資源簡介

第四章 三角形
第16講 三角形的概念和性質
（思維導圖+3考點+2命題點22種題型（含8種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 三角形的基礎
考點二 三角形中有關線段
考點三 與三角形有關的角
04題型精研·考向洞悉
命題點一 與三角形有關的線段
題型01 三角形的穩定性
題型02 畫三角形的五線
題型03 與三角形高有關的計算
題型04 等面積法求高
題型05 求網格中的三角形面積
題型06 與三角形中線有關的計算
題型07 與三角形重心有關的計算
題型08 與三角形中位線有關的計算
題型09 利用角平分線的性質求解
題型10 角平分線的判定
題型11 利用垂直平分線的性質求解
題型12 垂直平分線線的判定
題型13 根據作圖痕跡求解
題型14 利用三角形三邊關系求解
命題點二 與三角形有關的角
題型01 利用三角形內角和定理求解
題型02 三角形內角和與平行線的綜合應用
題型03 三角形內角和與角平分線的綜合應用
題型04 與角度有關的折疊問題
題型05 利用三角形內角和定理解決三角板問題
題型06 利用三角形外角和定理求解
題型07 三角形外角性質與平行線的綜合應用
題型08 三角形內角和定理與外角和定理的綜合
01考情透視·目標導航標
中考考點 考查頻率 新課標要求
三角形中的重要線段 ★★ 理解三角形及其內角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩定性； 探索并證明三角形的內角和定理，掌握它的推論； 證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊； 了解三角形重心的概念； 探索并證明角平分線的性質定理； 理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質定理.
三角形的三邊關系 ★
三角形的內角和外角 ★★
三角形的垂直平分線 ★★
【命題預測】在初中幾何數學中，三角形的基礎知識是解決后續很多幾何問題的基礎. 所以，在中考中，與其它幾何圖形結合考察的幾率比較大，特別是全等三角形的性質和判定的綜合應用.考生在復習該考點時，不僅要熟悉掌握其本身的性質和應用，還要注重轉化思想在題目中的應用，同步聯想，其他幾何圖形在什么情況下會轉化成該考點的知識考察.
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 三角形的基礎
一、三角形的相關概念
三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.
三角形的表示：用符號“”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”.
二、三角形的分類
1）三角形按邊分類：三角形
2）三角形按角分類：三角形
三、三角形的穩定性
三角形的穩定性: 三角形三條邊確定之后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質叫做三角形的穩定性.
【補充】四邊形及多邊形不具有穩定性，要使多邊形具有穩定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多邊形就具有穩定性了.
三角形三邊關系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊．
三角形三邊關系的應用：
1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形．
2）已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b
3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形．
1．（2024·陜西·中考真題）如圖，在中，，是邊上的高，E是的中點，連接，則圖中的直角三角形有（ ）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】C
【分析】本題主要考查直角三角形的概念．根據直角三角形的概念可以直接判斷．
【詳解】解：由圖得，，，為直角三角形，
共有4個直角三角形．
故選：C．
2．（2022·河北石家莊·模擬預測）如圖，一只手蓋住了一個三角形的部分圖形，則這個三角形不可能是（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形
【答案】D
【分析】根據三角形的內角和定理和三角形的分類判斷即可.
【詳解】解：A、當另外兩角為50°和100°時，該三角形為鈍角三角形，故此選項不符合題意；
B、當另外兩角為90°和60°時，該三角形為直角三角形，故此選項不符合題意；
C、當另外兩角為30°和120°時，該三角形為等腰三角形，故此選項不符合題意；
D、等邊三角形的每一個內角均為60°，由圖可知該三角形有一個內角為30°，故不可能為等邊三角形，符合題意.
故選：D．
【點睛】本題考查三角形的內角和定理和三角形的分類，會應用三角形的內角和定理和三角形的分類求解是解答的關鍵.
3．（2023·吉林·中考真題）如圖，鋼架橋的設計中采用了三角形的結構，其數學道理是 ．
【答案】三角形具有穩定性
【分析】根據三角形結構具有穩定性作答即可．
【詳解】解：其數學道理是三角形結構具有穩定性．
故答案為：三角形具有穩定性．
【點睛】本題考查了三角形具有穩定性，解題的關鍵是熟練的掌握三角形形狀對結構的影響．
4．（2023·江蘇鹽城·中考真題）下列每組數分別表示3根小木棒的長度（單位：cm），其中能搭成一個三角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
【答案】D
【分析】根據三角形的三邊關系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”進行分析判斷．
【詳解】A、，不能構成三角形，故此選項不合題意；
B、，不能構成三角形，故此選項不合題意；
C、，不能構成三角形，故此選項不合題意；
D、，能構成三角形，故此選項符合題意．
故選：D．
【點睛】此題考查了三角形三邊關系，看能否組成三角形的簡便方法：看較小的兩個數的和能否大于第三個數．
考點二 三角形中有關線段
類型 三角形的高 三角形的中線 三角形的角平分線
文字語言 從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段． 三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段． 三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段．
圖形語言
性質 ∵AD是 ABC中BC邊的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是 ABC中BC邊的中線 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是 ABC中∠BAC的角平分線 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC
用途舉例 1）線段垂直．2）角度相等． 1）線段相等．2）面積相等． 角度相等．
類型 三角形的中位線 三角形的垂直平分線
文字語言 連接三角形兩邊中點的線段 經過線段的中點并且垂直于這條線段的直線
圖形語言
性質 ∵DE是 ABC的中位線 ∴DE=BC DE∥BC ∵直線l是AB的垂直平分線 ∴PA=PB, AC=BC, ∠PCA=∠PCB=90°
用途舉例 1）線段平行．2）線段關系． 1）線段相等．2）角度相等．
1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，是中線的中點．若的面積是1，則的面積是 ．
【答案】2
【分析】根據的面積的面積，的面積的面積計算出各部分三角形的面積．
【詳解】解：是邊上的中線，為的中點，
根據等底同高可知，的面積的面積，
的面積的面積的面積，
故答案為：2．
【點睛】本題考查了三角形的面積，解題的關鍵是利用三角形的中線平分三角形面積進行計算．
2．（2024·河北·中考真題）觀察圖中尺規作圖的痕跡，可得線段一定是的（ ）
A．角平分線 B．高線 C．中位線 D．中線
【答案】B
【分析】本題考查的是三角形的高的定義，作線段的垂線，根據作圖痕跡可得，從而可得答案．
【詳解】解：由作圖可得：，
∴線段一定是的高線；
故選B
3．（2024·青海·中考真題）如圖，平分，點P在上，，，則點P到的距離是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本題考查了角平分線的性質定理．過點P作于點E，根據角平分線的性質可得，即可求解．
【詳解】解：過點P作于點E，
∵平分，，，
∴，
故選：C．
4．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，小張想估測被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在外取一點C，然后步測出的中點D，E，并步測出的長約為，由此估測A，B之間的距離約為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查三角形的中位線的實際應用，由題意，易得為的中位線，根據三角形的中位線定理，即可得出結果．
【詳解】解：∵點D，E，分別為的中點，
∴為的中位線，
∴；
故選：C．
5．（2024·江蘇鎮江·中考真題）如圖，的邊的垂直平分線交于點，連接．若，，則 ．
【答案】3
【分析】本題考查線段垂直平分線的性質，關鍵是由線段垂直平分線的性質推出．
求出，由線段垂直平分線的性質推出．
【詳解】解：，，
，
在的垂直平分線上，
．
故答案為：3．
考點三 與三角形有關的角
三角形的內角和定理：三角形三個內角和等于180°．
推論：直角三角形的兩個銳角互余.
三角形的內角和定理的應用：
1)在三角形中,已知兩個內角的度數,可以求出第三個內角的度數；
2)在三角形中,已知三個內角的比例關系,可以求出三個內角的度數；
3)在直角三角形中,已知一個銳角的度數,可以求出另一個銳角的度數.
三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
三角形的外角的性質：1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；
2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．
1．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在中，，，．則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形內角和定理、平行線的性質等知識點，掌握平行線的性質成為解題的關鍵．
由三角形內角和定理可得，再根據平行線的性質即可解答．
【詳解】解：∵在中，，，
∴,
∵，
∴．
故選：C．
2．（2023·廣東深圳·中考真題）如圖為商場某品牌椅子的側面圖，，與地面平行，，則（ ）

A．70° B．65° C．60° D．50°
【答案】A
【分析】根據平行得到，再利用外角的性質和對頂角相等，進行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故選A．
【點睛】本題考查平行線的性質，三角形外角的性質，對頂角．熟練掌握相關性質，是解題的關鍵．
3．（2023·河北張家口·一模）將一副三角板按如圖所示方式擺放，使有刻度的邊互相垂直，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了三角板中的角度計算、三角形的外角性質，熟練掌握三角形的外角性質是解題關鍵．先根據三角板可得，再根據角的和差可得，然后根據三角形的外角性質即可得．
【詳解】解：如圖，由題意可知，，
兩個三角板中有刻度的邊互相垂直，
，
，
故選：D．
4．（2024·河北·模擬預測）如圖，三角形紙片沿過一個頂點的直線剪開后得到 兩個三角形紙片，則一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了三角形三角形外角的性質，根據三角形外角等于不相鄰的兩個內角的和進行判斷即可．
【詳解】解：根據圖形可知：，，，
∵相當于的外角，
∴，故不符合題意，D符合題意．
故選：D．
5．（2023·四川遂寧·中考真題）一個三角形的三個內角的度數的比試，這個三角形是 三角形
【答案】直角
【分析】本題考查了三角形內角和定理，三角形類別，解答此題應明確三角形的內角度數的和是，求出最大的角的度數，然后根據三角形的分類判定類型．
【詳解】解：，
這個三角形是直角三角形，
故答案為：直角．
04題型精研·考向洞悉
命題點一 與三角形有關的線段
題型01 三角形的穩定性
1) 三角形具有穩定性.2) 四邊形及多邊形不具有穩定性，要使多邊形具有穩定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多邊形就具有穩定性了.
1．（2022·湖南永州·中考真題）下列多邊形具有穩定性的是（　　　）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角形具有穩定性直接得出答案．
【詳解】解：三角形具有穩定性，四邊形、五邊形、六邊形都具有不穩定性，
故選D．
【點睛】本題考查三角形的特性，牢記三角形具有穩定性是解題的關鍵．
2．（2024·吉林長春·一模）四邊形結構在生活實踐中有著廣泛的應用，如圖所示的升降機，通過控制平行四邊形形狀的升降桿，使升降機降低或升高，其蘊含的數學道理是（ ）
A．平行四邊形的對邊相等 B．平行四邊形的對角相等
C．四邊形的不穩定性 D．四邊形的內角和等于
【答案】C
【分析】本題考查了四邊形的不穩定性，根據四邊形的不穩定性求解即可．
【詳解】解：升降機降低或升高，其蘊含的數學道理是：四邊形的不穩定性，
故選：C．
3．（2021·吉林長春·二模）如圖所示的五邊形木架不具有穩定性，若要使該木架穩定，則要釘上的細木條的數量至少為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據三角形的穩定性及多邊形對角線的條數即可得答案．
【詳解】∵三角形具有穩定性，
∴要使五邊形不變形需把它分成三角形，即過五邊形的一個頂點作對角線，
∵過五邊形的一個頂點可作對角線的條數為5-3=2（條），
∴要使該木架穩定，則要釘上的細木條的數量至少為2條，
故選：B．
【點睛】本題考查三角形的穩定性及多邊形的對角線，熟記三角形具有穩定性是解題的關鍵．
題型02 畫三角形的五線
1．（2023·河北石家莊·模擬預測）嘉淇剪一個銳角做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與交于點，連接，則線段分別是的（ ）

A．高，中線，角平分線 B．高，角平分線，中線
C．中線，高，角平分線 D．高，角平分線，垂直平分線
【答案】B
【分析】根據三角形的高線、角平分線及中線的定義依次判斷即可．
【詳解】解：由圖可得，圖①中，線段是的高線，
圖②中，線段是的角平分線，
圖③中，線段是的中線，
故選：B．
【點睛】題目主要考查三角形的高線、角平分線及中線的定義，理解題意是解題關鍵．
2．（2024·廣東深圳·中考真題）在如圖的三個圖形中，根據尺規作圖的痕跡，能判斷射線平分的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
【答案】B
【分析】本題考查了尺規作圖，全等三角形的判定與性質，解決問題的關鍵是理解作法、掌握角平分線的定義．利用基本作圖對三個圖形的作法進行判斷即可．在圖①中，利用基本作圖可判斷平分；在圖③中，利用作法得， 可證明，有，可得，進一步證明，得，繼而可證明，得，得到是的平分線；在圖②中，利用基本作圖得到D點為的中點，則為邊上的中線．
【詳解】在圖①中，利用基本作圖可判斷平分；
在圖③中，利用作法得，

在和中，
，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分線；
在圖②中，利用基本作圖得到D點為的中點，則為邊上的中線．
則①③可得出射線平分．
故選：B．
3．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在中，請用尺規作圖法在邊上確定一點D，連接，使得平分的面積．（不寫作法、保留作圖痕跡）
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了尺規作線段的垂直平分線，三角形中線的性質，作線段的垂直平分線，交于點D，連接即可．
【詳解】解：如圖，點D即為所求作的點．
根據作圖可知：為的中線，
∴．
4．（2023·廣東江門·一模）如圖，在中，，，．
(1)根據要求用尺規作圖：作邊上的高交于點；（不寫作法，只保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據過直線外一點作已知直線的垂線的步驟畫圖；
（2）利用面積相等求解．
【詳解】（1）解：如圖：
即為所求；
（2）在中，，，，
，
，
．
【點睛】本題考查了基本作圖，利用面積法計算是解題的關鍵．
5．（2023·山東青島·中考真題）用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
已知：．
求作：點P，使，且點P在邊的高上．

【答案】見解析
【分析】作的垂直平分線和邊上的高，它們的交點為P點．
【詳解】解：如圖，點P為所作．

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質．
題型03 與三角形高有關的計算
①有高首先想到面積，可以考慮等面積法求高線.
②高相等，面積之比等于底邊之比.
1．（2024·山東德州·中考真題）如圖，在中，是高，是中線，，，則的長為（ ）
A． B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】本題考查了三角形的高線和中線的意義，根據和求出，根據是中線即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴
∵是中線，
∴
故選：B
2．（2024親水縣三模）如圖，已知的面積為48，，點D為邊上一點，過點D分別作于E，于F，若，則長為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】如圖所示，連接，根據三角形面積公式得到，結合題意求出即可．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故選C．
【點睛】本題考查了三角形的面積計算，將的面積看作是兩個小三角形的面積之和是解答本題的關鍵．
3．（2023·安徽·中考真題）清初數學家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數學家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術”給出了一個完整的證明，證明過程中創造性地設計直角三角形，得出了一個結論：如圖，是銳角的高，則．當，時， ．

【答案】
【分析】根據公式求得，根據，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴
∴,
故答案為：．
【點睛】本題考查了三角形的高的定義，正確的使用公式是解題的關鍵．
4．（2022·山東青島·中考真題）【圖形定義】
有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．
例如：如圖①．在和中，分別是和邊上的高線，且，則和是等高三角形．
【性質探究】
如圖①，用，分別表示和的面積．
則，
∵
∴．
【性質應用】
(1)如圖②，D是的邊上的一點．若，則__________；
(2)如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點．若，，，則__________，_________；
(3)如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點，若，，，則__________．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】（1）由圖可知和是等高三角形，然后根據等高三角形的性質即可得到答案；
（2）根據，和等高三角形的性質可求得，然后根據和等高三角形的性質可求得；
（3）根據，和等高三角形的性質可求得，然后根據，和等高三角形的性質可求得．
【詳解】（1）解：如圖，過點A作AE⊥BC，
則，
∵AE=AE，
∴．
（2）解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴．
（3）解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了等高三角形的定義、性質以及應用性質解題，熟練掌握等高三角形的性質并能靈活運用是解題的關鍵．
題型04 等面積法求高
等面積法是一種方程思想，即用兩種不同的方法表示同一個三角形的面積，那么這兩個表示的面積是相等的，就可以列方程求高或者求底了.一般情況下:一種是利用面積公式表示三角形面積,另一種是利用割補法表示三角形的面積.
1．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，點A，B，C都在網格線的交點上，則中邊上的高為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理、面積法以及三角形面積公式等知識，由勾股定理求出的長，再由三角形面積求出中邊上的高即可．熟練掌握勾股定理和面積法是解題的關鍵．
【詳解】解：設中邊上的高為，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
即中邊上的高為，
故選：B．
2．（2024·上海寶山·一模）如圖，在筆直的公路旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的停靠站A的距離為，與公路上另一停靠站B的距離為，停靠點A、B之間的距離為，為方便運輸貨物現要從公路上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處，且．則修建公路長度為
【答案】12
【分析】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理的應用，以及三角形的面積公式等知識，通過計算可得出 ，根據勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根據的面積公式可得，，從而求出的長．
【詳解】解：∵，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴修建的公路的長是．
故答案為：12．
3．（2021·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）直角三角形的兩條邊長分別3和4，這個直角三角形斜邊兒上的高為 ．
【答案】或
【分析】本題主要考查勾股定理，分類討論是解題的關鍵．可分兩種情況：若3，4是直角三角形的兩條直角邊；若3為直角三角形的直角邊，4為斜邊，利用勾股定理分別求解直角三角形的第三邊，利用三角形的面積可求解斜邊上的高．
【詳解】解：若3，4是直角三角形的兩條直角邊，則斜邊長為：，
斜邊上的高為：；
若3為直角三角形的直角邊，4為斜邊，則另一條直角邊長為：，
斜邊上的高為：，
綜上所述，這個直角三角形斜邊上的高為或．
故答案為：或
4．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，在中，，點D為邊上任意一點（不與點A、B重合），過點D作，，分別交、于點E、F，連接．

(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，求點C到的距離．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）利用平行線的性質證明，再利用四邊形內角和為，證明，即可由矩形判定定理得出結論；
（2）先由勾股定理求出，再根據三角形面積公式求解即可．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形是矩形．
（2）解：∵，，
∴
設點C到的距離為h，
∵
∴
∴
答：點C到的距離為．
【點睛】本題考查矩形的判定，平行線的性質，勾股定理．熟練掌握矩形的判定定理和利用面積法求線段長是解題的關鍵．
題型05 求網格中的三角形面積
1）利用割補法求三角形的面積.
2）皮克定理：三角形的面積=內點數+邊點數÷2-1
1．（2024恩施市一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，，則三角形ABC的面積為 ．

【答案】14
【分析】利用割補法求解即可，
【解答】
解：S△ABC＝5×6﹣×3×7﹣×2×7＝30﹣6﹣3﹣5＝16．
2．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點坐標分別是、、，將向左平移1個單位，再向上平移3個單位，得到，其中點，，的對應點分別為，，．
(1)請畫出；
(2)點的坐標為_________；的面積為_________．
【答案】(1)見解析
(2)，．
【分析】本題主要考查了作圖-平移作圖，點的坐標平移規律，以及割補法求三角形面積．
（1）先將A、B、C向左平移1個單位，再向上平移3個單位后的對應點描出來，再順次連接為，，即可；
（2）按照平移規律求解即可得點的坐標為．再根據網格利用割補法求的面積即可．
【詳解】（1）解：如圖，為所求，
（2）解：點的坐標為，
的面積為．
故答案為：，．
3．（2024浙江模擬預測）正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點，作，使，，，并求的面積．
【答案】作圖見解析；
【分析】本題考查的是勾股定理，格點三角形，三角形的面積，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．根據勾股定理畫出圖形即可．利用割補法求出三角形的面積即可．
【詳解】解：如圖，為所求作的三角形．
根據勾股定理得：，
，
；
．
4．（2024洛陽市模擬）如圖，每個小正方形的邊長為1．
(1)求四邊形的面積；
(2)求的度數．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查勾股定理和逆定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．
（1）利用網格割補法求面積進行求解即可；
（2）先用勾股定理求出各邊的長，再利用勾股定理的逆定理進行求解即可．
【詳解】（1）四邊形的面積；
（2）解：連接，
根據勾股定理得，，
，，
，，，
∴，
∴．
題型06 與三角形中線有關的計算
1．（2024珠海區模擬）在，，，是邊上的中線，若的周長為45，的周長是（ ）
A．47 B．43 C．38 D．25
【答案】B
【分析】本題主要考查三角形的中線以及三角形的周長，掌握三角形的中線的定義是解題的關鍵．根據的周長為45，可得，再結合三角形中線的定義，即可求解．
【詳解】解： 的周長為45，
，
是邊上的中線，
，
，
，
，
的周長是．
故選：B．
2．（2024·山西太原·三模）如圖示，是的中線，點D是邊靠近頂點B的一個三等分點，連接，交于點F，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查相似三角形的性質和判定，三角形中線的性質，作，交于點，證明，結合三角形中線的性質，得到，，根據題意得到，進而得到，證明，利用相似三角形性質得到，，即可解題．
【詳解】解：作，交于點，
，
是的中線，
，即，，
點D是邊靠近頂點B的一個三等分點，
，
，
，
，
，
即，，
，
故選：B．
3．（2024·云南昆明·二模）如圖，，是的兩條中線，連接．若，則陰影部分的面積是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本題考查的是三角形的中線，熟記三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分是解題的關鍵．根據三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分計算即可．
【詳解】解：是的中線，，
，
是的中點，
，
故選：B
4．（2024南寧市模擬）如圖，點是的邊上任意一點，點是線段的中點，若，則陰影部分的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形的面積，解題的關鍵是掌握三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．利用角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分得到，，推出，即可求解．
【詳解】解：點是的邊上任意一點，點是線段的中點，
，，
，
陰影部分的面積為，
故選：C．
題型07 與三角形重心有關的計算
1．（2023·浙江·中考真題）如圖，點P是的重心，點D是邊的中點，交于點E，交于點F，若四邊形的面積為6，則的面積為（　　）

A．15 B．18 C．24 D．36
【答案】B
【分析】連接,根據三角形重心的性質可知：P在上，由三角形中線平分三角形的面積可知：，證明和,根據相似三角形面積的比等于相似比的平方可解答．
【詳解】解：如圖，連接，
點P是的重心，點D是邊的中點，P在上，
，
，
，
，
，
，
，
設的面積為m，則的面積為，的面積為，
四邊形的面積為6，
，
，
的面積為9，
的面積是18．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了三角形重心的性質，相似三角形的判定與性質，難度適中，準確作出輔助線是解題的關鍵．
2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）已知：．
(1)尺規作圖：畫出的重心．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）
(2)在（1）的條件下，連接，．已知的面積等于，則的面積是______．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了三角形重心的性質，尺規畫垂線；
（1）分別作的中線，交點即為所求；
（2）根據三角形重心的性質可得，根據三角形中線的性質可得
【詳解】（1）解：如圖所示
作法：①作的垂直平分線交 于點
②作的垂直平分線交于點
③連接、相交于點
④標出點 ，點 即為所求
（2）解：∵是的重心，
∴
∴
∵的面積等于，
∴
又∵是的中點，
∴
故答案為：．
3．（2024·山東青島·一模）三角形的重心
定義：三角形三條中線相交于一點，這個點稱為三角形的重心．
三角形重心的一個重要性質：
重心與一邊中點的連線的長是對應中線長的．
下面是小亮證明性質的過程：
已知：如圖，在中，D，E分別是邊的中點，相交于點O．
求證：
證明：連接，
D，E分別是邊的中點
∴（依據1）

性質應用：
(1)如圖1，在中，點G是的重心，連接并延長交于點E，若，則______；

(2)如圖2，在中，中線相交于點G，若的面積為48，則的面積為______；

(3)如圖3，在中，若，，的面積為m，則的面積為______．

【答案】(1)6
(2)8
(3)
【分析】本題主要考查了三角形重心性質的應用、相似三角形的判定與性質、三角形中位線的判定與性質等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵．
（1）根據重心與一邊中點的連線的長是對應中線長的即可解答；
（2）在中，點G是的重心，，然后求出的面積即可；
（3）如圖：連結，先證可得，可得可得，最后求出的面積即可．
【詳解】（1）解：在中，點G是的重心，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：6．
（2）解：在中，中線相交于點G，G為的重心．
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：8．
（3）解：如圖：連結．

∵，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
題型08 與三角形中位線有關的計算
1．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，是的中線，E，F分別是，的中點，，則的長為 ．
【答案】6
【分析】此題考查了三角形的中線和中位線，先利用中位線性質求得，再由中線知即可解答，熟練掌握中位線的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵點、分別是、的中點，
∴是的中位線，
∴，
∴，
∵是的中線，
∴，
故答案為：．
2．（2024·湖南·中考真題）如圖，在中，點分別為邊的中點．下列結論中，錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了三角形中位線的性質，相似三角形的判定和性質，由三角形中位線性質可判斷；由相似三角形的判定和性質可判斷，掌握三角形中位線的性質及相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵點分別為邊的中點，
∴，，故正確；
∵，
∴，故正確；
∵，
∴，
∴，故錯誤；
故選：．
3．（2024·江蘇無錫·中考真題）在中，，，，分別是的中點，則的周長為 ．
【答案】9
【分析】本題考查了三角形的中位線定理，解題的關鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．根據三角形的中位線定理得出，即可解答．
【詳解】解：∵，，，分別是的中點，
∴，
∴的周長，
故答案為：9．
4．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，四邊形各邊中點分別是，若對角線，則四邊形的周長是 ．
【答案】42
【分析】本題考查的是中點四邊形，熟記三角形中位線定理是解題的關鍵．
根據三角形中位線定理分別求出、、、，根據四邊形的周長公式計算，得到答案．
【詳解】解：四邊形各邊中點分別是、、、，
、、、分別為、、、的中位線，
，，，，
四邊形的周長為：，
故答案為：42．
題型09 利用角平分線的性質求解
1．（2024·云南·中考真題）已知是等腰底邊上的高，若點到直線的距離為3，則點到直線的距離為（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，角平分線的性質定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
由等腰三角形“三線合一”得到平分，再角平分線的性質定理即可求解．
【詳解】解： 如圖，
∵是等腰底邊上的高，
∴平分，
∴點F到直線，的距離相等，
∵點到直線的距離為3，
∴點到直線的距離為3．
故選：C．
2．（2022·內蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4+2
【答案】C
【分析】過點E作EH⊥OA于點H，根據角平分線的性質可得EH＝EC，再根據平行線的性質可得∠ADE的度數，再根據含30°角的直角三角形的性質可得DE的長度，再證明OD＝DE，即可求出OD的長．
【詳解】解：過點E作EH⊥OA于點H，如圖所示：
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故選：C．
【點睛】本題考查了角平分線的性質，含30°角的直角三角形的性質，平行線的性質等，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．
3．（2022·湖南益陽·中考真題）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧交射線AB，AC于兩點，分別以這兩點為圓心，以適當的定長為半徑畫弧，兩弧交于點E，作射線AE，交BD于點I，連接CI，以下說法錯誤的是（　　）
A．I到AB，AC邊的距離相等
B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的內心
D．I到A，B，C三點的距離相等
【答案】D
【分析】根據作圖先判斷AE平分∠BAC，再由三角形內心的性質解答即可．
【詳解】解：A.由作圖可知，AE是∠BAC的平分線，
∴I到AB，AC邊的距離相等，故選項正確，不符合題意；
B.∵BD平分∠ABC，三角形三條角平分線交于一點，
∴CI平分∠ACB，故選項正確，不符合題意；
C.由上可知，I是△ABC的內心，故選項正確，不符合題意，
D.∵I是△ABC的內心，
∴I到AB，AC，BC的距離相等，不是到A，B，C三點的距離相等，故選項錯誤，符合題意；
故選：D．
【點睛】此題考查尺規作圖，涉及三角形內心的性質，解題的關鍵是掌握基本的尺規作圖和三角形內心的性質．
4．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，已知是的角平分線，，分別是和的高，，，則點E到直線的距離為 ．

【答案】/
【分析】根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質可得點D到的距離等于點D到的距離的長度，然后根據勾股定理求出，最后根據等面積法求解即可．
【詳解】解：∵是的角平分線，，分別是和的高，，
∴，
又，
∴，
設點E到直線的距離為x，
∵，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查了角平分定理，勾股定理等知識，掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．
題型10 角平分線的判定
1．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在中，，點到三邊的距離相等，則的度數為 ．
【答案】/135度
【分析】本題考查角平分線的判定，根據點到三邊的距離相等，得出點在的角平分線上，即可得解．解題的關鍵是掌握：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．
【詳解】解：∵點到三邊的距離相等，
∴點在的角平分線上，即與都是的角平分線，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度數為．
故答案為：．
2．（2024·上海·模擬預測）已知在銳角中，的平分線交邊于D，的平分線交邊于F，與交于O，連接并延長交于E
(1)尺規規范作圖，寫出已知
(2)求證：平分
(3)求證：
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題考查了尺規作圖—作角平分線，角平分線的性質定理、三角形面積公式、角平分線的判定定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）根據角平分線的作法結合題意畫出圖形即可；
（2）作于，于，于，由角平分線的性質定理得出，即可判定出平分；
（3）由和等高，得出，作于，于，由角平分線的性質定理可得：，得出，從而推出，同理可得：，，即可得證．
【詳解】（1）解：如圖所示：
已知：為銳角三角形，平分，平分，與交于O，連接并延長交于E；
（2）證明：如圖，作于，于，于，
∵平分，，，
∴，
同理可得：，
∴，
∴平分；
（3）證明：∵和等高，
∴，
如圖：作于，于，
由角平分線的性質定理可得：，
∵，，
∴，
∴，即，
同理可得：，，
∴．
3．（2024·江西贛州·二模）【課本再現】
思考 我們知道，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，反過來，角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上嗎？ 可以發現并證明角的平分線的性質定理的逆定理； 角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．
【定理證明】
（1）為證明此逆定理，某同學畫出了圖形，并寫好“已知”和“求證”，請你完成證明過程．
已知：如圖1，在的內部，過射線上的點作，，垂足分別為，，且．
求證：平分．
【知識應用】
（2）如圖2，在中，過內部一點，作，，，垂足分別為，，，且，，連接，．
①求的度數；
②若，，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）①；②
【分析】此題考查了全等三角形的判定，角平分線的性質，特殊角的三角函數和勾股定理，判斷出角平分線并用角平分線的性質求出角的度數是解題的關鍵．
（1）此問只需證明即可
（2）①判斷出、、是角平分線，用平分線的性質及三角形內角和是即可求出的度數；
②由①得構造特殊直角三角形從而求出,,在中用勾股定理即可求出．
【詳解】解：（1）證明：，，
．
在與中
；
；
；即平分．
（2）①，
由（1）中定理得：，．
．
②過點作于點．
，
．
，
，
．
，
．
題型11 利用垂直平分線的性質求解
已知垂直平分線，立馬得到以下三個結論:
1）垂直；2）平分；3）連垂直平分線上某點和線段兩端，那么這兩個距離相等.
1．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，在中，垂直平分交于點，若的周長為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，由線段垂直平分線的性質可得，進而可得的周長，即可求解，掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵垂直平分，
∴，
∴的周長，
故選：．
54．（2023·江蘇鎮江·中考真題）如圖，扇形的半徑為2，分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P，，則的長 ．（結果保留）

【答案】/
【分析】本題考查弧長的計算，關鍵是掌握弧長公式．由等腰三角形的性質求出的度數，由弧長公式即可計算．
【詳解】解：由作圖知∶垂直平分，
扇形的半徑是2，
故答案為∶．
2．（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖，在中，，，線段的垂直平分線交于點，交于點，則 ．

【答案】/10度
【分析】由，，求得，根據線段的垂直平分線、等邊對等角和直角三角形的兩銳角互余求得．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵是線段的垂直平分線，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】此題考查了直角三角形的性質、線段垂直平分線性質，熟記直角三角形的性質、線段垂直平分線性質是解題的關鍵．
3．（2023·青海·中考真題）如圖，在中，是的垂直平分線.若，，則的周長是 .

【答案】13
【分析】根據線段垂直平分線的性質得到，即可求解．
【詳解】解：是的垂直平分線．
，
，
的周長，
故答案為：13．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．
題型12 垂直平分線線的判定
1）根據線段垂直平分線的定義，也就是經過線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，使用這種方法必須滿足兩個條件：一是垂直，二是平分；
2）可以證明直線上有兩個點在線段的垂直平分線上，根據兩點確定一條直線，可以判定這兩點所在的直線就是這條線段的垂直平分線.
1．（2024·四川樂山·模擬預測）如圖，已知為的外接圓，，直徑交于點E，若，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了勾股定理，線段垂直平分線的性質與判定，圓的基本性質，先證明垂直平分，再利用勾股定理用分別表示出的長即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵為的外接圓，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
故選：A．
2．（2024·河北·模擬預測）如圖，已知平行四邊形，．用尺規作圖的方法在上取一點P，使得，則下列做法正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定，作圖-線段垂直平分線等知識， 證明，則可知點P在線段的垂直平分線上，由此求解即可解答．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴點P在線段的垂直平分線上，
∴只有選項D中的作圖方法符合題意．
故答案為：D．
3．（2024·黑龍江佳木斯·三模）如圖，在四邊形中，，，，若，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理，線段垂直平分線的判定以及直角三角形的性質，熟練掌握線段垂直平分線的判定以及直角三角形的性質是解題的關鍵．如圖，取的中點，連接、，延長交于點，由勾股定理得，利用中線的性質得，再證， ，最后利用勾股定理即可得解．
【詳解】解：如圖，取的中點，連接、，延長交于點，
∵，，，
∴，
∵，是的中點，
∴，
∴點在線段的垂直平分線上，
∵，
∴點在線段的垂直平分線上，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
故選∶．
題型13 根據作圖痕跡求解
1．（2023·湖北荊州·中考真題）如圖，，點在上，，為內一點．根據圖中尺規作圖痕跡推斷，點到的距離為 ．

【答案】1
【分析】首先利用垂直平分線的性質得到，利用角平分線，求出，再在中用勾股定理求出，最后利用角平分線的性質求解即可．
【詳解】如圖所示，

由尺規作圖痕跡可得，是的垂直平分線，
∴，
∴，
設，則，
∵，
∴，
∴，
∴，
由尺規作圖痕跡可得，是的平分線，
∴點到的距離等于點P到的距離，即的長度，
∴點到的距離為1．
故答案為：1 ．
【點睛】本題考查角平分線和垂直平分線的性質，勾股定理，數形結合思想是關鍵．
2．（2023·四川南充·中考真題）如圖，在中，，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點P，畫射線與交于點D，，垂足為E．則下列結論錯誤的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由作圖方法可知，是的角平分線，則由角平分線的定義和性質即可判定A、B；利用勾股定理求出，利用等面積法求出，由此求出即可判斷C、D．
【詳解】解：由作圖方法可知，是的角平分線，
∴，故A結論正確，不符合題意；
∵，
∴，故B結論正確，不符合題意；
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故C結論錯誤，符合題意；
∴，故D結論正確，不符合題意；
故選C．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質和定義，角平分線的尺規作圖，靈活運用所學知識是解題的關鍵．
3．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在中，，分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點，作直線交，于點D，E，連接．下列說法錯誤的是（ ）

A．直線是的垂直平分線 B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據直線是的垂直平分線、平行線分線段成比例、三角形中位線定理、相似三角形的判定和性質等知識，分別進行判斷即可．
【詳解】解：A．由作圖過程可知，直線是的垂直平分線，故選項正確，不符合題意；
B．由作圖過程可知，直線是的垂直平分線，
∴點E是的中點，，
在中，，
∴，
∴，
即點D是的中點，
∴，
故選項正確，不符合題意；
C．∵點D是的中點，點E是的中點，
∴是的中位線，
∴，
故選項正確，不符合題意；
D．∵，
∴，
∴，
∴，
故選項錯誤，符合題意．
故選：D．
【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質、平行線分線段成比例定理、垂直平分線的性質、三角形中位線定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質、平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．
4．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，中，，分別以頂點A，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點和點，作直線分別與，交于點和點；以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點和點，再分別以點，點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線，若射線恰好經過點，則下列四個結論：
①；②垂直平分線段；③；④．
其中，正確結論的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】本題主要考查作圖-復雜作圖、角平分線的性質、線段的垂直平分線的性質等知識，讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題是解題的關鍵．
由作圖可知垂直平分線段、平分，進而證明可判定①；再說明可得垂直平分線段可判定②；根據直角三角形的性質可得可判定③，根據三角形的面積公式即可判定④．
【詳解】解：由作圖可知垂直平分線段，
∴，
∴，
由作圖可知平分，
∴，
∵，
∴，故①正確，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分線段，故②正確，
∵，
∴，故③正確，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正確．
故選：D．
題型14 利用三角形三邊關系求解
若滿足：最短的線段長+中間的線段長＞最長的線段長，即可構成三角形.
1．（2023·山東·中考真題）在中，，下列說法錯誤的是（　　）
A． B．
C．內切圓的半徑 D．當時，是直角三角形
【答案】C
【分析】根據三角形三邊關系、三角形面積、內切圓半徑的計算以及勾股定理逆定理逐一求解即可．
【詳解】解：∵，
∴即，故A說法正確；
當時，，
若以為底，高，
∴，故B說法正確；
設內切圓的半徑為r，
則，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，故C說法錯誤；
當時，，
∴是直角三角形，故D說法正確；
故選：C．
【點睛】本題考查了三角形三邊關系，三角形面積，三角形內切圓半徑以及勾股定理的逆定理，掌握內切圓半徑與圓的面積周長之間的關系是解題的關鍵．
2．（2023·福建·中考真題）若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是（　　）
A．1 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【分析】根據三角形的三邊關系求解即可．
【詳解】解：由題意，得，即，
故的值可選5，
故選：B．
【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解答的關鍵．
3．（2022·西藏·中考真題）如圖，數軸上A，B兩點到原點的距離是三角形兩邊的長，則該三角形第三邊長可能是（　　）
A．﹣5 B．4 C．7 D．8
【答案】B
【分析】由實數與數軸與絕對值知識可知該三角形的兩邊長分別為3、4．然后由三角形三邊關系解答．
【詳解】解：由題意知，該三角形的兩邊長分別為3、4．
不妨設第三邊長為a，則4-3＜a＜4+3，即1＜a＜7．
觀察選項，只有選項B符合題意．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了三角形三邊關系，絕對值，實數與數軸，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊，
4．（2022·湖南益陽·中考真題）如圖1所示，將長為6的矩形紙片沿虛線折成3個矩形，其中左右兩側矩形的寬相等，若要將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，則圖中a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題實際上是長為6的線段圍成一個等腰三角形，求腰的取值范圍．
【詳解】解：長為6的線段圍成等腰三角形的兩腰為a．則底邊長為6﹣2a．
由題意得，，
解得＜a＜3，
所給選項中分別為：1，2，3，4．
∴只有2符合上面不等式組的解集，
∴a只能取2．
故選：B．
【點睛】本題考查了三角形三邊之間的關系、解不等式組，解題的關鍵是把把三棱柱的問題轉化為三角形三邊的問題．
命題點二 與三角形有關的角
1）三角形的內角和為180°；
2）直角三角形中兩銳角和為90°；
3）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.
題型01 利用三角形內角和定理求解
1．（2024·四川成都·中考真題）如圖，，若，，則的度數為 ．
【答案】/100度
【分析】本題考查了三角形的內角和定理和全等三角形的性質，先利用全等三角形的性質，求出，再利用三角形內角和求出的度數即可．
【詳解】解：由，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：
2．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，，是高，以點A為圓心，長為半徑畫弧，交于點E，再分別以B、E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部交于點F，作射線，則 ．
【答案】/10度
【分析】本題主要考查角平分線的作法及三角形內角和定理，根據題意得出平分，然后利用三角形內角和定理求解即可．
【詳解】解：因為，
所以，
根據題意得：平分，
所以，
因為為高，
所以，
所以,
所以，
故答案為：．
3．（2023·新疆·中考真題）如圖，在中，若，，，則 ．

【答案】
【分析】根據等邊對等角得出，再有三角形內角和定理及等量代換求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
故答案為：．
【點睛】題目主要考查等邊對等角及三角形內角和定理，結合圖形，找出各角之間的關系是解題關鍵．
4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）將一個含角的三角尺和直尺如圖放置，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了對頂角的性質，三角形內角和定理．根據對頂角相等和三角形的內角和定理，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，
由題意得，，，
∴，
故選：B．
題型02 三角形內角和與平行線的綜合應用
1．（2024·四川德陽·中考真題）如圖是某機械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握平行線的性質．首先根據平行線的性質得出，再根據垂直與三角形的內角和即可求出．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
故選：B．
2．（2024·山西·中考真題）如圖1是一個可調節的電腦桌，它的工作原理是利用液體在封閉的管路中傳遞力和能量．圖2是將其正面抽象成的圖形，其中桌面與底座平行，等長的支架交于它們的中點E，液壓桿．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】題目主要考查等腰三角形的性質及平行線的性質，根據題意得出，確定，再由對頂角及平行線的性質即可求解
【詳解】解：∵等長的支架交于它們的中點E，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：D
3．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，，，．則 ．
【答案】66
【分析】本題考查了平行線的性質，等邊對等角，三角形外角的性質，根據等邊對等角可得，根據三角形的外角的性質可得，根據平行線的性質，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
4．（2024·山東·中考真題）如圖，是的內接三角形，若，，則 ．
【答案】/40度
【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理等知識，利用圓周角定理求出的度數，利用等邊對等角、三角形內角和定理求出的度數，利用平行線的性質求出的度數，即可求解．
【詳解】解∶連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
題型03 三角形內角和與角平分線的綜合應用
1．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在中，．現分別作出邊上的高和的平分線．則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題主要考查了角的計算，關鍵是正確作出輔助線．
首先計算出的度數，再計算出的度數，利用角的和差關系可得答案．
【詳解】如圖所示；分別作出邊上的高和的平分線．

在中，，
平分，
，
在中，，
，
故選：C．
2．（2022·安徽·模擬預測）如圖，在中，的平分線與的平分線交于點．若將沿翻折，使得點與點重合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形內角和定理．根據角平分線的定義，推出，利用三角形內角和定理得到，求得，據此即可求解．
【詳解】解：分別是的平分線，，
．
由翻折可知，， ，
∴，故選項AC都不正確；
∴，故選項B不正確；故選項D正確；
故選：D．
3．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，中，是邊上的高，是的平分線，則的度數是 ．
【答案】/100度
【分析】本題考查了三角形內角和以及外角性質、角平分線的定義．先求出，結合高的定義，得，因為角平分線的定義得，運用三角形的外角性質，即可作答．
【詳解】解：∵，
∴，
∵是邊上的高，
∴，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∴．
故答案為：．
4．（2023·陜西西安·二模）如圖，在中，，，為的平分線，于點，則度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依據直角三角形，即可得到，再根據,平分,即可得到的度數,再根據進行計算即可．
【詳解】解：,
,
又,平分,
，
,
故選：C．
【點睛】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是是解答此題的關鍵．
題型04 與角度有關的折疊問題
1．（2020·湖南邵陽·中考真題）將一張矩形紙片按如圖所示操作：
（1）將沿向內折疊，使點A落在點處，
（2）將沿向內繼續折疊，使點P落在點處，折痕與邊交于點M．
若，則的大小是（ ）
A．135° B．120° C．112.5° D．115°
【答案】C
【分析】由折疊前后對應角相等且可先求出，進一步求出，再由折疊可求出，最后在中由三角形內角和定理即可求解．
【詳解】解：∵折疊，且，
∴，即，
∵折疊，
∴，
∴在中，，
故選：C．
【點睛】本題借助矩形的性質考查了折疊問題、三角形內角和定理等，記牢折疊問題的特點：折疊前后對應邊相等，對應角相等即可解題．
2．（2023·遼寧·中考真題）如圖，在三角形紙片中，，點是邊上的動點，將三角形紙片沿對折，使點落在點處，當時，的度數為 ．

【答案】或
【分析】分兩種情況考慮，利用對稱的性質及三角形內角和等知識即可完成求解．
【詳解】解：由折疊的性質得：；
∵，
∴；
①當在下方時，如圖，
∵，
∴，
∴；

②當在上方時，如圖，
∵，
∴，
∴；

綜上，的度數為或；
故答案為：或．
【點睛】本題考查了折疊的性質，三角形內角和，注意分類討論．
3．（2023·吉林長春·中考真題）如圖，將正五邊形紙片折疊，使點與點重合，折痕為，展開后，再將紙片折疊，使邊落在線段上，點的對應點為點，折痕為，則的大小為 度．

【答案】
【分析】根據題意求得正五邊形的每一個內角為，根據折疊的性質求得在中，根據三角形內角和定理即可求解．
【詳解】解：∵正五邊形的每一個內角為，
將正五邊形紙片折疊，使點與點重合，折痕為，
則，
∵將紙片折疊，使邊落在線段上，點的對應點為點，折痕為，
∴，，
在中，，
故答案為：．
【點睛】本題考查了折疊的性質，正多邊形的內角和的應用，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．
4．（2021·吉林·中考真題）如圖①，在中，，，是斜邊上的中線，點為射線上一點，將沿折疊，點的對應點為點．
（1）若．直接寫出的長（用含的代數式表示）；
（2）若，垂足為，點與點在直線的異側，連接，如圖②，判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（3）若，直接寫出的度數．
【答案】（1）；（2）菱形，見解析；（3）或
【分析】（1）根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得；
（2）由題意可得，，由“直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半”，得，得，則四邊形是平行四邊形，再由折疊得，于是判斷四邊形是菱形；
（3）題中條件是“點是射線上一點”，因此又分兩種情況，即點與點在直線的異側或同側，正確地畫出圖形即可求出結果．
【詳解】解：（1）如圖①，在中，，
∵是斜邊上的中線，，
∴．
（2）四邊形是菱形．
理由如下：
如圖②∵于點，
∴，
∴；
由折疊得，，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
∵，
∴，
∴四邊形是菱形．
（3）如圖③，點與點在直線異側，
∵，
∴；
由折疊得，，
∴；
如圖④，點與點在直線同側，
∵，
∴，
∴，
由折疊得，，
∴，
∴．
綜上所述，或．
【點睛】此題主要考查了直角三角形的性質、軸對稱的性質、平行四邊形及特殊平行四邊形的判定等知識與方法，在解第（3）題時，應進行分類討論，解題的關鍵是準確地畫出圖形，以免丟解．
題型05 利用三角形內角和定理解決三角板問題
1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）小華將一副三角板（，，）按如圖所示的方式擺放，其中，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據平行線的性質得出，然后根據三角形內角和定理求解即可．
【詳解】解：如圖：設交于點，

∵，
∴，
∵，
∴．
故選：C．
【點睛】本題考查了三角形內角和定理、平行線的性質等知識點，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．
2．（2022·山東德州·中考真題）將一副三角板（厚度不計）如圖擺放，使含角的三角板的斜邊與含角的三角板的一條直角邊平行，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據平行線的性質可得的度數，再根據三角形內角和定理可得的度數．
【詳解】
解：∵含角的三角板的斜邊與含角的三角板的一條直角邊平行，如圖所示：
∴，
∵，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了平行線的性質，直角三角形的性質，三角形內角和定理等，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．
3．（2020·江蘇泰州·中考真題）如圖，將分別含有、角的一副三角板重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形成的角為，則圖中角的度數為 ．
【答案】/140度
【分析】如圖，首先標注字母，利用三角形的內角和求解，再利用對頂角的相等，三角形的外角的性質可得答案．
【詳解】解：如圖，標注字母，
由題意得：
故答案為：
【點睛】本題考查的是三角形的內角和定理，三角形的外角的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．
4．（2022·江蘇揚州·中考真題）將一副直角三角板如圖放置，已知，，，則 °．
【答案】105
【分析】根據平行線的性質可得，根據三角形內角和定理以及對頂角相等即可求解．
【詳解】，，
，
∵∠E=60°，
∴∠F=30°，
故答案為：105
【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，掌握平行線的性質是解題的關鍵．
題型06 利用三角形外角和定理求解
1．（2024·四川達州·中考真題）如圖，在中，，分別是內角、外角的三等分線，且，，在中，，分別是內角，外角的三等分線．且，，…，以此規律作下去．若．則 度．
【答案】
【分析】本題考查了三角形的外角定理，等式性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
先分別對運用三角形的外角定理，設，則，，則，得到，，同理可求：，所以可得．
【詳解】解：如圖：
∵，，
∴設，，則，，
由三角形的外角的性質得：，，
∴，
如圖：
同理可求：，
∴，
……，
∴，
即，
故答案為：．
2．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在中，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形外角的性質．根據等腰三角形的性質，可得，再由三角形外角的性質，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：B
3．（2023·山東·中考真題）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點均在小正方形方格的頂點上，線段交于點，若，則等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據三角形外角的性質及平行線的性質可進行求解．
【詳解】解：如圖，

由圖可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故選C．
【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
題型07 三角形外角性質與平行線的綜合應用
1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，直線，一塊含有的直角三角板按如圖所示放置．若，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了三角形的外角性質，平行線的性質．利用對頂角相等求得的度數，再利用三角形的外角性質求得的度數，最后利用平行線的性質即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故選：A．
2．（2024·四川涼山·中考真題）一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點在的延長線上，當時，的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查平行線的性質，三角形的外角的性質，掌握平行線的性質，是解題的關鍵．證明，再利用，進行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∵，
∴，
∴；
故選B．
3．（2024·山西·中考真題）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力的方向豎直向下，支持力的方向與斜面垂直，摩擦力的方向與斜面平行．若斜面的坡角，則摩擦力與重力方向的夾角的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質和三角形外角性質，根據題意結合圖形可知是重力與斜面形成的三角形的外角，從而可求得的度數．
【詳解】解：重力的方向豎直向下，
重力與水平方向夾角為，
摩擦力的方向與斜面平行，，
，
故選：C．
4．（2023·山西·中考真題）如圖，一束平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后，其折射光線與一束經過光心的光線相交于點，點為焦點．若，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行線的性質及三角形外角的性質即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

故選：C．
【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形外角的性質等知識，掌握這兩個知識點是關鍵．
題型08 三角形內角和定理與外角和定理的綜合
1．（2024·天津·中考真題）如圖，中，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點，交于點；再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧（所在圓的半徑相等）在的內部相交于點；畫射線，與相交于點，則的大小為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查基本作圖，直角三角形兩銳角互余以及三角形外角的性質，由直角三角形兩銳角互余可求出，由作圖得，由三角形的外角的性質可得，故可得答案
【詳解】解：∵，
∴，
由作圖知，平分，
∴，
又
∴
故選：B
2．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若，則的度數為（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如圖，求出正六邊形的一個內角和一個外角的度數，得到，平行線的性質，得到，三角形的外角的性質，得到，進而求出的度數．
【詳解】解：如圖：

∵正六邊形的一個外角的度數為：，
∴正六邊形的一個內角的度數為：，
即：，
∵一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，，
∴，
∴，
∴；
故選B．
【點睛】本題考查正多邊形的內角和、外角和的綜合應用，平行線的性質．熟練掌握多邊形的外角和是，是解題的關鍵．
3．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，在中，的垂直平分線交于點D．交于點E．連接．若，，則的度數為 ．

【答案】/度
【分析】先在中利用等邊對等角求出的度數，然后根據垂直平分線的性質可得，再利用等邊對等角得出，最后結合三角形外角的性質即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵是的垂直平分線，
∴，
∴，
又，
∴．
故答案為： ．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形外角的性質等知識，掌握等腰三角形的等邊對等角是解題的關鍵．
4．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，是的直徑，切于點A，交于點，連接，若，則 ．
【答案】34
【分析】首先根據等邊對等角得到，然后利用外角的性質得到，利用切線的性質得到，最后利用三角形內角和定理求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵切于點A，
∴，
∴．
故答案為：34．
【點睛】此題考查了切線的性質和三角形的外角的性質，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．
5．（2024·重慶·中考真題）如圖，在中，，，平分交于點．若，則的長度為 ．
【答案】2
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質與判定，三角形內角和定理，三角形外角的性質，先根據等邊對等角和三角形內角和定理求出，再由角平分線的定義得到，進而可證明，即可推出．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴,
故答案為：2．第四章 三角形
第16講 三角形的概念和性質
（思維導圖+3考點+2命題點22種題型（含8種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 三角形的基礎
考點二 三角形中有關線段
考點三 與三角形有關的角
04題型精研·考向洞悉
命題點一 與三角形有關的線段
題型01 三角形的穩定性
題型02 畫三角形的五線
題型03 與三角形高有關的計算
題型04 等面積法求高
題型05 求網格中的三角形面積
題型06 與三角形中線有關的計算
題型07 與三角形重心有關的計算
題型08 與三角形中位線有關的計算
題型09 利用角平分線的性質求解
題型10 角平分線的判定
題型11 利用垂直平分線的性質求解
題型12 垂直平分線線的判定
題型13 根據作圖痕跡求解
題型14 利用三角形三邊關系求解
命題點二 與三角形有關的角
題型01 利用三角形內角和定理求解
題型02 三角形內角和與平行線的綜合應用
題型03 三角形內角和與角平分線的綜合應用
題型04 與角度有關的折疊問題
題型05 利用三角形內角和定理解決三角板問題
題型06 利用三角形外角和定理求解
題型07 三角形外角性質與平行線的綜合應用
題型08 三角形內角和定理與外角和定理的綜合
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
三角形中的重要線段 ★★ 理解三角形及其內角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩定性； 探索并證明三角形的內角和定理，掌握它的推論； 證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊； 了解三角形重心的概念； 探索并證明角平分線的性質定理； 理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質定理.
三角形的三邊關系 ★
三角形的內角和外角 ★★
三角形的垂直平分線 ★★
【命題預測】在初中幾何數學中，三角形的基礎知識是解決后續很多幾何問題的基礎. 所以，在中考中，與其它幾何圖形結合考察的幾率比較大，特別是全等三角形的性質和判定的綜合應用.考生在復習該考點時，不僅要熟悉掌握其本身的性質和應用，還要注重轉化思想在題目中的應用，同步聯想，其他幾何圖形在什么情況下會轉化成該考點的知識考察.
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 三角形的基礎
一、三角形的相關概念
三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.
三角形的表示：用符號“”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”.
二、三角形的分類
1）三角形按邊分類：三角形
2）三角形按角分類：三角形
三、三角形的穩定性
三角形的穩定性: 三角形三條邊確定之后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質叫做三角形的穩定性.
【補充】四邊形及多邊形不具有穩定性，要使多邊形具有穩定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多邊形就具有穩定性了.
三角形三邊關系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊．
三角形三邊關系的應用：
1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形．
2）已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b
3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形．
1．（2024·陜西·中考真題）如圖，在中，，是邊上的高，E是的中點，連接，則圖中的直角三角形有（ ）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
2．（2022·河北石家莊·模擬預測）如圖，一只手蓋住了一個三角形的部分圖形，則這個三角形不可能是（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形
3．（2023·吉林·中考真題）如圖，鋼架橋的設計中采用了三角形的結構，其數學道理是 ．
4．（2023·江蘇鹽城·中考真題）下列每組數分別表示3根小木棒的長度（單位：cm），其中能搭成一個三角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
考點二 三角形中有關線段
類型 三角形的高 三角形的中線 三角形的角平分線
文字語言 從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段． 三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段． 三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段．
圖形語言
性質 ∵AD是 ABC中BC邊的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是 ABC中BC邊的中線 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是 ABC中∠BAC的角平分線 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC
用途舉例 1）線段垂直．2）角度相等． 1）線段相等．2）面積相等． 角度相等．
類型 三角形的中位線 三角形的垂直平分線
文字語言 連接三角形兩邊中點的線段 經過線段的中點并且垂直于這條線段的直線
圖形語言
性質 ∵DE是 ABC的中位線 ∴DE=BC DE∥BC ∵直線l是AB的垂直平分線 ∴PA=PB, AC=BC, ∠PCA=∠PCB=90°
用途舉例 1）線段平行．2）線段關系． 1）線段相等．2）角度相等．
1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，是中線的中點．若的面積是1，則的面積是 ．
2．（2024·河北·中考真題）觀察圖中尺規作圖的痕跡，可得線段一定是的（ ）
A．角平分線 B．高線 C．中位線 D．中線
3．（2024·青海·中考真題）如圖，平分，點P在上，，，則點P到的距離是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，小張想估測被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在外取一點C，然后步測出的中點D，E，并步測出的長約為，由此估測A，B之間的距離約為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江蘇鎮江·中考真題）如圖，的邊的垂直平分線交于點，連接．若，，則 ．
考點三 與三角形有關的角
三角形的內角和定理：三角形三個內角和等于180°．
推論：直角三角形的兩個銳角互余.
三角形的內角和定理的應用：
1)在三角形中,已知兩個內角的度數,可以求出第三個內角的度數；
2)在三角形中,已知三個內角的比例關系,可以求出三個內角的度數；
3)在直角三角形中,已知一個銳角的度數,可以求出另一個銳角的度數.
三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
三角形的外角的性質：1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；
2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．
1．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在中，，，．則的度數為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·廣東深圳·中考真題）如圖為商場某品牌椅子的側面圖，，與地面平行，，則（ ）

A．70° B．65° C．60° D．50°
3．（2023·河北張家口·一模）將一副三角板按如圖所示方式擺放，使有刻度的邊互相垂直，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河北·模擬預測）如圖，三角形紙片沿過一個頂點的直線剪開后得到 兩個三角形紙片，則一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·四川遂寧·中考真題）一個三角形的三個內角的度數的比試，這個三角形是 三角形
04題型精研·考向洞悉
命題點一 與三角形有關的線段
題型01 三角形的穩定性
1) 三角形具有穩定性.2) 四邊形及多邊形不具有穩定性，要使多邊形具有穩定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多邊形就具有穩定性了.
1．（2022·湖南永州·中考真題）下列多邊形具有穩定性的是（　　　）
A．B．C．D．
2．（2024·吉林長春·一模）四邊形結構在生活實踐中有著廣泛的應用，如圖所示的升降機，通過控制平行四邊形形狀的升降桿，使升降機降低或升高，其蘊含的數學道理是（ ）
A．平行四邊形的對邊相等 B．平行四邊形的對角相等
C．四邊形的不穩定性 D．四邊形的內角和等于
3．（2021·吉林長春·二模）如圖所示的五邊形木架不具有穩定性，若要使該木架穩定，則要釘上的細木條的數量至少為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
題型02 畫三角形的五線
1．（2023·河北石家莊·模擬預測）嘉淇剪一個銳角做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與交于點，連接，則線段分別是的（ ）

A．高，中線，角平分線 B．高，角平分線，中線
C．中線，高，角平分線 D．高，角平分線，垂直平分線
2．（2024·廣東深圳·中考真題）在如圖的三個圖形中，根據尺規作圖的痕跡，能判斷射線平分的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
3．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在中，請用尺規作圖法在邊上確定一點D，連接，使得平分的面積．（不寫作法、保留作圖痕跡）
4．（2023·廣東江門·一模）如圖，在中，，，．
(1)根據要求用尺規作圖：作邊上的高交于點；（不寫作法，只保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下，求的長．
5．（2023·山東青島·中考真題）用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
已知：．
求作：點P，使，且點P在邊的高上．

題型03 與三角形高有關的計算
①有高首先想到面積，可以考慮等面積法求高線.
②高相等，面積之比等于底邊之比.
1．（2024·山東德州·中考真題）如圖，在中，是高，是中線，，，則的長為（ ）
A． B．3 C．4 D．6
2．（2024親水縣三模）如圖，已知的面積為48，，點D為邊上一點，過點D分別作于E，于F，若，則長為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（2023·安徽·中考真題）清初數學家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數學家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術”給出了一個完整的證明，證明過程中創造性地設計直角三角形，得出了一個結論：如圖，是銳角的高，則．當，時， ．

4．（2022·山東青島·中考真題）【圖形定義】
有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．
例如：如圖①．在和中，分別是和邊上的高線，且，則和是等高三角形．
【性質探究】
如圖①，用，分別表示和的面積．
則，
∵
∴．
【性質應用】
(1)如圖②，D是的邊上的一點．若，則__________；
(2)如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點．若，，，則__________，_________；
(3)如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點，若，，，則__________．
題型04 等面積法求高
等面積法是一種方程思想，即用兩種不同的方法表示同一個三角形的面積，那么這兩個表示的面積是相等的，就可以列方程求高或者求底了.一般情況下:一種是利用面積公式表示三角形面積,另一種是利用割補法表示三角形的面積.
1．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，點A，B，C都在網格線的交點上，則中邊上的高為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·上海寶山·一模）如圖，在筆直的公路旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的停靠站A的距離為，與公路上另一停靠站B的距離為，停靠點A、B之間的距離為，為方便運輸貨物現要從公路上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處，且．則修建公路長度為
3．（2021·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）直角三角形的兩條邊長分別3和4，這個直角三角形斜邊兒上的高為 ．
4．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，在中，，點D為邊上任意一點（不與點A、B重合），過點D作，，分別交、于點E、F，連接．

(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，求點C到的距離．
題型05 求網格中的三角形面積
1）利用割補法求三角形的面積.
2）皮克定理：三角形的面積=內點數+邊點數÷2-1
1．（2024恩施市一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，，則三角形ABC的面積為 ．

2．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點坐標分別是、、，將向左平移1個單位，再向上平移3個單位，得到，其中點，，的對應點分別為，，．
(1)請畫出；
(2)點的坐標為_________；的面積為_________．
3．（2024浙江模擬預測）正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點，作，使，，，并求的面積．
4．（2024洛陽市模擬）如圖，每個小正方形的邊長為1．
(1)求四邊形的面積；
(2)求的度數．
題型06 與三角形中線有關的計算
1．（2024珠海區模擬）在，，，是邊上的中線，若的周長為45，的周長是（ ）
A．47 B．43 C．38 D．25
2．（2024·山西太原·三模）如圖示，是的中線，點D是邊靠近頂點B的一個三等分點，連接，交于點F，則等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南昆明·二模）如圖，，是的兩條中線，連接．若，則陰影部分的面積是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2024南寧市模擬）如圖，點是的邊上任意一點，點是線段的中點，若，則陰影部分的面積為（ ）
A． B． C． D．
題型07 與三角形重心有關的計算
1．（2023·浙江·中考真題）如圖，點P是的重心，點D是邊的中點，交于點E，交于點F，若四邊形的面積為6，則的面積為（　　）

A．15 B．18 C．24 D．36
2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）已知：．
(1)尺規作圖：畫出的重心．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）
(2)在（1）的條件下，連接，．已知的面積等于，則的面積是______．
3．（2024·山東青島·一模）三角形的重心
定義：三角形三條中線相交于一點，這個點稱為三角形的重心．
三角形重心的一個重要性質：
重心與一邊中點的連線的長是對應中線長的．
下面是小亮證明性質的過程：
已知：如圖，在中，D，E分別是邊的中點，相交于點O．
求證：
證明：連接，D，E分別是邊的中點∴（依據1）

性質應用：
(1)如圖1，在中，點G是的重心，連接并延長交于點E，若，則______；

(2)如圖2，在中，中線相交于點G，若的面積為48，則的面積為______；

(3)如圖3，在中，若，，的面積為m，則的面積為______．

題型08 與三角形中位線有關的計算
1．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，是的中線，E，F分別是，的中點，，則的長為 ．
2．（2024·湖南·中考真題）如圖，在中，點分別為邊的中點．下列結論中，錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江蘇無錫·中考真題）在中，，，，分別是的中點，則的周長為 ．
4．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，四邊形各邊中點分別是，若對角線，則四邊形的周長是 ．
題型09 利用角平分線的性質求解
1．（2024·云南·中考真題）已知是等腰底邊上的高，若點到直線的距離為3，則點到直線的距離為（ ）
A． B．2 C．3 D．
2．（2022·內蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4+2
3．（2022·湖南益陽·中考真題）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧交射線AB，AC于兩點，分別以這兩點為圓心，以適當的定長為半徑畫弧，兩弧交于點E，作射線AE，交BD于點I，連接CI，以下說法錯誤的是（　　）
A．I到AB，AC邊的距離相等
B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的內心
D．I到A，B，C三點的距離相等
4．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，已知是的角平分線，，分別是和的高，，，則點E到直線的距離為 ．

題型10 角平分線的判定
1．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在中，，點到三邊的距離相等，則的度數為 ．
2．（2024·上海·模擬預測）已知在銳角中，的平分線交邊于D，的平分線交邊于F，與交于O，連接并延長交于E
(1)尺規規范作圖，寫出已知
(2)求證：平分
(3)求證：
3．（2024·江西贛州·二模）【課本再現】
思考 我們知道，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，反過來，角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上嗎？ 可以發現并證明角的平分線的性質定理的逆定理； 角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．
【定理證明】
（1）為證明此逆定理，某同學畫出了圖形，并寫好“已知”和“求證”，請你完成證明過程．
已知：如圖1，在的內部，過射線上的點作，，垂足分別為，，且．
求證：平分．
【知識應用】
（2）如圖2，在中，過內部一點，作，，，垂足分別為，，，且，，連接，．
①求的度數；
②若，，求的長．
題型11 利用垂直平分線的性質求解
已知垂直平分線，立馬得到以下三個結論:
1）垂直；2）平分；3）連垂直平分線上某點和線段兩端，那么這兩個距離相等.
1．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，在中，垂直平分交于點，若的周長為，則（ ）
A． B． C． D．
54．（2023·江蘇鎮江·中考真題）如圖，扇形的半徑為2，分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P，，則的長 ．（結果保留）

2．（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖，在中，，，線段的垂直平分線交于點，交于點，則 ．

3．（2023·青海·中考真題）如圖，在中，是的垂直平分線.若，，則的周長是 .

題型12 垂直平分線線的判定
1）根據線段垂直平分線的定義，也就是經過線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，使用這種方法必須滿足兩個條件：一是垂直，二是平分；
2）可以證明直線上有兩個點在線段的垂直平分線上，根據兩點確定一條直線，可以判定這兩點所在的直線就是這條線段的垂直平分線.
1．（2024·四川樂山·模擬預測）如圖，已知為的外接圓，，直徑交于點E，若，則（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024·河北·模擬預測）如圖，已知平行四邊形，．用尺規作圖的方法在上取一點P，使得，則下列做法正確的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024·黑龍江佳木斯·三模）如圖，在四邊形中，，，，若，則的長為（ ）
A． B． C． D．
題型13 根據作圖痕跡求解
1．（2023·湖北荊州·中考真題）如圖，，點在上，，為內一點．根據圖中尺規作圖痕跡推斷，點到的距離為 ．

2．（2023·四川南充·中考真題）如圖，在中，，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點P，畫射線與交于點D，，垂足為E．則下列結論錯誤的是（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在中，，分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點，作直線交，于點D，E，連接．下列說法錯誤的是（ ）

A．直線是的垂直平分線 B．
C． D．
4．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，中，，分別以頂點A，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點和點，作直線分別與，交于點和點；以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點和點，再分別以點，點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線，若射線恰好經過點，則下列四個結論：
①；②垂直平分線段；③；④．
其中，正確結論的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
題型14 利用三角形三邊關系求解
若滿足：最短的線段長+中間的線段長＞最長的線段長，即可構成三角形.
1．（2023·山東·中考真題）在中，，下列說法錯誤的是（　　）
A． B．
C．內切圓的半徑 D．當時，是直角三角形
2．（2023·福建·中考真題）若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是（　　）
A．1 B．5 C．7 D．9
3．（2022·西藏·中考真題）如圖，數軸上A，B兩點到原點的距離是三角形兩邊的長，則該三角形第三邊長可能是（　　）
A．﹣5 B．4 C．7 D．8
4．（2022·湖南益陽·中考真題）如圖1所示，將長為6的矩形紙片沿虛線折成3個矩形，其中左右兩側矩形的寬相等，若要將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，則圖中a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
命題點二 與三角形有關的角
1）三角形的內角和為180°；
2）直角三角形中兩銳角和為90°；
3）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.
題型01 利用三角形內角和定理求解
1．（2024·四川成都·中考真題）如圖，，若，，則的度數為 ．
2．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，，是高，以點A為圓心，長為半徑畫弧，交于點E，再分別以B、E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部交于點F，作射線，則 ．
3．（2023·新疆·中考真題）如圖，在中，若，，，則 ．

4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）將一個含角的三角尺和直尺如圖放置，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
題型02 三角形內角和與平行線的綜合應用
1．（2024·四川德陽·中考真題）如圖是某機械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中，，則等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西·中考真題）如圖1是一個可調節的電腦桌，它的工作原理是利用液體在封閉的管路中傳遞力和能量．圖2是將其正面抽象成的圖形，其中桌面與底座平行，等長的支架交于它們的中點E，液壓桿．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，，，．則 ．
4．（2024·山東·中考真題）如圖，是的內接三角形，若，，則 ．
題型03 三角形內角和與角平分線的綜合應用
1．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在中，．現分別作出邊上的高和的平分線．則的度數為（ ）

A． B． C． D．
2．（2022·安徽·模擬預測）如圖，在中，的平分線與的平分線交于點．若將沿翻折，使得點與點重合，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，中，是邊上的高，是的平分線，則的度數是 ．
4．（2023·陜西西安·二模）如圖，在中，，，為的平分線，于點，則度數為（ ）
A． B． C． D．
題型04 與角度有關的折疊問題
1．（2020·湖南邵陽·中考真題）將一張矩形紙片按如圖所示操作：
（1）將沿向內折疊，使點A落在點處，
（2）將沿向內繼續折疊，使點P落在點處，折痕與邊交于點M．
若，則的大小是（ ）
A．135° B．120° C．112.5° D．115°
2．（2023·遼寧·中考真題）如圖，在三角形紙片中，，點是邊上的動點，將三角形紙片沿對折，使點落在點處，當時，的度數為 ．

3．（2023·吉林長春·中考真題）如圖，將正五邊形紙片折疊，使點與點重合，折痕為，展開后，再將紙片折疊，使邊落在線段上，點的對應點為點，折痕為，則的大小為 度．

4．（2021·吉林·中考真題）如圖①，在中，，，是斜邊上的中線，點為射線上一點，將沿折疊，點的對應點為點．
（1）若．直接寫出的長（用含的代數式表示）；
（2）若，垂足為，點與點在直線的異側，連接，如圖②，判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（3）若，直接寫出的度數．
題型05 利用三角形內角和定理解決三角板問題
1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）小華將一副三角板（，，）按如圖所示的方式擺放，其中，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
2．（2022·山東德州·中考真題）將一副三角板（厚度不計）如圖擺放，使含角的三角板的斜邊與含角的三角板的一條直角邊平行，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·江蘇泰州·中考真題）如圖，將分別含有、角的一副三角板重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形成的角為，則圖中角的度數為 ．
4．（2022·江蘇揚州·中考真題）將一副直角三角板如圖放置，已知，，，則 °．
題型06 利用三角形外角和定理求解
1．（2024·四川達州·中考真題）如圖，在中，，分別是內角、外角的三等分線，且，，在中，，分別是內角，外角的三等分線．且，，…，以此規律作下去．若．則 度．
2．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在中，，，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山東·中考真題）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點均在小正方形方格的頂點上，線段交于點，若，則等于（ ）

A． B． C． D．
題型07 三角形外角性質與平行線的綜合應用
1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，直線，一塊含有的直角三角板按如圖所示放置．若，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川涼山·中考真題）一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點在的延長線上，當時，的度數為（ ）

A． B． C． D．
3．（2024·山西·中考真題）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力的方向豎直向下，支持力的方向與斜面垂直，摩擦力的方向與斜面平行．若斜面的坡角，則摩擦力與重力方向的夾角的度數為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山西·中考真題）如圖，一束平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后，其折射光線與一束經過光心的光線相交于點，點為焦點．若，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
題型08 三角形內角和定理與外角和定理的綜合
1．（2024·天津·中考真題）如圖，中，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點，交于點；再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧（所在圓的半徑相等）在的內部相交于點；畫射線，與相交于點，則的大小為（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若，則的度數為（　　）

A． B． C． D．
3．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，在中，的垂直平分線交于點D．交于點E．連接．若，，則的度數為 ．

4．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，是的直徑，切于點A，交于點，連接，若，則 ．
5．（2024·重慶·中考真題）如圖，在中，，，平分交于點．若，則的長度為 ．

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