與位似且面積比為．；
04題型精研·考向洞悉
命題點一 比例的性質
題型01 利用比例的性質求解
1．（2024·四川成都·中考真題）盒中有枚黑棋和枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別．從盒中隨機取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，則的值為 ．
2．（2021·黑龍江大慶·中考真題）已知，則
3．（2024·江蘇揚州·三模）已知線段，，則a，b的比例中項線段等于 ．
4．（2024·湖南益陽·模擬預測）小明家鄉有一小山，他查閱資料得到該山“等高線示意圖”（如圖所示），山上有三處觀景臺A，B，C在同一直線上，將這三點標在“等高線示意圖”后，剛好都在相應的等高線上，設A、B兩地的實際直線距離為m，B、C兩地的實際直線距離為n，則的值為 ．
5．（2022·湖南衡陽·中考真題）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設計高度約是（ ）（結果精確到．參考數據：，，）
A． B． C． D．
6．（2021·四川內江·中考真題）已知非負實數，，滿足，設的最大值為，最小值為，則的值為 ．
題型02 黃金分割
1．（2023·四川達州·中考真題）如圖，樂器的一根弦，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，即，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則兩個支撐點C，D之間的距離 ．（結果保留根號）
2．（2024·山西·中考真題）黃金分割是漢字結構最基本的規律．借助如圖的正方形習字格書寫的漢字“晉”端莊穩重、舒展美觀．已知一條分割線的端點A，B分別在習字格的邊上，且，“晉”字的筆畫“、”的位置在的黃金分割點C處，且，若，則的長為 （結果保留根號）．
3．（2022·陜西·中考真題）在20世紀70年代，我國著名數學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優選法”，在全國大規模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做將矩形窗框分為上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點，即．已知為2米，則線段的長為 米．
4．（2024·湖南長沙·模擬預測）黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為．這個比例被公認為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割．如圖，樂器上的一根弦長，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C，D之間的距離為 ．（結果保留根號）
5．（2020·四川瀘州·中考真題）古希臘數學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點G將一線段分為兩線段，，使得其中較長的一段是全長與較短的段的比例中項，即滿足，后人把這個數稱為“黃金分割”數，把點G稱為線段的“黃金分割”點．如圖，在中，已知，，若D，E是邊的兩個“黃金分割”點，則的面積為（ ）

A． B． C． D．
6．（2023·寧夏銀川·一模）如圖①，點把線段分成兩部分，若，那么稱點為線段的黃金分割點．
類似的，可以定義“黃金分割線”：直線把一個面積為的圖形分成面積為和的兩部分，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線．
(1)如圖②，在中，若點是線段的黃金分割點，線段所在直線是的黃金分割線嗎？為什么？
(2)在（1）的條件下，如圖③，過點作一條直線交邊于點，過點作交的一邊于點，連接，交于點，回答問題．
①______（填“＞”“＜”或“”）．
②是的黃金分割線嗎？為什么？
命題點二 平行線分線段成比例
題型01 由平行線分線段成比例判斷式子正誤
兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，對應線段成比例可用語言形象表示：等等.
1．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，在中，點D、E在邊上，點F、G在邊上，，點H為與的交點．則下列結論錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·山西呂梁·一模）如圖，在中，，．則下列比例中錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·北京海淀·三模）如圖，在平行四邊形中，是上一點，連接并延長交的延長線于點，則下列結論中錯誤的是（ ）

A． B．
C． D．
4．（2021·廣東·二模）如圖，在△ABC中，點D是AB邊上的一點．以B為圓心，以一定長度為半徑畫弧，分別交AB、BC于點F、G，以D為圓心，以相同的半徑畫弧，交AD于點M，以M為圓心，以FG的長度為半徑畫弧，交于點N，連接DN并延長交AC于點E．則下列式子中錯誤的是（　　）
A． B． C． D．
題型02 平行線分線段成比例
1．（2021·四川甘孜·中考真題）如圖，直線，直線與分別交于點和點．若，，則的長是（　　）
A．4 B．6 C．7 D．12
2．（2024·四川成都·一模）如圖，，則的長為 ．
題型03 平行線分線段成比例—A型
模型介紹 A 型 X型
圖示
幾何表達 ∵DE∥BC ∴ ∵DE∥BC ∴
1．（2024·吉林長春·三模）如圖，在中，點、為邊的三等分點，點、在邊上，，交于點．若，則的長為 ．
2．（2022·山東臨沂·中考真題）如圖，在中，，，若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，在中，分別交于點D，E，交于點F，，，則的長為（　　）

A． B． C．2 D．3
4．（2023·湖南岳陽·中考真題）如圖，在中，為直徑，為弦，點為的中點，以點為切點的切線與的延長線交于點．

（1）若，則的長是 （結果保留）；
（2）若，則 ．
題型04 由平行線分線段成比例—X型
1．（2023·北京·中考真題）如圖，直線AD，BC交于點O，.若，，.則的值為 ．

2．（2022·北京·中考真題）如圖，在矩形中，若，則的長為 ．
3．（2023·四川雅安·中考真題）如圖，在中，F是上一點，交于點E，的延長線交的延長線于點G，，，則的長為（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10
4．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，在中，是邊上一點，過點作交于點，過點作的平行線交的延長線于點，連接交于點，設的面積為，的面積為，的面積為，若，則 ．
5．（2024·浙江·模擬預測）如圖1，在正方形中，E 為延長線上一點，連接交對角線于F， 交于G．
(1)若，求正方形的邊長．
(2)探索之間的數量關系．
(3)如圖2，連接，求的最小值．
題型05 平行線分線段成比例與三角形中位線綜合
1．（2022·湖南湘西·模擬預測）如圖，在菱形中，對角線，相交于點O，，，交于點E，，則的長為 ．
2．（2023·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，在中，，，．點F是中點，連接，把線段沿射線方向平移到，點D在上．則線段在平移過程中掃過區域形成的四邊形的周長和面積分別是( )

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16
3．（2020·陜西·中考真題）如圖，在 ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是邊BC的中點，F是 ABCD內一點，且∠BFC＝90°．連接AF并延長，交CD于點G．若EF∥AB，則DG的長為（　　）

A． B． C．3 D．2
4．（2023·廣東佛山·模擬預測）如圖，點是矩形的對角線的中點，交于點，若，則的長為 ．
題型06 平行線分線段成比例常的輔助線—平行線
當幾何圖形中所求線段的比與已知條件沒有明確的聯系時，可以過某一點作平行線，分離圖形，構造出“A 型”或“X型”，得出與已知和未知線段相關聯的成比例線段，從而解決問題.有效構建，準確識別是處理此類問題的關鍵.
1．（2023·安徽宿州·一模）如圖，在中，平分，過點A作交于點H，且H是的中點．若，則的長為 ．
2．（2022·湖北襄陽·中考真題）如圖，在△ABC中，D是AC的中點，△ABC的角平分線AE交BD于點F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為 ．
3．（2023·安徽宿州·一模）如圖，在中，平分，過點A作交于點H，且H是的中點．若，則的長為 ．
4．（2024·北京·三模）在中，，，點D為平面內一點．
(1)如圖1，若點D在線段上，且，求；
(2)如圖2，若點D為內部一點，且，連接，點E為的中點，連接，用等式表示線段，，的數量關系，并證明：
(3)若點D滿足，當時，請直接寫出的最值．
題型07 平行線分線段成比例常的輔助線—垂線
1．（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長是（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2024·安徽蚌埠·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點，，將向右平移到位置，的對應點是，的對應點是．
（1）分別記矩形和的面積為，，則 填“”、“”或“”）；
（2）若函數的圖象經過點和的中點，則的值是 ．

3．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，在中，，．正方形的邊長為，它的頂點D，E，G分別在的邊上，則的長為 ．
4．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在中，，，D為上一點，且滿足，過D作交延長線于點E，則 ．
5．（2023·浙江寧波·中考真題）如圖，在中，，E為邊上一點，以為直徑的半圓O與相切于點D，連接，．P是邊上的動點，當為等腰三角形時，的長為 ．

6．（2020·四川綿陽·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分線BE交DF于點G，GH⊥DF，點E恰好為DH的中點，若AE＝3，CD＝2，則GH＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，等腰三角形中，，反比例函數的圖象經過點A、B及的中點M，軸，與y軸交于點N．則的值為（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·北京·模擬預測）如圖，在中，，以為直徑的交于點D，交于點G，過D作于點E，交的延長線于點F．
(1)求證：是的切線；
(2)當時，求的長．
命題點三 位似圖形
題型01 位似圖形的識別
識別兩個相似多邊形是不是位似圖形，關鍵是看兩個相似多邊形的對應頂點所在的直線是否相交于一點，相交于一點的就是位似圖形，交點就是位似中心；否則不是位似圖形.
1．（2020·河北·中考真題）在如圖所示的網格中，以點為位似中心，四邊形的位似圖形是（ ）
A．四邊形 B．四邊形 C．四邊形 D．四邊形
2．（2024·貴州安順·二模）如圖，在正方形網格中，的位似圖形可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西晉中·模擬預測）如圖，是幻燈機放映圖片的示意圖，在幻燈機放映圖片的過程中，這兩張圖片之間的關系是（ ）
A．對稱 B．平移 C．旋轉 D．位似
題型02 求兩個位似圖形的相似比
1．（2023·廣西河池·模擬預測）如圖，以點為位似中心，將放大后得到，，則 ．
2．（2024·貴州貴陽·一模）在平面直角坐標系中，與位似，位似中心是原點，點與點是對應頂點，，的坐標分別為，，則與的相似比為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重慶江津·模擬預測）如圖，與是以點O為位似中心的位似圖形，若與的面積比為，則為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·二模）如圖，和是以點O為位似中心的位似圖形．若和的周長之比為，則 ．
5．（2023·四川巴中·一模）在平面直角坐標系中，將一塊直角三角板如圖放置，直角頂點與原點重合，頂點、恰好分別落在函數，的圖象上，則的值為（ ）
A． B． C． D．
題型03 求位似圖形的對應坐標
一般地，在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(x，y)對應的位似圖形上的點的坐標為(kx，ky)或(-kx，-ky).
【小結】以原點為位似中心的位似圖形的坐標符號變化：若兩個圖形在原點同側，則對應點的橫、縱坐標符號相同；若兩個圖形在原點異側，則對應點的橫、縱坐標符號相反.
1．（2024·山西·中考真題）如圖，在平面直角坐標系的第一象限內，與關于原點O位似，相似比為，點A的坐標為，則點的坐標為 ．
2．（2024·浙江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，與是位似圖形，位似中心為點．若點的對應點為，則點的對應點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，的頂點坐標是，，，以點O為位似中心，將縮小為原來的，得到，則點的坐標為 ．

4．（2023·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形的頂點坐標分別是，若四邊形與四邊形關于原點位似，且四邊形的面積是四邊形面積的4倍，則第一象限內點的坐標為 ．

5．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，與位似，原點O是位似中心，且．若，則點的坐標是 ．

題型04 已知位似圖形的相似比求線段長度
位似圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一個點，對應邊互相平行或共線，利用位似比求線段的長度與利用相似三角形的對應邊成比例求線段的長度一樣，要找準對應關系.
1．（2020·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別是，，，以原點為位似中心，在原點的同側畫，使與成位似圖形，且相似比為2：1，則線段DF的長度為（ ）
A． B．2 C．4 D．
2．（2024·云南·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，與是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，若，且，則線段的長度為（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3
3．（2024·河北·模擬預測）如圖，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一個可以探究小孔成像特點的物理實驗裝置，他在薯片筒的底部中央打上一個小圓孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像與蠟燭火焰位似，其位似中心為，其中薯片筒的長度為．蠟燭火焰高為，若像高為，則蠟燭到薯片筒打小孔的底部的距離為（ ）

A．cm B． C． D．
4．（2020·河北石家莊·模擬預測）如圖，有一斜坡OA，已知斜坡上一點A的坐標為，過點A作AB軸，垂足為點B，將△AOB以坐標原點0為位似中心縮小為原圖形的，得到△COD，則OC的長度是 ，此時斜坡OA的坡度為 ．
題型05 求位似圖形的周長
1．（2024·吉林長春·一模）如圖，六邊形和六邊形是以點．O為位似中心的位似圖形，．若六邊形的周長為，則六邊形的周長為 ．
2．（2024·湖南衡陽·二模）如圖，與是位似圖形，位似中心為點O．若，的周長為9，則的周長為（ ）
A．18 B．27 C．32 D．36
3．（2023·重慶南岸·一模）正方形ODEF與正方形OABC位似，點O為位似中心，，則正方形ODEF與正方形OABC的周長比為（ ）

A． B． C． D．
題型06 求位似圖形的面積
1．（2023·陜西西安·模擬預測）如圖，點A在反比例函數的圖象上，軸于點C，以O為位似中心把四邊形放大得到四邊形，且相似比為，則經過點的反比例函數表達式為 ．
2．（2024·陜西渭南·二模）如圖，與是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，若點A、的坐標分別為、，的面積是6，則的面積為（ ）

A．18 B．12 C．24 D．9
3．（2023·廣東佛山·三模）如圖，以點為位似中心，作四邊形的位似圖形，已知，若四邊形的面積是2，則四邊形的面積是（ ）

A．3 B．6 C．9 D．18
題型07 在坐標系中畫位似中心
1．（2023·四川遂寧·中考真題）在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．在如圖所示的平面直角坐標系中，格點成位似關系，則位似中心的坐標為（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·山西忻州·三模）在如圖所示的正方形網格中建立平面直角坐標系，已知每個小正方形的邊長都是1，與的頂點都在正方形網格的格點上，且與為位似圖形，則位似中心的坐標為 ．

3．（2024·遼寧撫順·三模）如圖，正方形網格圖中的與是位似關系圖，則位似中心是點R、點P、點Q、點O四個點中的 ．
題型08 在坐標系中畫位似圖形
1．（2021·黑龍江綏化·中考真題）如圖所示，在網格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，把小正方形的頂點叫做格點，為平面直角坐標系的原點，矩形的4個頂點均在格點上，連接對角線．
（1）在平面直角坐標系內，以原點為位似中心，把縮小，作出它的位似圖形，并且使所作的位似圖形與的相似比等于；
（2）將以為旋轉中心，逆時針旋轉，得到，作出，并求出線段旋轉過程中所形成扇形的周長．
2．（2020·遼寧丹東·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，網格的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，點，，的坐標分別為，，，先以原點為位似中心在第三象限內畫一個，使它與位似，且相似比為2：1，然后再把繞原點逆時針旋轉90°得到．
（1）畫出，并直接寫出點的坐標；
（2）畫出，直接寫出在旋轉過程中，點到點所經過的路徑長．
3．（2020·寧夏·中考真題）在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別是．
（1）畫出關于x軸成軸對稱的；
（2）畫出以點O為位似中心，位似比為1∶2的．

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